- Преподавателю
- Математика
- Виды алгебраических уравнений и способы их решения
Виды алгебраических уравнений и способы их решения
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Ермакова Т.П. |
Дата | 15.01.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
7
Виды алгебраических уравнений и способы их решения
Для учащихся, интересующихся математикой, при решении алгебраических уравнений высших степеней эффективным методом быстрого нахождения корней, деление с остатком на двучлен х - или на ах + b, является схема Горнера.
Рассмотрим схему Горнера.
Обозначим неполное частное при делении Р(х) на х - через
Q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-1, а остаток через bn.
Так как Р(х) = Q(x)(х-) + bn, то имеет место равенство
а0xn + а1xn-1 + … + аn = (b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-1)(х-) + bn
Раскроем в правой части скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа. Получим, что а0 = b0 и при 1 k n имеют место соотношения аk = bk - bk-1. Отсюда следует, что b0 = а0 и bk = аk + bk-1, 1 k n.
Вычисление коэффициентов многочлена Q(x) и остатка bn запишем в виде таблицы:
а0
а1
а2
…
аn-1
аn
b0 = а0
b1=а1 + b0
b2=а2 + b1
…
bn-1=аn-1+ bn-2
bn= аn+ bn-1
Пример 1. Разделить многочлен 2x4 - 7x3 - 3х2 + 5x - 1 на х + 1.
Решение. Используем схему Горнера.
2
-7
-3
5
-1
-1
2
-9
6
-1
0
При делении 2x4 - 7x3 - 3х2 + 5x - 1 на х + 1 получим 2x3 - 9х2 + 6x - 1
Ответ: 2x3 - 9х2 + 6x - 1
Пример 2. Вычислить Р(3), где Р(х) = 4x5 - 7x4 + 5х3 - 2х + 1
Решение. Используя теорему Безу и схему Горнера, получим:
4
-7
5
0
-2
1
3
4
5
20
60
178
535
Ответ: Р(3) = 535
Упражнение
-
Используя схему Горнера, разделить многочлен
4x3 - x5 + 132 - 8х2 на х + 2;
2) Разделить многочлен
2x2 - 3x3 - х + х5 + 1 на х + 1;
3) Найти значение многочлена Р5(х) = 2х5 - 4х4 - х2 + 1 при х = 7.
1.1. Отыскание рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами
Способ отыскания рациональных корней алгебраического уравнения с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.
Теорема: Если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональные корни, то они есть частное от деления делителя свободного члена на делитель старшего коэффициента.
Доказательство: а0xn + а1xn-1 + … + аn = 0
Пусть х = р/q - рациональный корень, q, p - взаимнопростые.
Подставив дробь р/q в уравнение, и освободившись от знаменателя, получим
а0рn + а1рn-1q+ … + аn-1pqn-1 + anqn = 0 (1)
Перепишем (1) двумя способами:
anqn = р(- а0рn-1 - а1рn-2q - … - аn-1qn-1) (2)
а0рn = q (- а1рn-1 -… - аn-1рqn-2 - аnqn-1) (3)
Из равенства (2) следует, что anqn делится на р, и т.к. qn и р взаимно просты, то an делится на р. Аналогично из равенства (3) следует, что а0 делится на q. Теорема доказана.
Пример 1. Решить уравнение 2x3 - 7x2 + 5х - 1 = 0.
Решение. Целых корней уравнение не имеет, находим рациональные корни уравнения. Пусть p/q несократимая дробь является корнем уравнения, тогда р находим среди делителей свободного члена, т.е. среди чисел 1, а q среди положительных делителей старшего коэффициента: 1; 2.
Т.е. рациональные корни уравнения надо искать среди чисел 1, 1/2, обозначим Р3(х) = 2x3 - 7x2 + 5х - 1, Р3(1) 0, Р3(-1) 0,
Р3(1/2) = 2/8 - 7/4 + 5/2 - 1 = 0, 1/2 - корень уравнения.
2x3 - 7x2 + 5х - 1 = 2x3 - x2 - 6 x2+ 3х + 2х- 1 = 0.
Получим: x2(2х - 1) - 3x(2х - 1)+ (2х- 1) = 0; (2х- 1)(x2 - 3x+ 1) = 0.
