Рабочая программа элективного курса Квадратный трехчлен и его применение

Элективный курс по теме «Квадратный трехчлен и его применение»

Структура программы

Программа является обучающей и содержит:

 Пояснительную записку.

 Цели курса.

 Содержание курса.

 Примерное тематическое планирование.

 Дидактические материалы для учителя.

 Дидактические материалы для учащихся.

 Требования к умениям и навыкам.

 Методические рекомендации.

 Литературу.

 Приложения.

Пояснительная записка

Данный курс «Квадратный трехчлен и его приложения» поддерживает изучение основного курса математики и способствует лучшему усвоению базового курса математики. Материал данного курса, безусловно, может использоваться учителем как на уроках математики в 8-9 классах, так и на занятиях кружков. Данная программа курса по выбору своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся, которым интересна математика и ее приложения, и которым захочется глубже познакомиться с ее методами и идеями. Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно не проработанные в общем курсе школьной математики вопросы. Стоит отметить, что навыки в применении квадратного трехчлена совершенно необходимы каждому ученику, желающему хорошо подготовиться для успешной сдачи конкурсных экзаменов, а также будет хорошим подспорьем для успешных выступлений на математических олимпиадах. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности. Наряду с основной задачей обучения математике - обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых каждому члену современного общества, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения.

Цели курса:

- восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса, придающие ему необходимую целостность;

- показать некоторые нестандартные приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических соображений;

- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы;

- формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе.

Задачи курса:

- научить учащихся решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности;

- овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования;

- приобрести определенную математическую культуру;

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Содержание программы

Тема 1. Квадратный трехчлен (2 ч)

Квадратный трехчлен. Понятие квадратного трехчлена. Общие сведения. Значение квадратного трехчлена при различных значениях переменной. Корни квадратного трехчлена. Составление квадратного трехчлена по его корням. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители разными способами. М е т о д о б у ч е н и я: репродуктивный: беседа, объяснение. Ф о р м а к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 2. Исследование корней квадратного трехчлена (4 ч)

Расположение корней квадратного трехчлена. Примеры применения свойств квадратного трехчлена при решении задач. Квадратный трехчлен и параметр. Ф о р м а з а н я т и й: объяснение, практическая работа.

М е т о д о б у ч е н и я: выполнение тренировочных задач.

Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 3. Решение разнообразных (дополнительных) задач по всему курсу. Заключительное занятие (2 ч)

Ф о р м а з а н я т и й: практическая работа.

М е т о д ы з а н я т и й: беседа, творческие задания.

Ф о р м а к о н т р о л я: итоговая проверочная работа.

Учебно-тематический план

№

Наименование

тем курса

Всего часов

В том числе

Форма

контроля

лекция

прак-

тика

семинар

1

Квадратный трехчлен

2

1

1

С. р. (15 мин)

2

Исследование корней квадратного трехчлена

4

1

2

1

С. р. (15 мин)

3

Решение разнообразных (дополнительных) задач по всему курсу

2

1

1

Пров. р. (45 мин)

Методические рекомендации

Данный элективный курс «Квадратный трехчлен» задает примерный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть школьники. В этот объем, безусловно, входят те знания, умения и навыки, обязательное приобретение которых всеми учащимися предусмотрено требованиями программы общеобразова-тельной школы: однако предполагается более высокое качество их сформированности. Учащиеся должны научиться решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования. Следует отметить, что требования к знаниям и умениям ни в коем случае не должны быть завышены. Чрезмерность требований порождает перегрузку и ведет к угасанию интереса. Одна из целей преподавания данного курса - ориентационная - помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности, поэтому интерес и склонность учащегося к занятиям на курсах должны всемерно подкрепляться и развиваться.

Вводя учащихся в тематику занятий курса, следует отметить, что использование свойств квадратного трехчлена позволяет решать довольно сложные задачи. На уроках можно использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся класса. Эта форма работы развивает точную, лаконичную речь, способность работать в скором темпе, быстро собираться с мыслями и принимать решения.

Можно рекомендовать комментированные упражнения, когда один из учеников объясняет вслух ход выполнения задания. Эта форма помогает учителю «опережать» возможные ошибки. При этом нет механического списывания с доски, а имеет место процесс повторения. Сильному ученику комментирование не мешает, среднему придает уверенность, а слабому помогает. Ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе, к быстрой ориентации в материале.

Поурочные домашние задания являются обязательными для всех. Активным учащимся можно давать задания из дополнительной части. Проверка заданий для самостоятельного решения осуществляется на занятии путем узнавания способа действия и называния ответа. Данный курс содержит дидактический материал как для учителя, так и для учащихся, а также приводятся возможные варианты организации деятельности учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- уверенно находить корни квадратного трехчлена, выбирая при этом рациональные способы решения;

- преобразовывать квадратный трехчлен (разложение на линейные множители, выделение квадрата двучлена);

- уверенно владеть системой определений, теорем, алгоритмов;

- проводить самостоятельное исследование корней квадратного трехчлена;

- решать типовые задачи с параметром, требующие исследования расположения корней квадратного трехчлена.

