Методические рекомендации для обучающихся по выполнению практических занятий по учебной дисциплине ЕН. 03 Теория вероятностей и математическая статистика

Рабочая программа

Методические рекомендации для обучающихся

по выполнению практических занятий

по учебной дисциплине

ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика

по специальности СПО

230115 Программирование в компьютерных системах

(углубленной подготовки)

2013г.

Разделы содержания

С.

Введение

Методические рекомендации для обучающихся по выполнению практических занятий по дисциплине составлены в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом, рабочим учебным планом, рабочей программой и календарно-тематическим планом учебной дисциплины ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика

по специальности среднего профессионального образования 230115 Программирование в компьютерных системах (углубленной подготовки).

Практические занятия относятся к основным видам учебных занятий и составляют важную часть практической подготовки будущих специалистов.

Ведущей дидактической целью предлагаемых практических заня­тий является закрепление теоретических знаний по дисциплине, формирование практических умений, способствующих формированию общих и профессиональных компетенций, необходимых в последующей профессиональной деятельности.

В соответствии с ведущей дидактической целью содержанием практических занятий являются: решение математических задач, анализ полученного решения, сравнения методов решения, определение границ их применения, работа с Интернет-ресурсами, составление простейших программ с использованием ПК, проведение простейших исследовательских работ.

Задачами выполнения практических занятий являются:

- обобщение, систематизация, углубление, закрепление полученных теоретических знаний по конкретным темам дисциплины;

- формирование умений применять полученные знания на практике, реализацию единства интеллектуальной и практической деятельности;

- развитие интеллектуальных умений у будущих специалистов: аналитических, проектировочных, конструктивных и др.;

- совершенствование умений и навыков самостоятельной работы с научной, справочной, методической литературой, Интернет-ресурсами и другой информацией, необходимой для повышения эффективности профессиональной деятельности, профессионального самообразования и саморазвития;

- формирование творческого подхода к составлению алгоритмов решения математических задач;

- формирование у студентов навыков исследовательской деятельности;

- выработка при решении поставленных задач таких профессионально значимых качеств, как самостоятельность, коммуникабельность, мобильность, конкурентоспособность, ответственность, точность, творческая инициатива.

В методических рекомендациях представлены 17 тем практических занятий, которые включают цели, средства обучения, содержание, алгоритм выполнения, методические указания к их выполнению, контрольные вопросы, список рекомендуемой литературы, критерии оценивания работы студентов на практических занятиях, контроль и оценка результатов выполнения практических занятий по дисциплине.

Предлагаемые практические занятия носят репродуктивный, частично-поисковый и поисковый характер. Формами организации студентов на практических занятиях являются: фронтальная, групповая и индивидуальная.

При самостоятельной подготовке студентов к практическим занятиям предусматривается изучение рекомендуемой литературы.

В ходе практических занятий студенты в тетрадях для выполнения практических работ записывают задания, решают предложенные задания и проводят анализ их решения. Отдельные задания выполняются на ПК, отчеты предоставляются в электронном виде.

Общие методические указания по выполнению практических занятий

При самостоятельной подготовке к практическим занятиям необходимо составить план работы, повторить лекционный материал, при необходимости подобрать дополнительную литературу.

Для практических занятий студенту необходимо завести тетрадь, где на первой странице указываются фамилия, инициалы студента, название изучаемой дисциплины, на второй указывается перечень выполняемых заданий. Оформлять выполненные задания следует аккуратно, не нарушая логики решения задания.

В ходе практических занятий студенты в тетрадях для выполнения практических работ записывают задания, выполняют их в соответствии с целями, предложенными алгоритмом и критериями, заносят данные о выполнении, результаты выполненной работы и их анализ.

При подготовке к выступлению на практических занятиях необходимо заблаговременно продумать возможность использования наглядного материала (схем, плана, видеозаписи, конспектов, презентации и др.), который поможет студенту проиллюстрировать свой доклад.

Оценки за выполнение практических занятий выставляются по пятибалльной системе и учитываются как показатели текущей успеваемости студентов.

Правила подготовки к практическим занятиям

При подготовке к практическим занятиям студент должен:

• повторить теоретический материал по теме практического занятия;

• уметь составлять план решения задачи, анализировать процесс решения;

• уметь делать выводы, умозаключения, оформлять результаты работы в соответствии с требованиями.

Требования к результатам выполнения практических занятий

по дисциплине ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика

В процессе подготовки и выполнения практических занятий, обучающиеся должны овладеть следующими умениями:

• применять стандартные методы и модели к решению вероятностных и статистических задач;

• пользоваться расчетными формулами и таблицами, графиками при решении статистических задач;

• применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа.

знаниями:

• основные понятия комбинаторики;

• основы теории вероятностей и математической статистики;

• основные понятия теории графов.

Перечень практических занятий

Таблица 2

Практическое занятие № 1

Тема: Решение задач на расчет количества выборок

Цель: Научиться вычислять вероятности случайных событий

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Законспектируйте методику решения типовых задач.

3. Рассмотрите примеры решения типовых задач.

4. Решите задачи.

Контрольные вопросы:

1. Понятие вероятности случайного события.

2. Понятия перестановки, размещения, сочетания.

Вероятность случайных событий. Непосредственный подсчет вероятности.

Под вероятностью случайного события понимается число, характеризующее степень возможности появления события. При этом вероятность невозможного события принимается равной нулю, а вероятность достоверного события равной единице. Этим ограничивается диапазон изменения вероятности случайного события:

.

Классическое определение вероятности основано на представлении случайного события как результата (исхода) некоторого воображаемого или фактического опыта (испытания), повторяющегося любое число раз. Эта теоретическая модель лежит в основе непосредственного подсчета вероятности случайного события.

Вероятностью случайного события называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов , образующих полную группу:

. (1)

Для определения количества исходов и часто приходится использовать формулы комбинаторики. Комбинаторика изучает количество комбинаций из элементов определенной природы заданного конечного множества.

Перестановки - комбинации из одних и тех же элементов, которые различаются только порядком их расположения. Число перестановок определяется по формуле:

, (2)

где - количество элементов в комбинации.

Например: Сколькими способами можно распределить 5 объектов работы между 5 бригадами электромонтажников?

.

Размещения - комбинации из различных элементов по элементов, отличающихся либо составом, либо порядком. Число размещений из по определяется как:

. (3)

Например: Имеется 10 электродвигателей, из которых 3 одного типа. Сколькими способами их можно расположить в один ряд?

.

Сочетания - комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые различаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний определяется по формуле:

. (4)

Например: Сколькими способами можно составить бригаду в составе 3 человек, выбирая их из 8 электриков?

.

Правило суммы: Если объект выбран способами, а объект - способами, то выбор либо , либо можетбыть осуществлен способами.

Правило произведения: Если объект выбран способами, а после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара может быть выбрана способами.

Методика решения типовых задач

Классические задачи ТВ исторически связаны с теорией азартных игр. Однако, представленные математические модели могут быть использованы также при решении ряда технических задач.

Методика решения задач на непосредственный подсчет вероятности случайного события сводится к следующему:

1. Определение общего числа возможных исходов ;

2. Анализ и расчет количества исходов, благоприятствующих случайному событию, т.е. таких, в которых данное событие обязательно произойдет;

3. Определение искомой вероятности события по выражению (1).

Рассмотрим решение ряда типовых задач по данному разделу:

I тип задач. Условие задачи: Пусть имеется урна, в которой - белых шаров и - черных. Из урны наугад выбирается 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

Решение

.

