Пособие для учащихся «Справочные материалы по математике», 10 класс

За меру двугранного угла принимается мера соответствующего ему линейного угла. Все линейные углы двугранного угла совмещаются параллельным переносом, а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла.

§ 18. Векторы в пространстве

В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: модуль вектора, направление вектора, равенство векторов.

Координатами вектора с началом в точке А, (х; у; z) и концом в точке

А (х; у; z) называются числа (х - х; у - у; z - z).

Равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны.

Расстояние между двумя точками:

а) на плоскости: А() и В () находим по формуле:

б) в пространстве: А() и В () и АВ =

Координаты середины отрезка АВ, где А() и В ()

вычисляются по формулам: х = ; у = ; z = .

Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении λ

(т.е. точка М удовлетворяет условию ), находятся по формулам:

; и .

Уравнение окружности с центром в точке О (а; в) имеет вид:

(х - а) + (у - в)= R.

Уравнение сферы с центром в точке О (а; в; с) имеет вид:

(х - а) + (у - в) + (z - c)= R.

Скалярное произведение двух векторов и () вычисляется по формулам:

1) · =||·||· cos φ, где φ - угол между векторами и ;

2) · = х· х+ у· у+ z· z.

Если два вектора и () коллинеарны, то: = =.

Если два вектора и () перпендикулярны, то:

х· х+ у· у+ z· z= 0. (Скалярное произведение взаимно перпендикулярных векторов равно нулю).

Ребята!

Отзывы и пожелания по материалам справочного пособия по курсу математики

10 класса вы можете высказать учителю математики.

Желаю Вам успехов в учёбе!!!

22

Соловьёв В.А.

Справочник

10 класс

Математика. Готовься к экзаменам

Справочные материалы

по курсу математики 10 класса

2010 г.

Данное пособие поможет вам, ребята, повторить

Содержание

Раздел I. АЛГЕБРА

§ 1. Функция. Область определения и область значений …………………………..1

§ 2. Свойства тригонометрических функций ……..…………………..…………….2

§ 3. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение ….3

§ 4. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность …. 3

§ 5. Обратные функции и решение тригонометрических уравнений ……….….....4

§ 6. Решение простейших тригонометрических неравенств ………..…………….12

§ 7. Правила вычисления производных ……………..…….……………………….13

§ 8. Физический смысл производной ……………….. …………………………….13

§ 9. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной ………....…...13

§ 10. Критические точки ……………………………………………..……………...14

§ 11. Признаки возрастания и убывания функции .……... ………………………..14

§ 12. Экстремумы функции ………………………....................................................15

§ 13. Наибольшие и наименьшие значения функции……………………………...15

Раздел II. ГЕОМЕТРИЯ

§ 1. Аксиомы стереометрии …………..…………………………………………….16

§ 2. Следствия из аксиом…………………………………………………………….16

§ 3. Параллельные и скрещивающиеся прямые …………….…….………….……17

§ 4. Признак параллельности прямых ………………………………………………17

§ 5. Признак параллельности прямой и плоскости………………………………...17

§ 6. Параллельность плоскостей ……………….……..……………….……………18

§ 7. Свойства параллельных плоскостей ..……………….…………………….......18

§ 8. Перпендикулярность прямых в пространстве ……..........................................18

§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости …………..……………..................18

§ 10. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости …………………………19

§ 11. Перпендикуляр и наклонная ………………….……………………………...19

§ 12. Теорема о трёх перпендикулярах…………………………….………………19

§ 13. Расстояние между прямыми и плоскостями ………………………………...20

§ 14. Угол между прямой и плоскостью……………………………………………20

§ 15. Угол между двумя плоскостями……………………………….……………...21

§ 16. Признак перпендикулярности двух плоскостей…………………..…………21

§ 17. Двугранный угол ………………………………..…………………..…………21

§ 18. Векторы в пространстве………………………………..…………………..….22

Рис. 9

Рис. 10

§ 15. Угол между двумя плоскостями

Определение. Углом между пересекающимися плоскостями называется угол между прямыми, проведёнными в этих плоскостях перпендикулярно линии их пересечения (рис. 10)

Если плоскости параллельны, угол между ними считается равным 0°.

§ 16. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Теорема (признак перпендикулярности плоскостей). Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема. Прямая, проведённая в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно прямой их пересечения, перпендикулярна к другой плоскости.

