Исследовательская работа по математике Считайте быстро и легко

Городская научно-практическая конференция

«Татьянин день»

Секция: Математика

Исследовательская работа

«Считайте быстро и легко»

Шепелев Артём

ГБОУ НПО ПЛ № 13, группа № 22

Научный руководитель:

Преподаватель математики и информатики

ГБОУ НПО ПЛ № 33

Амирханова М. М.

Уфа 2014

Оглавление

1.

Введение…………………………………………………………………

3

2.

Умножение чисел от 10 до 20………………………………………..

4

3.

Умножение чисел до 100…………..………………………………….

4

4.

Перемножение чисел над и под опорным числом………………….

5

5.

Возведение в квадрат. Числа оканчивающиеся на 5……………….

6

6.

Возведение в квадрат чисел близких по значению к 50……………

6

7.

Умножение на 11………………………………………………………

7

8.

Проверка ответов. Числа-подстановки…………………………….

8

9.

Проверка ответов. Выбрасывание девяток

8

Заключение………………………………………………………………...

10

Список использованной литературы ………………………………….

11

Введение

Актуальность. Ни один грамотный человек в нашей жизни не может обойтись без умения считать. Устному счёту нас учат уже с детства. В школьном курсе математики существуют стандартные методы обучения устному счёту, в результате которого, учащиеся к 11 классу могут складывать и умножать числа в уме в пределах 1000. Но методы и приёмы устного счёта, позволяющие быстро и легко работать с многозначными числами зачастую преподаются только на математических кружках и элективных курсах. Дети разучились считать устно и незнание этих приёмов у большинства современных детей, сводит их к использованию современных калькуляторов. А ведь устный счет помогает развивать память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух и развивает быстроту реакции.

Цель работы. Целью данной исследовательской работы является изучение приемов устного счета по методу Билла Хэндли..

Объект исследования: приемы устного счета.

Метод исследования: При исследовании применялись доступные методы получения необходимой информации: сбор информации - изучение литературы, поиск информации в Интернет; освоение приёмов и методик устного счёта, систематизация и обобщение.

Прикладная ценность результатов. Успешное овладение и освоение данных приёмов позволили мне подходить к решению примеров не механически, а вполне осознанно распоряжаться и ссылаться на алгебраические свойства. Вычисления стали доставлять мне удовольствие, какого я и представить себе не мог.

1. 1 Умножение чисел от 10 до 20

Посмотрим, как работает метод перемножения чисел от 10 до 20.В качестве примера возьмём произведение 12 × 14. В качестве опорного числа возьмём 10. Числа 12 и 14 больше опорного числа на 2 и 4 соответственно, поэтому запишем их в кружочки над множителями

+ +

12 × 14

В этом случае складываем накрест: 12+4 либо 14+2, получаем один и тот же ответ 16. Пишем 16 после знака равно. Затем 16 умножаем на опорное число10 и получаем промежуточный ответ 160. Последним шагом в решении является перемножение чисел в кружках 2 × 4= 8, прибавляем к 160. И конечный результат число 168.

Этот метод можно использовать для перемножения чисел больше 100, 1000 и т.д., тогда в качестве опорных чисел нужно рассматривать 100, 1000 и т.д.

Математическое обоснование. Обозначим буквой а опорное число, т. е. число 10, буквами b и c цифры единиц, или числа в кружках, в данном случае 2 и 4. Произведение может быть записано так:

(a + b) × (a + c) = a² + ab + ac + bc = a × a + a × b + a × с + b × с =

= a ( a + b + c) + bc

Подставляя текущие значения получим:

(10 +2) × (10 + 4) = 10(10+2 +4) + 2×4= 10 × 16 + 8= 160 + 8 = 168.

1.2 Умножение чисел до 100

В качестве примера возьмём произведение 96×97. В качестве опорного числа возьмём число 100. Запишем 96×97 и нарисуем кружки под каждым множителем.

До числа 100 у первого множителя не хватает 4, а у второго множителя 3, вписываем эти числа в кружки под множителями

96 × 97

- -

Теперь вычитаем накрест: 96-3 либо 97-4 получается в обоих случаях один и тот же ответ 93-это и есть первая часть ответа. Дальше перемножаем числа в кружках 4×3 получаем 12-это последняя часть ответа. Итак, ответ

96 × 97 = 9312.

