Памятка Использование метода введения новой переменной

ПАМЯТКА

Приемы решения дробных рациональных уравнений.

1.

Использование алгоритма решения дробных рациональных уравнений.

При решении дробных рациональных уравнений целесообразно поступать по следующему алгоритму:

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, предварительно разложив знаменатели на множители;

2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3. решить получившееся целое уравнение;

4. исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

НОЗ: 2х(2 - х)

4х + х(2 - х) = 8;

х² - 6х + 8 = 0;

D = b² - 4ac = (-6)² - 4·1·8 = 36 - 32 = 4 > 0, уравнение имеет 2 корня;

;

;

;

;

х = 3 ± 1;

х₁ = 3 - 1; х₂ = 3 + 1;

х₁ = 2; х₂ = 4.

Проверка.

Если х = 2, то 2х(2 - х) = 2·2(2 - 2) = 0, не является корнем уравнения.

Если х = 4, то 2х(2 - х) = 2·4(2 - 4) ≠ 0.

Ответ: 4 (с учетом проверки).

2.

Использование условия равенства дроби нулю для уравнений вида .

Решение уравнений основано на следующем утверждении: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (на 0 делить нельзя!).

Решение уравнения вида проводится в два этапа:

1. решить уравнение f(x)=0;

2. выяснить для каждого корня, обращается ли при найденном значении переменной х знаменатель дроби g(x) в нуль;

3. если g(x)=0, то полученный корень уравнения f(x)=0 не является корнем исходного уравнения.

;

1. Решим уравнение:

2х² - 5х + 3 = 1;

D = b² - 4ac = (-5)² - 4·2·3 = 25 - 24 = 1 > 0, уравнение имеет 2 корня.

;

;

;

; ;

х₁ = 1; х₂ = 1,5.

2. Выполним проверку (не обращает ли каждый из найденных корней в нуль знаменатель).

Если х = 1; то 9х - 13,5 = 9·1 - 13,5 ≠ 0;

Если х = 1,5; то 9х-13,5= 9·1,5-13,5=13,5-13.5=0, не является корнем уравнения.

Ответ: 1 (с учетом проверки).

3.

Использование основного свойства пропорции для уравнений вида .

Решение уравнений основано на следующем утверждении: в пропорции произведение крайних членов равно произведению ее средних членов. Т.е. ad = bc.

Решение уравнения вида проводится в два этапа:

1. решить уравнение f(x)·q(x)= g(x)·p(x);

2. выяснить для каждого корня, обращаются ли при найденном значении переменной х знаменатели дробей g(x) и q(x) в нуль;

3. если g(x)=0 или q(x)=0, то полученный корень уравнения f(x)·q(x)= g(x)·p(x) не является корнем исходного уравнения.

;

1. Решим уравнение:

(х - 2)(х - 4) = (х + 2)(х + 3);

х² - 4х - 2х + 8 = х² + 3х + 2х + 6;

- 6х + 8 - 5х - 6 = 0;

- 11х = -2;

х = -11: (-2);

.

2. Выполним проверку (не обращает ли найденный корень в нуль знаменатели дробей).

Если ; то х + 2 = + 2 ≠ 0;

Если х =; то х - 4 = - 4 ≠ 0

Ответ: (с учетом проверки).

4.

Использование метода введения новой переменной.

Дробные рациональные уравнения решаются с помощью введения новой переменной.

;

Введем новую переменную, обозначив х² + 2х - 3 через у. Тогда исходное уравнение сведется к уравнению с переменной у.

Пусть у = х² + 2х - 3, тогда х² + 2х - 8 = (х² + 2х - 3) - 5 = у - 5 и уравнение примет вид

;

;

;

24у = (15 + 2у)(у - 5);

24у = 15у - 75 + 2у² - 10у;

24у - 15у + 75 - 2у² + 10у= 0;

- 2у² + 19у + 75= 0;

2у² - 19у - 75= 0;

D = b² - 4ac = (-19)² - 4·2·(-75) = 361 + 600 = 961 > 0, уравнение имеет 2 корня;

;

;

;

; ;

у₁ = - 3; у₂ = 12,5.

Выполним проверку (не обращает ли каждый из найденных корней в нуль знаменатель).

Если у = -3; то у - 5 = -3 - 5 ≠ 0;

Если у = 12,5; то у - 5 = 12,5 - 5 ≠ 0.

Т.к. у = х² + 2х - 3, то получим уравнения:

х² + 2х - 3 = -3 и х² + 2х - 3 = 12,5.

Решая уравнение х² + 2х - 3 = 12,5; получим:

; .

Решая уравнение х² + 2х - 3 = -3; получим:

х₃ = -2; х₄ = 0.

Т.о. найдены четыре корня заданного уравнения.