§ 17. Двугранный угол

Рис. 11

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой (рис. 11). Полуплоскости называются гранями, а ограничивающая их прямая - ребром двугранного угла.

Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла, пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.

21

Рис. 5

§ 13. Расстояние между прямыми и плоскостями

Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями называют длину перпендикуляра, опущенного из любой точки одной плоскости на другую (рис. 6).

Определение. Расстоянием между плоскостью и параллельной ей прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из любой точки прямой к плоскости (рис. 7).

Рис. 6

Рис. 7

Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых и перпендикулярный к каждой из них.

На рисунке 8 отрезок АВ - общий перпендикуляр скрещивающихся прямых а и в.

Определение. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Рис. 8

§ 14. Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется острый угол между прямой и её проекцией на плоскость (рис. 9).

20

§ 1. Функция. Область определения и область значений

Функция - одно из важнейших математических понятий. Напомним, что функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: у = f(х). (Читают: у равно эф от х.) Символом f(х) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.

Заметим, что в записи вида у = f(х) вместо f употребляют и другие буквы: g, φ, h и т. п.

Область определения функции - множество всех значений аргумента (независимой переменной), при которых функция имеет смысл.

Область значений функции - множество всех значений, которые принимает функция (зависимая переменная).

Если функция задана формулой и её область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

При нахождении области определения функции следует обращать внимание на два факта:

1) делить на нуль нельзя, поэтому выражение, стоящее в знаменателе дроби (или делитель) всегда отлично от нуля.

Пример 1: Найти область определения функции . Делить на нуль нельзя, поэтому , , . Значит область определения данной функции .

2) корень чётной степени из отрицательного числа не извлекается, поэтому выражение, стоящее под знаком корня чётной степени, всегда неотрицательно (≥ 0).

Пример 2: Найти область определения функции . Согласно правилу: . Найдём корни квадратного уравнения. По теореме Виета:

= 3 и = 4. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Значит область определения данной функции .

Вопрос о нахождении области значений функции решается гораздо сложнее.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 3. Найти область значений функции: . Так как 3 ≠ 0,

то, значит у ≠ 4. Отсюда: .

1

Пример 4. Найти область значений функции: . Дробь ≠ ,

значит у ≠ 4 + 1,5 = 5,5. Отсюда: .

Пример 5. Найти область значений функции: . Выражение, стоящее под знаком квадратного корня всегда должно быть неотрицательным, значит, таким же будет и значение квадратного корня: у ≥ 0, т.е. .

Пример 6. Найти область значений функции: . Выражение, стоящее под знаком квадратного корня всегда должно быть неотрицательным, значит, таким же будет и значение квадратного корня: у ≥ 0, т.е. .

Пример 7. Найти область значений функции: . Графиком данной функции будет парабола, направленная ветвями вверх, значит, наименьшее значение функция будет принимать в вершине, , тогда

у(-4) =(-4) ∙ (- 4) + 8 ∙ (- 4) +12 = 16 - 32 +12 = 28 - 32 = -4, т.е. .

Пример 8. Найти область значений функции: . Графиком данной функции будет парабола, направленная ветвями вниз, значит, наибольшее значение функция будет принимать в вершине, , тогда

у(3) =-3 ∙ 3 + 6 ∙ 3 - 8 = - 9 + 18 - 8 = 18 - 17 = 1, т.е. .

Пример 9. Найти область значений функции: . Так как функция - ограничена, то достаточно найти два краевых значения: 3 ∙ (-1) - 5 = - 3 - 5 =

= - 8 и 3 ∙ 1 - 5 =3 - 5 = -2. Значит, .

§ 2. Свойства тригонометрических функций

1. Чётность функций

Функция у = f(x) называется чётной, если для всех значений х из области определения функции выполняется равенство: f(-x) = f(x).

Чётной из тригонометрических функций является только одна функция y = cos x.

Значит: cos (-x) = cos x.

Функция у = f(x) называется нечётной, если для всех значений х из области определения функции выполняется равенство: f(-x) = - f(x).

Нечётные функции: y = sin x, y = tg x, y = ctg x.

Значит: sin (-x) = - sin x, tg (-x) = - tg x, ctg (-x) = - ctg x.

Функция не являющейся ни чётной, ни нечётной, называется функцией общего вида (ФОВ).

