Математические этюды. 5. Круглый треугольник

РЕЛО Франц (Reuleaux Franz, 1829-1905) - фран­цуз­ский уче­ный. Впер­вые (1875) чет­ко сфор­му­ли­ро­вал и из­ло­жил ос­нов­ные воп­ро­сы струк­ту­ры и ки­не­ма­ти­ки ме­ха­низ­мов; раз­ра­ба­ты­вал проб­ле­му эс­те­тич­нос­ти тех­ни­чес­ких объек­тов.

Круглый треугольник Рело

Проектор 8 миллиметровой кинопленки Луч-2. Именно он был в каждом доме, где сами снимали и смотрели киноэтюды.

В этом этюде рассказывается, как геометрическое понятие, часто изучаемое на математических кружках, находит применение в нашей повседневной жизни.

Колесо… Окружность. Одним из свойств окружности является ее постоянная ширина. Проведем две параллельные касательные и зафиксируем расстояние между ними. Начнем вращать. Кривая (в нашем случае окружность) постоянно касается обеих прямых. Это и есть определение того, что замкнутая кривая имеет постоянную ширину.

Бывают ли кривые, отличные от окружности и имеющие постоянную ширину?

Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом равным длине стороны. Эта кривая и носит имя "треугольник Рело".

Оказывается, она тоже является кривой постоянной ширины. Как и в случае окружности проведем две касательные, зафиксируем расстояние между ними и начнем их вращать. Треугольник Рело постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из "углов" треугольника Рело, а другая на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т.е. длине стороны изначального правильного треугольника.

В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка будет катиться по ним, не шелохнувшись.

Однако колесо с таким профилем сделать нельзя, так как центр такой фигуры описывает сложную линию при качении фигуры по прямой.

Бывают ли какие-то еще кривые постоянной ширины? Оказывается их бесконечно много.

На любом правильном нечетном n-угольнике можно построить кривую постоянной ширины по той же схеме, что был построен треугольник Рело. Из каждой вершины, как из центра, проводим дугу окружности на противоположной вершине стороне. В Англии монета в 20 пенсов имеет форму кривой постоянной ширины, построенной на семиугольнике.

Рассмотренные кривые не исчерпывают весь класс кривых постоянной ширины. Оказывается, среди них бывают и несимметричные кривые. Рассмотрим произвольный набор пересекающихся прямых. Рассмотрим один из секторов. Проведем дугу окружности произвольного радиуса с центром в точке пересечения прямых, определяющих этот сектор. Возьмем соседний сектор, и с центром в точке пересечения прямых, определяющих его, проведем окружность. Радиус подбирается такой, чтобы уже нарисованный кусок кривой непрерывно продолжался. Будем так делать дальше. Оказывается, при таком построении кривая замкнется и будет иметь постоянную ширину. Докажите это!

Все кривые данной постоянной ширины имеют одинаковый периметр. Окружность и треугольник Рело выделяются из всего набора кривых данной ширины своими экстремальными свойствами. Окружность ограничивает максимальную площадь, а треугольник Рело - минимальную в классе кривых данной ширины.

Треугольник Рело часто изучают на математических кружках. Оказывается, что эта геометрическая фигура имеет интересные приложения в механике.

Смотрите, это Мазда RX-7. В отличие от большинства серийных машин в ней (а также в модели RX-8) стоит роторный двигатель Ванкеля. Как же он устроен внутри? В качестве ротора используется именно треугольник Рело! Между ним и стенками образуется три камеры, каждая из которых по очереди является камерой сгорания. Вот вспрыснулась синяя бензиновая смесь, далее из-за движения ротора она сжимается, поджигается и крутит ротор. Роторный двигатель лишен некоторых недостатков поршневого аналога - здесь вращение передается сразу на ось и не нужно использовать коленвал.

А это - грейферный механизм. Он использовался в кинопроекторах. Двигатели дают равномерное вращение оси, а чтобы на экране было четкое изображение, пленку мимо объектива надо протянуть на один кадр, дать ей постоять, потом опять резко протянуть и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейферный механизм. Он основан на треугольнике Рело, вписанном в квадрат и двойном параллелограмме, который не дает квадрату наклоняться в стороны. Действительно, т.к. длины противоположных сторон равны, то среднее звено при всех движениях остается параллельным основанию, а сторона квадрата всегда параллельной среднему звену. Чем ближе ось крепления к вершине треугольника Рело, тем более близкую к квадрату фигуру описывает зубчик грейфера.

Вот такие интересные применения, казалось бы, чисто математической задачи используют люди.

Литература

• В.Г. Болтянский, И.М. Яглом. Выпуклые фигуры. - М.-Л.: ГТТИ. 1951. 343 с.
• Г. Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. - М.: Физматгиз. 1962. 263 с.