В данном случае все исходы опыта, связанного со случайным выбором шара из урны, являются равновозможными и несовместными, т.е, опыт сводится к «схеме урн». Поэтому вероятность достать случайным образом белый шар вторым или последним из урны также равна .

II тип задач Условие задачи: В коробке 30 электроламп, причем 12 из них рассчитаны на напряжение 220 В, а остальные - на напряжение 36 В. Какова вероятность того, что из 4 наугад взятых одновременно электроламп все окажутся или с напряжением 220 В, или с напряжением 36 В?

Решение

Введем обозначения:

- событие, состоящее в том, что из 4 электроламп все с напряжением 220 В;

- из 4 электроламп все с напряжением 36 В;

- появление событий либо либо .

а) Общее число исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать 4 электролампы из 30.

.

б) Число исходов, благоприятствующих событию , ,

Число исходов, благоприятствующих событию , .

с) .

.

Вероятность события, состоящего в появлении либо события , либо события , определим с использованием правила суммы

.

Условие задачи: Студент купил карточку Спортлото и отметил в ней последова­тельно шесть первых номеров. Определить вероятность того, что при тираже 6 из 49 в числе выигравших шаров окажется шар под № 1.

Решение

а) Общее число исходов .

б) Число исходов, благоприятствующих событию, определяется числом возможных комбинаций из 6 номеров, обязательно включавших № 1. Для определения числа комбинаций удобно использовать схематическое представление:

К

ак видно, зависит от возможных комбинаций из 5 шаров (с другими номерами, отличными от № 1) из 48 таких шаров.

.

.

с) .

III тип задач Условие задачи: На полке находится 10 амперметров, из которых 6 исправных. Найти вероятность того, что среди 4, наудачу отобранных амперметров, 2 исправных.

Решение

От задач II типа данный тип задач отличает неоднородность состава комбинаций, соответствующих благоприятным исходам случайного события. Для решения удобно представить условие задачи схематически:

а) Общее число исходов .

б) определяется на основе правила произведения, поскольку выбор 4 амперметров осуществляется одновременно:

.

с) .

Решите задачи:

Задача 1. Брошена игральная кость. Найти вероятность выпадения четного числа очков.

Задача 2. Участники жеребьевки тянут из урны жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу вытащенного жетона будет содержать цифру 5.

Задача 3. В пяти мешочках находятся 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному из каждого мешочка кубиках и расположенных в одну линию можно будет прочесть слово «спорт».

Задача 4. На каждой из шести одинаковых карточек написаны одна из букв: А,Т, М, Р,С,О. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной и расположенных в одну линию карточек можно будет прочесть слово «трос».

Задача 5. Куб, все грани которого окрашены, распилили на тысячу кубиков, которые затем тщательно перемешали. Найти вероятность того, что наудачу вытащенный кубик будет иметь одну окрашенную грань, две и три.

Задача 6. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую наудачу извлеченную кость можно приставить к первой, если первая кость оказалась: а) дублем, б) не дублем.

Задача 7. Восемь различных книг наудачу расставляются на полке. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся стоящими рядом.

Домашнее задание:

Решите задачи:

1. В лотерее разыгрываются 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Число лотерейных билетов равно 10000 штук. Чему равна вероятность выигрыша?

2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0.1; 8 очков и меньше - 0.6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не меньше 9 очков.

3. В партии из 10 деталей - 8 штук стандартных. Найти вероятность того, что среди двух наудачу извлеченных деталей хотя бы одна будет стандартной.

4. В партии из 10 деталей оказалось 8 стандартных. Наудачу отобрали две. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется:

1. не более одной стандартной,

б) хотя бы одна стандартная,

в) только одна стандартная.

5. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,9. Произведено 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела попали в цель.

6. В студии находится три телекамеры. Вероятность включения каждой камеры равна 0.6. Найти вероятность того, что в данный момент хотя бы одна камера будет включена.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1)выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 2

Тема: Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности

Цель: Научиться вычислять вероятности случайных событий по классической формуле определения вероятностей

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Решите задачи.

Контрольные вопросы:

1. Понятие вероятности случайного события, перестановки, размещения, сочетания.

2. Правила суммы и произведения случайных событий.

Непосредственный подсчет вероятности случайного события удобно использовать только при анализе простейших случайных явлений, когда по условию задачи известны все количественные показатели по исследуемому объекту или их легко можно вычислить. Это позволяет по формулам комбинаторики подсчитать количество исходов и . Однако на практике приходится сталкиваться со случайными событиями, которые формируются за счет сочетания целого ряда случайных факторов. Например, вероятность выхода из строя любого технического устройства зависит от вероятности работоспособности каждого из его элементов, а также от способа их соединения. Для определения вероятности таких случайных событий используются косвенные методы, позволяющие по известным вероятностям одних событий находить вероятности связанных с ними событий.

Прежде всего необходимо проанализировать случайное событие и определить образуется ли оно как сумма элементарных событий или как их произведение.

Для этого введем два базовых понятия алгебры событий.

Суммой нескольких случайных событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Так для суммы трех случайных событий , , произойдет либо , либо , либо , либо сочетания , , , . Например, аварийное повреждение блока электрической системы генератор-трансформатор-линия электропередач представляет собой сумму элементарных событий: либо повреждение генератора, либо повреждение трансформатора, либо линии электропередач, либо всевозможные совместные повреждения.

Произведением нескольких случайных событий называется событие, состоящее в одновременном появлении этих событий. Например, безотказная работа блока генератор-трансформатор-линия электропередач возможна только при одновременной безотказной работе всех трех элементов блока.

Расчет вероятности сложного события производится на основе теорем о сумме и произведении случайных событий.

При выборе расчетных формул необходимо учитывать два существенных момента:

а) Определение вероятности суммы случайных событий зависит от того, совместны или несовместны эти события.

Пусть случайные события , - несовместны, тогда вероятность суммы двух событий равна

.

Если , - совместные события, тогда вероятность суммы двух событий равна

,

для трех совместных событий ,, вычисление вероятности суммы производится по формуле

б) Для определения вероятности произведения случайных событий необходимо проанализировать зависимы они или независимы.

При вычислении вероятности произведения событий используется понятие условной вероятности.

Под условной вероятностью некоторого случайного события , связанного с событием , понимается вероятность появления события при условии, что событие уже произошло.

Если случайные события , - независимы, то вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей этих событий

.

Если случайные события зависимы, то вероятность произведения двух событий вычисляется с учетом условной вероятности

При решении задач часто находит применение следствие из теоремы о сумме вероятностей.

Сумма вероятностей для событий, образующих полную группу , равна единице

.

В частности, для противоположных событий:

.

Решите задачи:

Задача 1. В лотерее разыгрываются 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Число лотерейных билетов равно 10000 штук. Чему равна вероятность выигрыша?

Задача 2. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0.1; 8 очков и меньше - 0.6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не меньше 9 очков.

Задача 3. В партии из 10 деталей - 8 штук стандартных. Найти вероятность того, что среди двух наудачу извлеченных деталей хотя бы одна будет стандартной.

Задача 4. В партии из 10 деталей оказалось 8 стандартных. Наудачу отобрали две. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей окажется:

2. не более одной стандартной,

б) хотя бы одна стандартная,

в) только одна стандартная.

Задача 5. В урне находятся 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в извлечении наугад одного шара, причем он не возвращается обратно в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором - черный, а при третьем - синий.

