Алгебра-9 тема Линейные уравнения с двумя переменными

Алгебра -9

Тема(1): Линейное уравнение с двумя переменными

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Цели урока:

Образовательные: ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными, решения уравнения с двумя переменными; научить узнавать, является пара чисел решением уравнения, составлять линейные уравнения по данному решению.

Развивающие: развитие познавательного интереса учащихся через введение исторического материала; умения анализировать, сравнивать, сопоставлять ; наблюдательности, внимания; формировать потребность приобретения знаний; развитие математической речи учащихся.

Воспитательные: формирование таких качеств личности, как организованность, ответственность, аккуратность, осознание общечеловеческих ценностей.

Ход урока:

I. Организационный момент.

ІI. Актуализация прежних знаний.

Здравствуйте, дорогие ребята. Послушайте сказку про Деда-Равняло и догадайтесь, о чем мы сегодня будем говорить.

1. Сказка «Дед-Равняло»

Сказка «Дед-Равняло»

Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло. Любил он с числами подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но следит, чтобы одна часть равнялась другой. А потом какое-нибудь число спрячет под маской «икс» и попросит своего внука, маленького Равнялку, найти его. Равнялка хоть и мал, но дело свое знает: быстро перегонит все числа, кроме «икса», в другую сторону и знаки не забудет у них изменить на противоположные. А числа слушаются его, быстро выполняют по его приказу все действия, и «икс» известен. Дед смотрит на то, как ловко у внучка все получается и радуется: хорошая ему смена растет.

-Итак, о чем идет речь в этой сказке?

-Об уравнениях.

- Правильно. Запишите в тетрадях число и тему урока: «Линейные уравнения с двумя переменными». Наша задача: научиться определять линейные уравнения с двумя переменными, составлять их.

- А что такое уравнение?

- Уравнение - это равенство, содержащее переменную.

2. Историческая справка.

С уравнениями вы знакомы довольно хорошо, хотя много пока неизвестного. Они зародились давно. Еще 4000 лет назад в Древнем Египте решали задачи способом, который очень напоминает составление уравнения. Такие записи сохранились в различных папирусах. Так в папирусе Ринда сохранилась такая запись «куча, 2/3 ее; 1/2 ее; 1/7 ее составляет 33», что означает уравнение х+2/3х+х/2+х/7=33.

Ребята, а вы знаете, что такое папирус и как его изготовляли?

Сначала срезали тростник и очищали его стебли. Стебли нарезали тонкими полосками и выкладывали рядами, в несколько слоев. По полоскам били молотком, пока липкий сок растений не склеивал их. Поверхность папируса терли гладким камнем делая ее ровной и гладкой.

Многие ученые занимались изучением уравнений. Один из них Омар Хайам, который был еще и поэтом. Приведу один пример его поэтического творчества.

Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно немало.

Два важных правила запомни для начала:

Ты лучше голодай, чем, что попало есть,

И лучше будь один, чем вместе с кем попало.

- Полезные правила, которые должен соблюдать каждый человек.

3. Ответить на вопросы:

- Дайте определение корня уравнения.

Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

- Является ли число 7 корнем уравнения 2х - 5 = х + 2?

- Какое уравнение называется линейным уравнением с одной переменной?

Уравнение вида ах=в, где х - переменная, а и в - некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

IІI. Объяснение нового материала.

1. Ввести понятие уравнения с двумя переменными

Выявите закономерность и выпишите лишнее уравнение:

5х+1=3, 5-0,2х=0,2х+5, -2х=4х+8, 2х-3у=9

Запишите: 2х-3у=9 - это равенство, содержащее две переменные, т.е. уравнение с двумя переменными.

Приведите примеры других уравнений с двумя переменными.

2. Ввести понятие линейного уравнения с двумя переменными

Исключите лишнее уравнение: 5х+2у=10, -7х + у=5, х²+у²=20, х+у=2.

Запишите 5х+2у=10, -7х+у=5, х-у=-2. Как они составлены?

ax + by = c - линейное уравнение с двумя переменными, где х и у - переменные, a, b,c - некоторые числа.

3. Ввести определение решения линейного уравнения с двумя переменными.

Одно из двух чисел на 5 больше другого. Обозначив неизвестные числа переменными х и у, запишите уравнение с двумя переменными. При каких значениях х и у уравнение обращается в верное числовое равенство.

При х=8 и у=3, при х=9 и у=4.

