Геометрический метод решения сюжетных задач (8 класс), урок для интерактивной доски Smart Notebook

Пояснительная записка

Разработанный урок «Геометрический метод решения сюжетных задач» основан на авторской методике в рамках выпускной квалификационной работы. Урок является межпредметным и охватывает как материал из алгебры, так и из геометрии. Тип урока - комбинированный, включает в себя как повтор ранее изученного материала, так и введение нового метода решения сюжетных задач.

Ниже приведена сама методика ознакомления с геометрическим методом решения сюжетных задач (Статья опубликована в «Педагогическом Вестнике» РГПУ им. Герцена в 2011 году). Урок в программе SMART NOTEBOOK 11 выполнен в соответствии с разработанным ранее уроком в рамках методики.

Методика ознакомления учащихся с геометрическим методом решения сюжетных задач на уроках алгебры в 8 классе

В курсе основной школы учащиеся знакомятся с решением сюжетных задач арифметическим и алгебраическим методами. Алгебраический метод является основным в школьном курсе. Но важно заметить, что этот метод имеет один существенный недостаток: после составления математической модели учащиеся практически перестают анализировать задачу, сосредотачиваясь на решении уравнения. Поэтому мы часто сталкиваемся с тем, что при интерпретации полученного решения учащиеся забывают писать единицы измерения найденных величин или некорректно пишут ответ к задаче. Если при решении квадратного уравнения они получают несколько корней, то иногда не задумываются, все ли корни уравнения будут удовлетворять смыслу задачи и, следовательно, являться решением данной задачи. Один из путей решения этой проблемы - возвращение учеников к решению сюжетных задач арифметическим методом. Ученикам проще составить уравнение, нежели решить ту же задачу по действиям, анализируя каждый шаг. Но если задуматься, то в решении уравнения мы делаем все те же шаги, что и при арифметическом решении, только они скрыты в алгебраических преобразованиях. Сделать эти шаги осознанными - цель арифметического метода решения. Однако этот путь применим в основном к задачам, сводящимся к решению уравнений первой степени.

Другой путь нам видится в использовании графической интерпретации ряда сюжетных задач, в частности, задач на движение и на работу. Сейчас в школе этому уделяется недостаточное внимание. Нам представляется целесообразным познакомить в 8 классе учащихся с одной из разновидностей геометрического метода решения сюжетных задач - графическим методом. Хотя этот метод подходит только для узкого круга задач, преимущественно на встречное движение и на совместную работу, он нагляден и устанавливает связь с геометрией. Суть этого метода состоит в том, что решение сюжетных задач на встречное движение и на совместную работу можно выполнить с помощью графика линейной функции. Для этого на оси абсцисс обычно откладывается время, а по оси ординат - расстояние. В таком случае абсцисса любой точки графика движения указывает момент времени, а ордината той же точки - в каком месте пути в этот момент находится тело.(рис.1)

y

C

C

N

M

t

y

O

y

N

M

t

y

O

t

A

у

Рис.1

O

O

t

O

t

Рис.2

Если на одном чертеже построены два графика движения, причём графики движения пересекаются в некоторой точке, то абсцисса точек пресечения показывает время встречи движущихся объектов, а ордината - место встречи. (рис.2). Здесь следует отметить, что от графического решения уравнений, где используется постоянная система координат, при решении сюжетных задач удобнее пользоваться переменной системой координат, т.е. иметь на одном чертеже несколько систем координат для построения графиков, заданных в условиях зависимостей, причём график каждой зависимости строится в своей системе координат. А далее по графику находятся пары треугольников, содержащих искомую величину, доказывается их подобие и с его помощью выражается эта величина.