Задача 6. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,9. Произведено 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела попали в цель.

Задача 7. Брошены монета и кость. Найти вероятность того, что одновременно на монете появится "орел", а на кости "6".

Задача 8. В студии находится три телекамеры. Вероятность включения каждой камеры равна 0.6. Найти вероятность того, что в данный момент хотя бы одна камера будет включена.

Задача 9. Из ряда цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех - другая. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра:

а) только в первый раз;

б) только во второй раз;

в) в первый и во второй.

Задача 10. Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0.75. Найти вероятность появления события А в одном испытаний.

Домашнее задание:

1. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень, равна 0,9. Произведено 3 выстрела. Найти вероятность того, что все 3 выстрела попали в цель.

2. Вероятность поражения цели при одном выстреле первым стрелком равна 0.8, а вторым - 0.6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком (первым или вторым).

3. Осуществляется проверка изделий на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0,1. Найти вероятность того, что:

а) из трех проверенных деталей только одна окажется нестандартной;

б) нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 3

Тема: Вычисление вероятностей сложных событий

Цель: Научиться вычислять вероятности сложных событий.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Законспектируйте решение типовых задач.

3. Решите задачи.

Контрольные вопросы:

1. Понятие условной вероятности.

2. Формула полной вероятности.

3. От чего зависит количество гипотез появления некоторого случайного события А..

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности применяется при следующей постановке задачи.

Пусть производится анализ некоторого случайного события . По поводу возможности появления данного события могут быть высказаны некоторые гипотезы , , …, , которые охватывают все возможные условия появления события и образуют полную группу событий.

Из условия задачи известны или могут быть определены вероятности всех возможных гипотез , , …, , а также условные вероятности появления при каждой из гипотез , , …, . Определить вероятность появления случайного события .

Вероятность события при такой постановке задачи может быть найдена по формуле полной вероятности.

где … - гипотезы, которые образуют полную группу событий;

.

Решение типовых задач

I тип задач. Условие задачи: Функционирование электрической системы обеспечивает 100%-ное электроснабжение потребителей в трех режимах, различающихся по конфигурации и пропускной способности электрической сети. В каждом из этих режимов сеть может находиться с вероятностью 0,3; 0,5; 0,2 соответственно. Безаварийная работа системы в каждом режиме возможна с вероятностями 0,9; 0,75; 0,8. Определить вероятность 100% электроснабжения потребителей. Найти вероятность нарушения электроснабжения.

Решение

а) Введем обозначение событий и гипотез.

Исследуемое событие:

- обеспечение 100%-ного электроснабжения;

- нарушение электроснабжения.

Гипотезы

Вероятности

гипотез

Условные вероятности

- работа сети в первом режиме;

;

;

- работа сети во втором режиме;

;

- работа сети в третьем режиме.

;

.

б) По формуле полной вероятности найдем вероятность 100% электроснабжения потребителей

Определим вероятность нарушения электроснабжения по формуле

II тип задач. Условие задачи: В группе 10 студентов, пришедших на экзамен. Экзаменационные билеты включают 20 вопросов. Три студента подготовлены отлично - знают все 20 вопросов билетов; 4 студента подготовлены хорошо - знают 16 вопросов из 20; 2 студента подготовлены удовлетворительно - знают 10 вопросов из 20; 1 студент подготовлен плохо - знает 5 вопросов из 20. Вызванный студент ответил на все три вопроса билета.

Решение

а) Введем обозначения гипотез и событий.

- правильный ответ студента на все три вопроса билета;

Гипотезы

Вероятности

гипотез

Условные вероятности

- подготовлен отлично;

;

?

- подготовлен хорошо;

;

?

- подготовлен удовлетворительно;

;

?

- подготовлен плохо.

.

?

б) Для определения условных вероятностей можно использовать два подхода.

Подход 1. Непосредственный подсчет вероятностей на основе формул комбинаторики по аналогии с задачами раздела 1.1.3.

С помощью приведенных схем находим условные вероятности:

Подход 2. Применение теоремы произведения вероятностей зависимых событий.

Поскольку студент должен ответить на три вопроса билета одновременно, необходимо определить вероятность произведения трех зависимых событий:

- ответ на первый вопрос билета;

- ответ на второй вопрос билета;

- ответ на третий вопрос билета.

Если студент подготовлен отлично, то правильный ответ на три вопроса билета есть событие достоверное, т.е.

Для определения условных вероятностей правильного ответа на три вопроса билета при гипотезах , , используем выражение

Если студент подготовлен хорошо, то

Если студент подготовлен посредственно, то

Если студент подготовлен плохо, то

Как видно, второй подход предпочтительнее, так как позволяет уменьшить объем вычислений.

с) Далее по формуле полной вероятности находим вероятность правильного ответа на три вопроса билета до испытания:

Решите задачи

Задача 1. В группе 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы следующая: 0,9 для лыжника, 0,8 для велосипедиста, 0,75 для бегуна. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норматив.

Задача 2. В первом ящике находится 20 деталей (из них 15 - стандартных), во втором - 30 деталей (24 стандартных), в третьем - 10 деталей (6 стандартных). Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу выбранного ящика будет стандартной.

Задача 3. Имеется четыре кинескопа. Вероятности того, что кинескопы выдержат гарантийный срок. равны: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.

Задача 4. Из полного набора костей домино наудачу извлечена кость. Найти вероятность того, что вторую вытащенную наудачу кость можно будет приставить к первой.

Задача 5. В ящике содержится три детали. В него положена еще одна, причем стандартная. Определить вероятность извлечения из ящика стандартной детали, если все рассматриваемые варианты равновероятны.

Домашнее задание:

Решите задачи:

1. Вероятность срабатывания сигнализатора С1 равна 0,8, а сигнализатора С2 - 0,9. Вероятность приобретения С1 равна 0,6, а С2 - 0,4. Получен сигнал о неисправности сигнализатора. Что вероятнее: на объекте стоит сигнализатор С1 или С2?

2. Для участия в студенческих отборочных соревнованиях из первой группы выделено 4 человека, из второй - 6, из третьей -5. Вероятность того, что студенты первой, второй и третьей группы попадут в сборную команду института, равны соответственно: 0,9; 0,7; 0,8. К какой из групп вероятнее всего будет принадлежать произвольно выбранный из сборной команды студент?

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 4

Тема: Вычисление вероятностей событий в схеме Бернулли

Цель: Научиться вычислять вероятности случайных событий в схеме Бернулли

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Законспектируйте решение типовой задачи.

3. Решите задачи.

Контрольные вопросы:

1. В каких случаях применима формула Бернулли?

2. Когда удобнее применить формулу Пуассона?

Формула Бернулли

Применение формулы Бернулли возможно при следующей постановке задачи.

Пусть проводятся независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться некоторое событие . Известно, что вероятность появления в одном испытании равна , а вероятность непоявления соответственно . Необходимо определить вероятность того, что событие произойдет ровно в испытаниях из .

Формула Бернулли позволяет найти вероятность того, что событие произойдет ровно в испытаниях из .

, (0)

где - количество сочетаний из по .

Если количество испытаний достаточно велико ( и выше), а вероятность появления в одном испытании мала ( и ниже), то применение формулы Бернулли связано со сложностями вычислительного характера. В этом случае удобнее применить формулу Пуассона, которая дает возможность более просто получить аналогичные результаты:

, (1)

где .