Для успешного анализа и самоанализа необходимо определить критерии оценки деятельности учащихся, они должны быть известны и родителям.

Возможные критерии оценок.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующие:

Оценка «отлично» (5) - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно. Как правило, для получения высокой оценки учащийся должен показать не только знание теории и владение набором стандартных методов, но и известную сообразительность, математическую культуру.

Оценка «хорошо» (4) - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка «удовлетворительно» (3) - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.

Оценка «неудовлетворительно» (2) - ученик не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса, не справляется с решением простых задач.

Литература

Литература для учителя.

1. Астров, К. Квадратичная функция и ее применение. - М.: Педагогика, 1986. - 108 с.

2. Бессарабов, Н. Н., Зяблин, В. Н., Лозовская, Р. А., Сохадзе, Г. В. Задания для подготовки к тестированию по математике: учебное пособие. - Новочеркасск: ЮРГПУ, 2000. - 36 с.

3. Галицкий, М. Л., Гольдман, А. М., Звавич, Л. И. Планирование учебного материала для 8 класса с углубленным изучением математики: методическое пособие. - М., 1988. - 78 с.

4. Горнштейн, П. И., Полонский, В. Б., Якир, М. С. Задачи с параметрами. - 3-е изд. - М.: Илекса; Харьков: Гимназия, 1998. -
С. 159-202.

5. Гусев, В. А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: книга для учителя. - М.: Просвещение, 1984.

6. Звавич, Л. И., Шляпочник, Л. Я., Чинкина, М. В. Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: пособие для школ с углубленным изучением математики. - М.: Дрофа, 1999. - 352 с.

7. Цыганов, Ш. Десять правил расположения корней квадратного трехчлена // Математика. - № 18. - 2002. - С. 19-23.

8. Цыганов Ш. Квадратный трехчлен и параметры // Математика. - № 5. - 1999. - С.4-9.

Литература для учащихся.

1. Аверьянов, Д. И., Алтынов, П. И., Баврин, Н. Н. Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. - 2-е изд. - М.: Дрофа, 1999. - 864 с.

2. Виленкин, Н. Я., Виленкин, Л. Н., Сурвилло, Г. С. и др. Алгебра. 8 класс: учебн. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: Просвещение, 1995. - 256 с.

3. Виленкин, Н. Я., Сурвилло, Г. С., Симонов, А. С., Кудряв-цев, А. И. Алгебра. 9 класс: учебн. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: Просвещение, 1996. - 384 с.

4. Галицкий, М. Л. и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебн. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - 3-е изд. - М.: Просвещение 1995. - 217 с.

5. Горнштейн, П. И., Мерзляк, А. Г., Полонский, В. Б., Якир, М. С. Экзамен по математике и его подводные рифы. - М.: Илекса; Харьков: Гимназия, 1998. - 236 с.

6. Математика: алгебра - 8. - М.: Открытый мир, 1998. - 128 с.

7. Черкасов, О. Ю., Якушев, А. Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - 3-е изд., испр. и дополн. - М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998. - 416 с.

8. Шабунин, М. И. Пособие по математике для поступающих в вузы. - М.: Лаборатория базовых знаний, 1999. - 640 с.

9. Шарыгин, Н. Ф. Учебное пособие для 10 кл. общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 1994. - 252 с.

Дидактические материалы для учителя:

Тема 1. Квадратный трехчлен (2 ч)

Ц е л и: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Квадратный трехчлен»; закрепить изученный материал в ходе выполнения упражнений.

М е т о д ы о б у ч е н и я: лекция, объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.

Ф о р м ы к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.

Х о д з а н я т и я

I. Лекция «Квадратный трехчлен».

Знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного решения многочисленных задач элементарной математики.

Квадратным трехчленом называется выражение

ах² + вх + с, а  0.

Выражение х² + рх + q называют приведенным квадратным трехчленом.

Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.

Теорема Виета. Между корнями х₁ и х₂ квадратного трехчлена

ах² + вх + с

и коэффициентами этого трехчлена существуют соотношения:

Обратная теорема Виета. Если числа х₁ и х₂ таковы, что

х₁ + х₂ = -р; х₁ · х₂ = q,

то х₁ и х₂ - корни приведенного квадратного трехчлена х² + рх + q.

Следует иметь в виду, что обратная теорема Виета применима лишь для приведенного квадратного уравнения.

Следствия из теоремы Виета. Пусть х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена х² + рх + q, тогда

х₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁х₂ = р² - 2q,

х₁³ + х₂³ = (х₁ + х₂)(х₁² + х₂² - х₁х₂) = -р(р² - 3q) = -р³ + 3рq;

х₁⁴ + х₂⁴ = (х₁² + х₂² - 2х₁х₂) = (р² - 2q)² - 2q² = р⁴ - 3р²q + 2q².

Теорема Виета применяется для исследования знаков корней квадратного трехчлена.

Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношений: Д = в² - 4ас ≥ 0; х₁х₂ = > 0, при этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие

х₁ + х₂ = -> 0,

и оба корня отрицательны, если

х₁ + х₂ = -< 0.

Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнения соотношения

х₁·х₂ = < 0.

