Исследовательская работа на тему Комплексные числа

В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества – число. ЧИСЛО - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множества тайн.…В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них. Натуральные, ц...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:


Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Исследовательская работа на тему Комплексные числа



Научно-практическая конференция

« Первые шаги в науку»

Секция « Математика»

Выполнил: ученик 9 класса МБОУ

« Мордовско-Паевская СОШ»

Ерочкин Иван

Руководитель: учитель математики

Кадышкина Н.В.

г. Инсар 2014 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………………

  1. История открытия комплексных чисел ………………………… 4

2.1. Высказывания великих учёных о комплексных числах…. 4

2.2 О появлении комплексных чисел……………………………4

  1. Основная часть

Определение комплексных чисел…………………………………. 8

2.1. Алгебраическая форма комплексного числа………………8

2.2. Действия над комплексными числами…………………… 9

3. Решение уравнений с комплексной переменной………………… 12

4. Понятие о комплексной плоскости……………………………….. 14

5. Геометрическая форма комплексного числа…………………….. 15

6. Тригонометрическая форма числа……………………………….. 17

7. Возведение в степень комплексного числа………………………. 19

  1. Показательная форма числа……………………………………… 20

  2. Где применяются комплексные числа?.......................................... 21

Заключение. Выводы……………………………………………… 23

Список литературы…………………………………………………… 24

  1. Тест по теме « Комплексные числа»………………………………. 25










Введение
В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества - число. ЧИСЛО - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множества тайн.…В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них.

Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные. Они меня завораживают из года в год всё больше и больше. В прошлом году я провёл исследование про загадочное число пи. В этом заинтересовали комплексные числа. Впервые услышал про них в 8 классе, решая квадратные уравнения. В 9 классе, у меня возникли серьезные проблемы при решении кубических уравнений, которые должны иметь три корня, так как после разложения многочлена на линейные множители возникает необходимость решения квадратного уравнения. И вдруг оказывается, что дискриминант отрицателен, то есть квадратно уравнение корней не имеет, ведь при нахождении корней квадратного уравнения мне необходимо извлечь арифметический квадратный корень из отрицательного числа. А это значит, что кубическое уравнение вместо трёх корней имеет только один корень. Вот так я получил противоречие. И решил разобраться в нём. Такая операция невозможна на множестве действительных чисел, но не невозможна вообще. Оказалось, что корни решаемого мною уравнения принадлежат множеству комплексных чисел, которое содержит число, квадрат которого равен -1. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах.

Цель работы: Изучить комплексные числа как раздел математики и их роль во многих разделах математики.

Задачи исследования:

1. Проанализировать литературу по данному вопросу;

2. Систематизировать сведения о числах;

3. Расширить числовые множества от натуральных до комплексных, как способ

построения нового математического аппарата.

4. Совершенствовать технику алгебраических преобразований.

5. Оценить значение и роль комплексных чисел в математике, в повышении интереса в изучении комплексных чисел учащимися 9-х классов, в развитии их творческих и исследовательских способностей.

Проблема: отсутствие в программах по курсу алгебры и начал анализа для общеобразовательных учреждений раздела, изучающего комплексные числа.

Рабочая гипотеза: предполагается, что ознакомление и изучение комплексных чисел учащимися позволит им углубить познания во многих разделах математики, вооружит их дополнительным инструментом для решения различных задач.

Предмет исследования: комплексные числа.

Объект исследования: формы задания комплексного числа и действия над ними.

Методы исследования:


1. Изучение и анализ литературных источников.

2. Решение практических задач

3. Разработать тест.

4.Опрос.

5.Анализ проделанной работы.

Актуальность темы.

Я считаю, что моя тема актуальна, так как хотя в наше время довольно много научной и учебной литературы, но далеко не во всех изданиях материал изложен ясно, понятно и доступно для нас, учащихся. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах. Вот результат моей работы над этой темой.


  1. Основная часть.