Применяя выражения (0) и (1), можно найти вероятности более сложных событий:

а) появление события менее раз в испытаниях

; (2)

б) появление события более раз в испытаниях

; (3)

в) появление события не менее раз в испытаниях

; (4)

г) появление события не более раз в испытаниях

. (5)

Решение типовых задач

I тип задач. Условие задачи: Система электроснабжения завода включает восемь однотипных агрегатов, каждый из которых находится в рабочем состоянии с вероятностью 0,9. Определить вероятность того, что:

1. все агрегаты находятся в рабочем состоянии;

2. вышло из строя менее 3 агрегатов;

3. в рабочем состоянии находятся не более 6 агрегатов;

4. вышло из строя не менее 2 агрегатов.

Решение

1) - все агрегаты находятся в рабочем состоянии

;

; ;

.

Аналогичный результат можно получить, решая эту задачу от обратного, т.е. - ни один агрегат не вышел из строя

;

; ;

.

Следует обратить внимание на то, что вероятность появления события в одном испытании в формуле Бернулли зависит от того, какое событие анализируется. Так, в первом варианте решения - это вероятность рабочего состояния, а во втором - это вероятность выхода из строя.

2) - вышли из строя менее 3 агрегатов, т.е. 0, 1, 2 агрегата.

Для вычисления вероятности используем формулу (2)

; ;

; ;

.

3) - в рабочем состоянии находятся не более 6 агрегатов (от 0 до 6).

; ;

; .

Для вычисления вероятности можно применить для вычисления формулу (5)

.

В этом случае требуется произвести достаточно сложные вычисления. Однако можно использовать более простой прием для решения задачи, если учесть, что

,

поскольку имеет место полная группа событий.

Тогда искомую вероятность можно определить следующим образом:

4) - вышли из строя не менее 3 агрегатов.

; ;

; .

Вероятность события может быть вычислена по формуле (4)

,

Используем рассмотренный выше прием, вычислим вероятность выхода из строя 0, 1, 2 агрегатов из 8, а затем определим искомую вероятность следующим образом:

II тип задач. Условие задачи: В цехе металлургического завода используется группа из 100 однотипных электродвигателей. Вероятность выхода из строя каждого электродвигателя равна 0,02. Определить вероятность того, что в рабочем состоянии находится не менее 98 электродвигателей цеха.

Решение

Для определения вероятности нахождения в рабочем состоянии не менее 98 электродвигателей можно использовать выражение (4)

,

где ; ;

; .

В этом случае требуется провести сложные вычисления. Значительно упростить решение можно, если перейти к определению вероятности выхода из строя 0, 1, 2 электродвигателей, что полностью соответствует нахождению в рабочем состоянии не менее 98 электродвигателей

,

где ; ;

; .

Поскольку достаточно большое, а - мало, удобнее использовать формулу Пуассона (1)

Решите задачи

Задача 1. В цехе имеется 6 моторов. Вероятность того, что мотор в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность, что в данный момент:

а) включено 4 мотора;

б) включены все моторы;

в) выключены все моторы.

Задача 2. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти испытаниях не менее двух раз, если вероятность появления его в каждом испытании равна 0,3.

Задача.3. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:

а) менее двух раз;

б) не менее двух раз.

Задача 4. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9. Вероятность поражения цели при попаданиях равна . Найти вероятность того, что цель будет уничтожена, если сделано 2 выстрела.

Задача 5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что мишень при 100 выстрелах будет поражена:

а) не менее 70 и не более 80 раз;

б) не более 70 раз.

Домашнее задание:

1. Найти вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом опыте равна 0,2.

2. Событие В появится в том случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых опытов, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 5

Тема: Решение задач на запись распределения ДСВ. График. Свойства числовых характеристик ДСВ

Цель: Научиться вычислять вероятности случайных событий

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Законспектируйте решение типовой задачи.

3. Решите задачи.

Контрольные вопросы:

1. Понятие дискретной случайной величины, непрерывной случайной величины, ряда распределения, функции распределения.

2. Законы распределения случайных величин.

3. От чего зависит форма представления закона распределения.

Законы распределения дискретных случайных величин

Случайной называют величину, которая в результате опыта со случайным исходом принимает одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное и зависящее от случайных причин. Все случайные величины (СВ) делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину (ДСВ), которая принимает отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями. В качестве примера можно привести величину X, равную количеству агрегатов энергосистемы, вышедших из строя, или Y, равную возможному количеству трансформаторов различной мощности, которые могут быть установлены в системе электроснабжения района.

Непрерывной называют случайную величину (НСВ), которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Например, значения напряжений, токов, потоков мощности по линиям электропередач, которые изменяются случайным образом за счет случайного изменения нагрузки в энергосистеме.

Наиболее полной характеристикой любой случайной величины является закон распределения. Форма представления закона распределения зависит от вида случайной величины. Для ДСВ под законом распределения понимается соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями. При этом закон распределения ДСВ может быть задан следующим образом:

таблично - в виде ряда распределения

…

…

аналитически - в виде явной функции ,

например, это может быть формула Бернулли

.

с помощью функции распределения, которая является универсальной характеристикой закона распределения и не зависит от вида СВ

Для дискретных СВ функция распределения - это неубывающая, разрывная ступенчатая функция, которая графически для ряда из трех значений имеет вид

графически - в виде многоугольника распределения, который строится по точкам () в декартовой системе координат и для ряда из трех значений ДСВ может иметь вид

В качестве наиболее часто используемых в практических расчетах можно выделить следующие виды законов распределения для ДСВ.

Биномиальное распределение

Такой закон распределения характерен для ДСВ , где - количество появлений события в независимых испытаниях. Известно, что вероятность появления в одном испытании одинакова и равна . Отсюда видно, что может принимать значения от 0 до , а вероятность каждого вычисляется по формуле Бернулли.

0

1

2

…

…

В практических расчетах биномиальное распределение часто соответствует ДСВ , где - количество вышедших из строя (или находящихся в рабочем состоянии) агрегатов энергосистемы, цеха, отдельных блоков технического устройства. Когда достаточно велико, а мало, для описания ДСВ используется закон Пуассона. При этом вероятности появления вычисляются по формуле Пуассона.

0

1

2

…

…

Геометрическое распределение соответствует ДСВ , равной - числу испытаний, которые необходимо произвести до появления события , т.е. в испытаний не появлялось. Вероятность появления в каждом испытании равна , не появления -

1

2

3

…

…

Гипергеометрическое распределение

Применяется при условии задачи, сводящемся к следующей постановке: в урне - белых, - черных шаров, из нее вынули шаров. Найти вероятность того, что шаров из - белых. Таким образом, - ДСВ, равная числу белых шаров из .

0

1

2

…

…

Решение типовой задачи

Техническое устройство состоит из трех функциональных блоков, каждый из которых выходит из строя с вероятностью 0,3. Дискретная СВ - это количество блоков, вышедших из строя. Построить для ДСВ ряд распределения, определить функцию распределения, построить график функции распределения.

Решение

а) Дискретная СВ может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Поскольку постановка задачи соответствует биномиальному закону, для вычисления вероятностей используем формулу Бернулли (1.21):

Для проверки правильности вычислений найдем, что

Ряд распределения ДСВ имеет вид

б) Используя (1.20), запишем функцию распределения аналитически, а затем построим ее график

График функции распределения ДСВ :

Решите задачи:

1. Вероятность рождения в семье мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины X - числа мальчиков в семьях, имеющих четырех детей. Построить график распределения

вероятностей. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

2. Вероятность того, что покупатель совершит покупку в магазине, 0,4. Составить закон распределения случайной величины X- числа покупателей, совершивших покупку, если магазин посетило 3 по­купателя. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

3. В группе из 10 спортсменов 6 мастеров спорта. Отбирают (по схе­ме без возвращения) 3-х спортсменов. Составить закон распреде­ления случайной величины Х- числа мастеров спорта из отобран­ных спортсменов. Найти математическое ожидание случайной ве­личины X.