В квадратном трехчлене всегда можно выделить квадрат двучлена

ах² + вх + с = а=

=.

Т. о. , ах² + вх + с = .

Аналогично, для приведенного квадратного трехчлена х² + рх + q имеем:

х² + рх + q = .

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде

ах² + вх + с = а(х - х₁)(х - х₂).

Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то трехчлен можно представить в виде ах² + вх + с = а(х - х₁)².

Если дискриминант квадратного трехчлена меньше нуля, то квадратный трехчлен не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами.

II. Практические упражнения.

Пример 1. х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена.

х² + 6х + q удовлетворяют условию х₂ = 2х₁. Найдите q, х₁, х₂.

Р е ш е н и е.

Из теоремы Виета следует, что х₁ + х₂ = 3х₁ = -6, т. е. х₁ = -2 и х₂ = 2х₁ - 4. Тогда q = х₁х₂ = 8.

Пример 2. Найдите , где х₁ и х₂ корни квадратного трехчлена 2х² - 3х - 9.

Р е ш е н и е.

Преобразуем выражение

== .

По теореме Виета х₁ + х₂ = и х₁х₂ =-,

поэтому имеем

Пример 3. Дано изображение графика функции у = ах² + вх + с. Определите знаки коэффициентов а, в, с.

III. Закрепление.

№ 5 (а-г); 16 (а; б) *.

Повторить изученный материал.

Примечание: * Здесь и далее: см. Дидактический материал для учащихся.

Домашнее задание. № 5 (д; е; ж); 9, 16 (в; г).

З а н я т и е 2

Ц е л и: проверить усвоение учащимися материала; добиться безошибочного определения корней квадратного трехчлена и разложения на множители; познакомить с частными случаями нахождения корней квадратного трехчлена; закрепить умения учащихся применять разложение квадратного трехчлена на множители при упрощении выражения.

М е т о д о б у ч е н и я: беседа, объяснение, письменные и устные упражнения.

Ф о р м а к о н т р о л я: самостоятельная работа.

Х о д з а н я т и я

I. Фронтальный опрос.

II. Организация учащихся на выполнение самостоятельной работы.

III. Самостоятельная работа (выполняется на заранее подготовленных листах, см. приложение 1).

Проверяется на этом же уроке.

IV. Объяснение новой темы «Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена ах² + вх + с».

Ч а с т н ы е с л у ч а и нахождения корней квадратного трехчлена

ах² + вх + с

1) если а + в + с = 0, то х₁ = 1, х₂ = .

П р и м е р: 2х² + 3х - 5; х₁ = 1, х₂ = -.

Следовательно, 2х² + 3х - 5 = 2(х - 1) (х + ) = (х - 1)(2х + 5).

2) если а - в + с = 0, то х₁ = -1, х₂ = -.

П р и м е р: 2х² + 3х + 1, х₁ = -1, х₂ = -.

Следовательно, 2х² + 3х + 1 = (х + 1)(2х + 1).

3) Если а = с = п, в = п² + 1, т. е. пх² + (п² + 1)х + п,

то х₁ = -п, х₂ = -.

П р и м е р: 2х² + 5х + 2, х₁ = -2, х₂ = -.

Следовательно, 2х² + 5х + 2 = (х + 2)(2х + 1).

4) Если а = с = п, в = -(п² + 1), т. е. пх² - (п² + 1)х + п,

то х₁ = п, х₂ = .

П р и м е р: 3х² - 10х + 3, х₁ = 3, х₂ = .

Следовательно, 3х² - 10х + 3 = (х - 3)(3х - 1).

5) Если в приведенном квадратном трехчлене второй коэффициент четный, то можно пользоваться следующей формулой х² + рх + q, где р - четное.

.

П р и м е р: а) х² - 10х + 21

х₁ = 5 + 2 = 7

х₂ = 5 - 2 = 3

б) х² - 2 + 5

, но лучше решить используя формулу квадрата двучлена .

V. Закрепление.

Устно. Найдите корни квадратного трехчлена.

1) 3х² + 4х + 1; 6) 5х² + 26х + 5;

2) 5х² - 4х -9; 7) 13х² - 18х + 5;

3) 4х² - 17х +4; 8) 100х² - 97х - 197;

4) 7х² + 2х - 5; 9) х² + 17х - 18;

5) 5х² - х - 6; 10) 10х² - 101х + 10.

VI. Решение упражнений.

Пример. Упростите выражение.

.

Р е ш е н и е.

х² - 3х + 2, его корни х₁ = 1, х₂ = 2.

3х² + 7х - 10, его корни х₁ = 1, х₂ = -.

5 - 4х - 9х² = -(9х² + 4х -5), его корни х₁ = -1, х₂ = .

Исходное выражение перепишем в виде:

О т в е т: 3(3х - 2).

VII. Самостоятельная работа учащихся.

Решить самостоятельно № 15 (1), 19 (а).

VIII. Подведение итогов.

Домашнее задание. № 15 (2, 3); 16 (д, е); 19 (б, в).

Тема 2. Исследование корней квадратного трехчлена (4 ч)

З а н я т и е 3

Расположение корней квадратного трехчлена.
Примеры применения свойств квадратного
трехчлена при решении задач

Ц е л и: познакомить учащихся с особенностями расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости; рассмотреть примеры на расположение корней квадратного трехчлена.

