Преподавателю
Математика
Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

Раздел	Математика
Класс	11 класс
Тип	Другие методич. материалы
Автор	Ившина Е.В.
Дата	03.10.2015
Формат	docx
Изображения	Есть

Поделитесь с коллегами:

Показательная функция, ее свойства и график

Пример 1. Решить уравнение и неравенства:

Функция Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

Свойства функции Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

1) Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) ;

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу;

5) не имеет наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

8) выпукла вниз;

Точно таким же свойством обладает любая функция вида Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , где .

Функция Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

Свойства функции Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

1) Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) ;

2) функция не является ни четной, ни нечетной;

3) убывает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу;

5) не имеет наибольшего и наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

8) выпукла вниз.

Рис.1Точно таким же свойством обладает любая функция вида Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , где .

Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

а) Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) ; б) ; в) ; г) .

Значит, уравнение Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) имеет единственный корень . Итак, из уравнения : получили . Аналогично б) замечаем . Итак, из уравнения Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) : получили .

в) график функции Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) расположен выше графика функции при (см. рис.). Значит, решением неравенства служит промежуток Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

г) график функции Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) расположен ниже графика функции при (см. рис.). Значит, решением неравенства служит промежуток Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Если Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Теорема 2. Если Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда ; неравенство справедливо тогда и только тогда, когда Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) . (рис 1)

Пример 2. Решить уравнения и неравенства: а) Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) ; б) ; в) ; г)

а) Построив в одной системе координат графики функций Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) и , замечаем, что они имеют общую точку (0;1). Значит, уравнение имеет единственный корень Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) . Итак, из уравнения : получили . Аналогично б) замечаем, что графики пересекаются в точке (-1;3), Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) . Итак, из уравнения : получили . в) график функции расположен выше графика функции при Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) (см. рис.). Значит, решением неравенства служит промежуток . г) график функции расположен ниже графика функции Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) при (см. рис.). Значит, решением неравенства служит промежуток . Справедливы следующие теоремы: Теорема 3. Если Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда .

Теорема 4. Если Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , то равенство справедливо тогда и только тогда, когда ; неравенство справедливо тогда и только тогда, когда Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) .

Показательные уравнения и неравенства

Опр: показательным уравнением называют уравнения вида Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , где

а - положительное число, Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Теорема 5. Показательное уравнение Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) (где ) равносильно уравнению .

Пример 3. Решить уравнения: а) Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) =64; Представим 64 как , перепишем заданное уравнение в виде Это уравнение равносильно уравнению Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , откуда находим: .

б) Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) ; Представив как , перепишем заданное уравнение в виде , тогда , откуда .

Выделяют основные методы решения показательных уравнений.

Функционально-графический
Метод уравнивания показателей (пример 3).
Метод введения новой переменной (пример 4)

Пример 4. Решить уравнение Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

Заметив, Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , а , перепишем заданное уравнение . Введем новую переменную , тогда уравнение примет вид Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) .

Находим корни Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) . Решаем два уравнения , из первого получаем , второе уравнение не имеет корней. Ответ: 2.

Показательным неравенством называют неравенства вида Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , где

а - положительное число, Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Для решения неравенства Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) разделим обе части неравенства на получим неравенство . Далее имеем: , т.е. , где .

Рассмотрим два случая:

Если Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , то неравенство имеет место тогда и только тогда, когда (см. теорему 2). Значит, , т.е. .

Если Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , то неравенство имеет место тогда и только тогда, когда (см. теорему 4). Значит, , т.е. .

Теорема 6. Если Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , то показательное неравенство равносильно неравенству того же смысла:

Если Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

Пример 5. Решить неравенства:

а) Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) > 64;

Это неравенство равносильно неравенству того же смысла

Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , откуда находим: .

б) Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) ; Представив как , перепишем заданное неравенство в виде , Здесь основание . Значит неравенство равносильно неравенству противоположного смысла Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) , откуда .

в) Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

Заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс) . Найдем корни квадратного трехчлена x₁=2, x₂=4. Решаем неравенство методом интервалов. Находим: Теоретический модуль на тему Показательные уравнения и неравенства (11 класс)

загрузить