Лекция по математике на тему Комплексные числа

Данный материал полезен при подготовке к уроку математики в 11 классе. Также может быть использован в средних специальных учебных заведениях, на первом курсе Вуза. Цель лекции: Познакомить с понятием комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами. Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области. План лекции: 1.      Понятие комплексного числа. 2.      Формы за...
Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Лекция 9

Тема 9. Комплексные числа.

Время: 2 часа

Цель лекции: Познакомить с понятием комплексного числа, алгебраической, тригонометрической и показательной формами комплексных чисел. Теоретически обосновать действия над комплексными числами. Показать возможность решения алгебраических уравнений в комплексной области.

План лекции:

  1. Понятие комплексного числа.

  2. Формы записи комплексных чисел.

  3. Действия над комплексными числами.

  4. Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме.

  5. Основная теорема алгебры.


  1. Понятие комплексного числа.

Комплексным числом z называется выражение вида z = x +iy, где х и у - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица, i2= -1.

Если х = 0, то число 0+iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число x +i0 = х отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. RС.

Число х - действительная часть комплексного числа z и обозначается х=Rе z, а у - мнимой частью z, у=Im z.

Два комплексных числа z1 = x1 +iy1 z2 = x2 +iy2 называются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части. Понятия больше и меньше для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряжёнными.

ВЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числа

О х х

М

у


уЛекция по математике на тему Комплексные числа

Лекция по математике на тему Комплексные числа

сякое комплексное число можно изобразить точкой М(х,у) плоскости Оху такой, что х=Rе z, у=Im z. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Ось абсцисс - действительная ось, ось ординат - мнимая. Комплексное число можно задать в виде радиус вектора Лекция по математике на тему Комплексные числа=Лекция по математике на тему Комплексные числа. Длина вектора Лекция по математике на тему Комплексные числа называется модулем этого числа и обозначается Лекция по математике на тему Комплексные числа или r.

Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором Лекция по математике на тему Комплексные числа, изображающим комплексное число - аргумент этого числа, обозначается Arg z или Лекция по математике на тему Комплексные числа. Аргумент комплексного числа z=0 не определён. Аргумент комплексного числа zЛекция по математике на тему Комплексные числа0 - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого Лекция по математике на тему Комплексные числа (k =0,-1,1,-2,2,…): Arg z= аrg z + Лекция по математике на тему Комплексные числа, где аrg z - главное значение аргумента, заключённое в промежутке Лекция по математике на тему Комплексные числа, т.е. Лекция по математике на тему Комплексные числа аrg z Лекция по математике на тему Комплексные числа (иногда в качестве главного аргумента берут величину из промежутка Лекция по математике на тему Комплексные числа).

  1. Формы записи комплексных чисел.

Запись числа в виде Лекция по математике на тему Комплексные числа называют алгебраической формой комплексного числа. Модуль r и аргумент Лекция по математике на тему Комплексные числа можно рассматривать как полярные координаты вектора Лекция по математике на тему Комплексные числа= Лекция по математике на тему Комплексные числа, изображающего комплексное число Лекция по математике на тему Комплексные числа. Тогда получаем Лекция по математике на тему Комплексные числа, Лекция по математике на тему Комплексные числа. Следовательно, комплексное число можно записать в виде Лекция по математике на тему Комплексные числа или Лекция по математике на тему Комплексные числа. Такая запись называется тригонометрической формой.

Модуль Лекция по математике на тему Комплексные числа однозначно определяется по формуле Лекция по математике на тему Комплексные числа. Например, Лекция по математике на тему Комплексные числа. Аргумент Лекция по математике на тему Комплексные числа определяется из формул

Лекция по математике на тему Комплексные числа, Лекция по математике на тему Комплексные числа, Лекция по математике на тему Комплексные числа

Так как Лекция по математике на тему Комплексные числа, то Лекция по математике на тему Комплексные числа, Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Поэтому при переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить лишь главное значение аргумента z, т.е. считать Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Так как Лекция по математике на тему Комплексные числа аrg z Лекция по математике на тему Комплексные числа, то из формулы Лекция по математике на тему Комплексные числа получаем, что

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Используя формулу Эйлера Лекция по математике на тему Комплексные числа, комплексное число Лекция по математике на тему Комплексные числа можно записать в показательной (или экспотенциальной) форме Лекция по математике на тему Комплексные числа, где Лекция по математике на тему Комплексные числа - модуль комплексного числа, а угол Лекция по математике на тему Комплексные числа.

В силу формулы Эйлера функция Лекция по математике на тему Комплексные числа- периодическая с основным периодом 2. Для записи комплексного числа z в показательной форме, достаточно найти главное значение аргумента комплексного числа, т.е. считать Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Пример 1: Записать комплексные числа z1 = -1+i и z2 = -1 в тригонометрической и показательной формах.

Решение: Для числа z1 имеем:

Лекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числа , т.е. Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Поэтому Лекция по математике на тему Комплексные числа

Для z2 имеем Лекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числа т.е. Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Поэтому Лекция по математике на тему Комплексные числа.


