3 задачи по теме «Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию» (10 класс)

«Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию»

Пирамида у которой две грани перпендикулярны основанию, тогда и только тогда, когда:

I случай (смежные боковые грани):

1. Боковое ребро пирамиды перпендикулярно к плоскости основания. По рис.1 АДС АВС

2. Высота пирамиды совпадает с боковым ребром.

По рис.1 , АД - высота.

3. Вершина пирамиды проектируется в вершину основания. По рис.1 вершина Д проектируется в А.

4. Угол основания является линейным углом двугранного угла при боковом ребре пирамиды.

II случай (несмежные боковые грани):

5. Высота пирамиды принадлежит линии пересечения плоскостей двух граней.

По рис.2 , ДА - высота пирамиды ДКЕСВ.

Рис.1 Рис.2

Задача 1: Основанием пирамиды SАВСД является квадрат. Ребро SA перпендикулярно основанию. Площадь основания в m раз меньше площади боковой поверхности. Найти двугранные углы при рёбрах ВС и СД.

Дано:

SАВСД - пирамида,

АВСД - квадрат,

,.

Найти:

?

?

Решение:

1) линейный угол двугранного угла , так как , это следует из условия, что АВСД - квадрат. По теореме о трёх перпендикулярах .

2) линейный угол двугранного угла , так как , это следует из условия, что АВСД - квадрат. По теореме о трёх перпендикулярах .

3) Рассмотрим и , они равны по двум катетам: SA - общая сторона и АД=АВ как стороны квадрата.

4) Рассмотрим и , они равны по трём сторонам: SC- общая сторона, ДС=ВС как стороны квадрата и SB=SD как гипотенузы равных треугольников и .

5) Пусть АВ=а. По условию ,

;

;

Рассмотрим - прямоугольный, по теореме Пифагора: ,

;

;

, SD>0, так как - длина;

;

;

/ : ;

/ :;

/ *;

;

.

5) ;

;

;

.

Ответ: .

Задача 2: Основание пирамиды - прямоугольная трапеция, у которой меньшее основание равно 3, а меньшая боковая сторона равна 2 и острый угол равен . Две её боковые грани перпендикулярны к плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности и объём пирамиды, если высота пирамиды равна 4.

При решении данной задачи, возможны пять случаев.

Рассмотрим 1 случай:

Дано:

SABCD - пирамида,

ABCD - прямоугольная трапеция,

BC=3, AB=2, , SB=4,

.

Найти:

?

?

Решение:

1);

.

Дополнительное построение: проведём .

Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как и .

Следовательно, СК=КД=АВ=2.

АК=ВС, так как АВСК - прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

кв. ед.

куб. ед.

2) Рассмотрим - прямоугольный, так как SB - высота пирамиды.

кв. ед.

3) Рассмотрим - прямоугольный, так как SB - высота пирамиды.

кв. ед.

4) Рассмотрим - прямоугольный, так как в прямоугольной трапеции ABCD и SA - наклонная, тогда по теореме о трёх перпендикулярах .

;

кв. ед.

5) Дополнительное построение: .

по теореме обратной теореме о трёх перпендикулярах ,

- прямоугольный.

ВН=НС=.

Из прямоугольного , по теореме Пифагора:

.

6) кв. ед.

7) ;

кв. ед.

Ответ: куб. ед., кв. ед.

Рассмотрим 2 случай:

Дано:

SABCD - пирамида,

ABCD - прямоугольная трапеция,

BC=3, AB=2, , SС=4,

.

Найти:

?

?

Решение:

1) ;

.

Дополнительное построение: проведём .

Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как и .

Следовательно, СК=КД=2.

АК=ВС, так как АВСК - прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

кв. ед.

куб. ед.

2) Рассмотрим - прямоугольный.

кв. ед.

3) Рассмотрим - прямоугольный.

.

По теореме Пифагора: .

кв. ед.

4) Рассмотрим - прямоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: SA - наклонная, ВС - проекция SA на (АВС),

.

Из прямоугольного , по теореме Пифагора:

;

кв. ед.

5) Рассмотрим .

Дополнительное построение: SK.

По теореме о трёх перпендикулярах: SK - наклонная, СK - проекция SK,

. Значит SK - высота .

;

По теореме Пифагора: ;

кв. ед.

6) ;

кв. ед.

Ответ: куб. ед., кв. ед.

Рассмотрим 3 случай:

Дано:

SABCD - пирамида,

ABCD - прямоугольная трапеция,

BC=3, AB=2, , SD=4,

.

Найти:

?

?

Решение:

1) ;

.

Дополнительное построение: проведём .

Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как и.

Следовательно, СК=КД=АВ=2.

АК=ВС, так как АВСК - прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

кв. ед.

куб. ед.

2) Рассмотрим - прямоугольный, так как SD - высота пирамиды.

.

Из прямоугольного, по теореме Пифагора: .

кв. ед.

3) Рассмотрим - прямоугольный, так как SD - высота пирамиды.

;

кв. ед.

4) Рассмотрим - прямоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: SA - наклонная, АD - проекция SA,

.

Из прямоугольного , по теореме Пифагора: .

кв. ед.

5) Дополнительное построение: проведём .

По теореме обратной теореме о трёх перпендикулярах: SH - наклонная, DH - проекция SH, .

Следовательно, SH - высота .

.

По теореме Пифагора: .

кв. ед.

6) ;

кв. ед.

Ответ: куб. ед., кв. ед.

Рассмотрим 4 случай:

Дано:

SABCD - пирамида,

ABCD - прямоугольная трапеция,

BC=3, AB=2, , SА=4,

.

Найти:

?

?

Решение:

1) ;

кв. ед.,

куб. ед.

2) Рассмотрим - прямоугольный, так как SА - высота пирамиды.

кв. ед.

3) Рассмотрим - прямоугольный, так как SА - высота пирамиды.

;

кв. ед.

4) Рассмотрим - прямоугольный так как по теореме о трёх перпендикулярах: SB - наклонная, AB - проекция SB, .

По теореме Пифагора: .

.

5) Дополнительное построение: , SH.

Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах: SH - наклонная, AH - проекция SH, .

Значит, SH - высота .

Рассмотрим - прямоугольный и равнобедренный. Обозначим за .

По теореме Пифагора: ;

;

;

;

.

Из прямоугольного , по теореме Пифагора:

.

кв. ед.

6) ;

кв. ед.

Ответ: куб. ед., кв. ед.

Рассмотрим 5 случай:

Дано:

SABCD - пирамида,

ABCD - прямоугольная трапеция,

BC=3, AB=2, , SH=4,

.

Найти:

?

?

Решение:

1) ;

Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как по условию.

Следовательно, СК=КД=2.

АК=ВС, так как АВСК - прямоугольник.

АД=АК+КД=3+2=5;

кв. ед.

куб. ед.

2) Рассмотрим - прямоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: - наклонная, AH - проекция , .

Рассмотрим - равнобедренный и прямоугольный, так как , как соответственные углы.

Следовательно, ВН=СВ=3;

АН=АВ+ВН=2+3=5.

Из прямоугольного, по теореме Пифагора: .

Из прямоугольного , по теореме Пифагора: .

3) Рассмотрим - прямоугольный, так как .

кв. ед.

4) Рассмотрим - тупоугольный, так как по теореме о трёх перпендикулярах: SB - наклонная, НВ - проекция SB, ;

кв. ед.

6) Рассмотрим - тупоугольный, SH - высота.

.

_{Из прямоугольного , по теореме Пифагора: .}

кв. ед.

7) ;

кв. ед.

Ответ: куб. ед., кв. ед.