Методический материал по теме Укрупнение дидиактических единиц

Укрупнение дидактических единиц

в обучении математике

Все согласны с тем, что нет «царского пути в математику». Много труда и терпения, настойчивости и внимания требуется от учителя и школьника, чтобы последний смог освоить программный минимум знаний по предмету.

Добиться того, чтобы человек за меньшее, чем прежде, время овладел большим объёмом основательных и действенных знаний, - такова одна из главных забот современной педагогики.

Укрупнённая дидактическая единица - это клеточка учебного процесса, состоящая из логически различных элементов, обладающих в то же время информационной общностью. Укрупненная дидактическая единица обладает качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым проявлением в памяти. Понятие укрупнения единицы усвоения достаточно общо, оно вбирает следующие взаимосвязанные конкретные подходы к обучению:

1. Совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т.д.;

2. Обеспечение единства процессов составления и решения задач, уравнений, неравенств и т. д.;

3. Рассмотрение во взаимопереходах определённых и неопределённых заданий;

4. Обращение структуры упражнения, что создаёт условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий;

5. Выявление сложной природы математического знания, достижение системности знаний;

6. Реализация принципа дополнительности в системе упражнений.

Объяснение феномена УДЕ в том, что УДЕ представляет в сущности приложение методики условных рефлексов И. П. Павлова к обучению людей. Подобно тому, как временная связь у Павлова создавалась на базе пары контрастных раздражителей ( сильный и слабый свет ), так и в системе учебников УДЕ обучение совершается на парах контрастных по смыслу упражнений ( например, взаимно-обратных задач, теорем, функций и т. п. ). «Противопоставление облегчает, ускоряет наше здоровое мышление» ( И. П. Павлов ).

Процесс возникновения ассоциации, знания, лучше всего достигается при наличии циклических замкнутых мыслительных процессов. Именно такой общефизиологический вывод был сделан учеником Павлова, академиком П.К. Анохиным.

В последние годы, наконец, стала ещё более рельефной роль УДЕ в связи с исследованиями путей развития творческого мышления на базе тезиса И. Пригожина о роли прототипа в умозаключениях по аналогии. «Каждый данный момент в нашем мозгу происходит сканирование впечатлений, сопоставление наблюдений с уже сформировавшимися образами, что в конечном счёте приводит к некоторому предварительному заключению. Одна из отличительных особенностей этой процедуры состоит в широком использовании аналогии и прототипов» ( И. Пригожин - лауреат Нобелевской премии, Президент Бельгийской академии наук, иностранный член Российской АН ).

УДЕ - это методическая система самовозрастания знаний учащихся благодаря активизации подсознательных механизмов переработки информации посредством сближения во времени и пространстве мозга взаимосодействующих компонентов целостного представления.

Благодаря УДЕ интеллект школьника поневоле обогащается общими алгоритмами целостного освоения информации в любой отрасли знаний в богатстве связей и попосредствований. Это наиболее ценное обретение психики школьника становится благодаря УДЕ как бы чертой характера на всю жизнь; как новый феномен педагогики. Если характеризовать одним словом сущность УДЕ как нового направления в педагогике, то оно представляет претворение павловской идеи противопоставления контрастных носителей информации ( в пределах нескольких секунд или минут ).

Далее рассмотрим проблему развития творческого математического мышления учащихся в следующей последовательности вопросов:

1. Информационный аспект. Результативность творчества на математическом материале означает, во-первых, акцентированное внимание творчеству конкретных учёных, педагогов; во-вторых, усиление двух последних форм представления знаний.

2. Логический аспект. Самостоятельное получение новых результатов в сфере математических знаний и в процессе математического образования характеризуется прежде всего в широком применение аналогии и обобщения. При умозаключении по аналогии знание, полученное из рассмотрения какого-либо объекта переносится на другой, менее изученный ( менее доступный ).

3. Дидактический и методический аспекты. Каждый школьник обладает невостребованными потенциями к творчеству ( самостоятельному созданию новых знаний ); задача педагогики - раскрыть эти потенции.

Информационный аспект

Методологические проблемы построения творческих упражнений.

При построении учебного предмета математики важно учитывать методологические проблемы современной математики в её взаимосвязи с учебным предметом математики. Методологические проблемы порождают многие затруднения и препятствия, с которыми встречается учитель при работе. Особую значимость имеет характеристика человеческого мышления, данная академиком И. Пригожиным. «Каждый данный момент - в нашем мозгу происходит сканирование впечатлений, сопоставление наблюдений с уже сформировавшимися образами, что в конечном счёте приводит к некоторому предварительному заключению. Одна из отличительных особенностей этой процедуры состоит в широком использовании аналогий и прототипов».

Логический аспект

Аналогия как основа систематизации и интеграции математических знаний.

Известные педагоги-математики Пойа, Сойер и др. подчёркивали решающую познавательную роль прежде всего рассуждений по аналогии. В упражнениях наиболее простой аналогией будет пропорциональное увеличение или уменьшение числовых параметров задачи. Аналогия на основе непрерывности заключается в том, что малым изменениям условий задачи должны соответствовать малые изменения ответа. При действиях с рациональными числами уже необходимо акцентировать внимание на аналогии по симметрии: «Если одновременно поменять знаки у слагаемых, то значение суммы тоже изменит только знак».

