Статья Математические этюды. 10. Пентаграмма

Пентаграмма

Рисунок Леонардо да Винчи

Школа Пифагора

Пентагон и пентаграмма

Пентаграмма - правильный невыпуклый звездчатый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. Она известна, узнаваема и любима нами с детства. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы и т.д. Человеческое тело также можно рассматривать как пятилучевую фигуру, где лучами служат голова, руки и ноги.

Первые упоминания о пентаграмме относятся к Древней Греции. В переводе с греческого пентаграмма означает дословно пять линий (πεντα - пять, γραμμα - черта, линия).

В эллинском мире наука и искусство развивались в так называемых философских школах. Одной из самых известных среди них была школа Пифагора (580-500 гг. до н.э.), а отличительным знаком ее была пентаграмма. Пифагорейцы отличались исключительной верностью своему братству. Сохранилась легенда, согласно которой один из пифагорейцев, тяжело заболев на чужбине и оставшись без средств, попросил хозяина дома, приютившего его, нарисовать на воротах пентаграмму. Проходивший мимо дома другой пифагореец ее увидел и щедро расплатился с хозяином.

Конечно, пифагорейцы не случайно выбрали пентаграмму. Они считали, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойствами. Например, число лучей этой звезды представлялось пифагорейцами как число любви:

5 = 2 + 3;

2 - первое женское число, 3 - первое мужское число. Именно поэтому пентаграмма являлась символом жизни и здоровья, ей присваивались способность защищать человека от злых духов.

Помните, у Гете в «Фаусте»:

Мефистофель:

Нет, трудновато выйти мне теперь,

Тут кое-что мешает мне немного:

Волшебный знак у вашего порога.

Фауст:

Так пентаграмма этому виной?

Но как же, бес, пробрался ты за мной?

Каким путем впросак попался?

Мефистофель:

Изволили ее вы плохо начертить,

И промежуток в уголку остался,

Там, у дверей, - и я свободно мог вскочить.

Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций! Из подобия треугольников ACD и ABE можно вывести известную пропорцию

Интересно, что внутри правильного пятиугольника (его называют пентагоном) можно продолжить строить пятиугольники, и золотые отношения будут сохраняться.

Пифагорейцы уже умели строить правильный пятиугольник, вписанный в окружность.

Напомним это построение.

В окружности АО и ОD - взаимно перпендикулярные радиусы, Е - середина радиуса ОА. Отрезок ЕС равен отрезку ЕD.

Отрезок DE равен стороне правильного пятиугольника, вписанного в данную окружность, а ОC - стороне правильного десятиугольника.

Памятник Гете в Вене

Вместилище золотых пропорций

Построение пентагона и пентаграммы

Литература

1. Математика в школе, 1999, № 3

2. Глейзер. Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. 1982