Задачи на смеси и сплавы

Задачи на смеси, сплавы и растворы.

1. Подход к решению задач на смеси.

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой.

Задачи на смеси имеют практическую направленность. Например, мы пьём чай и кладем в чашку столько сахара, чтобы не пересластить (создаём нужную нам концентрацию), а если пересластили, то добавляем воды.

Летом мы ходим за грибами, затем их сушим. И мы понимаем, что чем дольше их сушить, тем меньше в них остается воды, при этом масса сухого вещества не меняется.

Врач выписывает рецепт, и мы покупаем мази, микстуры с определенной концентрацией лекарственных веществ. Решая задачи данного типа, нам нужно будет выделить компоненты, которые изменяются, и те, что остаются неизменными.

Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреблять термин «смесь» независимо от её вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная). Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество, в каждой задаче определяется отдельно.

Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по математике и химии ОГЭ и ЕГЭ.

При решении любых задач, прежде всего, нужно грамотно прочитать условие, последовательно остановиться на каждой строчке, и попытаться выразить условие в качестве какого-то уравнения.

. Что же отличает задачи на смеси? Уравнение трудно составить, если не знать основную формулу для всех задач на смеси.

В «Занимательной алгебре» Я.И. Перельмана есть любопытная задача под названием: «В парикмахерской»:

Задача: Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской? Оказывается, такие случаи бывают. Мне пришлось убедиться в этом, когда однажды в парикмахерской подошел ко мне мастер с неожиданной просьбой:

-Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не справимся?

- Уж сколько раствора испортили из-за этого!- добавил другой

- В чем задача?

- У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30%- ыйи 3 % -ый. Нужно их смешать так, чтобы составился 12% -ый раствор. Не можем подыскать правильной пропорции.

Мне дали бумажку, и требуемая пропорция была найдена.

Она оказалась очень простой. Какой именно?

Решение: Пусть для составления 12%-ной смеси требуется взять x граммов 3%-ного раствора и y граммов 30% -ного раствора. Тогда в первой пропорции содержится 0,03x граммов чистой перекиси водорода, во второй 0,3y, а всего 0,03x + 0,3y

В результате получается (x + y) граммов раствора, в котором чистой перекиси должно быть 0,12 (x + y)

Имеем уравнение: 0,03x + 0,3y=0,12 (x + y)

Из этого уравнения находим x =2y, т.е. 3%-ного раствора надо взять вдвое больше.

Задача, описанная Перельманом, встречается не только в парикмахерских.

Например, для зарядки аккумуляторов бывает необходимо приготовить электролит, который должен содержать 24% серной кислоты из двух растворов с содержанием 92% и 10% серной кислоты.

2. Теоретические основы решения задач на смеси и сплавы.

Задачи на смеси, растворы и сплавы называют еще задачами на процентное содержание или концентрацию. Данный тип задач охватывает большой круг ситуаций - смешение товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот различной концентрации, сплавление металлов с различным содержанием некоторого металла и пр. При решении задач данного типа используются следующие допущения:

1. Все получающиеся смеси и сплавы однородны;

2.Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»:

если два раствора (сплава) соединяют в «новый» раствор (сплав), то выполняются равенства:

V = V₁+V₂ -сохраняется объем;

m = m₁ + m₂ - сохраняется масса.

3 Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей (компонентов)сплава (раствора).

Определение. Процентным содержанием (концентрацией или массовой долей) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.

3.Задачи на смешение растворов разных концентраций.

Решим типовую задачу в общем виде и выведем формулу.

Задача:Имеются два куска сплава меди с цинком. Процентное содержание меди в них p₁% иp₂ % соответственно. В каком отношении нужно взять массы этих сплавов, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий p%меди?

Решение.Понаблюдаем за содержанием меди.

Исследуем уравнение (*) при условии, что будем брать ненулевые массы сплавов.