- В записи решений уравнения с переменными х и у условимся на первом месте записывать значения х, а на втором месте - значения у.

Пары чисел (8;3), (9;4), (-5;10)… является решением уравнения с двумя переменными.

Определение: решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.

4. Работа по учебнику (Абылкасымова).

№4(с8)

Являются ли решением уравнения х-у=2,5 следующие пары чисел:

а) (1,5;1), б) (4,1; 1,6) в) (0;2,5) г) (0;0)

№5(с.8)

Выразите переменную учерез х

у-2х=-4; у-х+4=0; 2х-у+5; 3х+у=4

№6(с.8)

Выразите переменную х черезу:

2х-у=-5; х+3у=7; у+х-1,5=0; у=х-9;

5. Составить уравнение по заданному решению.

1) Объяснение учителя.

Составить уравнение, решением которого является пара чисел (-4; -6).

2) Работа в парах

Поработаем в парах. Нужно составить какое-нибудь линейное уравнение с двумя переменными, решением которого служит пара чисел:

1. (2; 3), 5) (0; 10),

2. (2; 4,5), 6) (3; 5),

3. (-1; 2), 7) (2; 1),

4. (3; 1) 8) (-5; 2).

6. Дополнительные задание.

1) Среди данных уравнений отметьте галочкой те,

которые являются линейными:

2х + 3у = 1; ху = 0; 1/3 х + 1/6 = 2;

5/х + 3у = 1; х + у = 0; х/2 - 1 = у.

2) Дано уравнение 3х - 2у = 4 и пары значений х и у.

Отметьте галочкой те пары, которые являются решениями данного уравнения.

(2; 1) (2; -1) (-2; -5) (1; -2,5) (0; -2)

3) Составьте уравнение для решения задачи: «В клетке сидели фазаны и кролики. У них всего было 42 лапки. Сколько фазанов и сколько кроликов в клетке?»

Что можно сказать о числах х и у? Какие значения они могут принимать? Решите задачу методом подбора.

4) Историческая справка

Уравнения, решениями которого являются только целые числа называются диофантовыми по имени ученого Древней Греции Диофанта, жившего не ранее III в. н.э.

7. Домашнее задание.

№8,9(с.9)Абылкасымова

Найдите любые три решения уравнения

7х-8у=1; х-у=5; 5х+у=9.

Выразите в этих уравнениях одну переменную через другую

(х через у ; у через х)

Алгебра

Тема(2): Линейные уравнения с двумя переменными.

Тип урока: урок формирования умений и навыков.

Цели урока: выработать у обучающихся умение строить графики линейного уравнения с двумя переменными, решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные;

развивать познавательные навыки обучающихся, критическое и творческое мышление; воспитание познавательного интереса к математике, настойчивости, целеустремленности в учебе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Я предлагаю всем улыбнуться друг другу, чтобы наше настроение на уроке было отличным. Садитесь. Откройте тетради и запишите число и классную работу.

2. Постановка цели урока.

Сегодня на уроке мы будем строить графики линейного уравнения с двумя переменными,

решать задачи, используя при составлении математической модели две переменные.

3. Проверка домашнего задания.

Разбор нерешенных заданий (если они имеются).

4. Выполнение упражнений.

Устные упражнения:

1) Из предложенных уравнений выбрать линейное уравнение с двумя переменными:

А) 3х - у = 14

Б) 5у + х² = 16

В) 7ху - 5у = 12

Г) 5х + 2у = 16

Ответ: а, г.

Дополнительный вопрос: Какое уравнение с двумя переменными называется линейным?

Ответ: ах + ву + с = 0

2) Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения 2х + 5у = 12

А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D(11; -2).

Ответ: D(11; -2).

Дополнительный вопрос: Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

Ответ: прямая.

3) Найдите абсциссу точки Р(х; -2), принадлежащей графику уравнения 12х - 9у = 30.

Ответ: х = 1.

Дополнительный вопрос: Что называется решением уравнения с двумя переменными?

Ответ: решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Работа у доски и в тетрадях.

1) Постройте график функции 3х + у - 7 = 0.

(1 обучающийся работает у доски, остальные в тетрадях.)

Ответ обучающегося: выясним, что представляет собой график данного уравнения. Выразим переменную у через х: у = - 3х + 7. Формулой у = - 3х + 7 задается линейная функция, графиком которой является прямая. Так как уравнения 3х + у - 7 = 0 и

у = - 3х + 7 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х + у - 7 = 0. прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух точек прямой: если х = 0, то у = 7; если х = 2, то у = 1. Отметим точки (0;7) и (2;1) на координатной плоскости и проведем через них прямую. Эта прямая и есть график функции 3х + у - 7 = 0.

2) Постройте график функции 2х - 5у + 1 = 0.

Ответ обучающегося аналогичен предыдущему.

3) Найдите значение коэффициентов а ис в уравнении ах - 3у +с = 0, если известно, что

каждая из пар чисел (-3;0) и (0;2) является решением уравнения.

Ответ обучающегося: Если пары чисел являются решением уравнения, то они обращают

это уравнение в верное равенство. Следовательно а(-3) - 3·0 + с = 0 и а·0 - 3·2 + с = 0

решим данные уравнения

-3а + с =0 -6 + с = 0

с = 6

- 3 а + 6 = 0

а = 2 Ответ: а = 2, с = 6.

4) Решение задачи с помощью математической модели.

Иванов и Петров посадили на своих садовых участках яблони, причем Петров посадил яблонь в 2,5 раза больше, чем Иванов. На следующий год они увеличили число яблонь (подсадили новые саженцы), причем у Иванова стало яблонь в 3 раза больше, чем было, а у Петрова в 2 раза больше, чем было. В итоге у них вместе стало 16 яблонь. Сколько яблонь посадили Иванов и Петров в первый год?

Решение.
Первый этап. Составление математической модели. Пусть х - число яблонь, посаженных в первый год Ивановым, а у - число яблонь, посаженных в первый год Петровым. По условию задачи у = 2,5х.

Здесь целесообразно умножить обе части уравнения на 2, получим: 2у = 5х. Это уравнение перепишем в виде:
5х-2у = 0. (1)
Далее, на второй год Иванов увеличил число саженцев на своем участке в 3 раза и, значит, у него стало Зx яблонь. Петров увеличил число саженцев на своем участке в 2 раза, т. е. у него стало 2у яблонь. По условию у обоих в сумме стало 16 яблонь, т. е. Зх + 2у= 16.

Перепишем это уравнение в виде
3x + 2у - 16 = 0. (2)
Математическая модель задачи готова, она состоит из двух линейных уравнений с двумя переменными х и у - из уравнений (1) и (2). Обычно в таких случаях уравнения записывают одно под другим и используют специальный символ - фигурную скобку:

Второй этап. Работа с составленной моделью. Интересующая нас пара чисел (х; у) должна удовлетворять и уравнению (1), и уравнению (2), т. е. интересующая нас точка (х; у) должна лежать как на прямой (1), так и на прямой (2). Для этого построим прямую (1), затем прямую (2) и найдем точку пересечения этих прямых.

1) строим график уравнения 5х - 2у = 0. Если х = 0, то у = 0; если х = 2, то у = 5. Проведем через точки (0; 0) и (2; 5) прямуюI.

2) строим график уравнения Зx + 2у - 16 = 0. Если х = 0, то у = 8; если х = 2, то у = 5. Проведем через точки (0; 8) и (2; 5) прямуюII.
3) прямые 1 и 2 пересекаются в точке (2; 5), т. е. х = 2, у = 5.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Спрашивается, сколько яблонь посадили в первый год Иванов и Петров, т. е. чему равны х и у?

Ответ: в первый год Иванов посадил 2 яблони, а Петров - 5 яблонь.

5. Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1.Какие из пар чисел (1;1), (6;5), (9;11) являются решением уравнения

5х - 4у - 1 =0?

2. Постройте график функции 2х + у = 4.

3. Найдите точку пересечения двух прямых х - у =1 и х + 3у = 9.

Вариант 2.

1. Какие из пар чисел (1;1), (1;2), (3;7) являются решением уравнения

7х - 3у - 1 =0?

2. Постройте график функции 5х + у - 4 = 0.

3. Найдите точку пересечения двух прямых х - 2у = 6 и 3х + 2у = -6.

6. Домашнее задание.

№17(с.9)Абылкасымова

1. При каком значении а прямая ах+2у=11 проходит через точку С(7;5)

2. При каких значениях а и в прямая ах+ву+1 проходит через точки А(-5;8)и В(3;-4)

№18(с.9)

При каком значении кпрямая:

1. у=кх-3 проходит через точку А(-2;9)

2. у=кх+5 проходит через точку В(10;5)

3. у=кх+4 параллельна прямой х+3у=1

4. у=кх-7 параллельна прямой 4х-5у=3

7. Подведение итогов урока.

