Исследовательская работа Степень (5 класс)

Портфолио проекта

Паспорт проекта

Проект: Степень

Разработчик: Сильман Денис

Класс: 5

Название, номер учебного учреждения, где выполнялся проект: муниципальное автономное общеобразовательное учреждение города Новосибирска «Гимназия № 10», Центральный округ

Предметная область: математика

Время разработки: сентябрь 2014г - февраль 2015г

Проблема проекта: есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа? Существуют ли быстрые приемы вычисления степени? Как узнать, не прибегая к калькулятору, является ли число точным квадратом?

Цель проекта: найти ответы на заданные вопросы

Задачи: научиться применять быстрые способы вычисления степени; создать опорную таблицу «Последняя цифра степени».

Тип проекта (по виду деятельности): исследовательский

Используемые технологии: мультимедиа.

Форма продукта проекта: опорная таблица.

Содержание: мы очень часто сталкиваемся со степенью в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени.

Исследование: выявить закономерность изменения последней цифры степени натурального числа

Область применения результата проекта:

- учебная (уроки математики);

- внеклассная работа (кружковая работа, элективный курс).

Результативность: повышение интереса к математике

Содержание

Паспорт проекта

Описание работы над проектом

Введение

1. Степень числа

2. Быстрые способы возведения в квадрат двузначных чисел

3. Возведение в куб двузначных чисел

4. Точные квадраты

5. Последняя цифра степени

Заключение

Список используемых источников и литературы

Описание работы над проектом

Введение

Алгебру называют нередко «арифметикой семи действий», с четырьмя математическими операциями мы знакомы с начальной школы, пришло время познакомиться с пятым действием: возведение в степень.Вызвана ли потребность в этом новом действии практической жизнью? Безусловно. Мы очень часто сталкиваемся с ним в реальной действительности. Вспомним о многочисленных случаях вычисления площадей и объемов, где обычно приходится возводить числа во вторую и третью степени.

Мне стало интересно, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа? Существуют ли быстрые приемы вычисления степени? Как узнать, не прибегая к калькулятору, является ли число точным квадратом?

Целью моей работы - найти ответы на заданные вопросы

Задачи:

- научиться применять быстрые способы вычисления степени;

- создать опорную таблицу «Последняя цифра степени».

Методы исследования:

- изучение литературы;

- анализ;

- сравнение.

Планирование работы над проектом

1. Изучение литературы по теме.

2. Выявление быстрых способов вычисления степени.

3. Решение задач повышенной трудности.

4. Формулирование итогов и выводов.

1. Степень числа

Мы уже знаем, что сумму одинаковых слагаемых обычно записывают короче и называют произведением: а + а + а + а = 4а.

Произведение одинаковых множителей также записывают короче и называют степенью: а ааа = а⁴.

Читают: «а в степени 4» (или просто «а в четвертой»). При этом число а, называют основанием степени, а число 4 - показателем степени.

Степенью числаа с натуральным показателем n (n1) называется произведение n множителей, каждый из которых равен а:

аⁿ = а аа …  а, n1.

n раз

а¹=а

а² - «а в квадрате»

а³ - «а в кубе»

2. Быстрые способы возведения в квадрат двузначных чисел

1) Рассмотрим возведения двузначного числа оканчивающегося на 5, в квадрат.

325² = 25  25 = 625

Существует очень простой приём для устного возведения в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5. Нужно цифру десятков умножить на ближайшее к этой цифре большее число и к произведению приписать 25.

Вычислим:

15  15 = 225

35  35 = 1225

45  45 = 2025

55  55 = 3025

65  65 = 4225

75  75 = 5625

85  85 = 7225

95  95 = 9025

А трехзначные числа, содержащие в числе десятков 0 и оканчивающиеся на 5 возвести в квадрат еще легче. Сотни возводим в квадрат и пишем слева, к полученному произведению приписываем первые две цифры данного трехзначного числа, а затем приписываем 25.

Например, 105 сотни возводим в квадрат и пишем слева (1), к полученному произведению приписываем первые две цифры данного трехзначного числа (110), а затем приписываем 25 (11025).

705² = 497025

805² = 648025

605² =366025

505²=255025

405²=164025

305²=93025

205²=42025

2) Рассмотрим прием возведения в квадрат произвольного двузначного числа.

-310

+313² 16  10 + 3² = 169

16

28² = 20  36 + 8² = 720 + 64 = 784, другой вариант 28² = 30  26 + 2² = 780+4= 784.

Вывод: если возводимое число в квадрат оканчивается на 1, 2, 3, 4 округляем в меньшую сторону, если оканчивается на 6, 7, 8, 9 - округляем в большую сторону.

73² = 70·76+3²=5320+9=5329

37² =40·34+3²=1360+9=1369

89² =90·88+1²=7920+1=7921

42² = 40·44+2²=1760+4=1764

96² =100·92+4²=9200+16=9216

64² =60·68+4²=4080+16=4096

78² =80·76+2²=6080+4=6084

51² =50·52+1²=2600+1=2601

Будет ли работать данный способ для трехзначных чисел?

103² = 100·106+3²= 10600+9=10609

208² = 200·216+8²=43200+64=43264

112² = 100  124+12²= 12400+1014+2² = 12400+140+4=12544

346² = 300·392+46²=117600+50·42+4²=117600+2100+16=119716

781² = 800·762+19²= 69600+20·18+1²= 69600+360+1=69961

3. Возведение в куб двузначных чисел

Воспользуемся способом возведения в квадрат.

Т.к. 13³ = 13² 13, то 13³ = ((13 - 3)  (13 + 3) + 3²) 13 =10  16 13 +

+ 9  13 = 130  4  4 + 117 = 2080 + 117 = 2197

Метод основан на алгебраическом наблюдении, которое выявило, что А³ = (А - d)А(А+d) + d²А.

Возведем

12³ = (12-2)(12+2)·12+2²·12=10·14·12+48=1680+48=1728

17³ = (17-3)(17+3)·17+3²·17=14·20·17+9·17=4760+153=4913

21³ = 20·22·21+1·21=840·11+21=9240+21=9261

4. Точные квадраты

Существует и обратная операция степени. С помощью одного алгоритма мы научились определять, является ли число точным квадратом, т. е. существует ли такое число в квадрате, которое давало бы искомое.

Например. Надо выяснить является ли 86436 - точным квадратом, т.е. существует ли х² = 86436.

Разбиваем данное число справа налево по две цифры. У нас получилось три группы чисел (8'64'36), первое из которых однозначное число 8. Первая цифра искомого числа должна быть наибольшей, квадрат которой не превышает 8. Это цифра 2, так как 2² = 4 < 8. Квадрат её, число 4, подпишем под числом 8 и вычитаем из восьми число четыре. Сносим следующие две цифры 6 и 4. Слева от полученного числа 464 проводим вертикальную черту. Первую найденную цифру 2 удваиваем и подписываем слева от черты, оставляя место для одной цифры между четвёркой и чертой. Эту цифру подбираем так, чтобы произведение полученного двузначного числа на эту найденную цифру не превышало число 464. Этой цифрой является 9. Действительно, 49 ∙ 9 = 441 < 464. Найденная цифра 9 является второй цифрой искомого числа. Вычитаем из числа 464 число 441 и сносим последнюю пару цифр 3 и 6. Образовалось число 2336. Снова удваиваем уже число 29 и также слева от черты пишем число 58, оставляя для следующей цифры место между числом 58 и чертой.

Подбираем эту цифру так, чтобы произведение этого трёхзначного числа на эту цифру было наибольшим, но не превышало числа 2336. Найденная цифра 4 является последней цифрой искомого результата, то есть квадратный корень числа 86436 будет равен 294.

8 64 36 = 294²

Рассмотрим несколько примеров.

5. Последняя цифра степени

Выполняя различные задания по теме, я встретил следующее задание: Какой цифрой оканчивается число 4^100?

4¹=4, 4²=16, 4³=64, 4⁴=256

Если n-четное, то степень оканчивается на 6;если n-нечетное, то степень оканчивается на 4. Ответ. 6

Мы решили составить таблицу - помощник для быстрого выполнения таких заданий.

Вычислим.