Домашнее задание:

1.Составить закон распределения случайной величины X, возможные значения которой равны: . Известны вероятности первых двух возможных значений:

2. Игральная кость брошена три раза. Написать закон распределения числа появлений «шестерки».

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 6

Тема: Вычисление характеристик ДСВ. Вычисление (с помощью свойств) характеристик функций от ДСВ

Цель: Научиться вычислять характеристики ДСВ.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, MS Excel.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Вспомните методику вычисления характеристик ДСВ.

3. Законспектируйте глоссарий.

3. Вычислите числовые характеристики ДСВ предложенного ряда, проанализируйте смысл полученных числовых значений величин.

4. Используйте для громоздких расчетов характеристик ДСВ надстройку «Пакет анализа» приложения MS Excel

Контрольные вопросы:

1. Понятие дискретной случайной величины.

2. Характеристики ДСВ.

Глоссарий

№ п/п

Название

(характеристика ДСВ)

Алгоритм определения или формула вычисления

Содержательный смысл

1

Мощность ряда (счет)

Подсчет количества элементов

Количество элементов ряда

2

Минимум

Поиск минимального значения

Минимальное значение ряда

3

Максимум

Поиск максимального значения

Максимальное значение ряда

4

Размах (Интервал)

Вычислить разницу между максимальным и минимальным значениями

Разница между максимальным и минимальным значениями

5

Сумма

Суммировать все значения

Сумма всех значений

6

Мода

Поиск наиболее часто встречающееся значения

Наиболее часто встречающееся значение

7

Медиана

Поиск значения ряда, которое делит ранжированный ряд на две равные части

Значение ряда, которое делит ранжированный ряд на две равные части

8

Среднее

Среднее арифметическое вариационного ряда

9

Дисперсия

Характеризуют степень разброса всех значений вариационного ряда относительно среднего значения

10

Среднеквадратическое отклонение (Стандартное отклонение)

11

Стандартная ошибка

«Пакет анализа» приложения MS Excel

Оценка среднеквадратичного отклонения выборочного среднего

12

Асимметричность

«Пакет анализа» приложения MS Excel

Выборочный коэффициент асимметрии

13

Эксцесс

«Пакет анализа» приложения MS Excel

Выборочный коэффициент эксцесса

Числовые характеристики ДСВ ряда

Вычисление характеристик ДСВ с использованием надстройки «Пакет анализа» приложения MS Excel.

1. Используя технологическую карту вычислите характеристики ДСВ.

Технологическая карта

Сервис - надстройки - пакет анализа - анализ данных - описательная статистика: входной интервал - по столбцу - выходной интервал - итоговая статистика - уровень надежности

2. Сравните полученные значения с эталоном, сделайте выводы.

Эталон.

Домашнее задание: Проанализировать вариационный ряд

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1)выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 7, 8

Тема: Биномиальное распределение. Геометрическое распределение. Решение задач на формулу геометрического определения вероятности.

Цель: Научиться вычислять вероятности (для одномерного случая, для двумерного случая, для простейших функций от двух независимых равномерно распределённых величин)

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите решение типовой задачи.

2. Решите задачи.

Контрольные вопросы:

1.Понятие биномиального распределения, Понятие биномиального распределения. Понятие геометрического распределения, характеристики геометрического распределения.

2.Понятие биномиального распределения, характеристики биномиального распределения.

3. Понятие геометрического распределения, характеристики геометрического распределения.

Решение типовой задачи

Каждый пятый билет лотереи - выигрышный. Какова вероятность того, что из 10 приобретённых билетов два билета окажутся выигрышными?

Решение

Проверяется 10 билетов, т.е. проводится 10 независимых испытаний. Вероятность выигрыша в каждом испытании p = 1 / 5 = 0,2 , тогда q = 0,8 . Искомую вероятность находим по формуле Бернулли, пологая n = 10, m = 2.

Решите задачи:

1. Тридцать восемь студентов колледжа сдали экзамен по стати­стике на отличные и хорошие отметки. Чему равна вероятность того, что в случайной выборке из 100 студентов по крайней мере 30 окажутся с хорошими и отличными оценками по статистике?

2. Вероятность изготовления продукции высшего качества фирмой составляет 0,9. Сколько необходимо обследовать единиц продук­ции, чтобы с доверительной вероятностью 0,95 можно было утвер­ждать, что доля продукции высшего качества по выборке будет от­клоняться от постоянной вероятности по модулю не более чем на 0,03?

3. Тридцать восемь студентов колледжа сдали экзамен по стати­стике на отличные и хорошие отметки. Чему равна вероятность того, что в случайной выборке из 100 студентов по крайней мере 30 окажутся с хорошими и отличными оценками по статистике?

Домашнее задание: составьте алгоритм любой из задач по теме.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 9

Тема: Вычисление вероятностей и нахождение характеристик для НСВ с помощью функции плотности и интегральной функции распределения

Цель: Научиться вычислять вероятности и характеристики НСВ.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Решите задачи.

Контрольные вопросы:

1. Понятие НСВ.

2. Понятие равномерно распределённой НСВ.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка.

Законом распределения (или интегральной функцией распределения) непрерывной случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что Х приняла значение меньше Х:

Плотностью распределения (или дифференциальной функцией распределения) непрерывной случайной величины Х называется функция f(х), равная производной интегральной функции распределения:

В частности, вероятность попадания случайной величины в интервал ( а ; b ) равна:

Математическое ожидание М(Х) и дисперсия D(Х) непрерывной случайной величины определяются через несобственные интегралы:

Все свойства дисперсии и математического ожидания, установленные для ДСВ, сохраняются для НСВ.

Замечание: Если распределение симметрично, то его мода, медиана и математическое ожидание совпадают.

Решите задачи

1. Случайная величина X задана интегральной функцией:

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина X примет значение: а) меньше 0; б) меньше 1; в) не меньше 1; г) заключенное в интервале (0;2).

2. Случайная величина задана интегральной функцией:

Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины X; б) математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое^: отклонение случайной величины X; в) вероятность попадания слу­чайной величины в интервал (1;2).

3. Случайная величина X задана интегральной функцией:

Найти значения А и В, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

4. Случайная величина X задана интегральной функцией:

.

Найти: а) дифференциальную функцию случайной величины X; б) вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний случайная величина X хотя бы один раз примет значение, принадлежащее интервалу (1;1,5); в) начертить графики функций.

Домашнее задание: составьте алгоритм решения задачи и решите ее.

Случайная величина X задана интегральной функцией:

Найти: а) дифференциальную функцию; б) вероятность попадания случайной величины в интервал (2,5; 3); в) математическое ожида­ние, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X; г) моду и медиану величины X. Построить графики функций.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 10

Тема: Вычисление вероятностей для нормально распределенной величины (или суммы нескольких нормально-распределенных величин); вычисление вероятностей и нахождение характеристик для показательно распределенной величины. Система двух случайных величин.

Цель: Научиться вычислять вероятности для нормально распределенной величины

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Законспектируйте решение типовой задачи.

3. Решите задачи.

