- Преподавателю
- Математика
- Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея
Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Уильямс М.(. |
Дата | 12.12.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Неравенство Птолемея
Неравенство Птолемея: Для любых точек плоскости выполнено неравенство
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.
Идеи доказательства
-
Один из вариантов доказательства - применить инверсию относительно окружности с центром в точке A и неравенство треугольника для образов точек B, C, D.[1]
-
Другой вариант (близкий к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) - ввести точку E такую, что , а потом черезподобие треугольников.
-
Неравенство также является следствием из соотношения Бретшнайдера.
Следствия
-
Теорема Помпею. Рассмотрим точку и правильный треугольник . Тогда из отрезков , и можно составить треугольник, причём этоттреугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка лежит на описанной окружности треугольника .
-
Если AC - диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.
-
Формула Карно
Вариации и обобщения
-
Соотношение Бретшнайдера
-
Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann's theorem)), то
Обобщенная теорема Птолемея или теорема Кейси
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда - вписанный шестиугольник.
-
Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности и , касающиеся данной окружности в вершинах и выпуклого четырехугольника . Пусть - длина общей касательной к окружностям и (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); и т. д. определяются аналогично. Тогда
.