Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Неравенство Птолемея

Неравенство Птолемея: Для любых точек Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея плоскости выполнено неравенство

Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.

Идеи доказательства

  • Один из вариантов доказательства - применить инверсию относительно окружности с центром в точке A и неравенство треугольника для образов точек B, C, D.[1]

  • Другой вариант (близкий к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) - ввести точку E такую, что Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея, а потом черезподобие треугольников.

  • Неравенство также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Следствия

  • Теорема Помпею. Рассмотрим точку Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея и правильный треугольник Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея. Тогда из отрезков Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея, Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея и Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея можно составить треугольник, причём этоттреугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея лежит на описанной окружности треугольника Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея.

  • Если AC - диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

  • Формула Карно

Вариации и обобщения

  • Соотношение Бретшнайдера

  • Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann's theorem)), то

Обобщенная теорема Птолемея или теорема Кейси

Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея

Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея - вписанный шестиугольник.

  • Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея и Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея, касающиеся данной окружности в вершинах Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея и Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея выпуклого четырехугольника Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея. Пусть Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея - длина общей касательной к окружностям Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея и Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея и т. д. определяются аналогично. Тогда

Сообщение по математике на тему Неравенство Птолемея.

© 2010-2022