В начале ΙΙΙ четверти учащиеся 8 класса в курсе алгебры решают сюжетные задачи с помощью квадратных уравнений и уравнений, сводящихся к ним (дробно-рациональных). Одновременного на уроках геометрии они заканчивают изучение признаков подобия треугольников, которые необходимы для решения задач данным методом. Таким образом, геометрический метод решения сюжетных задач можно включить в школьный курс с целью ознакомления и уделить ему 2-3 урока во время решения сюжетных задач с помощью квадратных уравнений. Мы рассматривали вариант ознакомления с геометрическим методом при использовании в обучении комплекта учебников : Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. - 16-е изд., доп. - М.: Просвещение, 2009, - 255 с.: ил.; Геометрия: Учеб. Для 7 - 9 кл. общеобразоват. учреждений /Л. С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др, - М.: Просвещение, 2002, - 335 с.: ил.

Приведем методические рекомендации к проведению урока ознакомления с геометрическим методом.

1. Начать урок следует с актуализации знаний на графики движения, составление квадратных и дробно-рациональных уравнений; из геометрии следует актуализировать знания, связанные с признаками подобия треугольников. Задания можно давать в виде готовых чертежей, прося учащихся ответить на тот или иной вопрос, задания могут быть и в форме теста. В конце данной работы рекомендуется проанализировать вместе с учащимися полученные ответы. Приведем пример работы с учащимися на этапе актуализации знаний:

1. 2)

3)

4. Какие треугольники называются подобными?

Какие признаки подобия вы знаете?

Решите устно:

;

2. Предложите учащимся решить какую-нибудь задачу на движение/работу алгебраическим методом дома, чтобы на уроке вернуться к ней и показать решение той же задачи геометрическим методом, а затем обсудить оба решения. В качестве примера можно рассмотреть следующую задачу:

Два пешехода вышли одновременно из своих сёл С и E навстречу друг другу. После встречи первый шёл 25 минут до села E, а второй шёл 36 минут до села C. Сколько минут они шли до встречи?

Покажем чертеж к данной задаче:

Теперь нужно обсудить с учащимися, как дальше будем решать задачу.

Обсуждение:

1. Если метод геометрический, то значит какими знаниями мы будем пользоваться?(из области геометрии)

2. Какие геометрические факты мы повторили в начале нашего урока? (признаки подобия)

3. Какие фигуры вы видите на графике? Есть ли между ними зависимость?(треугольники, наверно подобие)

4. Какие треугольники подобны?( MFC и MED)

5. По какому признаку?(По первому признаку подобия. (С= D, E= F))

6. Что надо найти в задаче?(Отрезок CP (обозначим его буквой t))

7. Какое соотношение можно составить?

, используя данные задачи, получим , откуда t = 30.

Учащиеся решают полученное уравнение. Ответ: пешеходы до встречи шли 30 минут.;

3. На закрепление полученных на уроке знаний, рекомендуется дать 1-2 задачи аналогично задаче, разобранной вместе с учителем, чтобы каждый ученик попробовал свои силы в новом методе решения. Схему к задаче можно обсудить и составить вместе с учителем:

1. Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км. Через час велосипедисты встречаются и, не останавливаясь, продолжают ехать с той же скоростью. Первый прибывает в пункт В на 27 мин позже, чем второй в пункт А. Определите скорость каждого велосипедиста.

2. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 часа быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай? (решить аналогично задаче на движение, вся работа отражена на оси оу);

4. В домашнем задании задачи должны быть аналогичны задачам, решенным в классе, причем, если акцент делался, например, на задачах на движение, то на дом рекомендуется дать хотя бы одну задачу на работу, чтобы учащиеся заметили схожесть решения таких задач.

Подводя итоги ознакомления, побеседуйте с учащимися о преимуществах и недостатках метода, выявите, с какими трудностями столкнулись учащиеся и постарайтесь проанализировать и устранить их.

В заключение хочется обратить внимание на то, что рассматривая решение сюжетных задач различными способами, учитель должен ориентировать учащихся на поиски красивых, изящных решений математических задач. Тем самым учитель будет способствовать эстетическому воспитанию и повышению математической культуры учащихся.