Математическое обоснование. Обозначим буквой а опорное число, т. е. число 100, буквами b и c цифры единиц, или числа в кружках, в данном случае 4 и 3. Произведение может быть записано так:

(a - b) × (a - c) = a² - ab - ac + bc = a × a - a × b - a × с + b × с =

= a ( a - b - c) + bc

Подставляя текущие значения получим:

(100 - 4) × (100 - 3) = 100(100 - 4 - 3) + 4×3= 100 × 93 + 12= 9300+ 12 = 9312.

1.3 Перемножение чисел над и под опорным числом

П

+45осмотрим, как поступать, на примере, произведения 98 × 145. В качестве опорного числа будем использовать 100

98 × 145 =

-

Вычисляем накрест: 98+45 либо 145-2, получаем один и тот же ответ 143.Умножаем 143 на опорное число 100, получаем 14300. Теперь

перемножим числа в кружках 45 × (-2) получаем - 90 и решение примера выглядит следующим образом:

+10

98 × 145 = 14300 - 90 =14300-100 = 14200 +10 = 14210

-2

Математическое обоснование. Обозначим буквой а опорное число,

т. е. число 100, буквами b и c цифры единиц, или числа в кружках, в данном случае 2 и 45. Произведение может быть записано так:

(a - b) × (a + c) = a² - ab + ac - bc = a × a - a × b + a × с - b × с =

= a ( a - b + c) - bc

Подставляя текущие значения получим:

(100 -2) × (100 +45) = 100(100 - 2 + 45) - 2×45= 100 × 143 - 90= 14300 - 90 =

=14210.

1.4 Возведение в квадрат. Числа оканчивающиеся на 5

Рассмотрим пример 65², отделим 6 от 5. Прибавим 1 к 6, получим 7. 6 умножить на 7 равно 42. Эта первая часть ответа. Припишем теперь справа квадрат числа 5, т. е. 25 и получим: 65²= 4225.

Математическое обоснование. Возведём в квадрат число 65² по формуле квадрата суммы:

(a + b)² = a² + 2ab + b² = a × a + 2a × b + b × b = = a ( a +2 b) + b × b.

Подставим значения:

(60 + 5)² = 60² + 2×60×5 + 5² = 60 × 60 + 2×60 × 5 + 5 × 5 =

= 60 ( 60 +2 × 5) + 5 × 5= 60× 70 + 25= 4200 + 25= 4225 .

1.5 Возведение в квадрат чисел близких по значению к 50

Рассмотрим пример 47² = 47 × 47, округляя получим 50 × 50 =2500. В качестве опорных чисел возьмём 50 и 2500. 47 меньше 50 на 3.

5

500 47²

-3

Вычитаем 3 из числа сотен 2500, 25-3 = 22 , можно записать 2200. Теперь возведём число в кружке 3² = 9. И прибавим к 2200: 2200 + 9 = 2209. Ответ. 2209

Математическое обоснование. Возведём в квадрат число 47² по формуле квадрата разности:

(a - b)² = a² - 2ab + b² = a × a - 2a × b + b × b = = a ( a -2 b) + b × b.

Подставим значения:

(50 - 3)² = 50² - 2×50×3 + 3² = 50 × 50 - 2×50 × 3 + 3 × 3 =

= 50 (50 - 2 × 3) + 3 × 3= 50× 44 + 9= 2200 + 9= 2209 .

1.6. Умножение на 11

Эта методика схожа с методикой Якова Трахтенберга - математиком разработавшим технику устного счёта.

Чтобы умножить двузначное число на 11, нужно просто сложить цифры и вставить результат посередине. Например, 35 × 11= 385.

А если рассмотреть такой пример: 64 × 11= 704.

35 × 11= 3 (3+5) 5=385.

64 × 11= 6 ( 6 + 4) 4 = 6 ( 10 ) 4 = (6 + 1) 04 = 704.

Математическое обоснование. Рассмотрим пример 35 × 11.

Применим распределительное свойство умножения относительно сложения: (a + b) × с = a × с + b × с, где а - это десятки, b- единицы, а с - число 11. Подставим в формулу значения:

(30 + 5) × 11= 30× 11 + 5 × 11= 330 + 55 = 33×10 + 5 ×10 + 5 = 10 (33 + 5) +5 = 10 × 38 + 5= 385.

1.7 Проверка ответов. Числа-подстановки

Чтобы проверить, верный ли получен результат, используются числа-подстановки, вместо тех которые даны в примере. Рассмотрим наш пример 12 × 14 = 168. Проверим правильный ли ответ.