I случай. Если p₁ ,p₂ и p попарно не равны, то получим формулу

m₁ (p₁ - p) =m₂(p - p₂) (*)

II случай. Возьмём два сплава с одинаковым процентным содержанием меди, т.е. p₁=p₂ . Решая уравнение (*), получим, что p₁=p₂=p, т. к. ни большей, ни меньшей концентрации сплав просто не получится, если исходные материалы имеют одинаковую процентную концентрацию меди, каковы бы ни были массы исходных сплавов.

III случай. Если p₂ =p, или p₁= p ,то вывод тот же.

Если взять два сплава, массы которых одинаковы, т.е. m₁ = m₂ , то

то есть процентное содержание нового сплава станет равно среднему арифметическому процентных концентраций исходных сплавов. А теперь рассмотрим однотипные задачи, решение которых очень удобно по этой формуле:

Смешали некоторое количество 11%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 19%-го раствора этого же вещества. Найдите концентрацию раствора.

11%

19%

Или т. к. массы исходных растворов равны, то

Сколько килограммов 20%-го раствора соли нужно добавить к 1 кг 10%-го раствора, чтобы получить 12%-ый раствор соли?

20%

1кг

10%

12%

В сосуд, содержащий 13л 18%-го водного раствора некоторого вещества, добавили 5л воды. Найти концентрацию получившегося раствора.

13л

18%

5л

0%

%

Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ.

Предположим, что смешиваются два вещества - первое стоимостью а гривен за фунт и второе стоимостью b гривен за фунт. Желательно получить вещество стоимостью с гривен за фунт. Будем считать, что а<b( если с>b или c<a , то задача неразрешима, ибо, смешивая дешевые вещества, дорогое не получишь). Поэтому можно считать, что a<c<b. Смешиваем один фунт первого вещества и q фунт второго. В результате получится 1+q фунтов вещества стоимостью a+bq гривен. Один фунт смеси должен стоить с гривен. Значит должно выполняться равенство

a+bq=c*(1+q). Отсюда находим q=(c-a)/(b-c) или (b-c):(c-a).

Это соотношение дает старинный способ.

«Правило креста»

При решении задач на смешивание растворов разных концентраций используется «правило креста». В точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа - разности концентраций смеси и ее составных частей:

Для приготовления 30 г 80%-го раствора кислоты требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.

Задача:У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен?

Из схемы делаем заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого масла 3/4.

Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ

Указанный Л. Ф. Магницким способ состоит в следующем. Надо дважды применить способ записи исходных данных и необходимых количеств веществ, причем в первый раз взять вещества с большей и меньшей стоимостью, а во второй раз с наименьшей и средней стоимостью. Повторив действие вычитания и соответствующей записи разности, получим доли, в которых нужно смешивать вещества наибольшей и средней стоимости (на соответствующих строках). Сложив доли дешевого вещества, найденные в первый и во второй раз, получим долю дешевого вещества в общей смеси.

Задача: Некто имеет чай трех сортов - цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт.

Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен

Ответ: 100 т и 40 т.

4. Задачи на многократные переливания.

Рассмотрим задачи, при решении которых можно выявить общую закономерность изменения концентрации раствора в результате многократно повторяющейся операции.

Решим в общем виде такую задачу:

В сосуде, объём которого равен V₀ литров, содержится раствор соли концентрации С₀. Из сосуда выливается a литров смеси и доливается a литров воды, после чего раствор тщательно перемешивается. Эта процедура повторяется n раз. Какова станет концентрация соли в растворе после n таких процедур?

Если в задаче n раз отливают некоторое количество раствора и затем столько же раз приливают такое же количество воды или другого однородного вещества, то для решения задачи пригодится формула:

Где n- количество шагов, V₀- начальный объём, который сохраняют неизменным при каждом шаге С_n- конечная концентрация,C₀- начальная концентрация,

a - объём отливаемой каждый раз смеси

Докажем эту формулу:

Последовательность С₀, С₁, С₂, С_n-1, С_n представляет собой убывающую

геометрическую прогрессию концентраций раствора.