2. Периодичность тригонометрических функций

Функция называется периодической, если для всех х из области определения функции выполняется равенство: f(x + Т) = f(x).

Число Т ≠ 0 называется периодом функции.

2 Периодичность тригонометрических функций: ;

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости): Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

§ 10. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости

Теорема. Если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Теорема (обратная теорема). Две прямые, перпендикулярные к одной плоскости, параллельны.

§ 11. Перпендикуляр и наклонная

Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной, проведённой из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

На рисунке 4 из точки А проведены к плоскости α перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В - основание перпендикуляра, точка С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной АС на плоскость α.

Рис. 4

§ 12. Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема. Прямая, проведённая на плоскости перпендикулярно к проекции наклонной, перпендикулярна и к этой наклонной.

Теорема (обратная теорема). Если прямая на плоскости перпендикулярна к наклонной, то она перпендикулярна и к проекции наклонной.

19

§ 6. Параллельность плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если она не пересекаются.

Если плоскости α и β параллельны, пишут: α║β.

Теорема (признак параллельности плоскостей): Если каждая из двух пересекающихся прямых одной плоскости параллельна другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Следствие. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

§ 7. Свойства параллельных плоскостей

Теорема. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Теорема. Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.

Теорема. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Следствие. Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны.

§ 8. Перпендикулярность прямых в пространстве

Введём сначала понятие "угол между прямыми в пространстве". Если две пересекающиеся прямые образуют прямые углы, то говорят, что угол между этими прямыми равен 90°. Если пересекающиеся прямые образуют острые и тупые углы, то за угол между данными прямыми принимается мера острого угла.

Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми параллельными данным скрещивающимся.

Определение. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Отрезки (лучи) называют перпендикулярными, если они принадлежат перпендикулярным прямым.

Теорема. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой прямой.

§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости и проходящей через точку пересечения.

В этом случае и плоскость будет перпендикулярна к прямой: аα и αа.

Отрезок (луч) называется перпендикулярным к плоскости, если он лежит на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

18

; ; .

В случае сложной функции у = f (kx + в), период находится по формуле: .

Например, для функции период равен: , а для функции период равен: , функция имеет период: .

§ 3. Преобразование суммы и разности тригонометрических функций

в произведение

Формулы сложения тригонометрических функций имеют вид:

; (1) ; (2)

; (3) (4).

Сформулируем эти зависимости словами:

(1) Сумма синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полусуммы на косинус полуразности аргументов.

(2) Разность синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полуразности на косинус полусуммы аргументов.

(3) Сумма косинусов двух аргументов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы на косинус полуразности аргументов.

(4) Разность косинусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полуразности на синус полусуммы аргументов, взятому со знаком «минус».

Полезно также помнить формулы: и .

§ 4. Преобразование произведения тригонометрических функций

в сумму и разность

Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов имеют вид:

Отсюда: или словами: 3

Произведение синуса и косинуса с различными аргументами, равно полусумме синусов суммы и разности этих аргументов.

или словами:

Произведение косинусов с различными аргументами, равно полусумме косинусов суммы и разности этих аргументов.

или словами:

Произведение синусов с различными аргументами, равно половине разности косинусов разности и суммы этих аргументов.

Пример 1. Найти значение произведения: .

Решение:

==.

Ответ: .

Пример 2. Найти значение произведения: .

Решение:

-==.

Ответ: .

§ 5. Обратные функции и решение тригонометрических уравнений

Умение решать тригонометрические уравнения является очень важным в курсе математики средней школы. Многие учащиеся испытывают определённые трудности при их решении.

При решении тригонометрических уравнений мы будем использовать понятия обратных тригонометрических функций: арксинус, арккосинус, арктангенс и арктангенс, а так же формулы для решения простейших уравнений.

Определение:

arc cos a = α,

если cos α = a и 0 ≤ α ≤ π,

при этом - 1 ≤ а ≤ 1.

соs x = 0, ;

соs x = 1, ;

соs x = - 1, .

Если же соs x = а, где - 1 < а < 1, а ≠ 0, то .

Определение:

arc sin a = α,

если sin α = a и - ≤ α ≤

при этом - 1 ≤ а ≤ 1.

sin x = 0, x = πk, ;

sin x = 1, ;

sin x = - 1, .

4 Если же sin x = а, где - 1 < а < 1, а ≠ 0, то .