Приравнивая второй множитель к нулю, и решив уравнение, получим
Ответ: ,
Упражнения
Решить уравнения:
-
6x3 - 25x2 + 3х + 4 = 0;
-
6x4 - 7x3 - 6х2+ 2х + 1 = 0;
-
3x4 - 8x3 - 2х2+ 7х - 1 = 0;
1.2. Возвратные уравнения и методы решения
Определение. Уравнение с целыми степенями относительно неизвестного называется возвратным, если его коэффициенты, равноотстоящие от концов левой части, равны между собой, т.е. уравнение вида
аxn + bxn-1 + cxn-2 + … + cx2+ bx + а = 0
Возвратное уравнение нечетной степени
аx2n+1 + bx2n + cx2n-1 + … + cx2+ bx + а = 0
всегда имеет корень х = - 1. Поэтому оно эквивалентно объединению уравнению х + 1 = 0 и х2n + x2n-1 + … + x + = 0. Последнее уравнение является возвратным уравнением четной степени. Таким образом, решение возвратных уравнений любой степени сводится к решению возвратного уравнения четной степени.
Как же его решать? Пусть дано возвратное уравнение четной степени
аx2n + bx2n-1 + … + dxn+1+ exn + dxn-1 + … + bx + а = 0
Заметим, что х = 0 не является корнем уравнения. Тогда делим уравнение на хn, получим
аxn + bxn-1 + … + dx + e + dx-1 + … + bx1-n + аx-n = 0
Группируем попарно члены левой части
а(xn + x-n) + b(xn-1 + x-(n-1) + … + d(x + x-1) + e = 0
Делаем замену х + х-1 = у. После подстановки выражений х2 + х-2 = у2 - 2;
х3 + х-3 = у3 - 3у; х4 + х-4 = у4 - 4у + 2 в уравнение получим уравнение относительно у Ауn + Byn-1 +Cyn-2 + … + Ey + D = 0.
Для решения этого уравнения нужно решить несколько квадратных уравнений вида х + х-1 = уk, где к = 1, 2, … n. Таким образом, получим корни исходного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение х7 + х6 - 5х5 - 13х4 - 13х3 - 5х2 + 2х + 1 = 0.
Решение. х = - 1 является корнем уравнения. Применим схему Горнера.
1
2
- 5
-13
-13
-5
2
1
-1
1
1
-6
-7
-6
1
1
0
Наше уравнение примет вид:
(х + 1)(х6 + х5 - 6х4 - 7х3 - 6х2 + х + 1) = 0
1) х + 1 = 0, х = -1;
2) х6 + х5 - 6х4 - 7х3 - 6х2 + х + 1 = 0 | : x3 0; х3 + х2 - 6х - 7 - 6/х + 1/х2 + 1/х3=0.
Группируя, получим: .
Вводим замену: ; ; .
Получим относительно у уравнение: у3 - 3у + у2 - 2 - 6у - 7 = 0;
у3 + у2 - 9у- 9 = 0; у2 (у + 1) - 9(у + 1) = 0; (у + 1)(у2 - 9); у1 = -1, у2,3 = 3.
Решая уравнения , , ,
получим корни: , , ,
Ответ: х1 = -1, ,
Упражнения
Решить уравнения.
-
2х5 + 5х4 - 13х3 - 13х2 + 5х + 2 = 0;
-
2х4 + 3х3 - 16х2 + 3х + 2 = 0;
-
15х5 + 34х4 + 15х3 - 15х2 - 34х - 15 = 0.
1.3. Метод замены переменной при решении уравнений
Метод замены переменной - самый распространенный метод. Искусство производить замену переменной заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.
Если дано уравнение
F(f(x)) = 0, (1)
то заменой неизвестной у = f(x) оно сначала сводится к уравнению
F(у) = 0, (2)
а потом после нахождения всех решений уравнения (2) у1, у2, …, yn, … сводится к решению совокупности уравнений f(x) =у1, f(x) = у2,…, f(x) = у2, …
Основными способами реализации метода замены переменной являются:
-
использование основного свойства дроби;
-
выделение квадрата двучлена;
-
переход к системе уравнений;
-
раскрытие скобок парами;
-
раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения;
-
понижение степени уравнения;
-
двойная замена.
1.3.1. Понижение степени уравнения
Решить уравнение (х2 + х + 2)(х2 + х + 3) = 6 (3)
Решение. Обозначим х2 + х + 2 = у, тогда полечим у(у+1)=6, решая последнее, получим у1 = 2, у2 = -3. Данное уравнение (3) равносильно совокупности уравнений х2 + х + 2 = 2
х2 + х + 2 = -3
Решая первое, получим х1 = 0, х2 = -1. Решая второе, получим ,
Ответ: х1 = 0, х2 = -1, ,
1.3.2. Уравнение четвертой степени вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, где а + b = c + d, или а + с = b + d, или а + d = b + c.