История открытия комплексных чисел

  1. Несколько высказываний знаменитых учёных о комплексных числах:

Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа. почти что амфибия с небытиём. Г. Лейбниц

"Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение" Ф. Клейн.

Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.

Л. Карно


  1. Появлении комплексных чисел.

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие учёные считали « настоящими» только натуральные числа, но в практических расчётах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин. Их ввели китайские ученые за два века до н. э., а древнегреческий математик Диофант в III веке н. э. уже умел производить действия над отрица­тельными числами.

В математике они называются множеством действительных чисел.

Все действительные числа расположены на числовой прямой:

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Компания действительных чисел очень пёстрая - здесь и целые числа, и дроби, иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.

В XIII веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицатель­ными эта операция невозможна. Но в XVI веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись проблемой: в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

УравнениеИсследовательская работа на тему Комплексные числа должно иметь три корня. При его решении часто под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Исследовательская работа на тему Комплексные числаЧтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Джироламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х + у = 10, xy = 40 не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 ±Исследовательская работа на тему Комплексные числа, у = 5 ±Исследовательская работа на тему Комплексные числа, нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что Исследовательская работа на тему Комплексные числаИсследовательская работа на тему Комплексные числа = -a. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими. Однако уже в 1572 году его соотечественник Р. Бомбелли вы­пустил книгу, в которой были установлены первые правила ариф­метических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Исследовательская работа на тему Комплексные числаНазвание «мнимые числа» в 1637 году было введено

французским математиком и философом Р. Декартом.

Исследовательская работа на тему Комплексные числаА в 1777 году один из крупнейших алгебраистов XVIII века - Л. Эйлер - предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мни­мый) для обозначения числа i = Исследовательская работа на тему Комплексные числа.

Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин "комплексные числа" также был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII - XVIII веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.

Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце XVIII - начале XIX веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a + bi точкой М (a, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.

Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.





  1. Определение комплексных чисел

3.1 Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексным числом z называется выражение z = a + b·i , где a и b - действительные числа, i2= -1,

a = Re z -действительная часть z (вещественная) (Re, от фр. réele - «реальный», «действительный»);

b = Im z мнимая часть z (Im, от фр. imaginaire - «мнимый»).

b - коэффициентом мнимой части комплексного числа.

Запись комплексного числа z в виде a + ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Если a Исследовательская работа на тему Комплексные числа0, вИсследовательская работа на тему Комплексные числа0, то число z - мнимое (z = 37 - 6·i).

Е сли а =0, вИсследовательская работа на тему Комплексные числа0, то число z -чисто мнимое число (z = 22· i).

Если a Исследовательская работа на тему Комплексные числа0, в =0, z - действительное число (z = -5).

Степени числа i:

I 1 = i Исследовательская работа на тему Комплексные числа i 4n+1= i;

i 2 = - 1 Исследовательская работа на тему Комплексные числа i 4n+2= - 1;

i 3 = i 2 · i Исследовательская работа на тему Комплексные числа i 4n+3= - i

i 4 = (i 2)2 = 1Исследовательская работа на тему Комплексные числаi 4n= 1.

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i 2= -1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

Z1 +Z2=Z2+Z1, Z1·Z2=Z2·Z1

Сочетательное свойство:

(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3), (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)

Распределительное свойство:

Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z3

  1. Числа zИсследовательская работа на тему Комплексные числа = a + b·i и z2 = a - b·i называются комплексно - сопряженными; сумма и произведение двух сопряженных чисел являются дей­ствительными числами. Исследовательская работа на тему Комплексные числа

  2. z = a + b·i и - z = - a - b·i - противоположные;

сумма двух противоположных чисел равна 0 (z + ( - z) = 0)

  1. Два комплексных числа z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 - b2·i называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: z 1= z2, если Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части. Исследовательская работа на тему Комплексные числа

3.2 Действия над комплексными числами.

Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i 2= -1.

Сложение и вычитание комплексных чисел.