2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

3. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

§ 3. Параллельные и скрещивающиеся прямые

В пространстве две прямые могут лежать в одной плоскости, а могут и не лежать (в одной плоскости).

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Параллельность прямых обозначается в пространстве так же, как на плоскости: (АВ)‌║(СD).

Отрезки (лучи), принадлежащие параллельным прямым, называются параллельными.

Теорема. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

§ 4. Признак параллельности прямых

Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

§ 5. Признак параллельности прямой и плоскости

Известны три случая расположения прямой и плоскости в пространстве:

1) прямая лежит на плоскости;

2) прямая пересекает плоскость, т.е. прямая и плоскость имеют одну общую точку;

3) прямая и плоскость не имеют общих точек.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости).

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Теорема. Если плоскость (β), проходящая через прямую (в), параллельную плоскости (α), пересекает данную плоскость (α), то линия пересечения параллельна данной прямой (в).

Рис. 3.

17

f(-3) =;

f(-2) =;

f(-1) =;

f(0) =. Выберем из найденных значений функции наибольшее и наименьшее: ; .

Ответ: ; .

Геометрия

§ 1. Аксиомы стереометрии

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

На рисунке 1 точки А и В принадлежат плоскости α, а точки Е, F, К не принадлежат этой плоскости.

Рис. 1

Рис. 2

Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

На рисунке 2 изображена плоскость α, проходящая через точки А, В, С. Эти точки не принадлежат одной прямой.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

§ 2. Следствия из аксиом

1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость,

16 и притом только одну.

Определение: arc tg a = α, если tg α = a и - < α < .

Уравнение tg x = а имеет решение: .

Определение: arc сtg a = α, если сtg α = a и 0 < α < π.

Уравнение сtg x = а имеет решение: .

Способы решения тригонометрических уравнений

1. Самый распространённый метод решения тригонометрических уравнений - это разложение на множители. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить уравнение: .

Решение:

Используя формулу для синуса двойного аргумента, запишем уравнение в виде

Вынося общий множительза скобки, получаем:

.

.

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение: .

Используя формулу приведения , запишем уравнение в виде .

Применив формулу для суммы косинусов, имеем:

, , .

5

Ответ: .

2. Уравнение вида или разложением

на множители сводится к двум элементарным уравнениям.

и .

3. Уравнения вида или приводятся

к квадратным уравнениям относительно или соответственно:

или

.

4. Уравнение вида - однородное относительно

или :

.

5. Уравнение вида сводится

к однородному уравнению относительно или :

.

6. Уравнение вида с помощью формул приведения сводится

к элементарному уравнению.

Воспользуемся формулой и получим:

.

7. Уравнение вида с помощью формул приведения сводится

к двум элементарным уравнениям:

6

§ 12. Экстремумы функции

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с «-»

на «+», то это точка минимума;

если же при переходе через критическую точку производная меняет знак

с «+» на «-», то это точка максимума.

Пример. Определить точки экстремума функции .

Решение:

Найдём у′ = ()′= 6х - 2х - 4 . Выясним, когда производная равна нулю: 6х - 2х - 4 = 0, 2(3х - х - 2) = 0, значит и . Определим знак производной на каждом из интервалов

В точке производная меняет знак с плюса на минус, а в точке производная меняет знак с минуса на плюс. Пользуясь условием экстремума, получаем, что точка - это точка максимума, а - точка минимума.

Ответ: ; .

§ 13. Наибольшие и наименьшие значения функции

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке, надо найти значения функции на концах промежутка и в точках максимума и минимума (если они есть), принадлежащих указанному промежутку, а затем выбрать из них самое большое и самое маленькое.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [-3; 0].

Решение:

Найдём у′ = ()′= х +3х + 2 .

Выясним, когда производная равна нулю: х +3х + 2 = 0, значит и .

Определим знак производной на каждом из интервалов: у′ < 0 при х(-2; -1)

и у′ > 0, если х(-∞; -2)(-1; +∞). Значит ; .

Точки ипринадлежат промежутку [-3; 0], поэтому найдём значения функции в точках х = -3; -2; -1; 0.

15

Подставим найденные значения в уравнение касательной, получим:

у - 15 = 6 · (х + 1), т.е. у - 15 = 6х + 6, тогда у = 6х + 6 + 15, у = 6х + 21.

Ответ: у = 6х + 21.

