Урок на тему: Золотое сечение

Золотое сечение

Условие задачи читается так:

Разделить отрезок в среднем и в крайнем отношении.

Другая формулировка:

Разделить отрезок гармонически.

Третья формулировка:

Найти золотое сечение отрезка.

Этот термин впервые применил великий Леонардо да Винчи (1452-1519).

Пожалуй, во всех этих формулировках условие задачи не совсем понятно. На современном языке оно будет звучать менее выразительно, но более понятно:

Дан отрезок АВ (для удобства рассуждений будем считать, что его длина равна единицы). Найти на нем такую точку Х, чтобы АХ: ВХ=ВХ:АВ. В риторической форме разделить данный отрезок на две части так, чтобы меньшая относилось к большей, как большая ко всему отрезку.

О том, что эта задача действительно древняя, свидетельствует тот факт, что она рассмотрена еще Евклидом в «Началах» и сформулирована чисто геометрически: данный отрезок рассечь так, чтобы прямоугольник, заключенный между целым и одним из отрезков, был равен квадрату на оставшемся отрезке.

Существует много решений задачи. Одно из самых простых и наглядных предложил знаменитый александрийский математик Клавдий Птолемей (ок.90- ок.160), имя которого вам хорошо известно - именно он разработал то учение о строении Солнечной системы, которым пользовались астрономы и мореплаватели до Николая Коперника.

Итак, решаем задачу, следуя, в основном Птолемею.

Пусть надо построить золотое сечение отрезка АВ.

С центром в точке В радиусом АБ проводим полуокружность АЕС. Разделим радиус БС пополам получим точку Д.Проведем дугу окружности с центром в точке Д радиусом ДЕ до пересечения с АВ, Точка пересечения Х и есть искомая. Почему?

Ответим этот на вопрос так, Обозначим ВХ= х, тогда АХ=1-х (так как АВ принял за 1ч) и по условию задачи

Отсюда

Из двух значений корня возьмем , так как другое значение оказалось отрицательным.

Посмотрите теперь на рисунок 20. Если АВ= 1, ВД=1/2, то по теореме Пифагора ДЕ= . Значит, и ДХ= и , действительно, ВХ= Построение Птолемея ведет к цели.

Теперь остается выразить число в виде десятичной дроби - ведь без этого нельзя говорить о практическом решении задачи.

Разложим в цепную дробь, действуя точно так же, как мы делали, извлекая корень квадратный из двух и трех. Сначала заметим, что , значит,

Отсюда

Значит окончательно