Внеклассное мероприятие по математике Дифференциальное и интегральное исчисление (1 курс СПО или 10-11 класс)

Технологическая карта мероприятия

Учебная дисциплина: Математика.

Специальность: для всех специальностей 1 курса базового и повышенного уровня.

Тема: Дифференциальное и интегральное исчисления.

Цели

• Дидактическая: повторение и закрепление материала по темам «Производная» и «Интеграл»

• Развивающая: повысить интерес к данным темам и предмету в целом; развитие интеллектуальной культуры средствами математики, развитие мышления, умение применять полученные знания при решении задач

• Воспитывающая: воспитать самостоятельность, коллективизм, ответственность за себя и других членов коллектива

Оборудование: плакат с таблицей для задания 1, ребусы на отдельных листах, карточки с заданиями для устной разминки, карточки со всеми задачами для «Поля чудес», геометрические фигурки для правильных ответов, портреты математиков, занимавшихся производной и интегралом, призы для победителей.

План игры:

1. Оргмомент.

2. «Отгадай слово»

3. Устная разминка.

4. Историческая справка.

5. «Найди ошибку»

6. Ребусы.

7. Историческая справка.

8. Дружное семейство.

9. Поле чудес.

10. Подведение итогов.

11. Рефлексия.

Ход игры

Здравствуйте, ребята. Сегодня мы с вами окунемся в мир производной и интеграла, вспомним что это такое и «с чем их едят». На все вопросы отвечаем, поднимая предварительно руку. За правильный ответ получаете замечательную фигурку (звездочку, квадратик, цветочек и другие геометрические фигуры из картона). Кто больше наберет фигурок, тот и будет победителем в нашей игре.

Итак, в добрый путь.

Задание 1. (Выполняют 7 сильных студентов)

Итак, первое задание. Оно заключается в том, что нам предстоит отгадать слово, которым называл английский ученый Исаак Ньютон производную функции. Для этого нам понадобится 7 участников. Ваша задача заключается в том, что надо решить пример и отгадать соответствующую букву. Затем сложив букву, вы узнаете загаданное слово.

С

Я

Ю

Ф

К

И

Л

-7ln2/128

7

-4

-2

-20

6

3

ф

л

ю

к

с

и

я

Задание 2.

Пока ребята отгадывают слово, мы с вами проведем разминку. Вы должны вместо (…) вставить функцию, чтобы было верно равенство. Если знаете ответ, то поднимите руку.

1. (…)'= 7x; 2. (…)'= cosx; 3. (…)'=-1/x² 4/ (…)'= 16x³

5. (…)'= 1/sin²x; 6. (…)'= sin3x; 7.(…)'= 1/2 ; 8. (…)'= 2sinx.

Молодцы, успешно справились с поставленной задачей.

А сейчас возвратимся к нашему слову. И это слово получилось - ФЛЮКСИЯ.

Историческая справка: (готовит 1 студент)

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач - метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой.

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 - 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 - 1557гг.) - здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д.Грегори, в работах И. Барроу.

Вот такое волшебное слово - ФЛЮКСИЯ. И немного сведений из истории развития дифференциального исчисления.

Задание 3.

Найдите ошибку в записи правил

1. , где с - константа

2. 

3. 

4. 

5. 

Ответы:

1. =

2. =

3. - лишняя запись

4. =

5. 

Задание 4.

А сейчас давайте отгадаем ребусы.

9)

10)

11)

Ответы: Показатель Наклонная Подобие Стереометрия Теорема Пифагора Теорема Отрезок Задача Производная Производная Поверхность

Скажите, а с каким понятием тесно связана производная функции? Верно, с интегралом и первообразной. Давайте послушаем, откуда появился символ интеграла, что он означает и как развивалось интегральное исчисление.

Историческая справка: (готовят 2 студента)

1. ИНТЕГРАЛ (от лат. Integer - целый) - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п. Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования "восстанавливает" функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.

2. Возникновение задач интегрального исчисления связано с нахождением площадей и объемов. Ряд задач такого рода был решен математиками древней Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального исчисления в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок. 287 - 212 до н. э.). Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приемов и понятий об интеграле, а тем более не создал алгоритма интегрального исчисления. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов развития интегрального исчисления. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых, который также зародился в Древней Греции. В XVII веке были сделаны многие открытия, относящиеся к интегральному исчислению. Так, П. Ферма уже в 1629 году вывел формулу , и на этой основе решил ряд задач на нахождение центров тяжести. И. Кеплер при выводе своих знаменитых законов движения планет, фактически опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677 года), учитель Ньютона, близко подошел к пониманию связи интегрирования и дифференцирования. Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII столетия, исчисления еще не было. Необходимо было выделить общие идеи, лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым окончательно оформился общий метод. Строгое изложение теории интеграла появилось только в прошлом веке, Решение этой задачи связано с именами О. Коши, одного из крупнейших математиков немецкого ученого Б. Римана (1826 - 1866 гг.), французского математика Г. Дарбу (1842 - 1917). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры. Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875 - 1941 гг.) и А. Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)

Задание 5.

Дружное семейство (первообразная - функция - производная). Произошла путаница. Помоги родственникам найти друг друга.

Первообразная

Функция

Производная

1

X

Y

0

-1

Послушай: далеко, далеко, на озере Чад

Изысканный бродит жираф.

2

X

Y

0

1

2

3

-1

-2

-3

1

2

Как пламенеет, как дробится

Его на солнце влажный дым.

3

X

Y

9

-3

Сверху

разведывают

звезд взводы,

в средних

тайпистки стрекочут бешено.

4

X

Y

0

1

2

3

-1

-2

-3

1/2

Смотри, как облаком живым Фонтан сияющий клубится,

5

X

Y

0

1

Ему грациозная стройность и нега дана,

И шкуру его украшает волшебный узор,

6

X

Y

0

1

2

3

-1

-2

-3

1

Лучом, поднявшись к небу, он

Коснулся высоты заветной

И снова пылью огнецветной

Ниспасть на землю осужден.

7

X

Y

-2

-1

1

Бродвей сдурел.

Бегня и гулево.

Дома

с небес обрываются

и висят.

8

X

Y

-4

-1

1

Но даже меж ними

заметишь Вульворт.

Корсетная коробка

этажей под шестьдесят.

9

X

Y

0

1

C которым равняться осмелится только луна, Дробясь и качаясь на влаге широких озер.

Ответ: 1-5-9 - Николай Гумилев «Жираф»; 2-4-6 - Федор Тютчев «Фонтан»; 7-8-3 - Владимир Маяковский «Барышня и Вульворт».

Задание 6.

Ребята, решив эти примеры и по таблице найдя нужную букву, вы сможете получить высказывание.

Вычислить интегралы:

Ключ ответов.

Ответ: "Если ты в жизни хотя на мгновенье…"

Кто знает автора этих строк? Это слова С. Ковалевской. Она писала:

"Если ты в жизни хотя на мгновенье
Истину в сердце своем ощутил,
Если луч правды сквозь мрак и сомненье
Ярким сияньем твой путь озарил:
Чтобы в решенье своем неизменном
Рок не назначил тебе впереди -
Память об этом мгновеньи священном
Вечно храни, как святыню в груди.
Тучи сберутся громадой нестройной,
Небо покроется черною мглой,
С ясной решимостью, с верой спокойной
Бурю ты встреть и померься с грозой."

И именно этими словами я хочу закончить наше мероприятие.

Подведение итогов.

Итак, мы с вами вспомнили сегодня понятие производной и правила дифференцирования функции, вычислили интегралы и узнали историю развития и становления дифференциального и интегрального исчисления. И, конечно же, вспомнили замечательные стихи известных поэтов Владимира Маяковского, Николая Гумилева и Федора Тютчева. Думаю, что весь этот материал поможет вам удачно сдать предстоящие экзамены.

Подсчет фигурок и награждение победителей.

Рефлексия.

Каждому участнику раздается по три карточки с рожицами (улыбающаяся, ровная и гримаса). Студенты должны выбрать карточку с рожицей соответствующей их состоянию во время мероприятия и положить в коробку на столе.

Литература:

1. Электронное издание «Репетитор по математике Кирилла и Мефодия»

2. Персональный сайт учителя математики и информатики г. Ноябрьска Ирины Зайцевой. zaitseva-irina.ru

3. Коваленко, В.Г. Дидактические игры на уроках математики: книга для учителя / В.Г. Коваленко. - М: Просвещение, 1990. - 96с.

4. Сиденко, А. Игровой подход в обучении // Народное образование, 2000. - №8.

5. Агеева И.Д. Занимательные материалы по информатике и математике. Методическое пособие. - М.: ТЦ Сфера, 2005. - 240 с. (Игровые методы обучения).

6. Материалы журнала «Математика в школе».