Пример 2. Найдите тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку М(0; 5), к графику функции f(x) = х - 3х + 5.

Решение:

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной: .

Найдём у′ = f′(x) = (х - 3х + 5)′ = 2х - 3.

Мы знаем, что х = -1, тогда 2 · (-1) - 3 = -5.

Ответ: -5.

§ 10. Критические точки

Критические точки - это те точки, в которых производная равна нулю.

Пример. Найдите критические точки функции f(x) =

Решение:

Найдём у′ = f′(x) = ()′ = =. В критических точках производная равна нулю, значит: = 0. Отсюда , значит х = ± 4.

Ответ: х = ± 4.

§ 11. Признаки возрастания и убывания функции

Функция убывает на промежутке, если у′ на нём отрицательна (у′ < 0);

Функция возрастает на промежутке, если у′ на нём положительна (у′ > 0).

Пример. Найдите участки возрастания и убывания функции: f(x) =

Решение:

Найдём у′ = f′(x) = ()′ = . В критических точках производная равна нулю, значит: = 0. Отсюда х = 0; 1. Графиком производной является парабола, расположенная ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями, значит функция убывает на промежутке (0; 1) и возрастает на промежутках

(-∞; 0)(1; +∞).

знак у′

0 1

Ответ: убывает на (0; 1) и возрастает на (-∞; 0)(1; +∞).

14

и .

8. Уравнение вида сводится к элементарному уравнению

относительно или , так как является однородным относительно

или :

Пример 1. Решить уравнение:

Решение:

Однородным называется уравнение, в котором все слагаемые одной и той же степени относительно и .

В однородных уравнениях и не могут одновременно равняться нулю, так как если = 0, то и = 0, а Однородные уравнения решаются делением обеих частей уравнения на .

Поделив обе части уравнения на , получим:

, , .

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение:

.

Разделив обе части уравнения на , получим:

.

Отсюда: и , значит

7

Ответ: .

9. Уравнение вида можно решать методом введения

вспомогательного угла.

Это уравнение можно решить с помощью универсальной подставки

- оно сводится к однородному после замены с на .

Пример 1. Решить уравнение:

Решение:

Используем формулы тригонометрических функций двойного угла: и ,

Правую часть преобразуем так: , получим:

+ =

3 - + = 0.

Поделив это уравнение на , получим:

3 - + 1 = 0.

Обозначив , получаем уравнение:

3у - 4у + 1 = 0,

откуда и .

1) , , ;

2) , , .

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

8

x (- π - arc sin + 2πk; arc sin + 2πk), kZ, учитывая, что arc sin= ,

получим: x (-+ 2πk; + 2πk), kZ.

§ 7. Правила вычисления производных

Производные вычисляются по формулам: (u + v)' = u' + v '; (u ∙ v)' = u' v + u v';

(C u)' = C ∙ u'; C ' = 0 (где C = const); (sin x)' = cos x; (cos x)' = - sin x;

()' = ; (tg x)' = ; (ctg x)' = ; (ln x)' = ;

(x)'= n ∙ x; (e)'= e; (a)'= a∙ ln a; (logx)' = .

Полезно помнить, что: и

§ 8. Физический смысл производной

Физический (механический) смысл производной: производная пути по времени

есть скорость, т. е. , а производная скорости по времени есть ускорение: .

Пример. Точка движется прямолинейно по закону х (t) = 4t + 15t.

Найдите формулу вычисления скорости в любой момент времени.

Вычислите скорость и ускорение при t = 2 (время измеряется в секундах, координата - в метрах).

Решение:

, поэтому V (t) ==(4t + 15t)′ =4 · 2t +15 · 4 t= 8t + 60 t.

, значит = (8t + 60 t)′ = 8 + 60 · 3t= 8 + 180t.

Найдём V(2) = 8 · 2 +60 · 2 = 16 + 480 = 496 (м/с), а(2) = 8 + 180 · 2= 728(м/с).

Ответ: V (t) = 8t + 60 t; V(2) = 496 (м/с), а(2) = 728(м/с).

§ 9. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной: .

Уравнение касательной имеет вид: у - у =у′ (х - х).

Пример 1. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x)= 12х + 3x, проведённой через точку с абсциссой х = -1.

Решение:

Уравнение касательной имеет вид: у - у = у′ (х - х). Найдём у′ = 12 + 6х.