  1. Действия над комплексными числами.

СЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числауммой двух комплексных чисел z1 и z2 у z1+z2

нЛекция по математике на тему Комплексные числаазывается комплексное число, определяемое z2

рЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаавенством Лекция по математике на тему Комплексные числа. z1

O x

С

уложение комплексных чисел обладает переместительным (коммутативным) и сочетательным (ассоциативным) свойствами. Из определения следует, что комплексные числа складываются как векторы. Из рисунка видно, что Лекция по математике на тему Комплексные числа . Это соответствие называют неравенством треугольника.

Лекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числа

О х

z2

z1Разностью двух комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z, которое будучи сложенным с z2, даёт число z1, т.е. z = z1 - z2, если Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Из равенства следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. Из рисунка видно, что Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Отметим, чтоЛекция по математике на тему Комплексные числа, т.е. модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости.

Поэтому, например, равенство Лекция по математике на тему Комплексные числа определяет на комплексной плоскости множество точек z, находящихся на расстоянии 1 от точки Лекция по математике на тему Комплексные числа, т.е. окружность с центром в Лекция по математике на тему Комплексные числа и радиусом 1.

Произведением комплексных чисел z1 = x1+iy1 и z2 = x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством:

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Произведение комплексных чисел можно находить путём формального перемножения двучленов x1 +iy1 и x2 +iy2, учитывая, что i2= -1.

Например, (2-3i)(-5+4i)= -10+8i+15i-12i2 = -10+23i+12=2+23i.

Заметим, что Лекция по математике на тему Комплексные числа- действительное число.

Умножение комплексных чисел обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами.

Найдём произведение комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме: Лекция по математике на тему Комплексные числа

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Лекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числа

Мы показали, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. В частности

Лекция по математике на тему Комплексные числа - формула Муавра.

Пример 2: Найти Лекция по математике на тему Комплексные числа

Решение: Запишем сначала число Лекция по математике на тему Комплексные числа в тригонометрической форме:

Лекция по математике на тему Комплексные числа; Лекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числа

По формуле Муавра имеем

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Частным двух комплексных чисел z1 и z2≠0 называется комплексное число z, которое, будучи умноженным на z2, даёт число z1, т.е. Лекция по математике на тему Комплексные числа, если Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Если положить Лекция по математике на тему Комплексные числа, Лекция по математике на тему Комплексные числа, Лекция по математике на тему Комплексные числа, то из равенства Лекция по математике на тему Комплексные числа следует

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Решая систему, найдём значения х и у:

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Лекция по математике на тему Комплексные числа.

На практике частное двух комплексных чисел находят путём умножения числителя и знаменателя на число, сопряжённое знаменателю.

Пример 3: Выполнить деление Лекция по математике на тему Комплексные числа

Решение: Лекция по математике на тему Комплексные числа

Для тригонометрической формы комплексного числа деление имеет вид: Лекция по математике на тему Комплексные числа,

т.е. Лекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числа.

Корнем п-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число Лекция по математике на тему Комплексные числа, удовлетворяющее равенству Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Если положить Лекция по математике на тему Комплексные числа, а Лекция по математике на тему Комплексные числа, то по определению корня и формуле Муавра, получаем

Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Отсюда имеем Лекция по математике на тему Комплексные числа

Т.е. Лекция по математике на тему Комплексные числа (арифметический корень).

Поэтому корень п-ой степени из комплексного числа имеет п различных значений, которые находятся по формуле:

Лекция по математике на тему Комплексные числа, Лекция по математике на тему Комплексные числа

Точки, соответствующие значениям Лекция по математике на тему Комплексные числа, являются вершинами правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса Лекция по математике на тему Комплексные числа с центром в начале координат.

Пример 4: Найти все значения Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Решение: Запишем комплексное число Лекция по математике на тему Комплексные числа в тригонометрической форме.

Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Пример 5: Какое множество точек на комплексной плоскости определяется условием Лекция по математике на тему Комплексные числа?

РЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числа

yешение: Комплексное число Лекция по математике на тему Комплексные числа изображается вектором, началом которого является точка Лекция по математике на тему Комплексные числа, а концом ‒ точка z. Угол между этим вектором и осью ОХ есть Лекция по математике на тему Комплексные числа, и он меняется в пределах от Лекция по математике на тему Комплексные числа до Лекция по математике на тему Комплексные числа.

СЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числа

-1 О х

‒1+i iледовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки Лекция по математике на тему Комплексные числа и образующими с осью ОХ углы в Лекция по математике на тему Комплексные числа и Лекция по математике на тему Комплексные числа рад.


  1. Операции над комплексными числами, заданными в показательной форме

Пусть Лекция по математике на тему Комплексные числа и Лекция по математике на тему Комплексные числа, тогда:

  1. Произведение Лекция по математике на тему Комплексные числа;

  2. Частное Лекция по математике на тему Комплексные числа;

  3. Возведение в n - ю степень Лекция по математике на тему Комплексные числа;

  4. Извлечение корня n - й степени Лекция по математике на тему Комплексные числа, Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Формулы Эйлера.