Найдём сумму цифр чисел 12 и 14. Это 1 + 2 = 3 и 1 + 4 = 5. Перемножим числа 3 и 5, получаем 15-двузначное число, поэтому опять сложим цифры 1 и 5, получаем 6. Это и есть контрольное число, которое служит для определения правильности ответа.

Складываем цифры исходного ответа 168: 1 + 6 + 8 = 15-двузначное число, поэтому опять складываем цифры 1 + 5, получаем 6. Так как оно совпало с контрольным числом - пример, мы решили верно.

1.8. Проверка ответов. Выбрасывание девяток

Этот способ позволяет ещё больше сократить по времени проверку результата. Если в вычислениях при проверке встречается число 9 мы его просто зачёркиваем.

Математическое обоснование. 9 = 10 - 1. Для каждой десятки, которая содержится в числе, получаем одну 9 и остаток 1. Если в числе содержится два десятка, то получаем две девятки и остаток 2, 30 содержит три 9 и остаток 3. Рассмотрим число 52: оно состоит из 50, т.е. 5 десятков и 2 единиц. Найдём остаток от деления на 9, в случае 50 получаем 5 девяток и остаток 5. В числе 52 остатком от деления на 9 является 2, так как 2 на 9 разделить нельзя. Переносим остаток 5 от 50 и прибавляем его к остатку 2.

5 +2 = 7. Таким образом, 7 является остатком от деления 52 на 9.

Можно данное свойство рассмотреть с другой стороны:

1 × 9 = 9 , а это 10-1

11 × 9 = 99, а это 100-1

111 × 9 = 999, а это 1000 - 1

То есть, каждая единица в любом разряде числа соответствует одной единице остатка. Например, в числе 32145 цифра 3 обозначает десятки тысяч - для каждого десятка тысяч будет иметься остаток, равный 1. Цифра 2 обозначает тысячи. Для каждой тысячи остаток будет равен 1. То же самое происходит и в сотнях и десятках. Цифра единиц сама является остатком, если только она не равна 9. В последнем случае цифру 9 мы просто отбрасываем.

Данные методы решения распространяются и на произведение десятичных чисел.

Заключение

Всем рассмотренным методам умножения я дал алгебраическое объяснение. Доказал, что за решением этих интересных математических фокусов, методов умножения, - кроится целый ряд свойств и формул, такие как: формулы возведения в квадрат суммы и разности чисел, вынесение общего множителя за скобки, распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания и т.д.

В ходе исследования я познакомился также и с методами деления, но наш метод деления мне показался легче и проще.

Вывод: Чем проще метод, используемый для решения задачи, тем быстрее вы её решите и тем меньше вероятность того, что вы допустите ошибку.

Работа, проведенная мною, доказывает, что знание этих приёмов и их применение особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своём распоряжении таблиц или калькулятора, например на ГИА, ЕГЭ.

Пожелания обучающимя. Используйте в своей учёбе изложенные методы и вы будете задачи щёлкать, как орешки. Математика станет для вас увлекательным и лёгким предметом.

Пожелания преподавателям и учителям . Преподавайте данные методы своим ученикам, и уроки математики превратятся в удовольствие, как для них, так и для вас.

Пожелания родителям. Научите своих детей этим методам, и вы увидите, что они будут не просто быстро считать, но и проверять свои решения и исправлять допущенные ошибки.

Для того чтобы быстро и уверенно считать в уме, не нужно иметь ни специальных знаний, ни способностей. Несколько простых правил, а главное - постоянная тренировка в устном счете, помогут научиться хорошо, считать.

Польза устных вычислений огромна. Сознательное усвоение законов арифметических действий - вот первая и очень ощутимая польза устных вычислений. При таких вычислениях развиваются очень ценные качества человека как внимание, сосредоточенность, выдержка, самостоятельность.

Список использованных источников

1. Считайте в уме как компьютер/ Б. Хэндли; пер. с англ. Е.А.Самсонов. - Мн.: «Попурри», 2006.

2. kakprosto.ru/kak-22426-nauchitsya-bystro-schitat-v-ume.

3. moyum.mk.ua/

4. conf.edu-nt.ru/node/422

5. Волина В. Праздник числа. - М.: Знание, 1994.

6. Ткачева М. Домашняя математика. - М.: Просвещение, 1994

7. Токарева С. Математика: таблицы-тренажеры.- Волгоград: Учитель, 2009

8. superidea.ru Развитие творческого мышления и интеллекта

9. all-fizika.com Техника быстрого счета. Быстрый счет в уме.

10. all-fizika.com/article/index.php?id_article=224

11. «Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева.