Тригонометрические уравнения

Составитель:

Баскакова Т.В.

КГБОУ НПО "Профессиональное училище № 86»

Методическое пособие

По теме тригонометрические уравнения

КРАСНОЯРСК 2011

Составитель:

Баскакова Т.В.

Тригонометрические уравнения : Методическое пособие для обучающихся/ Т. В.Баскакова. Профессиональное. училище № 86, 2011. - 50 c.

Предназначено для организации внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся.

Состоит из опорных конспектов, теории с сопровождением примеров от простых к сложным и теста для проверки усвоения материала

Опорные конспекты составлены на весь раздел «Тригонометрия», что позволяет обучающимся вспомнить и использовать на практике тригонометрические знания. В пособии рассматриваются методы решения тригонометрических уравнений.

КГБОУ НПО «Профессиональное

училище№86», 2011

Рецензия

на методическое пособие для внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся по теме «Тригонометрические уравнения» дисциплина «Математика», составленное преподавателем КГБ ОУ НПО «Профессиональной училище №86» Баскаковой Татьяны Владимировны

Методическое пособие предназначено для организации аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся, а так же может быть использовано для самостоятельной подготовки к экзамену.

Данное пособие состоит из 3 частей: опорные конспекты, примеры методов решения тригонометрических уравнений, с дифференцированными заданиями (по уровню сложности) для самостоятельного решения обучающимися, тестирование.

Особо отметим, что в первой части «опорные конспекты» даны в полном объеме по данному разделу в «тригонометрии», что позволяет обучающимся вспомнить ранее изученный материал и приступить к изучению нового. Представленные в пособии задания направлены на отработку умений решать тригонометрические уравнения различного типа, умение выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений, умение провести анализ предложенного уравнения с целью получения оснований для отнесения уравнения к одному из известных видов.

Рецензируемое пособие логично и доступно конструировано, что позволяет обучающимся самостоятельно работать с ним.

Данное пособие входит в состав учебно-методического комплекса по дисциплине «математика»

Пособие представляет практическую ценность и может быть рекомендовано к печати, а также к использованию на практике.

Рецензент:

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Раздел «Тригонометрия» является наиболее сложным для обучающихся. Одной из причин этого является недостаточное количество программных часов, отводимое на изучение этого раздела, а так же поверхностное изложение некоторых важных вопросов, и связанных с решением тригонометрических уравнений, отбором и исследованием корней. Говоря об умениях решать тригонометрические уравнения нужно иметь в виду, что эти умения образуют целый комплекс, в который входят следующие:

- умения отыскать на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам

- умение провести анализ предложенного уравнения с целью получения оснований для отнесения уравнения к одному из известных видов;

- умение решать простейшие тригонометрические уравнения и иллюстрировать решение с помощью графика, тригонометрического круга;

- умение применять свойства тригонометрических функций при решении уравнений

- умение решать алгебраические уравнения определенных видов (линейные, квадратные, дробно-рациональные, однородные, сводящиеся к совокупностям алгебраических уравнений указанных видов)

Перечисленные умения формируются в течение длительного времени, рядом из них обучающиеся должны владеть, приступая к изучению тригонометрических уравнений. Но рассмотрение приемов решения тригонометрических уравнений предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

Предложенные ниже методики предусматривает овладение учащимися умениями решать простейшие тригонометрические уравнения и знакомство с приемами решения тригонометрических уравнений .

Анализ сдачи единого государственного экзамена показал, что обучающиеся допускают много ошибок при выполнении заданий именно этого раздела или вообще не берутся за такие задания. Этот недостаток в получении тригонометрических знаний помогает устранять данное методическое пособие. Оно может служить пособием при подготовке к урокам, самостоятельным и контрольным работам, тестам, для самостоятельной подготовки к экзаменам.

Опорный конспект, опорная схема, рисунок, как одна из форм изложения сведений о язык не способствует развитию как познавательных мотивов, так и социальных и творческих, облегчает понимание новой информации и закрепляет её в долговременной памяти - всё это обуславливает актуальность темы «опорные конспекты как средство формирования информационной, учебно- познавательной, коммуникативной компетенции».