Сумма комплексных чисел z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 - b2·i равна:
z1 + z 2 = ( а1 + а2) +(b1+ b2) · i

Пример 1

Сложить два комплексных числа z1= 1 +3i, z2=4-5i

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

z1 +z2 =1 +3i +4 -5i =5 -2i


Разность комплексных z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 - b2·i чисел рав­на:

z1 - z 2 = ( а1 - а2) +(b1 - b2) · i

Пример 2

Найти разности комплексных чисел z1= -2 +i и z2 = 4i -2 Исследовательская работа на тему Комплексные числа Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем - стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

z1 - z2 = ( -2 + i) - (4i - 2) = -2 +I - 4i +2 = - 3i

Умножение комплексных чисел

Произведение комплексных чисел z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 - b2·i равно:

z1 · z 2 = ( а1 · а2 - b1 · b2) +( а2 ·b1 +b2 ·а1) · i

Пример 3. Найти произведение комплексных чисел

z1 =1 - i, z2 =3 +6i

z1·z2 =( 1 -i )(3 +6i )=1·3 -i ·3 + 1·6i - i·6i= 3- 3i + 6i +6 = 9 + 3i

Деление комплексных чисел

Частное комплексных чисел z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 - b2·i равно:
Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Пример 4. Пусть z1 =13 + i , z2 = 7 - 6 i

Для нахождения частного сначала числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное знаменателю, а затем производят остальные действия.

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Извлечение корней из комплексных чисел.

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень - можно! А точнее, два корня:

Исследовательская работа на тему Комплексные числа
Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения Исследовательская работа на тему Комплексные числа? Выполним проверку:

Исследовательская работа на тему Комплексные числа
Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

При извлечении квадратных корней из отрицательных чисел получаются два сопряженных комплексных корня.

Например, Исследовательская работа на тему Комплексные числа, Исследовательская работа на тему Комплексные числа, Исследовательская работа на тему Комплексные числа, Исследовательская работа на тему Комплексные числа, Исследовательская работа на тему Комплексные числа











  1. Решение уравнений с комплексной переменной

Сначала я рассмотрел простейшее квадратное уравнение z2 = a, где a - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:

1) имеет один корень z = 0, если a = 0;

2) имеет два действительных корня z1,2 = ±Исследовательская работа на тему Комплексные числа, если a > 0;

3) не имеет действительных корней, если a < 0;

4) на множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.

Вообще уравнение z2 = a, где a < 0 имеет два комплексных корня: z1,2Исследовательская работа на тему Комплексные числаi.

Используя равенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: Исследовательская работа на тему Комплексные числа= i, Исследовательская работа на тему Комплексные числа= iИсследовательская работа на тему Комплексные числа= 2i, Исследовательская работа на тему Комплексные числа= iИсследовательская работа на тему Комплексные числа.

Итак, Исследовательская работа на тему Комплексные числа определен для любого действительного числа a (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение

az2 + bz + c = 0, где a, b, с - действительные числа, a ≠ 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:

z1, 2 =Исследовательская работа на тему Комплексные числа.

Также справедливо утверждение, что любое уравнение степени n имеет ровно n корней, при этом среди них могут быть одинаковые и комплексные.

Невозможно не рассмотреть одну из красивейших формул математики - формулу Кардано для вычисления корней кубического уравнения вида x3 + px + q = 0:

Исследовательская работа на тему Комплексные числа.

Пример 5. Решить квадратное уравнение Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Дискриминант: Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Д <0, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Получаются два корня:
Исследовательская работа на тему Комплексные числа
Исследовательская работа на тему Комплексные числа - сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение Исследовательская работа на тему Комплексные числа имеет два сопряженных комплексных корня: Исследовательская работа на тему Комплексные числа, Исследовательская работа на тему Комплексные числа

И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени Исследовательская работа на тему Комплексные числа имеет ровно Исследовательская работа на тему Комплексные числа корней, часть из которых может быть комплексными.











  1. Понятие о комплексной плоскости.

Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа Буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY - чисто мнимые:

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Исследовательская работа на тему Комплексные числаИсследовательская работа на тему Комплексные числа

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать размерность, отметить : ноль; единицу по действительной оси; мнимую единицу Исследовательская работа на тему Комплексные числа по мнимой оси.

Исследовательская работа на тему Комплексные числаПример 6. Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Множество действительных чисел Исследовательская работа на тему Комплексные числа является подмножеством множества комплексных чисел.

6. Геометрическая форма комплексного числа.

СИсследовательская работа на тему Комплексные числалово «комплексный» в переводе с латинского означает «составной», «сложный». Несмотря на то, что оперировать с комплексными числами ничуть не сложнее, чем с действительными, до начала девятнадцатого столетия комплексные числа рассматривались как очень сложный, темный, почти мистический объект. С упорством, достойным лучшего применения, велась длительная борьба между сторонниками и противниками «мнимых» чисел. Главное возражение противников заключалось в следующем: выражение вида a + ib лишено смысла, поскольку i не является действительным числом, а значит, и вообще не является числом; поэтому i нельзя умножать на действительное число.

Чтобы поставить теорию комплексных чисел на прочный фундамент, необходима была явная её конструкция, лучше всего - геометрическая. Желание иметь геометрическую реализацию множества комплексных чисел не случайно, если вспомнить, что и множество действительных чисел не отделимо для нас от «действительной прямой» с фиксированной на ней точкой, изображающей 0, и с фиксирующим масштабом, определяемым положением числа 1.

Впервые изображение геометрических действий над комплексными числами было дано датским геодезистом К.Весселем в 1799 году и независимо от него французским математиком Ж.Арганом в 1806 году. Однако общее признание оно получило лишь в тридцатые года восемнадцатого столетия после работ немецкого математика Ф.Гаусса и английского математика У.Гамильтона. Идея геометрической интерпретации комплексных чисел заключается в том, что они изображаются не точками прямой, как действительные числа, а точками плоскости.

Комплексное число z = a + b·i изображается на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (а; Ь). Эта

точка обозначается той же буквой z. Дей­ствительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто - мнимые - точками оси ординат.

Комплексное число изображается также вектором на комплекс­ной плоскости с началом в точке О и концом в точке М.

Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Разность комплексных чисел строится по правилу вычитания векторов:

Исследовательская работа на тему Комплексные числа




7Исследовательская работа на тему Комплексные числа.Тригонометрическая форма комплексного числа.

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Произвольное комплексное число z = a + bi изображается в виде радиус-вектора Исследовательская работа на тему Комплексные числа на комплексной плоскости. Пусть N - проекция точки M на действительную ось. В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равнаИсследовательская работа на тему Комплексные числа. Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно,

a = Re z = | z | ∙ cos φ,

b = Im z = | z | ∙ sin φ,

где φ - Исследовательская работа на тему Комплексные числа- главный аргумент (фаза, амплитуда) комплексного числа z, - Исследовательская работа на тему Комплексные числа< φ <Исследовательская работа на тему Комплексные числа (угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке). Тогда комплексное число можно представить Исследовательская работа на тему Комплексные числав виде:

Исследовательская работа на тему Комплексные числа,

Исследовательская работа на тему Комплексные числа


Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Пример 7: Решение:
Представим в тригонометрической форме число Исследовательская работа на тему Комплексные числа. Найдем его модуль и аргумент. Исследовательская работа на тему Комплексные числа. Поскольку Исследовательская работа на тему Комплексные числа (случай 1), то Исследовательская работа на тему Комплексные числа. Таким образом: Исследовательская работа на тему Комплексные числа - число Исследовательская работа на тему Комплексные числа в тригонометрической форме.

Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме

Все алгебраические действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической формеИсследовательская работа на тему Комплексные числаИсследовательская работа на тему Комплексные числа, совершаются по тем же правилам, что и с комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Складывать и вычитать комплексные числа проще и удобнее, когда они заданы в алгебраической форме, а умножать и делить - в тригонометрической форме. Существуют три теоремы.