Алгебра-9

Тема (1): Нелинейные уравнения с двумя переменными

Цель: опрос и проверка домашнего задания, ознакомить с видами нелинейных уравнений с двумя переменными с их графиками, решение задач на закрепление.

Ход урока.

I. Организационный момент

II. Опрос

1) Опр. и вид линейного уравнения с одной перемен.

2)Опр. и вид линейного уравнения с двумя перемен.

3) Что наз. решением уравнения?

III. Новая тема.

Если степень перемен.больше 1, то уравнение наз. нелинейным.

1. у=а+вх+с - парабола

2. у=кх+в- прямая

3. у=кх- прямая, проходящая через (0;0)

4. у= - гипербола

5. += - окружность с центром в точке(а;в)

6. += - окружность с центром (0;0)

3х²-4у+5=0 - ур-е второй степени

7х³-5ху²+6ху=13 - ур-е третьей степени

0,5х³у+2ху=3у+20 - ур-е четвертой степени.

Графиком является - кривая линия.

ІV. Решение задач на закрепление. (71,72,73 ( нечет))

№65(устно) (Шыныбеков)

Определите степень уравнения

1. 4-2+х-1=0 6) xyz---=2

2. 5-у-2=0 7) (x-y)+(x+y)z=

3. 4ху+х-5+у=0 8) =x

4. 8у+5=11 9)=+1

5. ху+хz+zy=1 10) xy+-3x-2z+9=0

№67(1,3,5)

Найдите угловой коэффициент прямой и постройте ее график:

1. у=3х-5 3) 2х+у-4=0 5) 3х+2у-4=0

№68(1,3,5)

Постройте график уравнения

1. +=16 3) +=4 5) у= - 4х+3

№72

Определите координаты центра и радиус окружности

1. +-6х+8у+9=0

2. ++3х-4у=0

3. ++7у=0

4. +-х-у-3=0

V.Домашнее задание № 67(2,4,6), 68(2,4,6), 66,69 (71,72,73 ( чет))

№66

Напишите уравнение окружности с центром в точке (; ) и радиусом R:

1)(0;0),R=4; 2) (-1;0), R=2, 3) (2;3),R=3

№67(2,4,6)

Найдите угловой коэффициент прямой и постройте ее график:

2) у=-0,7х+1 4) х-2у+2=0 6) -5х+3у+16=0

№68(2,4,6)

Постройте график уравнения

2. +=9 4)у=-1 5) у= - 2

№69

Какая из точек А(1;4), В(-1;4), С(3;) и Д(;-8) лежит на графике уравнения ху=4?

Алгебра -9

Тема (2): Нелинейные уравнения с двумя переменными

Цель: опрос и проверка домашнего задания, математический диктант, решение задач на закрепление.

Ход урока.

I. Организационный момент

II. Опрос

1)Опр. Виды нелинейного уравнения с двумя перемен, их графики.

2) Что наз. решением уравнения?

Математический диктант.

Выразите х через у; выразите у через х

А) х-у=5 б) 5х+у=9

Б) 2х-у=5 г) х+2у=-4

Степень

А) 5х-3у=0; б) ху-у=1;

В)3х²+5=у³; Г) ху²-х=4

Постройте окружность О(х;у) и R

А) R=2, O₁(0;2) б) R=1, O₁(-3;2)

ІІІ. Решение на закрепление. ( 74, 76,84,86( нечет))

№70 Найдите ординату точки с абсциссой, равной 3 и принадлежащей графику уравнения:

1. -2ху+2+х-6у+6=0

2. =9

3. +4=0

4. -3х-у+2=0

№74 Постройте график уравнения

1. 2-4х-у+5=0

2. +-х+5у+=0

3. +- - =0

4. -8х-у+13=0

ІV. Домашнее задание. №73, 76 ( 74, 76,84,86( чет))

№73 Определите геометрический смысл уравнения

1. +3х-у+7=0

2. + 3у -х+7=0

3. + -8х+7=0

4. ху=2

№76 Определите вершину параболы

1. 3-2х+у-5=0

2. 2 +3х -у+5=0

Алгебра -9

Тема(1): Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Цели урока: овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности;развитие математического мышления, воспитание интереса к математике, развитие инициативы и творчества;формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры.

Задачи урока:
расширение практических навыков решения систем уравнений;знакомство учащихся с отдельными мыслительными приемами; научиться делать вывод из решения математических заданий.

1. Решить систему уравнений:

( изюминка)



Получили простейшую систему; применяя метод алгебраического сложения, получим:





. Решить систему уравнений:

состоит в том, что решения этой системы можно подобрать, как корни приведенного квадратного уравнения ( по теореме Виета).



Ответ: (8;-5); (-5;8).

3. Решить систему уравнений:





( изюминка)

или

решаем, как пример 2.

(3;4); (4;3); (-3;-4); (-4;-3).

Решить систему уравнений:

(изюминка)

+



при условии x>y

или

Ответ: (3;-2); (-3;-8).

Итоги урока :
Домашнее задание: №87,88 (с.20)(Шыныбеков)

Алгебра -9

Тема(2): Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Цели урока:

1) Продолжить работу по оказанию помощи учащимся самостоятельно находить способы решения систем уравнений с двумя переменными.
2) Развивать практические навыки учащихся.
3) Воспитание самостоятельности, ответственного отношения к делу, инициативы и самостоятельности принятия решения.

Оборудование: учебник "Алгебра 9", материалы теста

Ход урока

I. Оргмомент:

1) Проверка наличия выполнения домашнего задания

2) Девиз дня: "Человек, не знающий на чём он стоит или должен стоять, никогда не достигнет подлинного счастья."

(ЛайонеллКендрик)

II. Актуализация опорных знаний.

• Какими способами можно решить систему уравнений с двумя переменными?

• П.

• Что надо знать, чтобы уметь решать уравнения?

• Выполните тест (устно)

1.Найдите решение системы уравнений:

А) (-7;1) Б) (7;1); В) (7;-1); С) (-7;-1).

2.Составьте систему уравнений по условию:

Одно из чисел на 2 больше другого. Утроенное первое число равно удвоенному второму.

А) ; Б) ; В) ; С) .

3.Какая из точек является решением данной системы уравнений

А) (1;3); Б) (1;3); В) (-1;-3); С)(1;-3)?

(Ответы: 1.Б; 2.Г;3.А)

ІІІ. Решение на закрепление.

№89 (1,3) (Шыныбеков)

1. -=-21 3) + =34

х+у=-3 х+у=7

№91 (1,3) (Шыныбеков)

1. +3ху - +2х-5у=-64 3) 4 +5=16

х-у=-7 +5=25

ІV. Итоги урока. Дом.задание.№89(2,4), 91(2,4)

№89(2,4)

2. +=74 4) -2ху-=1

х-у=2 х+у=2

№91(2,4)

2. +3 -4х-5у-8=0 4) +ху=15

х-у+1=0 +ху=10

Алгебра -9

Тема(3): Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными

Цели урока:

• обобщить и систематизировать навыки и умения учащихся при решении систем уравнений;

• развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки;

• формирование умения работать в группе.

Оборудование: учебник "Алгебра 9", материалы теста «ВОУД»

Ход урока

I. Оргмомент:

1) Проверка наличия выполнения домашнего задания

II. Актуализация опорных знаний.

• Какими способами можно решить систему уравнений с двумя переменными?

• Что надо знать, чтобы уметь решать уравнения?

• Выполните (устно)

1.Найдите решение системы уравнений:

3х-у=0

+2у=7

А) (-1;1) Б) (1;3); В) (1;-3); С) (-1;-3).

2.Составьте систему уравнений по условию:

Произведение двух положительных чисел равно 96. Одно из них на 4 больше другого. Найдите эти числа.

ху=96 х-у=4 х=4-у -ху=96

А) х+у=4 Б) ху=96 В) ху=96 С) х=4+у

3.Какая из точек является решением данной системы уравнений

х+у=5

ху=6

А) (2;3); Б) (1;5); В) (-2;-3); С)(-1;-5)?

ІІІ. Решение на закрепление. Работа с учебником.

№96(2) №97(2)

+=3 у-х=2

х+у=2 =3

ІV. Самостоятельная работа

І вр ІІ вр

х+у=10 х-у=7 х-у=4 х-у=7

-=40 ху=-10 -=40 ху=-12

V. Итоги урока. Дом. Задание

№ 96(1), 97(1)

№96 №97

1. +=18 1) + =1

х+у=12 х+у=4