- Преподавателю
- Математика
- Исследовательская работа на тему Комплексные числа
Исследовательская работа на тему Комплексные числа
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Кадышкина Н.В. |
Дата | 01.12.2014 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Научно-практическая конференция
« Первые шаги в науку»
Секция « Математика»
Выполнил: ученик 9 класса МБОУ
« Мордовско-Паевская СОШ»
Ерочкин Иван
Руководитель: учитель математики
Кадышкина Н.В.
г. Инсар 2014 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение………………………………………………………………
-
История открытия комплексных чисел ………………………… 4
2.1. Высказывания великих учёных о комплексных числах…. 4
2.2 О появлении комплексных чисел……………………………4
-
Основная часть
Определение комплексных чисел…………………………………. 8
2.1. Алгебраическая форма комплексного числа………………8
2.2. Действия над комплексными числами…………………… 9
3. Решение уравнений с комплексной переменной………………… 12
4. Понятие о комплексной плоскости……………………………….. 14
5. Геометрическая форма комплексного числа…………………….. 15
6. Тригонометрическая форма числа……………………………….. 17
7. Возведение в степень комплексного числа………………………. 19
-
Показательная форма числа……………………………………… 20
-
Где применяются комплексные числа?.......................................... 21
Заключение. Выводы……………………………………………… 23
Список литературы…………………………………………………… 24
-
Тест по теме « Комплексные числа»………………………………. 25
Введение
В незапамятные времена, научившись считать, люди познали меру количества - число. ЧИСЛО - одно из основных понятий математики, зародилось в глубокой древности и постепенно расширялось и обобщалось. Привлекающие естественной красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множества тайн.…В своей жизни каждый из нас стакивается с числами. Курс школьной программы, да и дальнейшую жизнь, трудно представить без них.
Натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные. Они меня завораживают из года в год всё больше и больше. В прошлом году я провёл исследование про загадочное число пи. В этом заинтересовали комплексные числа. Впервые услышал про них в 8 классе, решая квадратные уравнения. В 9 классе, у меня возникли серьезные проблемы при решении кубических уравнений, которые должны иметь три корня, так как после разложения многочлена на линейные множители возникает необходимость решения квадратного уравнения. И вдруг оказывается, что дискриминант отрицателен, то есть квадратно уравнение корней не имеет, ведь при нахождении корней квадратного уравнения мне необходимо извлечь арифметический квадратный корень из отрицательного числа. А это значит, что кубическое уравнение вместо трёх корней имеет только один корень. Вот так я получил противоречие. И решил разобраться в нём. Такая операция невозможна на множестве действительных чисел, но не невозможна вообще. Оказалось, что корни решаемого мною уравнения принадлежат множеству комплексных чисел, которое содержит число, квадрат которого равен -1. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах.
Цель работы: Изучить комплексные числа как раздел математики и их роль во многих разделах математики.
Задачи исследования:
1. Проанализировать литературу по данному вопросу;
2. Систематизировать сведения о числах;
3. Расширить числовые множества от натуральных до комплексных, как способ
построения нового математического аппарата.
4. Совершенствовать технику алгебраических преобразований.
5. Оценить значение и роль комплексных чисел в математике, в повышении интереса в изучении комплексных чисел учащимися 9-х классов, в развитии их творческих и исследовательских способностей.
Проблема: отсутствие в программах по курсу алгебры и начал анализа для общеобразовательных учреждений раздела, изучающего комплексные числа.
Рабочая гипотеза: предполагается, что ознакомление и изучение комплексных чисел учащимися позволит им углубить познания во многих разделах математики, вооружит их дополнительным инструментом для решения различных задач.
Предмет исследования: комплексные числа.
Объект исследования: формы задания комплексного числа и действия над ними.
Методы исследования:
1. Изучение и анализ литературных источников.
2. Решение практических задач
3. Разработать тест.
4.Опрос.
5.Анализ проделанной работы.
Актуальность темы.
Я считаю, что моя тема актуальна, так как хотя в наше время довольно много научной и учебной литературы, но далеко не во всех изданиях материал изложен ясно, понятно и доступно для нас, учащихся. Мой интерес возрос ещё больше, когда я узнал много нового о комплексных числах. Вот результат моей работы над этой темой.
-
Основная часть.
История открытия комплексных чисел
-
Несколько высказываний знаменитых учёных о комплексных числах:
Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа. почти что амфибия с небытиём. Г. Лейбниц
"Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение" Ф. Клейн.
Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств.
Л. Карно
-
Появлении комплексных чисел.
Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Древнегреческие учёные считали « настоящими» только натуральные числа, но в практических расчётах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте уже использовались дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было появление отрицательных величин. Их ввели китайские ученые за два века до н. э., а древнегреческий математик Диофант в III веке н. э. уже умел производить действия над отрицательными числами.
В математике они называются множеством действительных чисел.
Все действительные числа расположены на числовой прямой:
Компания действительных чисел очень пёстрая - здесь и целые числа, и дроби, иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.
В XIII веке стали извлекать квадратные корни из положительных чисел и установили, что с числами отрицательными эта операция невозможна. Но в XVI веке в связи с изучением кубических уравнений математики столкнулись проблемой: в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
Уравнение должно иметь три корня. При его решении часто под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.
Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Джироламо Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений х + у = 10, xy = 40 не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решение всегда х = 5 ±, у = 5 ±, нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что ∙ = -a. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», но считал их совершенно бесполезными и стремился не пользоваться ими. Однако уже в 1572 году его соотечественник Р. Бомбелли выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.
Название «мнимые числа» в 1637 году было введено
французским математиком и философом Р. Декартом.
А в 1777 году один из крупнейших алгебраистов XVIII века - Л. Эйлер - предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа i = .
Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу. Термин "комплексные числа" также был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII - XVIII веков была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а впоследствии и из любых комплексных чисел.
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянным коэффициентом. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде.
Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов. Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. В конце XVIII - начале XIX веков было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число z = a + bi точкой М (a, b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором ОМ, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.
Геометрические истолкования комплексных чисел позволили определить многие понятия, связанные с функциями комплексного переменного, расширило область их применения. Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости, в теоретической электротехнике.
Большой вклад в развитие теории функций комплексной переменной внесли русские и советские ученые: Р.И. Мусхелишвили занимался ее приложениями к теории упругости, М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев - к аэродинамике и гидродинамике, Н. Н. Боголюбов и В.С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.
-
Определение комплексных чисел
3.1 Алгебраическая форма комплексного числа
Комплексным числом z называется выражение z = a + b·i , где a и b - действительные числа, i2= -1,
a = Re z -действительная часть z (вещественная) (Re, от фр. réele - «реальный», «действительный»);
b = Im z мнимая часть z (Im, от фр. imaginaire - «мнимый»).
b - коэффициентом мнимой части комплексного числа.
Запись комплексного числа z в виде a + ib называется алгебраической формой комплексного числа.
Если a 0, в0, то число z - мнимое (z = 37 - 6·i).
Е сли а =0, в0, то число z -чисто мнимое число (z = 22· i).
Если a 0, в =0, z - действительное число (z = -5).
Степени числа i:
I 1 = i i 4n+1= i;
i 2 = - 1 i 4n+2= - 1;
i 3 = i 2 · i i 4n+3= - i
i 4 = (i 2)2 = 1i 4n= 1.
Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять по правилам действий с многочленами, считая i 2= -1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:
Переместительное свойство:
Z1 +Z2=Z2+Z1, Z1·Z2=Z2·Z1
Сочетательное свойство:
(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3), (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)
Распределительное свойство:
Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z3
-
Числа z = a + b·i и z2 = a - b·i называются комплексно - сопряженными; сумма и произведение двух сопряженных чисел являются действительными числами.
-
z = a + b·i и - z = - a - b·i - противоположные;
сумма двух противоположных чисел равна 0 (z + ( - z) = 0)
-
Два комплексных числа z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 - b2·i называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части: z 1= z2, если
Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.
3.2 Действия над комплексными числами.
Над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что i 2= -1.
Сложение и вычитание комплексных чисел.
