- Преподавателю
- Математика
- Учебно-методическое пособие Практикум по численным методам Интерполирование
Учебно-методическое пособие Практикум по численным методам Интерполирование
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Лещенко М.Ю. |
Дата | 08.08.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
МАТЕМАТИКА
ПРАКТИКУМ ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ
«ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ»
Учебно-методическое пособие
--------------------------------------------------------------------------------------
Введение
Современная вычислительная техника требует от пользователей знаний основ вычислительной математики и применения этих знаний к решению различных задач народного хозяйства. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании различных процессов и явлений можно разбить на ряд элементарных: решение уравнений, установление функциональной зависимости между результатами эксперимента, вычисление интегралов, решение дифференциальных уравнений и т.д.
Цель учебно-методического пособия - помощь учащимся, углубленно изучающим математику, а также студентам 1 курса вузов в самостоятельном изучении численных методов и выполнении лабораторно-практических работ.
Настоящее пособие содержит расчетную работу: интерполирование.
Работа содержит теоретическую часть, в которой дана общая постановка решаемой задачи и различные методы ее решения; порядок выполнения работы (решение задач в общем виде); приводятся примеры с решениями, контрольные вопросы, на которые обучающемуся необходимо ответить, чтобы проверить степень усвоения материала; задачи для индивидуальной работы по вариантам двух уровней сложности: А,Б (для дифференцированного контроля знаний студентов0. Уровень А включает задачи среднего уровня сложности, уровень Б - более сложные задачи.
Расчетная работа «Интерполирование»
-
Теоретическая часть
1. Постановка задачи
Пусть при изучении некоторого явления установлено, что существует функциональная зависимость между величинами и , описывающая количественную сторону данного явления; при этом функция остается нам неизвестной, но на основании эксперимента установлены значения этой функции , при некоторых значениях аргумента , принадлежащих отрезку .
Задача заключается в том, чтобы найти функцию, по возможности более простую с точки зрения вычислительной (например, многочлен), которая представляла бы неизвестную функцию на отрезке точно или приближенно. В более отвлеченной форме эту задачу можно сформулировать так: на отрезке заданы значения неизвестной функции в различных точках : ; требуется найти многочлен степени , приближенно выражающий функцию .
Рис. 1 В качестве такого многочлена естественно взять
многочлен, значения которого в точках
совпадают с соответствующими значениями
значениями функции (рис.2. 1). Поставленная
задача, называется «задачей интерполирования
функции».
Рис. 2.1 Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П.Л.Чебышев(1821-1894)- один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П.Л.Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы многочленами Чебышева.
Рассмотрим, как решается задача интерполирования с помощью интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.
2. Интерполяционная формула Лагранжа
Для данной функции найти многочлен степени ,
который при заданных значениях принимал бы значения
. Точки называют узлами интерполяции.
В качестве искомого многочлена возьмем многочлен - ой степени вида
(2.1)
и определим коэффициенты так, чтобы выполнялись условия
(2.2)
Положим в формуле (2.1) ; тогда, принимая во внимание равенства (2.2), получим откуда
Затем, положив , получим откуда
Таким же образом найдем … ,
Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (2.1), получим
(2.3) Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.
Интерполяционную формулу Лагранжа можно записать в виде:
(2.4)
Выражения (2.5)
называются коэффициентами Лагранжа.
Для вычисления удобно применить следующее расположение разностей, подчеркнув разности, расположенные на главной диагонали:
Таблица 2.1
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Обозначив произведение элементов - ой строки через , а произведение элементов главной диагонали через , т.е. Тогда , . (2.6)
Тогда интерполяционная формула Лагранжа компактно запишется в виде:
(2.7)
Иногда бывает полезно для упрощения вычислений использовать инвариантность коэффициентов Лагранжа относительно линейной подстановки: если , то .
Если имеет производную - го порядка на отрезке , то погрешность при замене функции многочленом , т.е. величина , удовлетворяет неравенству
(2.8)
где отрезок содержит все узлы и точку .
Замечание. Многочлен является единственным, удовлетворяющим поставленным условиям.
3. Интерполяционная формула Ньютона
Пусть известны значение функции , а именно при значении аргумента . При этом разность между соседними значениями аргумента постоянна. Обозначим ее через . Узлы интерполяции -равноотстоящие. Таким образом, имеем таблицу значений неизвестной функции при соответствующих значениях аргумента.
…
…
Составим многочлен степени не выше , который принимает соответствующие значения при соответствующих значениях . Этот многочлен будет приближенно представлять функцию .
Конечными разностями функции называются разности вида - конечные разности первого порядка, - конечные разности второго порядка, …, - конечные разности -го порядка.
Обозначим , , , … .
