Статья Методика обучения учащихся геометрическим преобразованиям графиков функций

Методика обучения учащихся геометрическим преобразованиям графиков функций.

Знания геометрических преобразований позволят быстро понять, как расположен график, а в несложных случаях, например , практически мгновенно его нарисовать! Кроме того, поточечное построение бывает не всегда удобным. Навыки грамотно разбираться с чертежами потребуются в различных задачах математики.

Рассмотрим данную тему на примере квадратичной функции.

Перед тем как перейти непосредственно к геометрическим преобразованиям графиков функций, повторить с учащимися некоторые теоретические моменты.

1. Что называется числовой функцией?

2. Как обозначают и называют независимую и зависимую переменные?

3. Что называют областью определения и областью значений функции?

4. Что называется графиком функции?

5. Что является графиком функции у = х²?

6. Что является графиком функции у = х²?

Задание 1. Дать учащимся групповую самостоятельную работу на построение графиков функций: 1) у = х² + 3, у = х² 3, у = х² 3, у = х² + 3; 2) у = х² + 4, у = х² 4, у = х² 4, у = х² + 4; и т.д.

Задаём вопросы учащимся. Посмотрите на построенные графики. Есть ли какие-либо отличия в расположении данных графиков? Можно ли выполнить построение по-другому, более быстрым способом? Совместно с учащимися сделать вывод: если к функции добавляется постоянное число (константа), то происходит сдвиг (параллельный перенос) её графика вдоль оси OY.

Правила (формулируют учащиеся совместно с учителем):
1) чтобы построить график функции f(x)+h, нужно график f(x) сдвинуть вдоль оси OY на h единиц вверх;
2) чтобы построить график функции f(x) h, нужно график f(x) сдвинуть вдоль оси OY на h единиц вниз.

Построить на доске график функции с помощью шаблона .

1) отобразим параболу симметрично относительно оси абсцисс: ;
2) сдвинем вдоль оси OY на 4 единицы вверх: :

Задание 2. Аналогично, дать учащимся групповую самостоятельную работу на построение графиков функций: 1) у = (х + 3)², у = (х 3)², у = (х 3)², у = (х + 3)²; 2) ) у = (х + 4)², у = (х 4)², у = (х 4)², у = (х + 4)²; и т.д.

Затем задаём вопросы учащимся. Посмотрите на построенные графики. Есть ли какие-либо отличия в расположении данных графиков? Можно ли выполнить построение по-другому, более быстрым способом? Совместно с учащимися сделать вывод: если к аргументу функции добавляется постоянное число (константа), то происходит сдвиг (параллельный перенос) графика вдоль оси ОХ.

Правила (формулируют учащиеся совместно с учителем):
1) чтобы построить график функции f(x + b), нужно график f(x) сдвинуть вдоль оси ОХ на b единиц влево;
2) чтобы построить график функции f(x b), нужно график f(x) сдвинуть вдоль оси ОХ на b единиц вправо.

Построить на доске график функции с помощью шаблона .

Берём параболу , и сдвигаем её вдоль оси абсцисс на 1 единицу вправо:

Задание 3. Далее, дать учащимся групповую самостоятельную работу на построение графиков функций: 1) , ; 2) , ; и т.д.

Затем задаём вопросы учащимся. Посмотрите на построенные графики. Есть ли какие-либо отличия в расположении данных графиков? Можно ли выполнить построение по-другому?

Совместно с учащимися сделать вывод: происходит растяжение (сжатие) функции вдоль оси OY.

1) Если функция f(x) умножается на число m>1, то происходит растяжение её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции mf(x), где m>1, нужно график функции f(x) растянуть вдоль оси OY в m раз.

2) Если функция умножается на число 0<m<1, то происходит сжатие её графика вдоль оси ординат.

Правило: чтобы построить график функции mf(x), где 0<m<1, нужно график функции f(x) сжать вдоль оси OY в раз.

Построить на доске графики функций , с помощью геометрических преобразований.

После этого переходим к закреплению полученных знаний.

Задание 4. На доске изображены графики (построить заранее или использовать проектор и экран). Подберите для каждой функции соответствующий ей график: у = (х - 5)² + 1, у = (х - 5)² + 1, у = (х + 5)² + 1, у = (х + 5)² + 1.

Задание 5. Запишите вид данной функции у = (х b)² + c, если она: а) смещена на 4 единицы влево и на 5 единиц вверх; б) смещена на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз; в) перенесена на 7 единиц вправо и на 5 единиц вверх; г) перенесена влево на 6 единиц и опущена на 5 единиц вниз.

Задание 6. Учащиеся с помощью заранее изготовленных шаблонов функции, выполняют построение графиков функций в тетрадях (желательно - групповая работа и взаимопроверка):

у = (х - 2)² - 3; у = 2х ² + 3; у = 3х ² + 2; у = (2х - 5)² - 1; у = (3х + 4)² + 2.

В конце занятия проводим рефлексию. Итак,

• На первом шаге выполняем преобразования, связанные с аргументом функции, в результате чего получаем график функции ;

• На втором шаге выполняем преобразования, связанные с самой функцией, и получаем график .