Теорема1. При умножении любого конечного количества комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Теорема 2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Теорема 3. Пусть z - комплексное, и n - натуральное число. Во множестве комплексных чисел выражение Исследовательская работа на тему Комплексные числапри z =0 имеет единственное значение равное нулю, а при zИсследовательская работа на тему Комплексные числа0 - n различных значений. Если z = r(cosИсследовательская работа на тему Комплексные числа + i sinИсследовательская работа на тему Комплексные числа), то эти значения находятся по формуле

Исследовательская работа на тему Комплексные числа=Исследовательская работа на тему Комплексные числаИсследовательская работа на тему Комплексные числа(cosИсследовательская работа на тему Комплексные числа + i sinИсследовательская работа на тему Комплексные числа), Исследовательская работа на тему Комплексные числа=0,1,…, n-1.

Пример 8. Найти произведение : Исследовательская работа на тему Комплексные числа, Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Исследовательская работа на тему Комплексные числа


8. Возведение комплексных чисел в степень

Возвести в квадрат комплексное число Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Исследовательская работа на тему Комплексные числа:
Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
Исследовательская работа на тему Комплексные числа. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такое действие практически невозможно, действительно, как решить пример вроде Исследовательская работа на тему Комплексные числа?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра.

Исследовательская работа на тему Комплексные числа(Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик).

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

В общем случае получим:

Исследовательская работа на тему Комплексные числа,

где n - целое положительное число.

Пример 7. Дано комплексное число Исследовательская работа на тему Комплексные числа, найти Исследовательская работа на тему Комплексные числа.

Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме.

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Тогда, по формуле Муавра:
Исследовательская работа на тему Комплексные числа

9. Показательная форма комплексного числа

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Исследовательская работа на тему Комплексные числа-формула Эйлера.

Для комплексных чисел Исследовательская работа на тему Комплексные числа,Исследовательская работа на тему Комплексные числа справедливы равенства

Исследовательская работа на тему Комплексные числа;

Для n-ой степени числа z справедливо равенство: Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Корень n-ой степени из числа z равен:

Исследовательская работа на тему Комплексные числа

Пример: zИсследовательская работа на тему Комплексные числа =8 + 6·i

Исследовательская работа на тему Комплексные числа





10. Где применяются комплексные числа?

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс на­шел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно по­строить правильный n-угольник? Из школьного кур­са геометрии известно, как циркулем и линейкой по­строить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный 6-угольник (его сторона равна радиусу описан­ной около него окружности). Более сложным являет­ся построение правильных 5-угольника и 15-угольника. Несмотря на огромные усилия мно­гих замечательных древнегреческих геометров и дру­гих ученых, никому не удалось построить ни правиль­ный семиугольник, ни правильный 9-гольник. Не удалось также осуществить построение пра­вильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал воз­можность построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории матема­тики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников. Гаусс доказал, что правильный N-угольник с не­четным числом сторон (вершин) может быть по­строен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида Fn = Исследовательская работа на тему Комплексные числа + 1 · При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F5 будет состав­ным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невоз­можно при N = 7, 9, 11, 13. Легко заметить, что задача о построении пра­вильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс поль­зовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практи­ческих задач картографии, электротехники, тепло­проводности и др. Во многих вопросах, где речь идет, например, об электрическом потенциале в точ­ках пространства, окружающего заряженный кон­денсатор, или о температуре внутри нагретого тела, о скоростях частиц жидкости или газа в потоке, дви­жущемся в некотором канале и обтекающем при этом некоторые препятствия, и т. п., нужно уметь находить потенциал, температуру, скорости и т. п. Задачи такого рода могут быть решены без особых затруд­нений в случае, когда встречающиеся в них тела имеют простую форму (например, в виде плоских пластин или круговых цилиндров).

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847-1921) успешно применял

теорию функций комплексной переменной к решению важных при­кладных задач.

Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. В. И. Ленин назвал H. E. Жуковского «отцом русской авиации». В одном из своих высту­плений H. E. Жуковский говорил: «...человек не имеет крыльев и по отношению веса своего тела к весу мускулов он в 72 раза слабее птицы; ...он почти и 800 раз тяжелее воздуха, тогда как птица тяжелее воздуха в 200 раз. Но, я думаю, что он полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума. С помощью теории функций комплексной перемен­ной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.

Комплексные числа нужны для выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.

11. Заключение

В общем, я считаю, что цель и задачи ей работы выполнены. Я сам освоил тему. В ходе исследования я изучил много литературы по данной теме. В ходе чтения разных книг я отметил для себя наиболее интересные, простые и красивые факты по этой теме, одновременно стараясь изложить их в своём свете, так, как я считаю наиболее рациональным.

К достоинствам моей работы можно отнести краткость и простоту изложения, объединение знаний о комплексных числах воедино, доступность.

Я считаю моя работа полезным и актуальным для тех учеников, которые хотят узнать больше школьной программы.

В ходе исследования я провёл несколько занятий в своём классе. Но так как в нашем классе кроме меня всего 2 ученика, проследить повышение качества знаний не удалось, так как они занимаются хорошо. Но я рад, что все пожелали продолжение изучения данной темы в 10 классе.

Мои Выводы:

1.Изучены различные литературные источники, подобран материал, дающий наиболее полное представление о комплексных числах, истории их открытия, их роли и значении в различных разделах математики. Определены и рассмотрены арифметические операции, производимые над этими числами, подобраны и решены примеры с использованием комплексных чисел.

2.Оценено значение и роль комплексных чисел при решении ряда математических задач.

3.Если в начале учебного года уровень информированности и знаний среди учащихся 9- х классов о комплексных числах можно оценить как низкий, то к концу учебного года зафиксировано повышение интереса в изучении математики, расширение кругозора, успешное решение многих задач повышенного уровня сложности.

Исследовательская работа на тему Комплексные числа12. Список литературы

1. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

2. М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.

3. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. М.: Мнемозина, 2004.

4. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.

5 . История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. - Москва-1983.

6.. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. - Москва-1979.

7. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.

8. Н.Б. Алфутова. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2005.







Тест по теме « Комплексные числа»


  1. Сколько форм записи имеет комплексное число?

а) 1 б) 2 в) 3 г) 4


  1. Что представляет собой число i?

а)число, квадрат которого равен 1

б) число, квадрат которого равен - 1

в) число, квадратный корень из которого равен - 1

г) число, квадратный корень из которого равен 1


  1. Формулу Муавра можно применять, если комплексное число записано:

а) в показательной форме б) наглядной форме

в) тригонометрической форме г) алгебраической форме


  1. Формулу можно Эйлера применять, если комплексное число записано:

а) в показательной форме б) наглядной форме

в) тригонометрической форме г) алгебраической форме


  1. Как на числовой плоскости изображается комплексное число?

а)в виде отрезка б) точкой или радиус-вектором

в)плоской геометрической фигурой в) в виде круга


  1. Выбрать из данных чисел чисто мнимое:

а) z =3 +6i б) z2 =6i в)z2 =31 г) z2 =0

  1. Вычислить сумму чисел z1 =7 +2i и z2 =3 +7 i

а) z =10 +9i б) z =4-5i в) z =10 -5i г)z =4 +5i

8. Представить комплексное число z =3 +4i в тригонометрической форме

а) это радиус-вектор б) z =5(0,6 +0,8i)

в) z =3 -4i г) это точка на координатной плоскости

9. В какое множество входят числа 5; 3; -6i;2,7; 2 i ?

а) действительные числа б) рациональные числа

в) комплексные числа г) иррациональные числа

10. Кто ввёл название « мнимые числа»?

а) Декарт б) Арган

в) Эйлер г) Кардано


© 2010-2022