Пример. Решить уравнение (х - 1)(х - 7)(x -4)(x + 2) = 40
Решение. - 1- 4 = - 7 + 2, - 5 = - 5, перемножив эти пары скобок, получим уравнение (х2 - 5х - 14)(х2 - 5х + 4) = 40
Введем замену: х2 - 5х - 14 = у, получим уравнение у(у + 18) = 40, у2 + 18у = 40, у2 + 18у - 40 = 0. у1 = -20, у2 = 2. Возвращаясь к исходной переменной, решим совокупность уравнений:
х2 - 5х - 14 = - 20 х1 = 2; х2 = 3
х2 - 5х - 14 = 2 х3,4 =
Ответ: х1 = 2; х2 = 3 х3,4 =
1.3.3. Уравнение вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ех2,
где ab = cd, или ac =bd, или ad = bc. Раскрываем скобки парами и делим обе части на х2 0.
Пример. (х - 1)(х - 2)(x - 8)(x - 4) = 4х2
Решение. Произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвертой скобках, равны, т.е. - 8(- 1) = (- 2)(- 4). Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение (х2 - 9х + 8)(х2 - 6х + 8) = 4х2.
Поскольку х = 0 не является корнем уравнения, разделим обе части уравнения на х2 0, получим: , замена: , исходное уравнение примет вид: t(t+3) =4, t2 + 3t=4, t2 + 3t - 4=0, t1 =1, t2 = - 4.
Вернемся к исходной переменной:
х2 - 10х + 8 = 0
х2 - 5х + 8 = 0
Первое уравнение решаем, получим х1,2= 5
Второе уравнение не имеет корней.
Ответ: х1,2= 5
1.3.4. Уравнение четвертой вида (ах2 + b1х + c)(aх2 + b2x + c) = Aх2
Уравнение (ах2 + b1х+ c)(aх2 + b2x + c) = Aх2, где с 0, А 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х2 , получим равносильное ему уравнение , которое после замены неизвестной перепишется в виде квадратного и легко решается.
Пример. (х2 + х+ 2)(х2 + 2x + 2) = 2х2
Решение. Легко видно, что х = 0 не является корнем данного уравнения, разделив данное уравнение на х2, получим уравнение
замена , получим уравнение (у+1)(у+2) = 2, решив его, имеем корни у1 = 0; у2 = - 3, следовательно исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
решая, получим х1 = -1; х2 = -2.
Ответ: х1 = -1; х2 = -2
1.3.5. Уравнение вида: a(cx2 + p1x + q)2 + b(cx2 + p2x + q)2 = Ax2
Уравнение a(cx2 + p1x + q)2 + b(cx2 + p2x + q)2 = Ax2, где a, b, c, q, A таковы, что q 0, A 0, c 0, a 0, b 0, не имеет корня х = 0, поэтому, разделив уравнение на х2, получим равносильное ему уравнение , которое после замены перепишется в виде квадратного уравнения, которое легко решается.
Пример. Решить уравнение
3(x2 + 2x - 1)2 - 2(x2 + 3x - 1)2 + 5x2 = 0
Решение. Легко видеть, что x = 0 не является корнем данного уравнения, поэтому, разделив обе части этого уравнения на x2, получим
, заменяя , получим уравнение
1.3.6. Уравнения вида: (x + a)4 + (x + b)4 = c
Уравнение этого вида, где а, b, с - данные числа, можно свести к биквадратному уравнению с помощью замены переменной
, т. е.
Пример. Решить уравнение.
(x - 1)4 + (x + 3)4 = 82
Решение. Обозначим , т. е. y = x + 1, или x = y - 1. Тогда уравнение примет вид: (y - 2)4 + (y + 2)4 = 82, применяя формулу
(a +b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4, получим 2y4 + 48y2 + 216 = 82.
Далее легко решается.
Решить уравнения.
1) (x - 1)(x + 2)(x -3)(x + 4) = 144
2) (x + 3)(x + 1)(x + 5)(x + 7) = - 16
3) (x - 4)(x + 5)(x + 10)(x - 2) = 18x2
4) (x + 6)(x + 3)(x - 1)(x - 2) - 12x2 = 0
5) (x2 - 5x - 4)2 - 3(x3 - 5x2 - 4x) + 2x2 = 0
6) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12
7) (x - 4)4 + x4 = 82
8) (2x2 - 3x + 1)(2x2 + 5x + 1) = 9x2
1.3.7. Уравнения вида:
,
где a, b, c, A, B, E - постоянные, а 0.
В таких уравнениях сначала проверяют, является ли х = 0 корнем уравнения, затем делят числитель, и знаменатель каждой дроби на х 0 и вводят замену
Пример 1. Решить уравнение.
Решение: Проверим х = 0 не корень уравнения. Делим числитель и знаменатель каждой дроби на х 0, получим: , делаем замену , получим , решая это уравнение, получим t1 = 6, t2 = - 1. Вернёмся к старой замене:
x2 - 14x + 15 = 0
x2 - 7x + 15 = 0
Ответ: