Исследовательская работа Геометрия чисел

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение гимназия №13

Исследовательская работа

Геометрия чисел

Работу подготовила

Самсонова Алиса 8 «А» класс

Руководитель Федорова Е.М.

Нижний Новгород

2015 год

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..4

1. Фигурные числа………………………………..................................................5

1.1. Определение……………………………………………………………....5

1.2. Исторические сведения………………………………………………......5

2. Виды фигурных чисел………………………………………………………....7

2.1. Линейные числа…………………………………………………………..7

2.2. Плоские числа…………………………………………………………….7

2.2.1. Многоугольные числа правильных многоугольников…………....8

2.2.1.1. Треугольные числа…………………………………………......8

2.2.1.2. Квадратные числа ……………………………………………...9

2.2.1.3. Пятиугольные числа…………………………………………..10

2.2.1.4. Общий случай…………………………………………………10

2.2.2. Многоугольные числа неправильных многоугольников………...11

2.2.2.1. Прямоугольные числа………………………………………...11

2.2.3. Центрированные многоугольные числа…………………………..12

2.2.3.1. Центрированные полигональные числа……………………..12

2.2.3.2. Частные случаи центрированных полигональных чисел…..13

2.2.3.2.1. Центрированное треугольное число…………………....13

2.2.3.2.2. Центрированное квадратное число……………………..14

2.2.3.2.3. Центрированное пятиугольное число…………………..15

2.2.3.2.4. Общий случай…………………………………………....15

2.3 Телесные числа…………………………………………………………...15

2.3.1 Пирамидные числа………………………………………………….16

2.3.1.1 Треугольные пирамиды ……………………………………....16

2.3.1.2 Четырехугольные пирамиды……………………………….....16

2.3.2 Кубические числа…………………………………………………...17

3. Решение задач………………………………………………………………..18

4. Применение фигурных чисел в жизни человека…………………………..20

Заключение……………………………………………………………………...22

Список литературы……………………………………………………………..23

Приложение……………………………………………………………………..25

ВВЕДЕНИЕ

Число - важнейшее математическое понятие. Но в древности числа воспринимались как материальные формы многочисленных фигур. Выкладывая различные правильные многоугольники, мы получаем разные классы многоугольных чисел. Именно поэтому я назвала свою работу « Геометрия чисел».

Главной задачей исследования является сравнение источников и расширение круга знаний по теории этих чисел.

Нам предстоит изучить роль числа в древности, показать связь теории чисел с жизнью, потому что человечество только тогда вступило на путь истинного знания, когда во все свои рассуждения ввело понятие о счете, мере и порядке, т.е. понятие о числе.

«Все есть число.» Пифагор

ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА

Определение

Фигу́рные чи́сла - общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб».

Из истории фигурных чисел

Историческое понятие фигурных чисел восходит , как уже было упомянуто, к пифагорейцам. Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке (рис.1)

По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями".

Числа камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен (276 год до н. э.-194 год до н. э.) (рис.2), Гипсикл (1707 - 1783) (рис.3), Диофант Александрийский (200-284) (рис. 4) и другие. Последний написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

«Очевидный» - самое опасное слово в математике.

ВИДЫ ФИГУРНЫХ ЧИСЕЛ

Надо отметить, что фигурные числа пифагорейцами классифицировались на:

1) линейные числа

2) плоские числа

3) телесные числа.

Линейные числа (т.е. простые)

К линейным числам относятся простые числа, которые нельзя было разложить на множители. Например, число 5 является простым, следовательно, и линейным (1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,...):

Простые числа - это такие числа, которые делятся только на единицу и

самих себя, причем 1 не является простым числом.

Эти числа изображались в виде точек, расположенных на одной прямой.

(линейное число 5)

Плоские числа

Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (4,6,8,9,10,12,14,15,...):

( плоское число 6)

Плоские числа в свою очередь делятся на:

• Многоугольные числа правильных многоугольников

• Многоугольные числа неправильных многоугольников

• Центрированные многоугольные числа

Многоугольные числа правильных многоугольников

Многоугольные числа правильных многоугольников также делятся на:

• треугольные числа

• квадратные числа

• пятиугольные числа

• многоугольные числа

Треугольные числа

Формула для вычисления треугольного числа:

,

Числа, которые показывают, сколько кругов (камней) содержится в треугольниках, называются треугольными: 1, 3, 6, 10…

Каждое следующее треугольное число, начиная со второго, получается, если к предыдущему треугольному числу прибавить его порядковый номер:

1+ 2 = 3; 3 + 3 = 6; 6 + 4 = 10; 10 + 5 = 15; 15 + 6 = 21; 21 + 7 = 28

Интересные факты:

• Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).
• Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

• Всякое натуральное число - либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;

(треугольные числа 3,6,10)

Квадратные числа

Формула для вычисления квадратного числа:

Такие числа, которые получаются при выкладывании из камушков квадраты. Некоторые из них: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и т. д.

Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами.

Интересный факт:

• Всякое натуральное число - либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел;

(квадратные числа 4,9,16)

Пятиугольные числа

Формула для вычисления пятиугольного числа:

Рассмотрим последовательность правильных пятиугольников. Подсчитывая количество точек в каждом из пятиугольников, получим последовательность пятиугольных чисел 1, 5, 12, 22…

( пятиугольные числа 5,12)

Общий случай

Можно также рассматривать шестиугольные, семиугольные (многоугольные) числа. Они получаются по такому же принципу.

Последовательность k-угольных чисел имеет вид:

Эквивалентный формат представления n-го элемента:

Многоугольные числа неправильных многоугольников

Прямоугольные числа

Прямоугольное число - это число, являющееся произведением двух последовательных целых чисел, то есть, n (n + 1) или . n-ое прямоугольное число - это удвоенное n-ое треугольное число и на n больше n-ого квадратного числа.

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462 …, , ...

Все прямоугольные числа четны.

(прямоугольные числа 2 и 6)

Центрированные многоугольные числа

Центрированные полигональные числа

Центрированные полигональные числа - это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на одну точку больше чем предыдущий, так что начиная со второго слоя каждый слой k-угольного числа содержит на k больше точек, чем предыдущий. Каждая последовательность может быть представлена как треугольное число, умноженное на константу плюс 1. Так, например, центрированные квадратные числа - это учетверённые треугольные числа плюс 1.

n-ое центрированное k-угольного число может быть получена размещением k копий (n−1)-х треугольных чисел вокруг центральной точки; поэтому, n-ое центрированное k-угольного числа может быть выражено как

Так же как и в случае обычных фигурных чисел, первое центрированное k-угольного число есть 1. Поэтому, для любого k, 1 является как k-угольным числом, так и центрированным k-угольным. Следующее число, являющееся как k-угольным, так и центрированным k-угольным, может быть найдено по формуле:

Частные случаи центрированных полигональных чисел

Центрированное треугольное число

Центрированное треугольное число -это центрированное полигональное число, которое представляет треугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на треугольных слоях.( 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971, …) Центрированное треугольное число для n задается формулой

Следующая диаграмма показывает построение центрированных треугольных чисел: каждый предыдущий слой, показанный красным, окружается слоем новых точек, показанных синим.

Каждое центрированное треугольное число, начиная с 10, является суммой трех последовательных треугольных чисел. Также, каждое центрированное треугольное число при делении на 3 дает остаток 1 и частное (если оно положительно), есть предыдущее треугольное число.

Центрированное квадратное число

Центрированное квадратное число -это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на квадратных слоях.

Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного расстояния в кварталах от центральной точки на квадратной решетке. Центрированные квадратные числа, как и фигурные числа, имеют мало практических приложений, если вообще имеют, но они изучаются в занимательной математике за элегантные геометрические и арифметические свойства.

n-ое центрированное квадратное число задается формулой

Другими словами, центрированное квадратное число - это сумма двух последовательных квадратов. Следующие диаграммы демонстрируют формулу:

Центрированное пятиугольное число

Центрированное пятиугольное число - это центрированное фигурное число, которое представляет пятиугольник, который содержит точку в центре и все точки, окружающие центр, лежат в пятиугольных слоях. Центрированное пятиугольное число для n задается формулой

Общий случай

Можно также рассматривать шестиугольные, семиугольные и т.п. центрированные числа. Они получаются по такому же принципу.

Телесные числа

Они состоят из трех сомножителей. Составляя последовательные суммы из плоских фигурных чисел, получим телесные фигурные числа, их иногда называют пространственными. Телесные числа так же подразделяются на:

• пирамидальные числа

• кубические числа

Пирамидные числа (Трёхмерные правильные фигурные числа)

Треугольные пирамиды (тетраэдрические числа)

Формула для вычисления тетраэдрических чисел:

Правильные треугольные пирамиды, все грани и основание которых, имеют вид равносторонних треугольников (такие пирамиды называются тетраэдрами), порождают так называемые тетраэдрические числа. Последовательность этих чисел выглядит так: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84,…

(Треугольные пирамидные числа 1, 4 и 10)

Четырехугольные пирамиды

Формула для вычисления чисел четырехугольных пирамид:

Четырехугольные пирамиды с квадратом в основании и боковыми гранями в форме равносторонних треугольников (т.е. половинки правильного октаэдра) порождают четырехугольные пирамидальные числа: 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, …

Подобно тому, как квадрат можно разрезать вдоль прямой на два последовательных треугольника, четырехугольную пирамиду можно рассечь плоскость на два последовательных тетраэдра.

(четырехугольные числа 1, 5 и 14)

Кубические числа

Их можно записать в таком виде: Именно про эти числа говорят «два в кубе», «три в кубе», «четыре в кубе», «пять в кубе» и т.д. (1, 8, 27, 64, 125,…) (кубические числа 1,8,)

«Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.» Д. Пойа

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Задача №1.

Найдите произведение линейных чисел и изобразите их:

а) 3 и 2, 2 и 3

Решение:

а) Результатом этих линейных чисел будет прямоугольное число, в котором 3 строки и 2 столбца.

6

Ответом будет прямоугольное число 6. Решим по аналогии другой пример

6

Мы опять получили прямоугольное число 6. Можно сделать вывод, что

6 = 6

Легко " увидеть" переместительный закон умножения:

Задача № 2.

Найдите сумму двух треугольных чисел

П3(7) П3(6)

Решение:

Так как и последовательные треугольные числа, то решением должно быть квадратное число 7-го порядка, т.е.

Задача № 3.

Покажите, чему равен квадрат суммы двух чисел?

Решение:

Приложим углом друг к другу квадраты , и добавим два прямоугольника и (изображены черными цветами).

Мы получили квадратное число пятого порядка.

ПРИМЕНЕНИЕ ФИГУРНЫХ ЧИСЕЛ В ЖИЗНИ ЧЕЛОВЕКА

Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.

• При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей - длины и ширины.

• При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей - длины, ширины и высоты.

• Упаковка конфет в форме линейного числа

• На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Рис. 5)

• Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа. (Рис. 6)

• Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах (Рис.7)

Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

• Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости. (Рис. 8)

• Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (Рис. 9)

• К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки. (Рис. 10)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Фигурные числа - числа, связанные с геометрическими построениями определенного типа. Существует множество разных групп и подгрупп фигурных чисел. Чаще всего рассматриваются многоугольные числа.

В процессе работы по данной теме я добилась поставленной цели: изучила теорию фигурных чисел, их историю. Научилась применять полученные знания при решении задач.

Но я считаю, что работу можно еще продолжить, т.к. существует множество других видов фигурных чисел.

Я пришла к выводу об актуальности данной темы: невозможно представить жизнь без фигурных чисел. Они вокруг нас, мы живем среди них.

«Окружающий нас мир - это мир геометрии.» Александр Данилович Александров

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В. Боро, Ю. Цагир и др. Живые числа пять экскурсий. Пер. с. нем. - М.: Мир, 1985 128 с.

2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. Пер. с англ. Данилова. М., "Оникс", 1994. 509 с. с илл.

3. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. - 5-е изд. - М.: Наука 1986.

4. Депман И. Я., Виленкин И. Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5 -6 кл. сред. шк. - М :Просвещение, 1989. - 287 с.: ил.

5. Н.Я.Виленкин, А.С.Чесноков, С.И.Шварцбурд, В.И.Жохов Математика, учебник 6 класса, задача № 249, 255 стр.

6. Л.Ф. Пичурин. За страницами учебника алгебры.. - М :Просвещение, 1990. - 211 с. ил.

7. Кордемский Б. А., Великие жизни математики. Москва, Просвещение 1995

8. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел. - М.: Просвещение, 1986.

9. Математический большой энциклопедический словарь/ Гл. ред. Ю.В.Прохоров. М.: Большая Советская энциклопедия, 1988. - 845 стр.

10. Фридман Л.М. Изучаем математику. Москва, Просвещение 1995 254 стр.

11. miloqija2077.ru/ierarch2.htm

12. dss.qiqabyter.ru

13. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции.

14. Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6.

15. Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова

16. Энзенбергер Х.М. Дух числа. Математические приключения. Харьков. 2005

17. numbers.kalan.cc/figured.php

18. kl10sch55.narod.ru/kl/fig.htm

19. ru.wikipedia.org/wiki/Фигурные_числа

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рис.1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис.9

Рис. 10

Рис. 11

30