Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике

.В данном материале показана разработка системы уроков , направленная на подготовку учащихся к сдачи ЕГЭ в части С-1 по теме «Выбор корней в тригонометрических уравнениях.». Система уроков была опробирована с учащимися 11 класса школы . В конце изучения данной темы проведена итоговая контрольная работа, которая показала, что учащимися тема усвоена на высоком уровне. Наибольшее предпочтение учащиеся отдают выбору корней тригонометрических уравнений на заданном отрезке с помощью единичной окружнос...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:




Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.


Тема: «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»












Разработку подготовила

учитель математики

высшей квалификационной категории

МБОУ СОШ № 31

г.Новочеркасска, Ростовской области

Шевченко Людмила Ивановна









2014 год



Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике


Тема: «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»



1.Примерное планирование учебного времени:


Содержание занятий

Цели занятий

Количество часов

Простейшие тригонометрические уравнения

Повторить общие и частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений. Деление множеств корней уравнений sinx=a и cosx=a на две группы с целью упрощения дальнейшего отбора.

1

Виды тригонометрических уравнений и методы их решения

Повторение основных методов решения тригонометрических уравнений: однородных I и II степеней; вынесением общего множителя за скобки; применением формул приведения, двойного угла, понижения степени и т.д.

2

Отбор корней при решении тригонометрических уравнений

Повторение алгоритмов отбора корней в тригонометрических уравнениях. Напомнить способы отбора корней в тригонометрических уравнениях.

3

Проверочная работа по теме «Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»

Проверка знаний и умений отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

1



План-конспект урока по теме

"Отбор корней при решении тригонометрических уравнений"

Цели:

- повторить основные формулы решения тригонометрических уравнений и закрепить их знания в ходе выполнения упражнений;

-рассмотреть основные способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

Оборудование: дидактические карточки, мультимедийная аппаратура.

Ход урока

1.Организационный момент.Учитель обращает внимание учащихся на важность темы урока. Тригонометрические уравнения, в которых требуется провести отбор корней, часто встречаются в тестах ЕГЭ.

2.Актуализация знаний. Учащиеся устно заполняют третий столбец таблицы,

проверка проводится с помощью презентации на слайде.


Значения

а

Уравнение

Формулы решения уравнений

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

sinx=a

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

sinx=a

уравнение решений не имеет

а=0

sinx=0

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

а=1

sinx= 1

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

а= -1

sinx= -1

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

cosx=a

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

cosx=a

уравнение решений не имеет

а=0

cosx=0

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

а=1

cosx= 1

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

а= -1

cosx= -1

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

tgx=a

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

ctgx=a

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Актуализация опорных знаний (устная работа).

В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса; формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

1). Вычислите:

а) arcsin(-1) Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

б) arccosСистема уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

в) arcsin 2 (не существует);

г) arctgСистема уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

д)arccosСистема уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.(не существует);

е) arсctgСистема уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.=Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. - arсctgСистема уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

2).Решить уравнения:

а) cosx = - 1; Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. ;

б) sin х = Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. ;

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.;

в) cosх = 0; Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. ;

г) tgx = Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. ; Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. .

3.Обобщение знаний.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Сегодня мы на конкретных примерах рассмотрим различные способы и приемы при выборе ответа.Перед вами раздаточный материал.

Выполнение заданий: Учащиеся делятся на группы и решают задания, применяя разные способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

1 группа:(алгебраический способ)

Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике..Пример 1.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Решение :Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Получаем

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Итак,

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Пример 2.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Решение.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. где Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. целое число.

Пусть Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

тогдаСистема уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. Итак,

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

2 группа: Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности.

Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием более наглядный и убедительный.

Пример 1.cosx + cos 2x - cos 3x = 1.

Решение.

cos x - cos 3x - (1 - cos 2x) = 0,

2sin x sin 2x - 2sin2 x = 0,

2sin x (sin 2x - sin x) = 0,

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Изобразим серии корней на числовой окружности. Видим, что первая серия включает в себя корни второй серии, а третья серия включает в себя числа вида Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. из корней первой серии.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Пример 2. tg x + tg 2x - tg 3x = 0.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Решение.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. tg x · tg 2x · tg 3x = 0;





Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Из второй серии корней числа вида Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. не удовлетворяют ОДЗ, а числа вида Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. входят в третью серию. Первая серия так же входит в третью серию корней, поэтому ответ можно записать одной формулой.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Пример 3

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Решение.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет.
Нанесем на числовую окружность все числа

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

серии и исключим корни,

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

удовлетворяющие условию

Оставшиеся решения из серии корней можно

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

объединить в формулу

3 группа : Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями.

Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются.

Пример 1. Найти корни уравнения

sin 2x = cos x | cos x | , удовлетворяющие

условию xСистема уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. [0; 2Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.].

Решение.

sin 2x = cos x | cos x |;

2sin x· cos x - cos x | cos x |=0;

cos x (2sin x - | cos x |)=0;

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Определим решения систем с помощью числовой окружности.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Условию xСистема уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. [0; 2Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.] удовлетворяют числа Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. (для первой системы) и Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. (для второй системы).

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Пример 2. Найти все решения уравнения

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.принадлежащие отрезку Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Решение.

ОДЗ: cos 3x ≥ 0;

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге:

Отрезку Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. .

Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:

1 + sin 2x = 2cos2 3x ;

sin 2x = cos 6x;

sin 2x - cos 6x=0;

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Пример 3 .Решить уравнение 6sin2x+2sin22x=5 и указать корни, принадлежащие промежутку Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике..

Решение.

Приведем уравнение 6sin2x+2sin22x=5 к квадратному уравнению относительно cos2x.

6··Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.+2(1-cos22x)-5=0,

cos22x +3cos2x = 0,

cos2x (cos2x + 3) =0,

cos2x = 0.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Откуда

Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного неравенства

Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3.

При к=2 получим Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике., при к=3 получим Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике..

Ответ: Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике..

4.Отчет групп.

Каждая группа подробно рассказывает о процедуре отбора корней тригонометрических уравнений.

5.Подведение итогов.

Какими способами можно произвести отбор корней?

Какой способ вам показался легче и понятнее? Почему?

6.Домашнее задание.

1.Решите уравнение: Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.

2.Найдите сумму корней уравнения Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. , принадлежащих отрезку

[-π;Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.].

3.Решите уравнение: Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.



































Проверочная работа по теме

«Отбор корней при решении тригонометрических уравнений»

Работа рассчитана на 45 минут



1.Найдите наименьший положительный корень уравнения соs2х-1 = 0.

2.а) Решите уравнение:Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике..

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. .

3. а)Решите уравнение 5sin² x - 4 sinxcosx - cos² x = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. .

3.Решите уравнение sin2x - 2sinxcosx - 3cos2x = 0, и укажите корни, принадлежащие отрезку Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. .

4.Решите уравнение Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. , и укажите корни принадлежащие отрезку Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. .

Ответы к заданиям:

  1. π.

2.а) Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. .

б) Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. .

3. а) Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. , Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. б) Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. , Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. , Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. .

4.Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике.; Система уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ по математике. .

© 2010-2022