М е т о д ы о б у ч е н и я: лекция, объяснение, письменные упражнения.

Ф о р м а к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.

Х о д з а н я т и я

I. Объяснение нового материала (лекция).

На доске заранее вывешивается таблица (Приложение 2).

В ходе объяснения учитель использует таблицу.

Лекция-объяснение.

Решение задач, для которых характерны следующие формулировки: при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа р; корни расположены между числами р и q; корни не принадлежат промежутку с концами в точках р и q и т. п.; опирается на утверждения о расположении корней квадратичной функции.

Приведем данные утверждения в удобной для решения форме.

Пусть числа х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена f(x) = ax² + вх +с (положим х₁ < х₂), у которого Д = в² - 4ас > 0, а ≠ 0 и даны А и В - некоторые точки на оси ОХ.

Тогда

1. (Т а б л и ц а 1.) Оба корня меньше числа А, то есть х₁ < А и х₂ < А

тогда и только тогда

или

Если в первой системе объединить условие (1) и (3), а во второй условие (4) и (6), то данные системы можно свести к одной.

2. (Т а б л и ц а 2.) Корни лежат по разные стороны от числа А, т. е.

х₁ < А < х₂,

тогда и только тогда

или

Как и в предыдущем случае данное условие можно записать одним неравенством

а f(A) < 0.

3. (Т а б л и ц а 3.) Оба корня больше числа А, то есть

x₁ > A и x₂ > A,

тогда и только тогда, когда

или

Объединяя в первой системе условие (1) и (3), а во второй системе условие (4) и (6), получим одну систему:

4. (Т а б л и ц а 4.) Оба корня лежат между точками А и В, т. е.

А < x₁ < В и А < x₂ < В,

тогда и только тогда, когда

Как и в предыдущих случаях можно значительно облегчить задачу, записав вместо двух систем одну

5. (Т а б л и ц а 7). Корни лежат по разные стороны от отрезка [А; В],

т. е.

х₁ < А < В < х₂

тогда и только тогда, когда

или

данные две системы записываем одной

II. Закрепление.

Пример 24. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения

х² + (4а + 5)х + 3 - 2а = 0?

Р е ш е н и е.

Пусть х₁ и х₂ корни квадратного уравнения, причем х₁ < 2 < х₂.

Воспользуемся теоремой о расположении корней квадратного трехчлена и придем к следующей системе:

Или 17 + 6а < 0, откуда а < .

О т в е т: а < .

Пример 25. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена х² + ах + 1 различны и лежат на отрезке [0; 2].

Р е ш е н и е.

Изобразим схематически условие задачи

Если а , то корни данного квадратного трехчлена принадлежат отрезку [0; -2].

О т в е т: .

IV. Самостоятельное решение задач (если останется время).

№ 20 (а); 21 (а).

V. Итоги занятия.

Домашнее задание. № 20 (б), 21 (б), 26, 28; проработать теоретический материал.

З а н я т и е 4

Ц е л ь: закрепление особенностей расположения корней квадратного трехчлена с заданными свойствами на координатной плоскости.

М е т о д о б у ч е н и я: беседа, объяснение, тренировочные упражнения.

Ф о р м а к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.

Х о д з а н я т и я

I. Проверка домашнего задания.

II. Решение примеров.

№ 52.

Уравнение ах² + 8х + с = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны а и с?

Р е ш е н и е.

З а м е ч а н и е. Если коэффициент при х² многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай а = 0.

При а = 0, уравнение имеет вид

8х + с = 0, х₀ = 1, с = -8.

При а ≠ 0, = 0,

а = с = -4.

О т в е т: а = с = -4.

№ 49.

В уравнении х² + ах + 12 = 0 определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.

Р е ш е н и е.

Разность корней х₂ - х₁ = = 1, откуда а = ± 7.

О т в е т: ± 7.

Т а б л и ц а к заданиям 53, 54.

№ 53.

При каких а корни уравнения х² - 2ах + а² - а - 6 = 0 имеют разные знаки?

Р е ш е н и е.

Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

а·f(A) < 0 (II)

f(0) = a² - a - 6 < 0,

0 < a < .

О т в е т: (0; ).

III. Самостоятельное решение примеров с комментированием.

1. № 54.

При каких а уравнение х² - 2ах + а² - а - 6 = 0 имеет два разных корня одного знака?

Р е ш е н и е.

Нас интересуют параболы I и III (См. рис.). Они характеризуются тем, что

или

откуда а (-6; -2)  (3; +∞).

О т в е т: (-6; -2)  (3; +∞).

2. При каких а уравнение х² - 2ах + а² - а - 6 = 0 имеет два разных отрицательных корня?

Р е ш е н и е.

Парабола I на рисунке (см. рис.).

Получаем систему уравнений

и

Откуда а  (-6; -2).

О т в е т: (-6; -2).

IV. Итоги занятия.

Домашнее задание. № 35, 38, 44, 50.

З а н я т и е 5
Семинар

Ц е л ь: способствовать выработке навыка решения задач, основанных на исследовании корней квадратного трехчлена.

Х о д з а н я т и я

I. Проверка домашнего задания.

Задания, вызвавшие затруднения, решить у доски.

II. Повторение изученного материала.

III. Выполнение упражнений.

№ 36. О т в е т: (-∞;∞).

№ 39. О т в е т: 2.

№ 42. О т в е т: в; с > 0.

№ 51. О т в е т:

№ 56. О т в е т: .

Можно предложить учащимся решить тесты (№ 6 и 7), которые имеются в приложении 6.

Домашнее задание. № 37, 40, 43, 55.

З а н я т и е 6

Ц е л и: проверить усвоение учащимися изученного материала; продолжить решение задач по изучаемой теме.

Х о д з а н я т и я

I. Графический диктант.

а) х² - 6х;

б) х² - 10х + 25;

в) х² - 6х - 16;

г) 3х² - 2х - 1;

д) х² - 2х - 24;

е) х² - 2х = (х - 2)² + 4;

ж) ах² - 4х + 5 = 0.

О т в е т ь т е н а в о п р о с ы:

Учитель имеет возможность быстро проверить правильность решения, разобрать неверно решенные задания.

II. Проверка домашнего задания.

III. Решение упражнений.

№ 45, 47, 57.

IV. Подведение итогов.

Домашнее задание. № 46, 58, 11, 13, 18 (а; в).

З а н я т и е 7
Проверочная работа

Ц е л ь: проверить степень усвоения учащимися изученного материала.

Х о д з а н я т и я

В а р и а н т I

1. Упростите выражение

.

2. Не решая квадратного уравнения 3х² + х - 13 = 0, найдите

а) ; б) х₁² + х₂²; в) .

3. По графику функции у = ах² + вх + с найдите знаки коэффициентов а; в; с.

4. При каких значениях а уравнение ах² + 6х + 2а + 7 = 0 имеет один корень.

5. При каких значениях а уравнение х² - 2ах + а² + 2а - 3 = 0:

а) не имеет корней;

б) имеет положительные корни.

О т в е т ы: 1) 9х + 5;

2) а) ; б) ; в) ;

3) а  0; в  0; с  0;

4) 1; -4,5; ;

5) а) а  ; б) (1; .

В а р и а н т II

1. Упростите выражение

.

2. Не решая квадратного уравнения 3х² - х - 11 = 0, найдите

а) ; б) х₁² + х₂²; в) .

3. По графику функции у = ах² + вх + с найдите знаки коэффициентов а; в; с.

4. При каких значениях а уравнение ах² + 8х + а + 15 = 0 имеет один корень.

5. При каких значениях а уравнение х² - 2ах + а² + 2а - 3 = 0:

а) имеет корни разных знаков;

б) имеет два разных отрицательных корня.

О т в е т ы: 1) х²;

2) а) ; б) ; в) ;

3) а  0; в  0; с = 0;

4) ; 1; -16;

5) а) (-3; 1); б) а  -3.

Домашнее задание. Учащиеся обмениваются карточками с заданиями. Сильным учащимся можно предложить попробовать решить задания № 64, 65.

З а н я т и е 8
Решение разнообразных заданий.
Заключительное занятие

Ц е л ь: закрепить навык решения различных задач с применением утверждений о расположении корней трехчлена.

М е т о д ы з а н я т и й: беседа, решение упражнений.

Ф о р м а к о н т р о л я: проверка самостоятельно решенных задач.

Х о д з а н я т и я

I. Анализ проверочной работы.

II. Проверка домашнего задания.

III. Решение упражнений.

№ 60.

При каких значениях а уравнение х² + 2(а - 1)х + а + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень?

Р е ш е н и е.

Если один из корней положителен, то другой может быть (1) отрицательным, (2) равным нулю и (3) положительным (при этом может совпасть, а может не совпасть с первым).

Рассмотрим каждый случай в отдельности:

Объединяя все три случая, получаем а  (-∞; -1].

О т в е т: (-∞; -1].

№ 61.

Среди всех квадратных трехчленов у = х² + рх + q, которые принимают только неотрицательные значения, найдите тот, в котором сумма р + q наименьшая.

Р е ш е н и е.

Если для всех действительных х квадратный трехчлен у = х² + рх + q принимает только неотрицательные значения, то

, т. е. .

Принимая во внимание это неравенство, получаем

р + q ≥ = ,

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда , а .

Тогда р = -2; q = 1.

О т в е т: р = -2; q = 1.

№ 64.

При каких значениях а уравнение х² + 2(а - 1)х + а - 5 = 0 имеет корни разных знаков, не превосходящих по модулю 5?

Р е ш е н и е.

Требуемые значения параметра являются решениями системы



Откуда а  .

№ 71.

При каких значениях а уравнение х⁴ + (1 - 2а)х² + а² - 1 = 0 имеет четыре разных корня?

Р е ш е н и е.

После замены t = x² получается уравнение t² + (1 - 2a)t + a² -1 = 0.

Первоначальное уравнение имеет четыре различных решения только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет два разных положительных решения, т. е.

Решив систему, получим а  .

О т в е т: .

IV. Подведение итогов.

Дидактический материал для учащихся

Упражнения

1. Заполните следующую таблицу:

(Приняты следующие названия: а - старший коэффициент, с - свободный член.)

2. Выделите квадрат двучлена в следующих трехчленах:

а) х² + 2х; д) х² + рх + q;

б) 2х² + 4х; е) ах² + вх + с;

в) х² - 5х; ж) 4х² - тх + т - 2.

г) х² + 2рх;

3. Найдите дискриминанты квадратных трехчленов:

а) х² + 1; е) х² + рх + q;

б) х²; ж) х² + рх;

в) 2х² - 6х - 20; з) ах² + вх;

г) 13х² + 1942х - 1955; и) ах² + с;

д) 4х² - 12тх + 9т²; к) ах².

4. Разложите квадратный трехчлен на множители:

а) х² - 2х - 3; г) 7х² - 5х - 12;

б) 4х² - 7х + 13; д) х² + (3 + k)х - 3;

в) 4х² - 12тх - 16т²; е) а²х² - 2ах - 8.

5. Пусть х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена х² + рх + q. Выразите данные выражения через коэффициенты р и q.

а) х₁² + х₂²; д) ;

б) х₁³ + х₂³; е) ;

в) х₁⁴ + х₂²; ж) |х₁ - х₂|.

г) ;

6. Дан квадратный трехчлен 6х² - 5х + 1. Найдите:

а) ; б) х₁² + х₂²; в) .

7. Дан квадратный трехчлен 3х² + 8х - 1. Найдите:

а) х₁² + х₂²; б) х₁ х₂² + х₂х₁³; в) ; г) х₁⁴ + х₂⁴.

8. Дан квадратный трехчлен 2х² - 5х - 4. Найдите:

а) ; б) х₁ х₂⁴ + х₂х₁⁴; в) ; г) х₁⁵ + х₂⁵.

9. Пусть х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена 4х² - 6х - 1. Составьте квадратный трехчлен, корнями которого являются числа:

а) х₁ х₂² и х₂х₁²; б) ; в) .

10. Разложите на множители квадратный трехчлен, предварительно решив соответствующее квадратное уравнение:

а) х² - 6х + 7; к) -х² + 6х + 27;

б) х² - 15х + 26; л) 4х² + 28х + 49;

в) х² + 7х - 44; м) 9х² - 48х - 64;

г) х² + 25х + 100; н) х² + 3х - 108;

д) х² - 17х + 72; о) х² + 5,9х + 8,5;

е) х² - 17х + 72; п) 30х² + 37х + 49;

ж) 2х² + 3х - 6,48; р) 6х² - 7х + 1;

з) 2у² - у - 6; с) 4х² - 12тх - 16т².

и) 16х² - 56х + 45;

11. Разложите на множители трехчлен:

а) у² - ау - (ав + в²);

б) z² - (2ав + с) + 2авс;

в) х² + ах - (а + в);

г) (1 - а²)х² - 4ах - (1 - а²).

12. Разложите на множители квадратный трехчлен относительно х и у:

а) 5х² - 7ху + 2у²;

б) 6х² + 17ху + 11у²;

в) х² - 2ху + 3у²;

г) х² - 3ху - 40у².

13. Сократите дробь:

а) ; б) ; в) .

14. Пусть х₁ - один из корней квадратного трехчлена ах² + вх + с. Докажите, что ах² + вх + с = а(х + х₁ + )(х - х₁).

15. Сократите дроби

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

16. Дано изображение графика функции у = ах² + вх + с. Определите знаки коэффициентов а; в; с.

а) б) в)

г) д) е)

17. При каком соотношении между коэффициентами а, в, с квадратный трехчлен ах² + вх + с является полным квадратом?

18. Не вычисляя корней х₁ и х₂ уравнения 3х² - 8х + 5 = 0, найдите:

а) х₁² + х₂²; в)

б) х₁х₂³ + х₂х₁³; г) х₁⁴ + х₂⁴.

19. Пусть х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена 2х² - 7х - 3. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) ; б) х₁ х₂² и х₂ х₁²; в) .

20. Найдите все значения а, при которых квадратное уравнение:

а) 3х² - 2х + а = 0;

б) (2а - 1)х² + 2х - 1 = 0;

в) ах² - 3х - 1 = 0;

г) ах² - (2а - 1)х + а + 2 = 0

имеет два действительных и различных корня.

21. Найдите все значения а, при которых квадратное уравнение не имеет действительных корней:

а) х² - 4х + а = 0;

б) 5х² - 6ах + 1 = 0;

в) (1 - а)х² + 4х - 3 = 0;

г) (3а - 5)х² - (6а - 2)х + 3а - 2 = 0.

22. Найдите все значения а, при которых квадратное уравнение имеет действительные корни.

а) х² - 4х + а = 0; в) (1 - 3а)х² - 4х - 3 = 0;

б) ах² - 9х - 2 = 0; г) (а - 1)х² - (2а + 3)х + а + 5 = 0.

23. Найти наименьшее значение квадратного трехчлена:

а) f(x) = x² - 2x - 3;

б) f(x) = (2x + 1)(3x + 2).

24. При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х² +(4а + 5)х + 3 - 2а = 0?

25. Найти все значения параметра а, при каждом из которых корни квадратного трехчлена х² + ах + 1 различны и лежат на отрезке 0; 2.

26. При каких значениях а уравнение х² -(2а - 1)х + 1 - а = 0 имеет два различных действительных положительных корня?

27. При каких значениях а уравнение х² -(2а + 4)х - 5 - 2а = 0 имеет два различных действительных отрицательных корня?

28. При каких значениях а уравнение х² -(2а - 6)х + 3а + 9 = 0 имеет корни разных знаков?

29. При каких значениях а уравнение х² -(а - 2)х - 2 - 3а = 0 имеет корни х₁ и х₂ такие, что х₁ 0; х₂ 0; |x₁|  х₂?

30. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения

х² +(а + 1)х - 2а(а - 1) = 0 меньше, чем 1.

31. Найдите все значения а, при которых один из корней уравнения

х² -2ах + а² - 1 = 0 меньше 1, а другой - больше 1.

32. Найдите все значения а, при которых корни уравнения

х² - 4х - (а - 1)(а - 5) = 0 больше, чем 1.

33. Найдите все значения а, при которых корни уравнения

х² -2 (а - 1)х + а + 1 = 0 больше, чем 1.

34. При каких значениях а один из корней уравнения

х² -2 (а + 1)х + 4а + 1 = 0 меньше 1 , а другой - больше 1?

35. При каких значениях а уравнение ах² - 4х + 5 = 0 не имеет корней?

О т в е т: а  0,8.

36. При каких значениях а уравнение х² - 2ах - 1 = 0 имеет два различных корня?

О т в е т: (-∞; +∞).

37. При каких значениях а уравнение 2х² + (3а + 1)х +а² + а + 2 = 0 имеет хотя бы один корень?

О т в е т: (-∞; -3]  [5; +∞).

38. Уравнение ах² + bх + 5 = 0 имеет корень, равный 1. Чему равны а и b?

О т в е т: 0; -5; 5; -10.

39. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения 5х² - 7х + а = 0 относятся как 2 к 5?

О т в е т: 2.

40. В уравнении ах² + 8х + 3 = 0 определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась 1.

О т в е т: 4; -16.

41. При каких а сумма квадратов корней уравнения

х² - 2ах + 2 (а + 1) = 0 равна 20?

О т в е т: -2; 3.

42. При каких в и с уравнение с + bх - 2х² = 0 имеет один положительный и один отрицательный корень?

О т в е т: с  0, b  R.

43. Найти все значения параметра а, при которых один корень уравнения х² - (а + 1)х + 2 = 0 больше а, другой - меньше а?

О т в е т: а  0.

44. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

х² + (а + 1)х + 2 = 0 имеет два разных корня одного знака.

О т в е т: а  2.

45. В уравнении х² - 4х + а = 0 сумма квадратов корней равна 16. Найдите а.

46. В уравнении х² - 2х + а = 0 квадрат разности корней равен 16. Найдите а.

47. При каких а сумма корней уравнения х² - 2а(х - 1) - 1 = 0 равна сумме квадратов его корней?

48. При каких значениях р и q корни уравнения х² + рх + q = 0 равны р и q?

49. В уравнении х² + ах + 12 = 0 определить а таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.

О т в е т:  7.

50. При каких а сумма квадратов корней уравнения 2х² + 4х + а = 0 равна 6?

О т в е т: -2.

51. При всех а решить уравнение ах² - 2х + 4 = 0.

О т в е т: .

52. Уравнение ах² + 8х + с = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны а и с?

53. При каких а корни уравнения х² - 2ах + а² - а - 6 = 0 имеют разные знаки?

54. При каких а уравнение х² - 2ах + а² - а - 6 = 0 имеет два разных корня одного знака?

55. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а - 3)х² - 2ах + 6а = 0 положительны?

О т в е т: 3; .

56. При каких а все получающиеся корни уравнения

(1 + а)х² - 3ах + 4а = 0 больше 1?

О т в е т: .

57. Найти все значения параметра а, для которых оба разных корня уравнения х² + х + а = 0 будут больше, чем а.

О т в е т: а  -2.

58. При каких значениях а оба корня уравнения 4х² - 2х + а = 0 заключены между -1 и 1?

О т в е т: -2; ).

59. При каких значениях а уравнение х² + 2(а - 1)х + а + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень.

О т в е т: (-∞; -1].

60. При каких значениях а уравнение х² + 2(а - 1)х + а + 5 = 0 имеет хотя бы один отрицательный корень?

61. Среди всех квадратных трехчленов у = х² + рх + q, которые принимают только неотрицательные значения, найдите тот, в котором сумма р + q наименьшая.

62. Даны два уравнения ах² + х + 1 = 0 и х² + ах + 1 = 0. Найдите все а, при которых эти уравнения имеют по крайней мере один общий корень.

63. Коэффициенты двух квадратных трехчленов а₁х² + 2в₁х + с₁ и а₂х² + 2в₂х + с₂ являются действительными числами, которые удовлетворяют условию а₁а₂ - 2в₁в₂ + с₁с₂ = 0.