Выражение С_n* V₀соответствует количеству соли после проведения n-ой процедуры.

Но эта же соль присутствовала в (V₀ - a) л предыдущего раствора

в количестве С_n-1 (V₀ -a)л Составим уравнение: С_n* V₀ = С_n-1 (V₀ -a) и разделим обе части на V₀ , откуда получаем .

Однотипные задачи, которые уже легко решить с помощью данной формулы.

С₀

V₀

a

n

C_n

В сосуде имелось 1250 л 80%-го р-ра к-ты. Из него три раза отливали некоторое кол-во р-ра, добавляя такое же кол-во воды. В результате в сос. осталось 125л чистой к-ты. Какое кол-во р-ра брали изсосуда каждый раз?

Ответ:625 л.

С₃=С₀(1-a/1250)³

0,1=0,8(1-a/1250)³

0,125=(1-a/1250)³

0,5=1-a/1250

a/1250=0,5

a=625

Сколько литров чистого спирта останется в сосуде, если из 50л 80%-ного раствора 20 раз отливать по 1л раствора, каждый раз добавляя по 1 л воды?

Ответ:26,7 л.

С₂₀=0,8(1-1/50)²⁰

С₂₀=0,534

0,534*50=26,7(л)

Существуют задачи, внешне похожие на применение формулы Сn, но при внимательном чтении оказывается, что цикл переливаний не закончен. В таких случаях надо быть очень внимательным.

Задача:Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой; потом опять вылили столько же литров смеси; тогда в сосуде осталось 24 л чистой кислоты. Ёмкость сосуда 54 л. Сколько кислоты вылили в первый раз и второй раз?

Решение: Будем иметь в виду, что на втором шаге воду не доливали.

По условию задачи объём сосуда, наполненного кислотой, 54 л. Её концентрация 100%. Пусть вылили х литров смеси, тогда в сосуде осталось (54-х) литров 100%-ной кислоты. В сосуд доливают хл воды. По определению концентрации надо массу кислоты разделить на массу раствора: (54-х)/54.

Опять выливают х литров смеси, в сосуде остаётся (54-х) л смеси с массовой долей кислоты (54-х)/54.

Чтобы найти массу кислоты в этой оставшейся смеси, надо массу раствора умножить на концентрацию кислоты в этом растворе. По условию масса чистой кислоты в этом растворе стала 24л.

Составим и решим уравнение:

(54-х)* ((54-х)/54) = 24,

(54-х)²= 1296,

зная, что х<54, получим единственное решение: х = 18.

В первый раз вылили 18 литров чистой кислоты. Но во второй раз выливали 18 литров смеси, в ней чистой кислоты было

18* (54-18)/5 =12 (л)

Ответ: 18 л; 12л

Задача: Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.

Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение

Аналогично определяем массу серебра и получаем уравнение

Записываем одну из систем:

Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875

Ответ: 125 г и 875 г.

Есть очень легкий, быстрый и «хитрый» способ решения подобных задач, предложенный американским физиком ( русского происхождения) Алексеем Султановым:

= ==

Использованная литература.

1. Алгебра-7:учебник автор: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков,

С.Б. Суворова, Просвещение, 2010

2. Прокопенко Н. И.Задачи на смеси и сплавы. - М.: Чистые пруды, 2010.

3. Под редакцией М.И. Сканави. Сборник задач по математике. Москва, 2002г.

4. И.Н. Сергеев ,С. Н. Олехник. Примени математику. Москва «Наука»,1990 г.

5. Сборник задач по математике. Под редакцией А. И. Прилепко.

Москва «Высшая школа», 1998 г.

2. О. А.Городнова Статья «Учимся решать задачи на«смеси и сплавы»,

г-та«Математика»№36 за 2004 г.

2. А.В. Шевкин Школьные математические олимпиады,

изд-во «Русское слово», 2002г.

8.« Занимательной алгебры» авт. Я.И. Перельман.

1