Урок сообщения новых знаний «Мир многогранников»

Тема урока: «Мир многогранников»

Математика владеет не только истиной,

но и высшей красотой...

Бертран Рассел

Цели урока:

• Обучающая цель: освоить представление о выпуклых многогранниках, изучить их некоторые свойства, сформировать понятие правильных и полуправильных многогранников, показать связь математики с жизнью.

• Развивающая цель: формирование компетентности в сфере самостоятельной познавательной деятельности, навыков самостоятельной работы с большим объёмом информации, формирование навыков работы в команде, развитие творческих способностей личности.

• Воспитательная цель: продолжить воспитание у учащихся уважительного отношения друг к другу, чувства товарищества, культуры общения, чувства ответственности, воспитывать культуру делового общения.

Оборудование: мультимедийный проектор, модели различных многогранников

Тип урока: урок сообщения новых знаний

Ход урока:

1.Организационный этап

2. Постановка цели занятия и мотивация целевого компонента.

Есть в математике особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести тему сегодняшнего урока "Многогранники". Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как многогранники. Сегодня на уроке мы узнаем и увидим много интересного, нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например:

Что такое Эйлерова характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера-Пуансо? И многие- многие другие… И, наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можно обойтись и без них? Данный материал пригодится нам при изучении темы "Объемы многогранников» и при решении задач на комбинацию геометрических тел.

Проблемные вопросы:

• К чему привело изучение многогранников учёными древности, средних веков и наших дней?

• Сколь значимы многогранники в нашей жизни?

• Являются ли они абстракцией, выдумкой человека, лишь искусственно привязанной к реальной жизни.

Эпиграфом сегодняшнего урока я взяла слова Бертрана Рассела: «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой…»

Без предмета математики, поверьте, никуда!

Теория и практика - они на все года.

Узнаем мы сегодня кристаллов дивный мир,

А также многогранники и тайну величин.

Волшебный мир свои загадки

Лишь приоткроет для тебя.

Не все дороги будут гладки…

Открытья ждут вас. В путь, друзья!

Итак, я приглашаю вас в «Мир многогранников». И начнём мы с их истории…

Учащиеся

История многогранников

Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них - пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии.

История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства.

Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Отличительным знаком пифагорейцев была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник. Пентаграмме присваивалось способность защищать человека от злых духов.

Пифагорейцы полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Существование пяти правильных многогранников они относили к строению материи и Вселенной. Согласно этому мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных тел:

Вселенная - додекаэдр

Земля - куб

Огонь - тетраэдр

Вода - икосаэдр

Воздух - октаэдр

3. Защита проекта (выступление групп: с презентациями по отчёту своей исследовательской работы, защита полученных результатов и выводов)

· Выступление 1й группы «Многогранники - история вопроса» (презентация).

Концепция четырех элементов

С древнейших времен наши представления о красоте связаны с симметрией. Наверное, этим объясняется интерес человека к многогранникам - удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание выдающихся мыслителей. История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Правильными многогранниками восхищались Пифагор и его ученики. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях

Ко времени Платона в античной философии созрела концепция четырех элементов(стихий) - первооснов материального мира: огня, воздуха, воды и земли.

• Форма куба - атомы земли, т.к. и земля, и куб отличаются неподвижностью и устойчивостью.

• Форма икосаэдра - атомы воды, т.к. вода отличается своей текучестью, а из всех правильных тел икосаэдр - наиболее «катящийся»

• Форма октаэдра - атомы воздуха, ибо воздух движется взад и вперед и октаэдр как бы направлен одновременно в разные стороны

• Форма тетраэдра - атомы огня, т.к. тетраэдр наиболее остр, кажется, что он мечется в разные стороны.

Платон вводит пятый элемент - «пятую сущность» - мировой эфир, атомам которого придается форма додекаэдра как наиболее близкому к шару.

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: "эдра" - грань; "тетра" - 4 ; "гекса" - 6; "окта" - 8; "икоса" - 20; "додека" - 12

Учитель: Конечно, пифагорейско-платоновская теория пяти стихий Мировоздания вызывает сегодня лишь вежливую улыбку. Но это была одна из первых попыток - чего? (Обсуждение - возможно, кто-то из участников обсуждения предложит вариант «систематизация»).

Учитель: Но на пяти правильных телах история многогранников не остановилась. Вслед за правильным телами Платона были открыты полуправильные тела Архимеда, грани которых составлены из правильных многоугольников нескольких видов, причем в каждой вершине сходится одно и то же число одинаковых граней в одинаковом порядке и многогранные углы при вершинах равны. Заметим, что тела Архимеда могут быть получены из соответствующих тел Платона снятием равных фасок. Тел Архимеда всего 13. Любопытно, что во второй половине ХХ в. было обнаружено еще одно тело Архимеда - псевдоромбокубооктаэдр, которое не может быть получено путем однотипных усечений тела Платона и поэтому в течение 2000 лет оставалось незамеченным.

Выступление группы «Архимедовы тела»

Учитель: А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI - XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571 - 1630).

Сообщение «Кубок Кеплера»

Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы - столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы - как его собственных, так и великих предшественников - астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера.

В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Такая модель Солнечной системы (рис. 6) получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних рас- стояний от Солнца.

Учитель: Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

В XVII в. Кеплером и в XVIII в. Пуансо были найдены различные формы звездчатых невыпуклых многогранников, получаемых продолжением граней правильного или полуправильного тела до самопересечения. Простейшее тело такого типа - «Звезда Кеплера» - было обнаружено Кеплером в 1619 г. и получается продолжением граней октаэдра. Впрочем, это же тело можно представить и как пересечение двух тетраэдров. Звездчатые многогранники поражают воображение красотой и причудливым разнообразием своих форм.