Известно, что один из этих квадратных трехчленов не имеет действительных корней. Докажите, что тогда корнями другого квадратного трехчлена являются различные действительные числа.

64. При каких значениях а уравнение х² + 2(а - 1)х + а - 5 = 0 имеет корни разных знаков, не превосходящие по модулю 5?

65. При каких значениях а один из корней уравнения х² + 2(а - 1)х + а - 5 = 0 по модулю больше 1, а другой - меньше 1?

О т в е т: (-∞; -2)  (2; +∞).

66. При каких значениях а точка 2 не лежит между двумя различными корнями уравнения х² - 2(а - 1)х + 2а + 5 = 0

О т в е т: а  .

67. При каких значениях а один из корней уравнения х² - 4ах + 1 = 0 положителен, а другой - не меньше а?

О т в е т: а  .

68. При каких значениях а уравнение х⁴ + (1 - 2а)х² + а² - 1 = 0 имеет четыре различных решения?

О т в е т: (1; ).

69. При каких значениях а уравнение х⁴ + (1 - 2а)х² + а² - 1 = 0 имеет три разных решения?

О т в е т: а = -1.

70. При каких значениях а уравнение х⁴ + (1 - 2а)х² + а² - 1 = 0 имеет два разных решения?

О т в е т: .

71. При каких значениях а уравнение х⁴ + (1 - 2а)х² + а² - 1 = 0 имеет одно решение?

О т в е т: а = -1.

72. При каких значениях а уравнение х⁴ + (1 - 2а)х² + а² - 1 = 0 не имеет решений?

О т в е т: (-∞; -1)  (; +∞).

Приложения:

Приложение 1

Задания для самостоятельной работы

Учащимся предлагается следующее задание. Это упражнение занимает немного времени, но польза от него огромная.

Приложение 2

Исследование корней квадратного трехчлена

х₁ и х₂ - корни квадратного трехчлена ах² + вх + с; Д  0.

Пусть f(x) = ах² + вх + с.

Окончание табл.

Приложение 3

График квадратичной функции

 Функция, заданная формулой у = ах² + вх + с, где х, у - переменные, а а, в и с - заданные числа, причем а  0, называется квадратичной.

 Областью определения квадратичной функции является множество R.

 Графиком функции у = ах² + вх + с является парабола. Если а  0, то ветви параболы направлены вверх, если а  0, то ветви параболы направлены вниз. Осью симметрии параболы служит прямая х = . Ось симметрии разделяет параболу на две бесконечные симметричные друг другу части.

 Координаты вершины параболы определяются по формулам:

х₀ = ; у₀ = у(х₀) = -.

 Квадратичную функцию у = ах² + вх + с всегда можно привести к виду у = а(х + k)² + р путем выделения полного квадрата следующим образом: сгруппировать два первых слагаемых и вынести коэффициент а за скобки:

.

=

= =

= =

= = .

Здесь х₀ = k = , у₀ = р = .

Точка с координатами (-k; р) есть вершина параболы.

 График квадратичной функции у = а(х + k)² + р получается из графика у = ах² с помощью параллельного переноса вектором т (k; p).

Перечислим основные свойства квадратичной функции и ее графика.

К в а д р а т и ч н а я ф у н к ц и я п р и а  0:

- убывает на (-∞; х₀), график - ниспадающая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вверх;

- возрастает на (х₀; +∞), график - восходящая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вверх;

- наименьшее значение, равное у₀, функция принимает при х = х₀ в вершине параболы;

- вся парабола, кроме вершины, расположена выше прямой у = у₀, параллельной оси ОХ.

К в а д р а т и ч н а я ф у н к ц и я п р и а < 0:

- возрастает (-∞; х₀), график - восходящая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вниз;

- убывает на (х₀; +∞), график - ниспадающая ветвь параболы, обращенная бесконечной частью вниз;

- наибольшее значение, равное у₀, функция принимает при х = х₀ в вершине параболы;

- вся парабола, кроме вершины, расположена ниже прямой у = у₀, параллельной оси ОХ.

По коэффициентам параболы устанавливаем ее основные геометрические характеристики:

- ветви обращены вверх при а > 0;

- вниз при а < 0;

- ось симметрии - прямая х = , параллельная оси ОУ;

- вершина - точка с координатами х₀ = , у₀ = -;

- точка пересечения с осью координат - точка оси ОУ с ординатой, равной свободному члену с, т. к. у(0) = с.

По этим сведениям и по нескольким отмеченным точкам с координатами (х; у(х)) изображают примерный вид параболы.

Вид параболы сообщает некоторые сведения о коэффициентах квадратного трехчлена.

Пример 1. По виду графика функции у = ах² + вх + с определить знаки коэффициентов а; в; с.

Р е ш е н и е.

Ветви параболы обращены вниз, значит
а < 0. х₀ > 0; х = >0, откуда < 0 и т. к.
а < 0, то в > 0. Парабола пересекает отрицательную полуось ОУ, значит, с < 0.

О т в е т: а < 0, в > 0, с < 0.

Положение параболы относительно оси ОХ зависит от знака дискриминанта Д = в² - 4ас и знака а.