Основное содержание данного пособия составляют методы решения тригонометрических уравнений. Изложение материала построено на решении дифференцированных примеров (по уровню сложности) и сопровождается всеми необходимыми для этого теоретическими сведениями. Пособие содержит разбор конкретных заданий, предлагаемых на вступительных экзаменах, а также достаточное количество примеров и задач для самостоятельной работы, тренировки обучающихся.

Пособие начинается с исторических сведений и основных опорных конспектов по данной теме. Работу с пособием лучше начинать с повторения единичной окружности, последовательно разбирая пример за примером и закрепляя затем рассмотренные методы решения тригонометрических задач на приведённых в конце задачах для самостоятельной работы.. Для определения полученных знаний обучающиеся выполняют тест.

Успехов!!!

Исторические сведения о развитии тригонометрии

Слово «тригонометрия» составлено из двух греческих слов: «тригонон» - треугольник и «метрео» - измеряю. Основной задачей тригонометрии является нахождение неизвестных параметров треугольника по данным значениям других его параметров. Например, по данным сторонам треугольника можно вычислить его углы, по известным значениям площади и двух углов вычислить его стороны и т. д.

Первые методы нахождения неизвестных параметров данного треугольника были развиты учеными Древней Греции за несколько веков до нашей эры. Греческие астрономы знали

синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие отыскивать хорду окружности по стягиваемой ею дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах.

Все древние цивилизации вносили свой вклад в дело накопления тригонометрических знаний. На одной из глиняных табличек Древнего Вавилова, возраст которой определяется вторым тысячелетием до нашей эры, решается тригонометрическая задача.

Значительно развили тригонометрию индийские средневековые астрономы и арабские ученые. В X веке багдадский ученый Абу-ль-Вефа присоединил к понятиям синусов и косинусов понятия тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Абу-ль-Вефа установил также основные соотношения между ними. Благодаря работам знаменитого арабского ученого Насир эд-Дина (1201-1274) тригонометрия становится самостоятельной научной дисциплиной. Насир эд-Дин рассмотрел все случаи решения плоских и сферических треугольников. В XII веке с арабского языка на латинский был переведен ряд астрономических работ, по которым европейцы познакомились с тригонометрией, не многие работы Насир эд-Дина остались им неизвестны.

Выдающийся немецкий астроном XV века Региомонтан (1436-1476) заново сформулировал теоремы Насир эд-Дина. Региомонтан составил таблицы синусов плоских углов с точностью до седьмой значащей цифры. В середине XVIII века, благодаря русскому академику Леонарду Эйлеру (1707-1783), тригонометрия приняла современный вид. Он разработал её как науку о тригонометрических функциях, ввел записиsinx, tgx, обозначил а, в, с для сторон и А,В,С для противоположных углов Δ АВС.

Эйлер рассматривал тригонометрические функции аргумента х - радианной меры соответствующего угла, давая этому аргументу различные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

I. Опорные конспекты

Числовая окружность

Единичная окружность - это окружность, радиус которой принят за единицу измерения.

Числовая окружность - это единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности:

Указанное соответствие можно определить следующим образом: каждому числу  соответствует такая точка Р числовой окружности, чтобы дуга ОР имела длину || и была отложена в положительном направлении если  > 0 и в отрицательном, если

 < 0:

Признаки числовой окружности:

1) начало отсчета - правый конец горизонтального диаметра;

2) единичный отрезок - длина радиуса окружности;

3) положительное направление - против часовой стрелки.

Откладывать можно дуги какой угодно длины. То есть числовую окружность можно рассматривать как окружность радиуса 1, на которую «намотана» числовая прямая:

2. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:

III. Формулы приведения:

1) функция меняется на кофункцию при переходе через вертикальную ось и не меняется при переходе через горизонтальную;

2) перед приведенной функцией ставится знак приводимой функции, считая  углом первой четверти.

IV Формулы двойного аргумента:

V. Формулы понижения степени

:

3. Простейшие тригонометрические уравнения

Если правая часть уравнения - отрицательное число, то следует воспользоваться свойствами соответствующих обратных тригонометрических функций, тогда:

!!! Частный случай

Арксинусом числа а называется такое число х из интервала , синус которого равен а.

Арккосинусом числа а называется такое число х из интервала [0; ], косинус которого равен а.

Арктангенсом числа а называется такое число х из интервала , тангенс которого равен а.