Сумма комплексных чисел z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 - b2·i равна:
z1 + z 2 = ( а1 + а2) +(b1+ b2) · i
Пример 1
Сложить два комплексных числа z1= 1 +3i, z2=4-5i
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
z1 +z2 =1 +3i +4 -5i =5 -2i
Разность комплексных z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 - b2·i чисел равна:
z1 - z 2 = ( а1 - а2) +(b1 - b2) · i
Пример 2
Найти разности комплексных чисел z1= -2 +i и z2 = 4i -2
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем - стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
z1 - z2 = ( -2 + i) - (4i - 2) = -2 +I - 4i +2 = - 3i
Умножение комплексных чисел
Произведение комплексных чисел z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 - b2·i равно:
z1 · z 2 = ( а1 · а2 - b1 · b2) +( а2 ·b1 +b2 ·а1) · i
Пример 3. Найти произведение комплексных чисел
z1 =1 - i, z2 =3 +6i
z1·z2 =( 1 -i )(3 +6i )=1·3 -i ·3 + 1·6i - i·6i= 3- 3i + 6i +6 = 9 + 3i
Деление комплексных чисел
Частное комплексных чисел z1 = a1 + b1·i и z2 = a2 - b2·i равно:
Пример 4. Пусть z1 =13 + i , z2 = 7 - 6 i
Для нахождения частного сначала числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженное знаменателю, а затем производят остальные действия.
Извлечение корней из комплексных чисел.
Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень - можно! А точнее, два корня:
Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:
Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.
При извлечении квадратных корней из отрицательных чисел получаются два сопряженных комплексных корня.
Например, , , , ,
-
Решение уравнений с комплексной переменной
Сначала я рассмотрел простейшее квадратное уравнение z2 = a, где a - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:
1) имеет один корень z = 0, если a = 0;
2) имеет два действительных корня z1,2 = ±, если a > 0;
3) не имеет действительных корней, если a < 0;
4) на множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень.
Вообще уравнение z2 = a, где a < 0 имеет два комплексных корня: z1,2 =±i.
Используя равенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = i= 2i, = i.
Итак, определен для любого действительного числа a (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение
az2 + bz + c = 0, где a, b, с - действительные числа, a ≠ 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:
z1, 2 =.
Также справедливо утверждение, что любое уравнение степени n имеет ровно n корней, при этом среди них могут быть одинаковые и комплексные.
Невозможно не рассмотреть одну из красивейших формул математики - формулу Кардано для вычисления корней кубического уравнения вида x3 + px + q = 0:
.
Пример 5. Решить квадратное уравнение
Дискриминант:
Д <0, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!
Получаются два корня:
- сопряженные комплексные корни
Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,
И вообще, любое уравнение с многочленом «энной» степени имеет ровно корней, часть из которых может быть комплексными.
-
Понятие о комплексной плоскости.
Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа Буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью.
Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY - чисто мнимые:
Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать размерность, отметить : ноль; единицу по действительной оси; мнимую единицу по мнимой оси.
Пример 6. Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел.
6. Геометрическая форма комплексного числа.
Слово «комплексный» в переводе с латинского означает «составной», «сложный». Несмотря на то, что оперировать с комплексными числами ничуть не сложнее, чем с действительными, до начала девятнадцатого столетия комплексные числа рассматривались как очень сложный, темный, почти мистический объект. С упорством, достойным лучшего применения, велась длительная борьба между сторонниками и противниками «мнимых» чисел. Главное возражение противников заключалось в следующем: выражение вида a + ib лишено смысла, поскольку i не является действительным числом, а значит, и вообще не является числом; поэтому i нельзя умножать на действительное число.
Чтобы поставить теорию комплексных чисел на прочный фундамент, необходима была явная её конструкция, лучше всего - геометрическая. Желание иметь геометрическую реализацию множества комплексных чисел не случайно, если вспомнить, что и множество действительных чисел не отделимо для нас от «действительной прямой» с фиксированной на ней точкой, изображающей 0, и с фиксирующим масштабом, определяемым положением числа 1.
Впервые изображение геометрических действий над комплексными числами было дано датским геодезистом К.Весселем в 1799 году и независимо от него французским математиком Ж.Арганом в 1806 году. Однако общее признание оно получило лишь в тридцатые года восемнадцатого столетия после работ немецкого математика Ф.Гаусса и английского математика У.Гамильтона. Идея геометрической интерпретации комплексных чисел заключается в том, что они изображаются не точками прямой, как действительные числа, а точками плоскости.
Комплексное число z = a + b·i изображается на плоскости с декартовыми прямоугольными координатами точкой, имеющей координаты (а; Ь). Эта
точка обозначается той же буквой z. Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, а чисто - мнимые - точками оси ординат.
Комплексное число изображается также вектором на комплексной плоскости с началом в точке О и концом в точке М.
Сумма комплексных чисел строится по обычному правилу сложения векторов, то есть по правилу параллелограмма
Разность комплексных чисел строится по правилу вычитания векторов:
7.Тригонометрическая форма комплексного числа.
Произвольное комплексное число z = a + bi изображается в виде радиус-вектора на комплексной плоскости. Пусть N - проекция точки M на действительную ось. В прямоугольном треугольнике OMN длины катетов ON и OM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы OM равна. Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего. Следовательно,
a = Re z = | z | ∙ cos φ,
b = Im z = | z | ∙ sin φ,
где φ - - главный аргумент (фаза, амплитуда) комплексного числа z, - < φ < (угол φ между положительной полуосью действительной оси Re z и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке). Тогда комплексное число можно представить в виде:
,
Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Пример 7: Решение:
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку (случай 1), то . Таким образом: - число в тригонометрической форме.
Произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме
Все алгебраические действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме, совершаются по тем же правилам, что и с комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Складывать и вычитать комплексные числа проще и удобнее, когда они заданы в алгебраической форме, а умножать и делить - в тригонометрической форме. Существуют три теоремы.
Теорема1. При умножении любого конечного количества комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Теорема 2. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Теорема 3. Пусть z - комплексное, и n - натуральное число. Во множестве комплексных чисел выражение при z =0 имеет единственное значение равное нулю, а при z0 - n различных значений. Если z = r(cos + i sin), то эти значения находятся по формуле
=(cos + i sin), =0,1,…, n-1.
Пример 8. Найти произведение : ,
8. Возведение комплексных чисел в степень
Возвести в квадрат комплексное число
:
Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такое действие практически невозможно, действительно, как решить пример вроде ?
И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра.
(Абрахам де Муавр (1667 - 1754) - английский математик).
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае получим:
,
где n - целое положительное число.
Пример 7. Дано комплексное число , найти .
Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме.
Тогда, по формуле Муавра:
9. Показательная форма комплексного числа
-формула Эйлера.
Для комплексных чисел , справедливы равенства
;
Для n-ой степени числа z справедливо равенство:
Корень n-ой степени из числа z равен:
Пример: z =8 + 6·i
10. Где применяются комплексные числа?
В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс нашел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно построить правильный n-угольник? Из школьного курса геометрии известно, как циркулем и линейкой построить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный 6-угольник (его сторона равна радиусу описанной около него окружности). Более сложным является построение правильных 5-угольника и 15-угольника. Несмотря на огромные усилия многих замечательных древнегреческих геометров и других ученых, никому не удалось построить ни правильный семиугольник, ни правильный 9-гольник. Не удалось также осуществить построение правильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал возможность построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории математики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников. Гаусс доказал, что правильный N-угольник с нечетным числом сторон (вершин) может быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида Fn = + 1 · При n = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F5 будет составным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невозможно при N = 7, 9, 11, 13. Легко заметить, что задача о построении правильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс пользовался свойствами корней 17-й степени из единицы.
Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практических задач картографии, электротехники, теплопроводности и др. Во многих вопросах, где речь идет, например, об электрическом потенциале в точках пространства, окружающего заряженный конденсатор, или о температуре внутри нагретого тела, о скоростях частиц жидкости или газа в потоке, движущемся в некотором канале и обтекающем при этом некоторые препятствия, и т. п., нужно уметь находить потенциал, температуру, скорости и т. п. Задачи такого рода могут быть решены без особых затруднений в случае, когда встречающиеся в них тела имеют простую форму (например, в виде плоских пластин или круговых цилиндров).
Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847-1921) успешно применял
теорию функций комплексной переменной к решению важных прикладных задач.
Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. В. И. Ленин назвал H. E. Жуковского «отцом русской авиации». В одном из своих выступлений H. E. Жуковский говорил: «...человек не имеет крыльев и по отношению веса своего тела к весу мускулов он в 72 раза слабее птицы; ...он почти и 800 раз тяжелее воздуха, тогда как птица тяжелее воздуха в 200 раз. Но, я думаю, что он полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума. С помощью теории функций комплексной переменной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.
Комплексные числа нужны для выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерных расчетах на практике.
11. Заключение
В общем, я считаю, что цель и задачи ей работы выполнены. Я сам освоил тему. В ходе исследования я изучил много литературы по данной теме. В ходе чтения разных книг я отметил для себя наиболее интересные, простые и красивые факты по этой теме, одновременно стараясь изложить их в своём свете, так, как я считаю наиболее рациональным.
К достоинствам моей работы можно отнести краткость и простоту изложения, объединение знаний о комплексных числах воедино, доступность.
Я считаю моя работа полезным и актуальным для тех учеников, которые хотят узнать больше школьной программы.
В ходе исследования я провёл несколько занятий в своём классе. Но так как в нашем классе кроме меня всего 2 ученика, проследить повышение качества знаний не удалось, так как они занимаются хорошо. Но я рад, что все пожелали продолжение изучения данной темы в 10 классе.
Мои Выводы:
1.Изучены различные литературные источники, подобран материал, дающий наиболее полное представление о комплексных числах, истории их открытия, их роли и значении в различных разделах математики. Определены и рассмотрены арифметические операции, производимые над этими числами, подобраны и решены примеры с использованием комплексных чисел.
2.Оценено значение и роль комплексных чисел при решении ряда математических задач.
3.Если в начале учебного года уровень информированности и знаний среди учащихся 9- х классов о комплексных числах можно оценить как низкий, то к концу учебного года зафиксировано повышение интереса в изучении математики, расширение кругозора, успешное решение многих задач повышенного уровня сложности.
12. Список литературы
1. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.
2. М. Я. Выгодский; Справочник по элементарной математике. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.
3. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. 11 кл. М.: Мнемозина, 2004.
4. А.Г. Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10 кл. М.: Мнемозина, 2006.
5 . История математики в школе под редакцией Г. И. Глейзер. - Москва-1983.
6.. Избранные вопросы математики под редакцией И. Н. Антипова. - Москва-1979.
7. За страницами учебника математики под редакцией Н. Я. Виленкина. - Москва-1996.
8. Н.Б. Алфутова. Алгебра и теория чисел. М.: МЦНМО, 2005.
Тест по теме « Комплексные числа»
-
Сколько форм записи имеет комплексное число?
а) 1 б) 2 в) 3 г) 4
-
Что представляет собой число i?
а)число, квадрат которого равен 1
б) число, квадрат которого равен - 1
в) число, квадратный корень из которого равен - 1
г) число, квадратный корень из которого равен 1
-
Формулу Муавра можно применять, если комплексное число записано:
а) в показательной форме б) наглядной форме
в) тригонометрической форме г) алгебраической форме
-
Формулу можно Эйлера применять, если комплексное число записано:
а) в показательной форме б) наглядной форме
в) тригонометрической форме г) алгебраической форме
-
Как на числовой плоскости изображается комплексное число?
а)в виде отрезка б) точкой или радиус-вектором
в)плоской геометрической фигурой в) в виде круга
-
Выбрать из данных чисел чисто мнимое:
а) z =3 +6i б) z2 =6i в)z2 =31 г) z2 =0
-
Вычислить сумму чисел z1 =7 +2i и z2 =3 +7 i
а) z =10 +9i б) z =4-5i в) z =10 -5i г)z =4 +5i
8. Представить комплексное число z =3 +4i в тригонометрической форме
а) это радиус-вектор б) z =5(0,6 +0,8i)
в) z =3 -4i г) это точка на координатной плоскости
9. В какое множество входят числа 5; 3; -6i;2,7; 2 i ?
а) действительные числа б) рациональные числа
в) комплексные числа г) иррациональные числа
10. Кто ввёл название « мнимые числа»?
а) Декарт б) Арган
в) Эйлер г) Кардано