«Симметрия - утверждал Г. Вейль - есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство». Примечательно, что использование симметричного преобразования фигур позволяет быстро получать новые упражнения, проверка которых постигается зрительно и моментально. Так, если уже построена парабола с касательной в точке (1;2), то отразив всё это от биссектрисы у = х, получим не только графики новых функций у = , но и без вычислений по рисунку напишем уравнение касательной к точке (2;1), куда отобразится исходная. Дополнительно к этой симметрии полезно построить ещё одну пару симметричных касательных в точках (-1;2) и (2;-1).

Многие математические понятия находятся в отношении дополнительности: синус - косинус, уравнение - неравенство. Так полезно дать вывод производной от параллельно с выводом производной от .

На основе симметрии и дополнительности учащиеся легко составляют собственные примеры к упражнениям из учебника.

Аналогия ценна прежде всего своей незавершённостью; аналогия не есть доказательное рассуждение: она путь расширения знания через предположение. В результате применения аналогии мы получаем суждение вероятности, которое затем проверяется на истинность. Например, при сечении треугольника прямой параллельно основанию получаем подобный ему треугольник. Для учащихся становится трудной проблемой: как отсечь подобный треугольник, но прямой не параллельной основанию. Данная задача стала как бы дополнением стандартной.

Известная Составленная

Разделить трапецию на две Разделить трапецию прямой на два

Подобные трапеции подобных четырёхугольника.

Пример: по чертежу учащиеся делают предположение, что касательная к кубической параболе у = , например, в точке касания (2;8) также пересекает её только в одной точке касания. Но это не так, второй точкой пересечения будет т. (-4;-6,4). Ещё пример, установлен аналог «Египетского прямоугольника» - параллелепипед, у которого арифметическую прогрессию составляют длины сторон и диагонали (2; 1+2; 2+2; 3+2 ). Аналог же «египетского прямоугольника» ( геометрическая прогрессия длин сторон и диагонали ) приводит к решению кубического уравнения.

Анализируя содержание текстовых задач нетрудно заметить аналогию используемых в них формул: задача о движении двух машин - 28см -----------28, а 8см ----------8ч, 336 --------------336 км и т. д.

Итак, аналогия является мощным и наиболее доступным для учителя средством развития творческого мышления учащихся и основной логической систематизации и интеграции математических знаний.

Дидактический и методический аспекты.

Должное внимание надо уделять самостоятельному составлению упражнений как необходимому средству в развитии творческого мышления учащихся на уроках математики. Успешное составление задачи того или иного вида есть логическое умение более высокого порядка, чем решения готовой задачи этого вида, и первое умение включает в себя второе. Как показывает опыт проведения математических олимпиад объяснение только решения задачи повышенной трудности практически ничего не даёт учащимся, так как эти задачи результат сложного логического процесса их составления на базе стандартных задач, либо они - скрытая форма не изучаемых в школе математических понятий, теорем и даже теорий. Поэтому полное объяснение решения олимпиадных и конкурсных задач обязательно должно включать алгоритмы их составления.

Полезно построение моделей геометрических задач с неполными данными. Например, известно, что расстояние между наклонными рёбрами равны 2см, 3см, 4см, а длина рёбер 5см. найти площадь боковой поверхности. После решения ( ответ 45), учащимся было предложено изготовить модели таких призм, причём размеры основания разрешалось взять произвольно. Коллективная работа учащихся показала, что построить модели наклонных треугольных призм довольно трудно, но самое главное, что установили учащиеся: стороны оснований не могут быть заданы совершенно произвольно! Так возникла проблема, причём для моделей был найден более удачный способ изготовления: вначале надо построить прямую призму, на которой уже легко показать сечение её двумя параллельными плоскостями.

Учащиеся 7-го придумывают вместе с учителем задачу по теме «пересечение двух прямых на координатной плоскости», учащиеся 10-го класса дополняют задачу о параллелограмме в координатном пространстве до прямой призмы с наклонным сечением и или придумывают задачу «на экстремум» к графику функции из учебника алгебры.

Основные практические выводы

1. Особое значение в культивировании творческих заданий принадлежит упражнениям по быстрому и «точному» ( на клетчатой бумаге ) построению прямых, парабол, плоскостей ( на основе соответствующих алгоритмов ).

2. В системе учебников выгодно предлагать по возможности:

1. Задачу, имеющую ценность в истории математического образования;

2. Обращение этой задачи по краткой схеме;

3. Составление аналогичной задачи учащимися.

3. Творческие упражнения по аналогии и обращению готовят почву к единым учебникам математики.

4. Реализация специальных форм «обработки» символической информации: «деформированные» равенства, запись в параллельных столбцах и в матрицах, граф - схемы доказательства, двухэтажная запись сходных выражений.

5. Развитие творческого мышления зависит от степени изучения УДЕ как в начальных классах, так и в средней школе.

6. «Практикум по решению задач» преобразовать в «Практикум по составлению и решению задач. История и логика».

Основные теоретические выводы

1. Выполнение творческого задания должно стать основой контроля знаний в школе.

2. При работе с учебниками необходимо технологическое сочетание традиционных заданий с творческими по линии «логического продолжения решённой задачи».

3. Аналогия является главным логическим средством составления учащимися собственной математической информации, дополняющей книжную.

4. Усилить роль упражнений , основанных на обращении информации: выделение лабораторных работ, «прототипов», обоснованная систематизация обратных задач.

5. Уделять внимание не только «решению всех школьных задач», но и методам их составления.

Использованная литература:

1. П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев «Укрупнение дидактических единиц в обучении математики».

2. О.П. Эрдниев, П.М. Эрдниев «УДЕ. Материалы пятой всероссийской научно - практической конференции».