Производя последовательные подстановки, получим:
,
, … ,
, …,
………………………………………………………………………………………….
.
Тогда , , , … ,
. (2.9)
Так как , то , отсюда . (2.10)
Подставив вместо в (2.5) найденное выражение (2.6), получим
. (2.11)
Эта формула называется интерполяционной формулой Ньютона или интерполяционным многочленом Ньютона.
Тогда согласно этой формуле многочлен, принимающий значения соответственно при и -многочлен 1-ой степени (2.12)
Эта интерполяция носит название линейной интерполяции.
Многочлен, принимающий значения соответственно при - многочлен 2-ой степени (2.13)
Интерполяция с помощью этого многочлена называется квадратичной интерполяцией.
Многочлен же 3-го порядка будет иметь вид
(2.14)
Обозначив в формуле (2.10) , получим интерполяционный многочлен Ньютона в виде . (2.15)
Остаточный член формулы (2.14) имеет вид
, (2.16)
где с - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку .
Число желательно выбирать так, чтобы разности были практически постоянными.
По существу, многочлен Лагранжа и многочлен Ньютона для данной таблицы значений тождественны, но по-разному написаны, так как многочлен
степени не выше , принимающий заданные значений при данных
значениях , находится единственным образом.
Во многих случаях интерполяционный многочлен Ньютона более удобен, чем интерполяционный многочлен Лагранжа. Особенность этого многочлена заключается в том, что при переходе от многочлена - й степени к многочлену - й степени первые членов не меняются, а только добавляется новый член, который равен нулю при всех предыдущих значениях аргумента.
Замечание. По интерполяционным формулам Лагранжа (2.3) и Ньютона (2.10) определяются значения функции на отрезке . Если по этим формулам определяется значение функции при (это можно делать при малом ), то говорят что, производится экстраполяция таблицы назад. Если определяется значение функции при , то говорят, что производится экстраполяция таблицы вперед.
4. Обратное интерполирование
Пусть функция задана таблицей.
Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по заданному значению функции определить соответствующее значение аргумента . Будем считать, что в рассматриваемом интервале функция монотонна, так что поставленная задача имеет единственное решение. В этом случае задача решается с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Для этого достаточно принять переменную за независимую, а считать функцией от . Тогда, написав по заданным узлам () многочлен Лагранжа
(2.17)
Итерационные методы. Если функция задана таблицей с равноотстоящими узлами, то записываем для нее один из интерполяционных многочленов, например интерполяционный многочлен Ньютона (2.15):
.
Заменив на , получим формулу для нахождения обратной функции
, (2.18)
где , .
5. Нахождение корней уравнения методом обратного
интерполирования
Пусть требуется решить уравнение .
Рассмотрим функцию и составим таблицу ее значений, близких к нулю. При этом количество узлов выбираем в зависимости от требуемой степени точности корня. В качестве и берем те соседние узлы, в которых
,
и применяя метод обратного интерполирования, отыскиваем значение , при котором .
-
Порядок выполнения работы
Задание 1
Функция задана таблицей
x
x0
x1
x2
…
xn
y
y0
y1
y2
…
yn
а). Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции.
б). Найти
Решение:
а). Найдем интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции. Для этого:
1. Подставим в интерполяционную формулу Лагранжа (2.3) значения , , .
2. Упростим полученное выражение и получим искомый интерполяционный многочлен для этой функции.
б). Найдем , подставив в полученный для данной функции интерполяционный многочлен вместо .
Задание 2
Функция задана таблицей
x
x0
x1
x2
…
xn
y
y0
y1
y2
…
yn
Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа, найти .
Решение:
1. Вычислим коэффициенты Лагранжа , произведения элементов каждой строки , отношения , сумму , произведение элементов главной диагонали .
Все вычисления расположим в таблице:
Таблица 2.2
,
0
…
1
…
2
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
2. Используя формулы (2.6) и (2.7), подставив вместо , найдем .
Задание 3
С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа по известным значениям функции ?
Решение:
1. Исходя из количества известных значений функции заданных в условии задачи, определим и подставим его значение в формулу (2.8)
.
2. Найдем . Для этого будем последовательно находить производные до
-го порядка включительно:
3. Найдем на отрезке , который содержит все узлы и точку . Для этого:
1). Обозначим через
2). Найдем .
3). Найдем те значения , в которых или не существует.
4). Найдем значения функции в этих точках и значения функции на концах отрезка и .
5). Выберем из этих значений наибольшее, это и будет .
4. Оценим остаточный член, подставив значения , в полученную формулу .
Задание 4
Функция задана таблицей
x
x0
x1
x2
…
xn
y
y0
y1
y2
…
yn
Найти значение функции , пользуясь интерполяционной формулой Ньютона. Оценить остаточный член.