Мы знаем, что х = -1, тогда у = 12 + 3 · (-1) = 12 + 3 =15, у′ = 12 + 6 · (-1) = 6. 13

Пример 3: Решите уравнение:

Решение:

,

значит:

,

отсюда следует:

.

Из первого уравнения системы вытекает, что Подставим

эти значения во второе и третье уравнения системы:

и .

Значит, ответ найден. Ответ: .

§ 6. Решение простейших тригонометрических неравенств

Неравенства, составленные из тригонометрических выражений, называются тригонометрическими неравенствами. Тригонометрические неравенства решаются,

в основном, путём сведения их к простейшим неравенствам вида: sinx < a, cosx < a,

tgx > a, ctgx > 0 и т. д.

При решении тригонометрических неравенств справедливы следующие

формулы:

1) sinx > a, (|а| < 1) => х (arc sinа + 2πk; π -arc sinа + 2πk), kZ;

2) sinx < a, (|a| < 1) => x (-π -arc sina + 2πk; arc sinа + 2πk), kZ;

3) cosx > a, (|a| < 1) => x (-arc cosa + 2πk; arc cosa + 2πk), k Z;

4) cosx < a, (|a| < 1) => x (arc cosa + 2πk; 2π -arc cosa + 2πk), kZ;

В случае: sinx ≥ a, sinx ≤ a, cosx ≥ a, cosx ≤ a с обеих сторон будут квадратные скобки.

5) tgx ≥ a => x[arc tga + πk; π/2 + πk), kZ;

6) tgx ≤ a => x(- π/2 + πk; arc tga + πk], kZ;

7) ctgx ≥ а => x(πk; arc сtga + πk], kZ;

8) ctgx ≤ a => x[arc сtga + πk; π + πk), kZ.

В случае: tgx > a, tgx < a, ctgx > a, ctgx < a с обеих сторон будут круглые скобки.

Пример. Решим неравенство 2 sin²x - 7 sinx + 3 > 0.

Решение:

Если введём обозначение sin х = t, то данное неравенство сводится

к квадратному неравенству 2 t² - 7 t + 3 > 0, решения которого определяются совокупностью неравенств: t < и t > 3, т. е. исходное неравенство равносильно совокупности неравенств sin х < и sin x > 3. Второе неравенство не имеет решения,

а решения первого неравенства находятся по формуле (2):

12

Решение:

Выразим через , используя тождество:

= .

Обозначим , тогда и уравнение примет вид:

, откуда и .

1)

+ - =

+ 2 = 0

.

2) Уравнение не имеет корней, так как и и равенства и не могут одновременно выполняться в силу того, что .

Ответ: .

Однако в некоторых случаях без вспомогательного угла обойтись трудно.

.

Обозначим, а , получим: .

Пример: Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения

.

Решение:

Выражение можно преобразовать

несколькими способами. Положим, например, и , тогда

9

.

Теперь ясно, что выражение принимает все значения из отрезка [- 5; 5].

Ответ: - 5 и 5.

10. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Многие тригонометрические уравнения могут быть сведены путём введения новой переменной к квадратным уравнениям.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить уравнение: .

Решение:

Это уравнение является квадратным относительно .

Обозначим , получим уравнение . Его корни и . Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений и .

Уравнение имеет корни ;

уравнение не имеет корней.

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение: .

Заменяя , получаем:

.

Обозначим , получим уравнение ,

откуда корни и .

Уравнение имеет корни ;

уравнение не имеет корней.

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение:

Используя формулу , получаем:

.

Обозначим , получим уравнение ,

10

откуда корни и . 1) , ;

2) , .

Эти решения можно объединить в одно: .

Ответ:

11. Нестандартные уравнения. Некоторые уравнения или неравенства, особенно тригонометрические или смешанные (в которых, кроме тригонометрических, присутствуют логарифмы или функции «другого» типа), решаются рассмотрением области значений входящих выражений. Тогда нередко оказывается, что решение уравнения (неравенства) возможно только в «крайних» случаях. К сожалению, общих рекомендаций здесь дать нельзя. Рассмотрим примеры.

Пример 1: Решите уравнение:

Решение:

Левая часть уравнения принимает значение 2, если оба слагаемых равны единице одновременно:

тогда , отсюда: , значит .

Отсюда: Ответ: .

Пример 2: Решите уравнение:

Решение:

Отсюда: и .

Ответ:

11