Арккотангенсом числа а называется такое число х

из интервала (0; ), котангенс которого равен а

1. Для отрицательных значений аргумента:

V Угол поворота



Полный оборот - это угол поворота, равный 2 рад (или 360).

Некоторые положения конечной точки угла поворота:

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Формулы приведения

Числовая окружность на координатной плоскости

Формулы половинного аргумента (знак - по функции в левой части):

Формулы сумм:

Формулы произведений:

Универсальная тригонометрическая подстановка:

II Методы решения тригонометрических уравнений

II.IПростейшие тригонометрические уравнения

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений смотри опорный конспект №2

Каждая из функций и определена на отрезке [-1; 1] и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: .
Функции и определены на всей числовой прямой и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: .
При решении тригонометрического уравнения, не являющегося простейшим, его сводят тем или иным способом к одному или нескольким простейшим.
Пример 1. Решить уравнение

(1)

Решение.
Исходное уравнение равносильно совокупности

Решением первого уравнения этой совокупности является семейство , а второго - семейство . Объединение этих двух множеств и есть решение уравнения(1). Эти решения можно для краткости записать в виде .
Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

(2)

Решение.
Грубая ошибка, которую допускают при решении этого уравнения состоит в следующем: обучающиеся записывают решение , однако они не учитывают, что , следовательно, уравнение (2) решений не имеет.
Ответ: Æ

Пример 3. Решить уравнение

(3)

Решение.
Применив формулу решения простейшего тригонометрического уравнения, получим

(4)

Далее многие обучающиеся для нахождения х возводят левую и правую часть уравнения (4) в квадрат, не учитывая, что , а это влечет за собой . Так как последнему неравенству удовлетворяют только , то

Ответ:

II. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

То всякое решение уравнения

(1)

Является решением совокупности уравнений

(2)

Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции .
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество (смотри опорный конспект №3), уравнение представим в виде

^↔

Грубой ошибкой, которую часто допускают при решении, является сокращение левой и правой части уравнения (4) на , так как при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение

^↔
↔

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

(5)

Решение.
Преобразуем правую часть уравнения (5) следующим образом

Затем перенесем все слагаемые в левую часть и получим

(6)

ОДЗ уравнения (6) являются все , за исключением . На данной ОДЗ уравнение (6) равносильно совокупности двух уравнений

Первое уравнение имеет решение , а второе . Однако ОДЗ принадлежат лишь , которые и являются решением исходного уравнения (5).
Ответ:

Примеры для самостоятельного решения:

1. Решить уравнение

2. При всех значениях а решить уравнение

3. При всех значениях а решить уравнение

III. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:

Пример 1. Решить уравнение

(1)

(1)

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество, осуществим замену , тогда уравнение (1) примет вид

Введем подстановку , тогда получим квадратное уравнение

Решая его, находим корни . Затем осуществляя обратную подстановку или , получаем решение исходного уравнения.
Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

(2)

Решение.
Введем подстановку , тогда уравнение (2) примет вид

откуда . Так как , то корень не подходит. Следовательно,

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения:

1.Решить уравнение Ответ:

2.Решить уравнение Ответ:

3.Решить уравнение

IV Решение однородных уравнений.

Уравнение вида

…1

где - действительные числа, называются однородными уравнениями степени относительно функций и .
К квадратичным уравнениям вида (1) приводятся уравнения вида

2

при этом следует применить формулы синуса и косинуса двойного угла

,

а также тождество

Общий подход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравнений или не являются корнями уравнения (1), так как, если, например, , то из уравнения (1) следует, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Следовательно, левую и правую части уравнения (1) можно разделить на и ввести подстановку

Пример 1. Решить уравнение

(3)

Решение.
Разделим левую часть на 2 и положим . Тогда уравнение (3) примет вид

Применив формулу , получим

откуда

Следовательно,

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения:

1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. Решить уравнение

V.Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Рассмотрим уравнение

(1)

Разделим левую и правую часть уравнения (1) на :

Так как

то существует угол φ такой, что

при этом

Тогда уравнение (1) примет вид

Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор и выбор будут не всегда равносильны.

Пример 1. Решить уравнение

(2)

Решение.
Разделим левую и правую часть уравнения на . Тогда получим

Ответ можно записать в другом виде. Для этого положив получим
Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

(3)

Решение.
Разделим левую часть на 2 и положим . Тогда уравнение (3) примет вид

Применив формулу , получим

откуда

Следовательно,

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения:

1. Решить уравнение .

Ответ:

2. Решить уравнение .

[свериться с ответом]

Ответ:

3. Решить уравнение .

Ответ:

4. При всех значениях а решить уравнение .

Ответ:

при
при

1. Решить уравнение .

Ответ:

2. Решить уравнение .

Ответ:

3. Решить уравнение .

VI.Решение уравнений с применением формул понижения степени.

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Применив формулу понижения степени, получим

Последнее уравнение равносильно совокупности трех уравнений

которые имеют соответственно следующие множества решений

Решение из множества при содержаться в множестве (), а при в множестве
Ответ:

Примеры для самостоятельного решения:

1. Решить уравнение .

Ответ:

2. Решить уравнение

VII.Решение уравнений методом универсальной подстановки.

Тригонометрическое уравнение вида

(1)

где R - рациональная функция, , с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов после чего уравнение (1) может быть сведено к рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки (Смотри ОК №6,7)

(2)

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы корнями исходного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
По условию задачи . Применив формулы (2) и сделав замену , получим

откуда t=0 и, следовательно,
Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение.
По условию задачи . Используем формулы (2) и заменим , тогда получим

откуда . Следовательно, .
Заметим, что в данном случае применение подстановки не сужает ОДЗ исходного уравнения.
Ответ:

Примеры для самостоятельного решения:

Решить уравнение

Ответ:

Ответ:

Ответ:

VIII. Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений.

Не всякое уравнение f(x)=g(x) в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций f(x) и g(x), как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке X, то при наличии у уравнения f(x)=g(x) корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если, далее, функция f(x) на промежутке X ограничена сверху, причем , а функция g(x) ограничена снизу, причем , то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнении . Иногда для решения уравнения f(x)=g(x) можно построить графики функции y=f(x), y=g(x) и определить абсциссы точек пересечения. В этом параграфе также рассматривается применение производной для исследования тригонометрических уравнений. Ответ:

Ответ:

Ответ:

Пример 1. Решить уравнение

……(1)

(1)

Преобразуем уравнение (1) к виду

Так как , а , то последнее уравнение равносильно системе

(2)

Второе уравнение системы (2) имеет единственный ко­рень х=2, подставляя его в первое уравнение, убеждаемся, что он удовлетворяет ему. Следовательно, х=2 - корень системы (2), а значит, и уравнения (1).
Ответ: х=2

Примеры для самостоятельного решения:

1. Решить уравнение

2. Решить уравнение

3. Решить уравнение

III тестирование

Литература:

1. Азаров А.И. и др. Тригонометрические уравнения: Учеб. пособие / А.И. Азаров, О.М. Гладун, В.С. Федосенко / - ООО"Тривиум", 2008. - 160с.

2. Евдокимова Н.Н. Тригонометрия: Теория и примеры. - СПб: Издательский Дом "Литера", 2005. - 64с.

3. Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 176с.

4. Коноплева О.А. Математика в таблицах: 7 - 11 классы. - СПб.: "Тригон", 2005. - 104с.

5. Математика. Сборник тестов ЕГЭ 2007 - 2011. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. - Ростов-на-Дону: Легион, 2011. - 192с.

6. Математика. Способы решения экзаменационных задач - 2009. Под редакцией З.С. Стромова. - Волгоград: Братья Гринины, 2009. - 64с.

7. Потапов М.К. Алгебра и начала анализа: дидакт. материалы для 10 кл. / М. К. Потапов, А.В. Шевкин. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 159с.

Оглавление

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 4

Исторические сведения о развитии тригонометрии 7

I. Опорные конспекты 10

II Методы решения тригонометрических уравнений 18

II.IПростейшие тригонометрические уравнения 18

II. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители. 20

III. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным. 24

IV Решение однородных уравнений. 26

V.Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента. 29

VI.Решение уравнений с применением формул понижения степени. 32

VII.Решение уравнений методом универсальной подстановки. 33

VIII. Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений. 36

III тестирование 38

38

Литература: 49

Оглавление 50