Контрольные вопросы:

1. Раскройте понятие функции плотности нормально распределенной НСВ, смысл параметров a и s нормального распределения.

2. Раскройте понятие интегральной функции распределения нормально распределенной НСВ

3. Возможно ли нахождение суммы нескольких независимых нормально распределенных НСВ.

Нормальный закон распределения (рис. 1) играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся закон распределения, главной особенностью которого - то, что он является предельным законом, к которому, при определенных условиях, приближаются другие законы распределения.

Дифференциальная функция нормального закона имеет вид (рис. 1):

Числовые характеристики нормального закона:

1. математическое ожидание характеризует центр распределения:

2. дисперсия характеризует форму распределения:

Свойства дифференциальной функции нормального закона:

1. область определения:

2. ось 0X - горизонтальная асимптота;

3. - две точки перегиба;

4. максимум в точке с координатами:

5. график симметричен относительно прямой x=a;

6. моменты:

7. вероятность попадания нормального распределенной случайной величины в заданный интервал определяется, по свойству интегральной функции:

интегральная функция нормального закона (рис.14); Ф(х) - функция Лапласа.

Дифференциальная функция Интегральная функция

Рис. 1. Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения (закон Гаусса):

где М(х) = а, D(х) = σ².

В частности, для нормального закона распределения случайной величины Х, вероятность попадания в заданный интервал выражается через функцию Лапласа:

Кривая Гаусса имеет вид:

х

у

а+σ

а-σ

Решение типовой задачи

Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами, а = 30 и σ = 10. Записать плотность распределения вероятностей и найти вероятность того, что Х примет значения из σ - интервала ( 20 ; 40 ).

Решение. Плотность распределения вероятностей нормально распределённой случайной величины Х с заданными параметрами имеет вид:

Найдём вероятность того, что случайная величина Х отклонится от математического ожидания а на величину меньше чем σ.

.

Решите задачи

1. Случайная величина X равномерно распределена в интервале (-2;N). Найти: а) дифференциальную функцию случайной величи­ны X; б) интегральную функцию; в) вероятность попадания случайной величины в интервал математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной вели­чины X.

2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величи­ны, равномерно распределенной в интервале: а) (5; 11); б) (-3; 5). Начертить графики этих функций.

3. Равномерно распределенная случайная величина X задана плотно­стью распределения f(x)= 0,125 в интервале (а-4; а+4), вне него f(x) = 0. Найти М(Х), Д(Х), (X).

Домашнее задание: составьте алгоритм решения любой из задач по теме.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 11, 12

Тема: Построение для заданной выборки ее графической диаграммы, расчёт по заданной выборке её числовых характеристик. Интервальное оценивание математического  ожидания нормального распределения, интервальное оценивание вероятности события.

Цель: Научиться строить для заданной выборки ее графическую диаграмму, проводить оценивание математического  ожидания нормального распределения, интервальное оценивание вероятности события.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Законспектируйте решение типовой задачи.

3. Решите задачи.

Контрольные вопросы:

1. Понятие дискретного и интервального вариационных рядов.

2. Понятия полигона и гистограммы.

3. От чего зависит форма представления закона распределения.

В реальных условиях обычно бывает трудно или экономически нецелесообразно, а иногда и невозможно исследовать всю совокупность, характеризующую изучаемый признак (генеральную совокупность). Поэтому на практике широко применяется выборочное наблюдение, когда обрабатывается часть генеральной совокупности (выборочная совокупность). Свойства (закон распределения и его параметры) генеральной совокупности неизвестны, поэтому возникает задача их оценки по выборке. Для получения хороших оценок характеристик генеральной совокупности необходимо, чтобы выборка была репрезентативной (представительной). Репрезентативность, в силу закона больших чисел, достигается случайностью отбора.

Различают 5 основных типов выборок:

1. Собственно случайная:

   1. повторная (элементы после выбора возвращаются обратно);

   2. бесповторная (выбранные элементы не возвращаются).

2. Типическая - генеральная совокупность предварительно разбивается на группы типических элементов, и выборка осуществляется из каждой. Следует различать:

   1. равномерные выборки (при равенстве объемов исходных групп в генеральной совокупности выбирается одинаковое количество элементов из каждой);

   2. пропорциональные (численность выборок формируют пропорционально численностям или средним квадратическим отклонениям групп генеральной совокупности);

   3. комбинированные (численность выборок пропорциональна и средним квадратическим отклонениям, и численности групп генеральной совокупности).

3. Механическая - отбор элементов проводится через определенный интервал.

4. Серийная - отбор проводится не по одному элементу, а сериями для проведения сплошного обследования.

5. Комбинированная - используются различные комбинации вышеуказанных методов, например, типическая выборка сочетается с механической и собственно случайной.

Основная задача математической статистики - это получение и обработка данных для статистически значимой поддержки процесса принятия решения, например, при решении задач планирования, управления, прогнозирования.

Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, из которых производится выборка.

Выборочной совокупностью (или выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных объектов.

Объёмом совокупности (генеральной или выборочной) называется число объектов этой совокупности.

Статистическим распределением выборки называют перечень наблюдавшихся значений х_к признака Х и соответствующих им частот n_k(или относительных частот n_k/n), записанных в возрастающем порядке.

Полигоном относительных частот дискретно распределённого признака Х называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁ ; n₁/n), (x₂ ; n₂/n),…(x_k; n_k/n).

Гистограммой относительных частот непрерывно распределённого признака Х называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы h охватывающие все наблюдаемые значения признака Х, а высоты равны отношению n_k/ (nh). Площадь такой гистограммы равна единицы.

Выборочная средняя (служит оценкой математического ожидания генеральной совокупности) вычисляется по формуле

Выборочная дисперсия (служит оценкой генеральной дисперсии) определяется по формуле

Для расчётов удобнее использовать следующую формулу:

Несмещённой называют точечную оценку (число, полученное по выборке признака Х),математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки.

Несмещённой точечной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя.

Смещённой точечной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия.

Несмещённой оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия.

Интервальной называют оценку в виде интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надёжностью γ покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой (с надёжностью γ) математического ожидания а нормально распределённого признака Х по выборочной средней и исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал:

где t_γ - коэффициент Стьюдента, находят из таблицы по заданным n и γ (см. приложение).

Интервальной оценкой (с надёжностью γ) среднего квадратического отклонения σ нормально распределённого признака Х по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал:

Решение типовой задачи

Данные к задаче

Изучая демографическую ситуацию в городе, группа исследователей на основе репрезентативной (представительной) выборки объёмом n = 100 составила таблицу, содержащую следующие данные: количество несовершеннолетних детей (признак Х) и доход на одного члена семьи (признак Y, тыс. руб.).

У/Х

0 - 4

2

4 - 8

6

8 - 12

10

12 - 16

14

16 - 20

18

n_x

0

-

3

5

5

3

16

1

7

15

13

5

1

41

2

7

11

8

6

-

32

3

4

5

2

-

-

11

n_у

18

34

28

16

4

n=100

По выборке дискретно распределённого признака X требуется: а) изобразить полигон выборки; б) определить выборочное среднее и выборочную дисперсию случайной величины X.

По выборке дискретно распределённого признака Y требуется: а) изобразить гистограмму выборки; б) определить выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение случайной величины Y; в) определить доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания и неизвестного среднего квадратического отклонения случайной величины Y. Предполагается, что случайная величина распределена нормально. Доверительная вероятность равна 0,95.

Решение.

