- Преподавателю
- Математика
- Методическая разработка на тему Иррациональные уравнения
Методическая разработка на тему Иррациональные уравнения
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Гарбузняк Е.А. |
Дата | 26.10.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Шибанова Татьяна Павловна
Методы решения иррациональных уравнений.
Цели:
-
Образовательная -познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения.
-
Развивающая -способствовать развитию математического кругозора, логического мышления.
-
Воспитательная - содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.
Задачи урока:
-
Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;
-
Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения;
-
Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;
-
Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;
-
Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.
-
Тип урока: комбинированный
Методы обучения:
-
Информационно- иллюстративный;
-
репродуктивный;
-
проблемный диалог;
-
частично-поисковый;
-
системные обобщения.
Формы организации учебной деятельности:
-
Фронтальная,
-
групповая,
-
самопроверка,
-
взаимопроверка,
-
коллективные способы обучения.
Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.
Продолжительность занятия: 2 урока по 45 минут.
План урока:
-
Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
-
Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.
-
Изучение нового материала.
-
Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.
-
Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
-
Задание на дом.
Конспект урока.
-
Организационный момент. Постановка цели, мотивация.
-
Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.
-
Определение иррационального уравнения.
Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.
Назовите иррациональные уравнения:
-
Что значит решить иррациональное уравнение?
Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.
-
Основные методы решения иррациональных уравнений.
-
Уединение радикала. Возведение в степень.
a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:
-
использование равносильных преобразований
для уравнения вида
для уравнения вида
-
после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней
b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.
Пример 1:
Ответ: x=1
Пример 2:
Ответ: x=1
Пример 3:
Проверка: x=2 x=5
- посторонний корень
Ответ: x=2
Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.
Пример 4:
Проверка показывает, что оба корня подходят.
Ответ:
-
Метод введения вспомогательного неизвестного или "метод замены
Пример 5:
Сделаем замену причём тогда
не удовлетворяет условию
Возвращаемся к замене:
Проверка показывает, что оба корня подходят.
Ответ:1;2
Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.
Пример 6: .
Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение
, .
Тогда,
Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .
Имеем систему уравнений
Т.к. а + в = 4, то
Значит: 9 - x = 8 , х = 1.
Ответ : х = 1
-
Метод разложения на множители или расщепления.
-
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.
Пример 7:
Ответ: -4;3
-
Изучение нового материала.
Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.
-
Умножение на сопряжённое выражение.
-
Переход к модулю.
-
Использование свойств функции:
-
Область определения функции (ОДЗ)
-
Область значения функции
-
Свойство ограниченности функции (метод оценок)
-
Свойство монотонности
-
Использование суперпозиций функций
-
-
Умножение на сопряжённое выражение.
Воспользуемся формулой
Пример 8:
Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение:
Проверка показывает, что число является корнем.
Ответ:
-
Переход к модулю.
Для этого метода воспользуемся тождеством:
Пример 9:
Рассмотрим случаи:
-
-
-
Если , то , тогда
-
-
тогда
-
-
-
Если , тогда ,а
-
-
2=6( ложно)
-
-
-
Если , тогда , а
-
-
Ответ: -3;3
-
Использование свойств функции:
-
-
-
Область определения функции (ОДЗ)
-
-
Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.
Пример 10:
ОДЗ: ОДЗ: x=0 и x=1
Проверка показывает, что только x=1 является корнем.
Ответ:
Пример 11:
, тогда
Тогда невозможно.
Ответ: корней нет.
-
-
-
-
Область значений функции
-
-
-
Пример 12:
Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть- функция может принимать только неотрицательные значения.
Ответ: корней нет
Пример 13:
Учитывая то, что левая часть уравнения - функция может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство:
неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.
Ответ: корней нет
-
-
-
Свойство ограниченности функции (метод оценок)
-
-
-
Если и , то
Пример 14:
Заметим, что , т.е. , а
Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.
Ответ:
-
-
-
Свойство монотонности
-
-
-
Пусть - функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение имеет на промежутке I не более одного корня.
-
Пусть - функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция - убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение имеет на промежутке I. не более одного корня
Пример 15: .
Рассмотрим функции и .
монотонно возрастает, а - убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.
Значение корня легко найти подбором:
Ответ:
Пример 16:
Функция возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Так как , то - единственный корень .
Ответ:
-
-
-
Использование суперпозиций функций
-
-
-
Если - монотонно возрастающая функция, то уравнения и равносильны.
Пример 17:
Запишем уравнение в виде
Рассмотрим функцию - монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид . Оно равносильно уравнению
Сделаем замену
не удовлетворяет условию
Ответ:
-
Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.
Решение уравнений в группах по 6 человек.
Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.
После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:
1 6 5
2 3 4
Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.
Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.
Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.
-
Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.
-
Задание на дом:
Решить уравнения:
-
-
-
-
-
-
-
-
*
Используемая литература.
-
Чулков П.В. Материалы курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. - М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.
-
Дьячков А.К., Иконникова Н.И., Казак В.М., Морозова Е.В. Единый государственный экзамен. Математика. - Челябинск: Взгляд, 2006 -Ч.1,2
-
Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. - М.: Просвещение, 1989
-
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Айрис-пресс, 2004.
-
Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. - М.: Илекса, 2006.
Задания для работы в группах:
Вариант 1(1,3,5 группы).
Решите уравнения,
используя подсказку:
-
Возведи обе части в квадрат:
-
Выполни замену:
-
Найди ОДЗ:
-
Умножай на сопряжённое выражение:
-
Переходи к модулю:
-
Используй свойства функций:
-
Реши любым способом:
Вариант 2( 2,4,6 группы)
Решите уравнения,
используя подсказку:
-
Возведи обе части в квадрат:
-
Выполни замену:
-
Найди ОДЗ:
-
Умножай на сопряжённое выражение:
-
Переходи к модулю:
-
Используй свойства функций:
-
Реши любым способом:
Проверочная работа по теме: «Методы
Вариант 1
Решите уравнения,
используя подсказку:
-
Возведи обе части в квадрат:
-
Выполни замену:
-
Найди ОДЗ:
-
Разложи на множители:
-
Умножай на сопряжённое выражение:
-
Переходи к модулю:
-
Используй свойства функций:
-
Реши любым способом:
решения иррациональных уравнений»
Вариант 2
Решите уравнения,
используя подсказку:
-
Возведи обе части в квадрат:
-
Выполни замену:
-
Найди ОДЗ:
-
Разложи на множители:
-
Умножай на сопряжённое выражение:
-
Переходи к модулю:
-
Используй свойства функций:
-
Реши любым способом:
11