Рассмотрим разложение функции Лекция по математике на тему Комплексные числа по формуле Маклорена.

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Если действительную переменную х заменить комплексной переменной z, то получим ряд по степеням z:

Лекция по математике на тему Комплексные числа(1)

Аналогично определяются тригонометрические функции Лекция по математике на тему Комплексные числа и Лекция по математике на тему Комплексные числа комплексной переменной z:

Лекция по математике на тему Комплексные числа(2)

Лекция по математике на тему Комплексные числа(3)

Подставим в (1) Лекция по математике на тему Комплексные числа вместо z и сгруппируем в правой части все слагаемые, содержащие множитель i и не содержащие этот множитель.

Лекция по математике на тему Комплексные числа

Сравнивая полученный результат с формулами (2) и (3), получаем

Лекция по математике на тему Комплексные числаи Лекция по математике на тему Комплексные числа

Таким образом, с помощью понятия комплексного числа устанавливается связь между тригонометрическими и показательной функциями:

Складывая и вычитая эти два выражения, получим

Лекция по математике на тему Комплексные числа; Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Используя понятие комплексных чисел, вводится понятие гиперболических синуса и косинуса:

Лекция по математике на тему Комплексные числа; Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Из формулы Эйлера следует, что

Лекция по математике на тему Комплексные числа; Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Приведенные известные из элементарной математики формулы:

Лекция по математике на тему Комплексные числа, Лекция по математике на тему Комплексные числа;

Лекция по математике на тему Комплексные числа; Лекция по математике на тему Комплексные числа,

справедливы и для комплексных значений аргументов Лекция по математике на тему Комплексные числа и Лекция по математике на тему Комплексные числа.


  1. Основная теорема алгебры:

Функция вида Лекция по математике на тему Комплексные числа, где п - натуральное число, Лекция по математике на тему Комплексные числа - постоянные коэффициенты, называется многочленом п-ой степени с действительными коэффициентами (или целой рациональной функцией).

Корнем многочлена называется такое значение х0 (вообще говоря комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль.

Теорема: Если х1 есть корень многочлена Лекция по математике на тему Комплексные числа, то многочлен делится без остатка на х-х1, т.е. Лекция по математике на тему Комплексные числа, где Лекция по математике на тему Комплексные числа - многочлен степени (п-1).

Теорема: (основная теорема алгебры) Всякий многочлен п-ой степени (n>0) имеет по крайней мере один корень, действительный или комплексный.

Теорема: Всякий многочлен Лекция по математике на тему Комплексные числа можно представить в виде

Лекция по математике на тему Комплексные числа,

где Лекция по математике на тему Комплексные числа - корни многочлена, Лекция по математике на тему Комплексные числа- коэффициент многочлена при хп.

Множители Лекция по математике на тему Комплексные числа называются линейными множителями.

Пример 1: Разложить многочлен Лекция по математике на тему Комплексные числа на множители.

Решение: Многочлен Лекция по математике на тему Комплексные числа обращается в нуль при Лекция по математике на тему Комплексные числа Следовательно Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Пример 2: Представить выражение Лекция по математике на тему Комплексные числа в виде произведения линейных множителей.

Решение: Легко проверить, что Лекция по математике на тему Комплексные числа является корнем данного многочлена.

Лекция по математике на тему Комплексные числа= Лекция по математике на тему Комплексные числа

Уравнение Лекция по математике на тему Комплексные числа имеет два комплексных корня Лекция по математике на тему Комплексные числа и Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Следовательно, Лекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числа.

Если в разложении многочлена какой-либо корень встретился k раз, то он называется корнем кратности k. Тогда разложение многочлена можно записать в виде: Лекция по математике на тему Комплексные числа, где Лекция по математике на тему Комплексные числа‒ кратности соответственно корней Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Теорема: Если многочлен Лекция по математике на тему Комплексные числа с действительными коэффициентами имеет комплексный корень Лекция по математике на тему Комплексные числа, то он имеет сопряжённый корень Лекция по математике на тему Комплексные числа.

Перемножив линейные множители,

Лекция по математике на тему Комплексные числаЛекция по математике на тему Комплексные числа,

получили трёхчлен второй степени с действительными коэффициентами

Лекция по математике на тему Комплексные числа=Лекция по математике на тему Комплексные числа, где Лекция по математике на тему Комплексные числа

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряжённым корням, можно заменить квадратным трёхчленом с действительными коэффициентами. Поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема: Всякий многочлен п-ой степени с действительными коэффициентами может быть разложен на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами:

Лекция по математике на тему Комплексные числа

где Лекция по математике на тему Комплексные числа,

х1, х2, … , хr - корни многочлена, а все квадратные трехчлены не имеют действительных корней.

Пример: Лекция по математике на тему Комплексные числа этот многочлен имеет корни: х1= ‒2 и х2=3, других действительных корней нет. Тогда Лекция по математике на тему Комплексные числа.

10

© 2010-2022