а) По оси ординат откладываем варианты выборки признака Х - количество несовершеннолетних детей - 0 ; 1 ; 2 ; 3.

По оси абсцисс откладываем соответствующие им относительные частоты- 16/100; 41/100; 32/100; 11/100.

б) Определяем выборочное среднее:

Определяем выборочную дисперсию:

а) По оси ординат откладываем интервалы выборки признака Y.

По оси абсцисс откладываем соответствующие им отношения , где h - величина заданных интервалов ( в задании h = 4 тыс.руб.). Для расчётов параметров выборки принимаем середины интервалов.

б) Определяем выборочное среднее:

Определяем выборочную дисперсию:

Определяем выборочное среднее квадратическое отклонение:

в) Определяем несмещённую оценку Из таблицы выбираем коэффициент Стьюдента и вычисляем величину Тогда получим доверительный интервал для оценки математического a ожидания признака Y:

Т.е. с надёжностью 0,95 (или на 95%) можно утверждать, что в указанном интервале находится средний доход (в тыс. руб.), приходящийся на одного жителя города.

По таблице приложения определяем показатель q (0,95 ; 100) = 0,143. Тогда получим доверительный интервал неизвестного среднего квадратического отклонения признака Y:

Решите задачи

1. Случайным бесповторным способом проведено выборочное обсле­дование семей района. Из 1300 семей обследовано 130, по которым определен душевой доход на одного члена семьи, представленный в виде интервального вариационного ряда. Распределение семей по величине месячного дохода на одного члена семьи:

Группы семей по месячному доходу на одного члена семьи, руб.

До 500

500-1000

1000-1500

1500-2000

Свыше 2000

Число семей

23

36

44

17

10

С доверительной вероятностью 0,95 определить границы, в кото­рых будет находиться средний месячный доход на одного члена семьи по району, а также доля семей с доходами, менее 1000 руб. на одного члена семьи.

2. На фирме проведен выборочный опрос 10% работников по вопро­сам изменения условий труда. Из 90 работников основного произ­водства за изменение условий труда высказалось 65 человек, из 30 работников вспомогательного производства - 20, а из 25 работни­ков, занятых управлением фирмой,- 21. С.доверительной вероят­ностью 0,95 определить границы, в которых будет находиться доля работников .фирмы, поддерживающих изменение условий труда.

Домашнее задание: Составить алгоритм решения типовой задачи.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 13

Тема: Расчёт коэффициента корреляции. Анализ значимости коэффициента корреляции.

Цель: Научиться вычислять коэффициент корреляции, проводить анализ значимости коэффициента корреляции.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Законспектируйте виды корреляции, шкалу Шедока.

3. Используя табличные данные и пакет анализа, найдите возможную корреляционную связь.

Контрольные вопросы:

1. Понятие корреляции.

2. Приведите классификацию степени корреляционной связи.

Корреляция

В математике зависимость между двумя величинами X и Y выражается с помощью функции y=f(x), где каждому возможному значению X ставится в соответствие не более одного значения Y (подобная зависимость называется функциональной).

Важным частным случаем стохастической зависимости является корреляционная. Корреляционная зависимость между переменными величинами - это та функциональная зависимость, которая существует между значениями одной из них и групповыми средними другой. (Корреляционные зависимости Y на X и X на Y обычно не совпадают). Корреляционная связь чаще всего характеризуется выборочным коэффициентом корреляции r, который характеризует степень линейной функциональной зависимости между CB X и Y. Для двух CB X и Y коэффициент корреляции имеет следующие свойства:

1.

2. если r=, то между CB X и Y существует функциональная линейная зависимость;

3. если r=0, то CB X и Y некоррелированны, что не означает независимости вообще;

4. если X и Y образуют систему нормально зависимых CB, то из их некоррелированности следует независимость;

5. коэффициенты корреляции Y на X и X на Y совпадают.

Статистическую зависимость называют корреляционной, если при изменении значений одной величины меняется среднее значение другой.

Виды корреляций:

1. относительно характера корреляции:

- положительная (равнонаправленная, прямая);

- отрицательная (обратная);

2. относительно числа переменных:

- простая или парная;

- множественная, с ее помощью можно охватить весь причинно-следственный комплекс;

- частная корреляция, корреляция между двумя переменными при фиксированном влиянии других (вскрывается внутренняя структура соотношений, т.е. элиминируется влияние других факторов);

3. относительно формы связи:

- линейная;

- нелинейная;

4. относительно типа связи явлений:

- непосредственная корреляция;

- косвенная корреляция;

- ложная корреляция.

Различают корреляцию, обусловленную:

- причинной зависимостью X от Y;

- зависимостью X и Y от третьей величины;

- неоднородностью выборки;

- формально (числовыми данными).

Обычно степень тесноты связи между результативным и факторным признаком определяется по величине коэффициента корреляции (шкала Шедока):

если r <0,2 - связи нет;

если 0,2 r<0,5 - слабая связь;

если 0,5r<0,75 - связь средняя;

если 0,75r<0,95 - связь тесная;

если 0,95r<1 - связь очень тесная.

№ п.п

Физические упражнения; Пульс, ударов/минуту

Пол, 0-м; 1-ж.

Возраст, лет

0

10

20

30

40

50

60

70

80

1

32

68

70

79

80

105

0

17

2

73

100

101

106

105

104

100

103

81

0

18

3

86

94

98

99

101

105

107

111

117

0

20

4

84

88

110

120

134

0

16

6

67

108

125

130

0

20

7

87

99

102

112

115

123

148

143

145

0

20

9

90

92

125

190

198

220

0

48

10

54

60

120

140

148

200

0

17

11

75

90

100

105

120

140

150

165

180

0

37

14

98

108

128

148

0

27

15

62

98

105

125

136

147

0

24

16

65

67

70

75

78

0

35

17

60

62

65

67

70

0

17

18

84

94

120

156

176

0

16

19

94

98

110

125

138

0

17

20

80

82

85

88

88

0

18

21

73

75

78

80

82

0

40

22

60

66

78

86

94

0

18

25

92

120

144

170

187

0

15

26

86

104

124

152

0

25

27

96

144

160

192

0

27

30

85

100

130

160

0

51

34

92

125

163

169

189

190

0

46

35

76

120

148

160

0

16

42

60

72

84

100

124

144

148

1

17

44

80

112

120

144

180

220

260

1

32

46

60

61

64

67

70

72

1

20

47

58

62

65

70

75

75

79

1

26

48

60

62

65

68

72

70

1

23

49

70

73

77

79

82

85

1

25

53

98

82

100

110

1

45

54

77

100

123

146

169

1

16

55

67

90

113

126

149

1

44

56

80

85

90

95

95

95

1

16

57

70

75

85

95

1

20

58

81

114

120

131

1

18

59

76

90

120

150

1

35

62

130

160

190

230

1

18

63

65

80

96

104

1

45

64

80

100

104

112

1

49

65

80

104

112

125

1

18

66

76

88

92

92

96

1

21

67

83

95

110

124

137

151

1

42

68

80

100

120

140

160

181

1

18

Домашнее задание: Составить алгоритм вычисления корреляционной связи.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 14

Тема: Метод наименьших квадратов. Составление уравнения линейной регрессии. Проверка адекватности модели.

Цель: Научиться выделять корреляционную связь величин, проводить корреляционный и регрессионный анализ, составлять линейную модель регрессии.

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Рассмотрите теоретический материал по теме.

2. Законспектируйте решение типовой задачи.

3. Решите задачи.

Контрольные вопросы:

1. Понятие корреляционной и регрессионной связи.

2. Приведите классификацию степени корреляционной связи.

3. Понятия функциональной связи, статистической зависимости.

4. В чем заключаются задачи корреляционного и регрессионного анализа.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х полученное по результатам выборки имеет вид линейного приближения от х

где r _B - выборочный коэффициент корреляции, равный

Если , то связь между случайными величинами достаточно вероятна.

Остаточной дисперсией называют величину

Решение типовой задачи

Данные к задаче см. практическое занятие №12

Найти реализацию уравнения линейной регрессии Y на Х. Если связь признаков Y и Х достаточно вероятна, то оценить, на сколько в среднем рождение ребёнка сказывается на величине дохода в расчёте на одного члена семьи.

Вычислим среднее квадратическое отклоение выборки Х:

Вычислим коэффициент корреляции:

Подставляем найденные величины в уравнение линии регрессии Y на Х

или окончательно:

Т.к. то связь между рассматриваемыми признаками достаточно вероятна.

В среднем рождение ребёнка уменьшает доход на одного члена семьи на сумму около 1,83 тыс. руб.

Изобразим схематически в координатах ХY выборочное распределение по признакам и построим линию регрессии. Размеры маркеров на рисунке пропорциональны соответствующим вариантам выборки.

Решите задачи

1. Данные опыта приведены в таблице:

Полагая, что Х и Y связаны зависимостью вида , найти ко­эффициенты а и b способом наименьших квадратов.

2. Дана таблица результатов наблюдений:

Найти выборочный коэффициент корреляции и определить его зна­чимость.

Домашнее задание: Составить алгоритм решения типовой задачи.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Практическое занятие № 16, 17

Тема: Запись матрицы достижимости и построение диаграммы Герца для ориентированного графа; решение задач на бинарные деревья.

Цель: Овладеть методами решения задач на бинарные деревья, записью матрицы достижимости и построением диаграммы Герца

Средства обучения: тетради для выполнения практических занятий, презентации по теме, Интернет-ресурсы.

Содержание и порядок выполнения работы:

1. Повторение теоретического материала, в виде ответов на вопросы.

2. Задайте граф G рис.1 матрицей смежности и инцидентности.

3. Постройте графы G1 и G2, сравните степени каждой вершины данных графов.

4. По заданной матрице построить сетевой график, решить задачу 1.

5. Решить задачу 2.

Контрольные вопросы:

1. Что называется ориентированным графом? Приведите примеры.

2. Перечислите основные понятия связанные с ориентированными графами.

3. Перечислите способы задания ориентированных графов.

4. В чем состоит аналитический способ задания орграфа?

5. В чем состоит геометрически способ задания орграфа?

6. В чем состоит матричный способ задания орграфа?

7. Какая матрица называется матрицей смежности орграфа?

8. Какая матрица называется матрицей инцидентности орграфа?

G

Рис. 1

Матрица инцидентности

G1

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

E1

-1

1

0

0

0

0

0

E2

-1

0

0

1

0

0

0

E3

0

0

1

-1

0

0

0

E4

0

0

0

-1

1

0

0

E5

0

0

0

0

-1

1

0

E6

0

0

0

0

-1

0

1

E7

1

0

0

0

0

0

-1

E8

1

0

0

0

0

0

-1

E9

-1

0

0

0

1

0

0

Матрица смежности

G2

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V1

0

1

0

1

1

0

1

V2

1

0

0

0

0

0

0

V3

0

0

0

1

0

0

0

V4

1

0

1

0

1

0

0

V5

1

0

0

1

0

1

1

V6

0

0

0

0

0

0

0

V7

1

0

0

0

1

0

0

Решите задачи

Задача 1. По заданной матрице построить сетевой график ( а_ijэлемент матрицы есть длительность работы от i до j в днях). Найти длину критического пути, указать экономию времени.

а)

б)

Задача 2. Найдите количество узлов данного бинарного дерева, перечислите листы и укажите глубину бинарного дерева с корнем А.

Домашнее задание: Составить алгоритм задачи 1.

Список рекомендуемой литературы:

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2009.

3. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Дополнительная:

1. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

2. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

Критерии оценивания работы обучающихся на практическом занятии

Оценка «отлично» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил на предложенные вопросы, допустив при этом не более двух неправильных ответов;

3) задачи решены полностью, решение оформлено аккуратно;

4) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «хорошо» ставится в том случае, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, с соблюдением необходимых требований оформления;

2) ответил не на все предложенные вопросы. Не смог объяснить некоторые моменты решения задачи. Возможно, не полностью выполнил некоторые задачи;

3) практическая работа выполнена в срок.

Оценка «удовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) выполнил работу в полном объеме, но допущено несколько (2-3) количество ошибок;

2) ответил только на некоторые предложенные вопросы. Не смог объяснить этапы и принципы решения задачи;

3) практическая работа выполнена не в срок;

4) практическая работа имеет помарки и исправления.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если обучающийся:

1) не выполнил практическую работу, или выполнил работу, допустив большое количество ошибок;

2) не смог ответить на предложенные вопросы.

Список литературы

Нормативная литература и источники:

1. ФГОС среднего профессионального образования по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах (Утверждён приказом Министерства образования и науки РФ 23.06.2010 г. № 696).

2. Рабочая программа учебной дисциплины ЕН.03 Теория вероятностей и математическая статистика (углубленной подготовки).

Основная:

1. Горелов, Г.В., Кацко, И. А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: учебник для ССзуов. - Ростов н/Д: Феникс, 2009.

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2010.

3. Ерусалимский, Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. - М: Вузовская книга, 2009.

4. Кочетков, Е.С., Смерчинская, С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник. - М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2009.

5. Омельченко, В.П., Курбатова, Э.В. Математика: учебное пособие. - Ростов н/Д.: Феникс, 2012.

6. Пехлецкий, И.Д. Математика - М.: Академия, 2010.

Сайты в сети Интернет:

1. Онлайн библиотека [Электронный ресурс] - Режим доступа: vbbooks.ru.

2. Интернет университет информационных технологий [Электронный ресурс] - Режим доступа: http: //intuit.ru.

3. Компьютерные электронные книги [Электронный ресурс] - Режим доступа: compebook.ru.

Контроль и оценка результатов выполнения практических занятий

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Формы и методы контроля и оценки результатов выполнения практических занятий

Умения:

применять стандартные методы и модели к решения вероятностных и статистических задач

Наблюдение и анализ выполнения практических работ

Анализ выполнения домашних заданий по результатам выполнения практических занятий.

пользоваться расчетными формулами и таблицами, графиками при решении статистических задач

Наблюдение и анализ выполнения практических работ

Анализ выполнения домашних заданий

Анализ выполнения самостоятельной работы.

применять современные пакеты прикладных программ многомерного статистического анализа

Наблюдение и анализ выполнения практических работ

Анализ выполнения домашних заданий

Анализ выполнения самостоятельной работы.

Знания:

основные понятия комбинаторики

Наблюдение и анализ выполнения практических работ

Анализ выполнения домашних заданий

Анализ выполнения самостоятельной работы.

Наблюдение и анализ выполнения письменных заданий

основы теории вероятностей и математической статистики

Наблюдение и анализ выполнения практических работ

Анализ выполнения домашних заданий

Анализ выполнения самостоятельной работы

основные понятия теории графов

Наблюдение и анализ выполнения практических работ

Анализ выполнения домашних заданий

Анализ выполнения самостоятельной работы.