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

2⁶ = 64

2⁷ = 128

2⁸ = 256

2⁹ = 512

2¹⁰ = 1024

3¹ = 3

3² = 9

3³ = 27

3⁴ = 81

3⁵ = 243

3⁶ = 729

3⁷ = 2187

3⁸ = 6561

3⁹ = 19683

3¹⁰ = 59049

4¹ = 4

4² = 16

4³ = 64

4⁴ = 256

4⁵ = 1024

4⁶ = 4096

4⁷ = 16384

4⁸ = 65536

4⁹ = 262144

4¹⁰ = 1048576

5¹ = 5

5² = 25

5³ = 125

5⁴ = 625

5⁵ = 3125

5⁶ = 15625

5⁷ = 78125

5⁸ = 390625

5⁹ = 1953125

5¹⁰ = 9765625

6¹ = 6

6² = 36

6³ = 216

6⁴ = 1296

6⁵ = 7776

6⁶ = 46656

6⁷ = 279936

6⁸ = 1679616

6⁹ = 10077696

6¹⁰ = 60466176

7¹ = 7

7² = 49

7³ = 343

7⁴ = 2401

7⁵ = 16807

7⁶ = 117649

7⁷ = 823543

7⁸ = 5764801

7⁹ = 40353607

7¹⁰ = 282475249

8¹ = 8

8² = 64

8³ = 512

8⁴ = 4096

8⁵ = 32768

8⁶ = 262144

8⁷ = 2097152

8⁸ = 16777216

8⁹ = 134217728

8¹⁰ = 1073741824

9¹ = 9

9² = 81

9³ = 729

9⁴ = 6561

9⁵ = 59049

9⁶ = 531441

9⁷ = 4782969

9⁸ = 43046721

9⁹ = 387420489

9¹⁰= 3486784401

Заполним таблицу - помощник.

аⁿ, а-основание степени; n - показатель степени

а n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Вывод

2

2

4

8

..6

..2

..4

..8

..6

..2

Через четыре шага последняя цифра повторяется.

3

3

9

..7

..1

..3

..9

..7

..1

..3

Через четыре шага последняя цифра повторяется.

4

4

..6

..4

..6

..4

..6

..4

..6

..4

Если n-четное, то степень оканчивается на 6;если n-нечетное, то степень оканчивается на 4

5

5

..5

..5

..5

..5

..5

..5

..5

..5

Всегда оканчивается на 5

6

6

..6

..6

..6

..6

..6

..6

..6

..6

Всегда оканчивается на 6

7

7

..9

..3

..1

..7

...9

..3

..1

..7

Через четыре шага последняя цифра повторяется.

8

8

..4

..2

..6

..8

..4

..2

..6

..8

Через четыре шага последняя цифра повторяется.

9

9

..1

..9

..1

..9

..1

..9

..1

..9

Если n-четное, то степень оканчивается на 1; если n-нечетное, то степень оканчивается 9

Пример 1. На какую цифру оканчивается число 2²⁰¹⁵?

Вывод. Через четыре шага будет повторяться последняя цифра (см. в таблицу).

2015 : 4 = 53 (ост. 3)

Ответ. 8

Пример 2. На какую цифру оканчивается число 5¹⁹⁷⁹?

Вывод. Всегда оканчивается на 5

Ответ. 5

Пример 3. На какую цифру оканчивается число 3⁷ + 7³?

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

3⁷ - оканчивается 7 (т.к. 7 : 4 = 1 (ост.3))

7³ - оканчивается 3

Значит, ответ будет 0.

Заключение

Работая над проектом, мы выяснили, что существуют быстрые приёмы вычисления степени, научились их применять для выполнения различных заданий. Познакомились с понятием - точный квадрат числа. Исследовали изменения последней цифры степени натурального числа. Составили опорную таблицу для быстрого решения заданий повышенной трудности.

Каждый знает, как высока операционная скорость компьютеров. Если нужно провести расчеты, им нет равных, и где человеку тягаться с такими сложными машинами! Но даже лучший инженер в мире - природа - не создала более совершенного, чем человеческий мозг. Недаром один мудрец, когда его спросили, что быстрее всего на свете, ответил: «Человеческая мысль».

Список используемых источников и литературы

1. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Задачи логического характера. Книга для учащихся 5-11кл.Москва, «Просвещение», 1996г.

2. Кузьмин О.В. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения. Соросовский образовательный журнал, том 6, № 5, 2000

3. Мартин Гарднер Глава 17. Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля // Математические новеллы - М.: Мир, 1974. - 456 с.

4. Успенский В. А.. Треугольник Паскаля. - 2 - е изд. - М.:Наука, 1979. - 48с.