Следующий вид многогранников, с которыми мне хотелось бы вас познакомить - это звёздчатые многогранники. Они очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа.

картины, модели

Учитель: С многогранниками мы постоянно встречаемся в нашей жизни - это кубики, которыми играют дети; объекты архитектуры и дизайна, природные кристаллы; вирусы, которые можно рассмотреть только в электронный микроскоп, прочные конструкции - шестиугольные соты, которые пчелы строили задолго до появления человека. Где же еще применяются многогранники?

- Выступление 2й группы «Многогранники в природе и в архитектуре».

Учитель: А теперь, прослушав некоторую информацию, давайте с вами вспомним несколько определений, ответив на ряд вопросов:

1. Дайте определение многогранника (Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из многоугольников).

2. Назовите основные элементы многогранника. (Вершины, рёбра, грани).

3. Что связывает эту группу многогранников? (Все грани - правильные многогранники. Все рёбра равны).

4. Какой многогранник называется правильным? (Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер).

4. Практическая работа. И сейчас от научных гипотез перейдём к научным фактам и проведём небольшую исследовательскую работу.

Учащимся предлагается подсчитать число вершин, граней и рёбер некоторых моделей многогранников. Затем занести эти данные в таблицу.

Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера, устанавливающая связь между числом вершин, граней и ребер. В +Г -Р= 2 . Давайте проверим правильность заполнения вами таблицы и выполнение данной формулы.

Учитель: А теперь, прослушав всю информацию и проделав практическую работу, давайте с вами дадим характеристику каждому правильному многограннику. Итак, отвечаем по плану: из каких многоугольников составлен многогранник, чем является вершина многогранника, сколько у данного многогранника вершин, граней, рёбер.

1. Тетраэдр ….

2. Гексаэдр….

3. Октаэдр….

4. Икосаэдр….

5. Додекаэдр…

6. Сформулируйте теорему Эйлера…

В связи с правильными многогранниками возник вопрос: можно ли ими заполнить пространство так, чтобы не было просветов? Оказалось, что есть только один способ заполнить пространство многогранниками только одного вида. Для этого нужно выбрать куб. В детстве каждый из нас, играя в кубики, много раз проделывал опыт такого «заполнения пространства». Но оказывается, что если использовать Платоновы тела 2-х видов: тетраэдры и октаэдры, то ими можно заполнить пространство таким образом (решетка Фуллера) - эта изящная решетка нашла широкое применение в строительных конструкциях, созданных архитектором Р.Б. Фуллером. Система Фуллера создается из алюминиевых трубок, образующих ребра своеобразных сот, ячейки которых имеют форму правильных тетраэдров и октаэдров. Знаменитые сетчатые перекрытия Фуллера - это решетчатые конструкции, в которых максимальная жесткость достигается при минимальных массе и стоимости.

5. Итоговое обсуждение -3-5 мин.

И закончить сегодняшний урок мне хотелось бы словами Бертрана Рассела: "Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства".

6. Подведение итогов.

Динамическая пауза

1. Существует только 5 правильных многогранников (тел Платона), 13 полуправильных многогранников, открытых Архимедом, бесконечные серии полуправильных многогранников, 4 типа правильных звёздчатых многогранников. да

2. Равенство, которое выражает Эйлерову характеристику, было им доказано

в 1752 году.да

3. У куба 10 рёбер. нет

4. В древности атомы воды символизировали икосаэдр. да

5. В римской философии родилась концепция 4 стихий. нет

6. Впервые существование 5 правильных многогранников доказал Платон. да

7. Количество граней плюс количество вершин минус количество рёбер равно 4. нет

8. Тетраэдр ограничен треугольниками. да

9. Основные элементы любого многогранника - это многогранные углы. нет

10. Выпуклые многогранники - это многогранники, у которых все грани

многоугольники. Да

Заключение.

Обсуждаем поставленные в начале урока задачи (выступления учеников): идеи Пифагора и Платона оказались удивительного современными - это были первые попытки систематизации окружающего нас мира. Да, сегодняшнее Мироздание объемлет не 5 стихий, а чуть более 100 атомов элементов, из которых состоит вся материя.

Гениальное предвидение Пифагора о том, что математика откроет человечеству двери к тайне Мироздания, сбылись, хотя ждать пришлось более 2-х тысячелетий.

7. Домашнее задание.1. Повторить тему: «Многогранники»,

2. Ответить на вопросы кроссвордов,

3. Изготовить модели правильных многогранников. По желанию - полуправильных и звездчатых.

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Здесь кристаллы имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами(K[Al(SO₄)₂] ₁₂H₂O) , монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана ( FeS ). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na₅(SbO₄(SO₄)) - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непреходящий интерес человека к правильным многогранникам- удивительным символам симметрии, привлекавшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида до Эйлера и Коши.

Многогранник - это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многогранник называется правильным, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, т.е. является выпуклым, и все его грани есть равные правильные многоугольники.

Простой подсчет суммы углов при вершине правильного многогранника показывает, что существуют только пять правильных многогранников.

Форму правильных тел, по-видимому, подсказала древним грекам сама природа:

1) Кристаллы поваренной соли имеют форму куба;

2) Правильная форма алмаза - октаэдра;

3) Кристаллы пирита - додекаэдра.

Важным свойством правильных многогранников является существование для каждого из них вписанного и описанного шаров (сфер) таких, что поверхность вписанного шара касается центра каждой грани правильного многогранника, а поверхность описанного шара проходит через все его вершины. Центры этих шаров совпадают между собой и с центром соответствующего многогранника.