Решение:
-
Найдем
-
Составим таблицу разностей. Приведем для образца горизонтальную таблицу конечных разностей при :
Таблица 2.3
3. Найдем , где подставим вместо .
4. Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона (2.15), подставим все необходимые значения в нее.
5. Оценим остаточный член:
1). Найдем - ю производную функции :
2). Определим наименьший интервал , где - его некоторая
внутренняя точка, содержащий все узлы () и точку .
Оценим
3). Из формулы (16) при заданных
значениях получим оценку остаточного члена
4). Определим, на какой десятичный знак может остаточный член
повлиять.
Задание 5
Функция задана таблицей
x
x0
x1
x2
…
xn
y
y0
y1
y2
…
yn
Найти значение , для которого .
а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа.
б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.
Решение:
а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, найдем значение , для которого . Для этого в формулу (2.17)
подставим значения ,
и вместо .
б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение , для которого . Воспользуемся формулой (2.18)
,
где Для этого:
1. Найдем .
2. Найдем .
3. Составим таблицу разностей. Приведем ее образец для n=5:
Таблица 2.4
4. Подставив вместо и все найденные значения в формулу (2.18)
, получим
искомое значение .
Задание 6
Методом обратного интерполирования найти корень уравнения , лежащий на отрезке с точностью .
Решение:
-
Составим таблицу значений функции с шагом в указанном интервале .
-
Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение , для которого . Воспользуемся формулой (2.18)
,
где Для этого:
1). Найдем .
2). Найдем при .
3). Составим таблицу разностей. (См таблицу 2.4).
4). Подставив вместо и все найденные значения в формулу (2.18)
, получим
искомое значение с указанной точностью . Это и есть искомый корень данного уравнения.
-
Пример
Задание 1
Функция задана таблицей
x
0
0.1
0.3
0.5
y
-0.5
0
0.2
1
а). Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции.
б). Найти
Решение:
а). 1. Найдем интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции. Так как , то . Тогда из формулы (2.3)
получим
.
2. Подставим в полученную интерполяционную формулу Лагранжа при значения , и получим:
.
3. Упростим полученное выражение и получим искомый интерполяционный многочлен для этой функции.
. Следовательно, искомый интерполяционный многочлен Лагранжа
.
б). Найдем , подставив в полученный для данной функции интерполяционный многочлен вместо . Получим .
Задание 2
Функция задана таблицей
0,05
0,15
0,20
0,25
0,35
0,40
0,50
0,55
0,9512
0,8607
0,8187
0,7788
0,7047
0,6703
0,6065
0,5769
Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа, найти
Решение:
Для упрощения вычислений полагаем . Тогда значения новой переменной , соответствующие узлам интерполирования, будут
1
3
4
5
7
8
10
11
0,9512
0,8607
0,8187
0,7788
0,7047
0,6703
0,6065
0,5769
Кроме того, при будет .
1. Воспользуемся инвариантностью лагранжевых коэффициентов и вместо вычислим .
Все вычисления расположим в таблице:
Таблица 2.5
,
0
8
-2
-3
-4
-6
-7
-8
-10
-725760
0,9512
1
2
6
-1
-2
-4
-5
-7
-8
26880
0,8607
2
3
1
5
-1
-3
-4
-6
-7
-7560
0,8187
3
4
2
1
4
-2
-3
-5
-6
5760
0,7788
4
6
4
3
2
2
-1
-3
-4
-3456
0,7047
5
7
5
4
3
1
1
-2
-3
2520
0,6703
6
9
7
6
5
3
2
-1
-1
11340
0,6065
7
10
8
7
6
4
3
1
-2
-80640
0,5769
2. Получаем, используя интерполяционную формулу Лагранжа (2.7) и формулу для нахождения лагранжевых коэффициентов (2.6):
Задание 3
С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа по известным значениям функции ?
Решение:
1. Исходя из количества известных значений функции заданных в условии задачи, определим и подставим его значение в формулу (2.8)
, получим
.
2. Найдем . Для этого будем последовательно находить производные до
-го порядка включительно . Так как , то получим , , ,
.
3. Найдем на отрезке , который содержит все узлы и точку . Для этого:
1). Обозначим через
2). Найдем : .
3). Найдем на отрезке те значения , в которых или не существует. Таких значений нет.
4). Найдем значения функции на концах отрезка
и .
5). Выберем из этих значений наибольшее, это и будет =.
4. Оценим остаточный член, подставив значения , в полученную формулу . Тогда получим
.
Задание 4
Функция задана таблицей
x
1000
1010
1020
1030
1040
1050
y
3,0000000
3,0043214
3,0086002
3,0128372
3,0170333
3,0211893
Найти значение функции , пользуясь интерполяционной формулой Ньютона. Оценить остаточный член.
Решение:
-
Найдем : .
-
Составим таблицу разностей, записывая их в единицах седьмого разряда:
Таблица 2.6
1000
3,0000000
43214
-426
8
1010
3,0043214
42788
-418
9
1020
3,0086002
42370
-409
8
1030
3,0128372
41961
-401
1040
3,0170333
41560
1050
3,0211893
Замечаем, что третьи разности практически постоянны, ограничимся ими и в формуле (2.15) достаточно
взять :
.
3. Найдем , где подставим , 1001, . Получим .
4. Воспользуемся полученной в п. 2 интерполяционной формулой Ньютона для , для чего подставим в нее все необходимые значения, найденные в п. 1 и п. 2:
.
5. Оценим остаточный член при :
1). Найдем - ю производную функции : . Так как , то (при нахождении производной воспользовались табличным значением ).
Найдем ;
Так как ,
а по правилу перехода от натурального логарифма к десятичному
, то , а . Следовательно,
.
2). Так как , где - некоторая внутренняя точка наименьшего промежутка , содержащего все узлы () и точку , то .
3). При из формулы (16) получим . При окончательно получим
4). Таким образом, остаточный член может повлиять только на девятый десятичный знак. Заметим, что полученное значение полностью совпадает со значением в семизначной таблице логарифмов.
Задание 5
Функция задана таблицей
10
15
17
20
3
7
11
17
Найти значение , для которого .
а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа.
б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.
Решение:
а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, найдем значение , для которого . Для этого в формулу (2.17)
подставим значения , и вместо .
Получим
б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение , для которого . Воспользуемся формулой (2.18) , где (Полагаем, так как заданное значение находится между и . Тогда ). Для этого:
1. Найдем :
2. Найдем , подставив :
3. Составим таблицу разностей.
Таблица 2.7
15
7
2
1
17
11
3
20
17
Остальные разности найти невозможно.
4. Подставив вместо и все найденные значения в формулу (2.18), которая для нашего случая примет вид получим
искомое значение :
Задание 6
Методом обратного интерполирования найти корень уравнения , лежащий на отрезке с точностью .
Решение:
1.Составим таблицу значений функции с шагом : для функции на отрезке изоляции с шагом имеем
Таблица 2.8
x
1,6
1,7
1,8
1,9
y
-0,2479952
-0,0979324
0,0580148
0,2195226
Из таблицы видно, что меняет свой знак при переходе от точки к точке . Полагаем , , -0,0979324, 0,0580148.
2. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найдем значение , для которого . Воспользуемся формулой (2.18)
,
где Для этого:
1). Найдем : .
2). Найдем , подставив вместо : .
3). Составим таблицу разностей:
Таблица 2.9
1,7
--0,0979324
0,1
0
1,8
0,0580148
0,1
-
1,9
0,2195226
-
-
4). Подставив вместо и все найденные значения в формулу (2.18)
, получим искомое значение . Это и есть искомый корень данного уравнения с точностью до .
IV. Контрольные вопросы
-
Для чего применяется интерполирование?
-
Кто является основоположником интерполирования?
-
В чем состоит задача интерполирования функции?
-
Какая формула называется интерполяционной формулой Лагранжа?
-
Как находятся коэффициенты Лагранжа?
-
Какая погрешность получается при замене функции интерполяционным многочленом Лагранжа7
-
Сколько многочленов Лагранжа, удовлетворяющим поставленным условиям существует?
-
Какие узлы интерполяции называются равноотстоящими?
-
Что называется конечными разностями 1-го порядка? 2-го порядка? 3-го порядка? n-го порядка?
-
Какой многочлен называется интерполяционным многочленом Ньютона?
-
Что такое линейная и квадратичная интерполяции?
-
Что называется экстраполяцией функции вперед или назад?
-
В чем состоит задача обратного интерполирования?
V. Индивидуальные задания
Раздел А
Задание 1
Функция задана таблицей
а). Найти интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции.
б). Найти значение функции при заданном значении аргумента.
Таблица 2.10
№
вар.
Функция
№
вар.
Функция
1
x
1
2
4
5
7
y
4
5
6
8
2
16
x
1
2
3
5
7
y
3
6
1
9
5
2
x
1
2
3
4
5
y
9
7
5
3
1
17
x
1
2
3
5
7
y
0
5
4
7
2
3
x
1
2
3
4
5
y
11
6
5
4
3
18
x
1
3
5
7
9
y
6
3
2
7
1
4
x
4
5
6
8
9
y
6
4
5
3
1
19
x
1
4
5
8
9
y
8
3
2
7
1
5
x
2
3
4
5
6
y
6
5
7
2
1
20
x
1
2
3
4
5
y
7
5
6
1
6
6
x
1
2
3
4
5
y
6
5
7
9
8
21
x
2
3
4
5
7
y
7
5
8
1
2
7
x
1
3
4
5
8
y
10
1
0
7
2
22
x
1
2
3
4
7
y
8
5
6
8
3
8
x
3
4
5
7
9
y
2
3
5
6
1
23
x
2
3
4
5
8
y
7
8
6
1
5
9
x
1
2
3
5
6
y
2
5
7
9
4
24
x
1
3
5
6
7
y
9
5
2
4
3
10
x
-2
-1
0
1
y
6
0
2
0
25
x
2
4
5
6
7
y
3
5
1
7
2
11
x
1
2
3
5
7
y
3
8
2
8
4
26
x
2
3
4
5
8
y
3
3
7
8
1
12
x
2
3
5
8
9
y
4
7
5
6
2
27
x
2
3
5
7
9
y
5
8
6
2
4
13
x
3
5
7
8
9
y
7
6
4
2
1
28
x
2
3
5
7
8
y
3
5
6
4
1
14
x
2
3
4
6
7
y
3
5
2
1
3
29
x
1
3
4
8
9
y
3
6
8
9
2
15
x
4
6
7
8
9
y
2
2
1
1
3
30
x
1
2
3
6
7
y
8
5
8
2
3
Задание 2
Функция задана таблицей. Найти значение функции , пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.
Таблица 2.11
№
вар.
Функция
1
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
y
1,042
1,061
1,087
1,119
1,160
1,212
1,274
1,350
№
вар.
Функция
2
x
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
y
1,958
2,107
2,268
2,443
2,632
2,841
3,071
3,324
3
x
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
y
0,742
0,789
0,835
0,880
0,924
0,967
1,008
1,046
4
x
1,70
1,7
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
y
1,232
1,210
1,179
1,139
1,089
1,028
0,956
0,871
5
x
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,05
y
1,583
1,487
1,372
1,238
1,084
0,907
0,707
0,482
6
x
10
15
20
25
30
35
40
45
y
0,985
0,966
0,940
0,906
0,866
0,819
0,766
0,707
7
x
1,1
1,6
2,1
2,6
3,1
3,6
4,1
4,6
y
1,029
1,389
1,649
1,800
1,852
1,822
1,739
1,632
8
x
0,13
0,18
0,23
0,28
0,33
0,38
0,43
0,48
y
0,130
0,179
0,228
0,276
0,324
0,371
0,417
0,463
9
x
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
y
0,120
0,090
0,066
0,048
0,034
0,024
0,016
0,011
10
x
50
55
60
65
70
75
80
85
y
0,285
0,319
0,223
0,042
0,148
-0,273
-0,283
-0,178
11
x
0,17
0,22
0,27
0,32
0,37
0,42
0,47
0,52
y
0,170
0,219
0,269
0,318
0,367
0,416
0,464
0,512
12
x
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
0,55
0,65
0,75
y
0,056
0,168
0,276
0,379
0,455
0,563
0,642
0,711
13
x
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
y
0,512
0,506
0,501
0,495
0,489
0,484
0,478
0,472
14
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
y
0,565
0,638
0,715
0,797
0,886
0,982
1,085
1,196
15
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
y
1,042
1,061
1,087
1,119
1,160
1,212
1,274
1,350
16
x
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
y
1,958
2,107
2,268
2,443
2,632
2,841
3,071
3,324
17
x
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
y
0,742
0,789
0,835
0,880
0,924
0,967
1,008
1,046
18
x
1,70
1,7
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
y
1,232
1,210
1,179
1,139
1,089
1,028
0,956
0,871
19
x
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,05
y
1,583
1,487
1,372
1,238
1,084
0,907
0,707
0,482
20
x
10
15
20
25
30
35
40
45
y
0,985
0,966
0,940
0,906
0,866
0,819
0,766
0,707
21
x
1,1
1,6
2,1
2,6
3,1
3,6
4,1
4,6
y
1,029
1,389
1,649
1,800
1,852
1,822
1,739
1,632
№
вар.
Функция
22
x
0,13
0,18
0,23
0,28
0,33
0,38
0,43
0,48
y
0,130
0,179
0,228
0,276
0,324
0,371
0,417
0,463
23
x
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
y
0,120
0,090
0,066
0,048
0,034
0,024
0,016
0,011
24
x
50
55
60
65
70
75
80
85
y
0,285
0,319
0,223
0,042
0,148
-0,273
-0,283
-0,178
25
x
0,17
0,22
0,27
0,32
0,37
0,42
0,47
0,52
y
0,170
0,219
0,269
0,318
0,367
0,416
0,464
0,512
26
x
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
0,55
0,65
0,75
y
0,056
0,168
0,276
0,379
0,455
0,563
0,642
0,711
27
x
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
y
0,512
0,506
0,501
0,495
0,489
0,484
0,478
0,472
28
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
y
0,565
0,638
0,715
0,797
0,886
0,982
1,085
1,196
29
x
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
y
0,501
0,495
0,489
0,484
0,478
0,472
0,467
0,461
30
x
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
y
0,891
0,932
0,964
0,985
0,997
0,999
0,991
0,974
Задание 3
Функция задана таблицей
Найти значение , для которого .
а). Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа.
б). Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона.
Таблица 2.12
№
вар.
Функция
при
1
x
4
6
8
10
12
14
y
11
27
50
83
112
147
y=20
2
x
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
y
2,000
2,002
2,010
2,020
2,033
2,050
y=2,0014
3
x
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
y
2,250
2,121
2,027
1,961
1,919
y=2,005
4
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
y
1,368
1,242
1,186
1,135
1,105
1,042
y=1,150
5
x
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
y
0,529
0,941
1,147
1,109
1,054
1,002
y=0,623
6
x
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
y
0,919
0,892
0,873
0,863
0,859
0,853
y=0,901
№
вар.
Функция
при
7
x
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
y
0,482
0,851
1,019
1,949
2,009
1,078
y=0,654
8
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
y
1,000
1,032
1,091
1,145
1,170
1,195
y=1,005
9
x
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
y
1,649
1,665
1,682
1,699
1,716
1,733
y=1,655
10
x
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
y
0,891
0,932
0,964
0,985
0,997
0,999
y=0,905
11
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
y
1,042
1,061
1,087
1,119
1,160
1,212
1,274
1,350
y=1,054
12
x
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
y
1,958
2,107
2,268
2,443
2,632
2,841
3,071
3,324
y=1,985
13
x
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
y
0,742
0,789
0,835
0,880
0,924
0,967
1,008
1,046
y=0,763
14
x
1,70
1,7
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
y
1,232
1,210
1,179
1,139
1,089
1,028
0,956
0,871
y=1,220
15
x
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,05
y
1,583
1,487
1,372
1,238
1,084
0,907
0,707
0,482
y=1,494
16
x
4
6
8
10
12
14
y
11
27
50
83
112
147
y=30
17
x
1,0
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
y
2,000
2,002
2,010
2,020
2,033
2,050
y=2,003
18
x
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
y
2,250
2,121
2,027
1,961
1,919
y=2,056
19
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
y
1,368
1,242
1,186
1,135
1,105
1,042
y=1,350
20
x
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
y
0,529
0,941
1,147
1,109
1,054
1,002
y=1,005
21
x
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
y
0,919
0,892
0,873
0,863
0,859
0,853
y=0,901
22
x
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
y
0,482
0,851
1,019
1,949
1,999
2,059
y=0,946
23
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
y
1,000
1,032
1,091
1,145
1,170
1,195
y=1,045
24
x
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
y
1,649
1,665
1,682
1,699
1,716
1,733
y=1,673
25
x
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
y
0,891
0,932
0,964
0,985
0,997
0,999
y=0,955
26
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
y
1,042
1,061
1,087
1,119
1,160
1,212
1,274
1,350
y=0,055
№
вар.
Функция
при
27
x
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
y
0,742
0,789
0,835
0,880
0,924
0,967
1,008
1,046
y=0,764
28
x
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
y
1,958
2,107
2,268
2,443
2,632
2,841
3,071
3,324
y=2,259
29
x
1,70
1,7
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
y
1,232
1,210
1,179
1,139
1,089
1,028
0,956
0,871
y=1,185
30
x
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,05
y
1,583
1,487
1,372
1,238
1,084
0,907
0,707
0,482
y=1,492
Раздел Б
Задание 1
Функция задана таблицей
1). Воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа, найти .
2). С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа по известным значениям функции, приведенным в таблице?
Таблица 2.13
№
вар.
Функция
1
x
1,50
1,54
1,56
1,60
1,63
1,70
y
3,873
3,924
3,950
4,000
4,037
4,123
2
x
2,0
2,3
2,5
3,0
3,8
4,0
y
5,848
6,127
6,300
6,694
7,047
7,243
3
x
0,43
0,48
0,55
0,62
0,70
0,75
y
1,636
1,732
1,877
2,033
2,228
2,359
4
x
0,02
0,08
0,12
0,17
0,23
0,30
y
1,023
1,096
1,147
1,215
1,301
1,410
5
x
0,35
0,41
0,47
0,51
0,56
0,64
y
2,740
2,301
1,969
1,788
1,595
1,343
6
x
0,41
0,46
0,52
0,60
0,65
0,72
y
2,574
2,325
2,093
1,862
1,749
1,621
7
x
0,68
0,73
0,80
0,88
0,93
0,99
y
0,809
0,894
1,030
1,209
1,341
1,524
8
x
0,11
0,15
0,21
0,29
0,35
0,40
y
9,054
6,617
4,692
3,351
2,740
2,365
9
x
1,375
1,380
1,385
1,390
1,395
1,400
y
5,041
5,177
5,320
5,471
5,630
5,798
10
x
0,115
0,120
0,125
0,130
0,135
0,140
y
8,657
8,293
7,958
7,648
7,362
7,096
11
x
0,150
0,155
0,160
0,165
0,170
0,175
y
6,617
6,400
6,197
6,006
5,826
5,656
№
вар.
Функция
12
x
0,180
0,185
0,190
0,195
0,200
0,205
y
5,615
5,467
5,326
5,193
5,066
4,946
13
x
0,210
0,215
0,220
0,225
0,230
0,235
y
4,832
4,723
4,619
4,519
4,424
4,333
14
x
1,415
1,420
1,425
1,430
1,435
1,440
y
0,889
0,890
0,891
0,892
0,893
0,894
15
x
0,05
0,10
0,17
0,25
0,30
0,36
y
0,050
0,100
0,172
0,255
0,309
0,376
16
x
1,50
1,54
1,56
1,60
1,63
1,70
y
3,873
3,924
3,950
4,000
4,037
4,123
17
x
2,0
2,3
2,5
3,0
3,8
4,0
y
5,848
6,127
6,300
6,694
7,047
7,243
18
x
0,43
0,48
0,55
0,62
0,70
0,75
y
1,636
1,732
1,877
2,033
2,228
2,359
19
0,02
0,08
0,12
0,17
0,23
0,30
1,023
1,096
1,147
1,215
1,301
1,410
20
x
0,35
0,41
0,47
0,51
0,56
0,64
y
2,740
2,301
1,969
1,788
1,595
1,343
21
x
0,41
0,46
0,52
0,60
0,65
0,72
y
2,574
2,325
2,093
1,862
1,749
1,621
22
x
0,68
0,73
0,80
0,88
0,93
0,99
y
0,809
0,894
1,030
1,209
1,341
1,524
23
x
0,11
0,15
0,21
0,29
0,35
0,40
y
9,054
6,617
4,692
3,351
2,740
2,365
24
x
1,375
1,380
1,385
1,390
1,395
1,400
y
5,041
5,177
5,320
5,471
5,630
5,798
25
x
0,115
0,120
0,125
0,130
0,135
0,140
y
8,657
8,293
7,958
7,648
7,362
7,096
26
x
0,150
0,155
0,160
0,165
0,170
0,175
y
6,617
6,400
6,197
6,006
5,826
5,656
27
x
0,180
0,185
0,190
0,195
0,200
0,205
y
5,615
5,467
5,326
5,193
5,066
4,946
28
x
0,210
0,215
0,220
0,225
0,230
0,235
y
4,832
4,723
4,619
4,519
4,424
4,333
29
x
1,415
1,420
1,425
1,430
1,435
1,440
y
0,889
0,890
0,891
0,892
0,893
0,894
30
x
0,05
0,10
0,17
0,25
0,30
0,36
y
0,050
0,100
0,172
0,255
0,309
0,376
Задание 2
Функция задана таблицей
Найти значение функции , пользуясь интерполяционной формулой Ньютона. Оценить остаточный член.
Таблица 2.14
№
вар.
Функция
1
x
1,415
1,420
1,425
1,430
1,435
1,440
y
0,889
0,890
0,891
0,892
0,893
0,894
2
x
0,101
0,106
0,111
0,116
0,121
0,126
y
1,262
1,276
1,291
1,306
1,321
1,337
3
x
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
y
0,861
0,819
0,779
0,741
0,705
0,670
4
x
0,180
0,185
0,190
0,195
0,200
0,205
y
5,615
5,467
5,326
5,193
5,066
4,946
5
x
3,50
3,55
3,60
3,65
3,70
3,75
y
33,12
34,81
36,59
38,47
40,45
42,52
6
x
1,340
1,345
1,350
1,355
1,360
1,365
y
4,256
4,353
4,455
4,562
4,673
4,790
7
x
1,370
1,375
1,380
1,385
1,390
1,395
y
4,913
5,042
5,177
5,320
5,471
5,630
8
x
0,01
0,06
0,11
0,16
0,21
0,26
y
0,992
0,952
0,914
0,877
0,842
0,808
9
x
0,31
0,36
0,41
0,46
0,51
0,56
y
0,775
0,744
0,714
0,685
0,658
0,631
10
x
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
y
4,482
4,953
5,474
6,050
6,686
7,389
11
x
1,235
1,240
1,245
1,250
1,255
1,260
y
0,1078
0,1083
0,1087
0,1091
0,1096
0,1100
12
x
1,675
1,676
1,677
1,678
1,679
1,680
y
9,562
9,471
9,380
9,292
9,206
9,121
13
x
1,520
1,521
1,522
1,523
1,524
1,525
y
19,670
20,065
20,477
20,906
21,354
21,821
14
x
1,528
1,529
1,530
1,531
1,532
1,533
y
23,352
23,911
24,498
25,115
25,763
26,445
15
x
1,440
1,445
1,450
1,455
1,460
1,465
y
0,894
0,895
0,896
0,897
0,898
0,899
16
x
0,126
0,131
0,136
0,141
0,146
0,151
y
1,337
1,352
1,368
1,384
1,399
1,416
17
x
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
y
0,607
0,577
0,549
0,522
0,497
0,472
№
вар.
Функция
18
x
0,210
0,215
0,220
0,225
0,230
0,235
y
4,832
4,723
4,619
4,519
4,424
4,333
19
x
3,95
4,00
4,05
4,10
4,15
4,20
y
51,94
54,59
57,40
60,34
63,43
66,68
20
x
0,115
0,120
0,125
0,130
0,135
0,140
y
8,657
8,293
7,958
7,649
7,362
7,096
21
x
0,155
0,160
0,165
0,170
0,175
0,180
y
6,399
6,197
6,006
5,826
5,656
5,495
22
x
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
y
8,166
9,025
9,974
11,023
12,183
13,464
23
x
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
y
20,19
19,61
18,94
18,17
17,30
16,31
24
x
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
y
15,20
13,95
12,55
10,99
9,26
7,35
25
x
1,215
1,220
1,225
1,230
1,235
1,240
y
0,1060
0,1065
0,1069
0,1074
0,1078
0,1083
26
x
1,683
1,684
1,685
1,686
1,687
1,688
y
8,875
8,796
8,718
8,642
8,567
8,493
27
x
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
y
0,919
0,892
0,873
0,863
0,859
0,853
28
x
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
y
2,000
2,002
2,010
2,020
2,033
2,050
29
x
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
y
1,368
1,242
1,186
1,135
1,105
1,042
30
x
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
y
1,649
1,665
1,682
1,699
1,716
1,733
Задание 3
С помощью обратного интерполирования найти корень уравнения , лежащий на отрезке с точностью .
Таблица 2.15
№
вар.
Уравнение
1
2
3
4
5
№
вар.
Уравнение
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Литература
1) Барвин, И.И. Высшая математика: учебник для студентов естественнонаучных спец. пед. вузов / И.И.Баврин. - М.: «Академия», 2002. - 611с.
2) Высшая математика для экономистов/ Под редакцией проф. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 600с.
3). Шипачев, В.С. Курс высшей математики: учебник/ В.С. Шипачев. - М.: Проспект, 2002. - 600с.
4) Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2.:учеб. пособие для вузов/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.- Изд. 6-е. -М.: Оникс 21 век: Мир и образование, 2003. - 406с.
5) Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для втузов. В 2 т. Т. 1./ Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1985. - 432с.
6) Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учебное пособие для втузов. В 2 т. Т. 2./ Н.С. Пискунов. - М.: Наука, 1985. - 576с.
7) Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах/ Н.В. Копченова, И.А. Марон, - М.: Наука, 1972. - 367с.
8) Плис, А.И. Лабораторный практикум по высшей математике/ А.И. Плис, Н.А. Сливина, - М.: Высшая школа, 1983. - 208с.
9) Воробьева, Г.Н. Практикум по численным методам/ Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова, - М.: Высшая школа, 1979. 184с.
10) Кузнецов, Л.А. Сборник задач по высшей математике. Типовые расчеты: учеб. пособие/ Л.А. Кузнецов. - С.-Петерб.-М.-Краснодар: Лань, 2005. - 240с.
11) Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: учеб. пособие для вузов/ В.С. Шипачев. - М.: Высш. Шк., 2001. - 304с.
Содержание
Введение
2
Расчетная работа. Интерполирование
3
I. Теоретическая часть
3
1. Постановка задачи
3
2. Интерполяционная формула Лагранжа
3
3. Интерполяционная формула Ньютона
5
4. Обратное интерполирование
7
5. Нахождение корней уравнения методом обратного интерполирования
8
II. Порядок выполнения работы
8
III. Пример
12
IV. Контрольные вопросы
19
V. Индивидуальные задания
20
Раздел А
20
Раздел Б
24
Литература
30
44