Производная функции для дистанционного обучения

Производная функции для дистанционного обучения.

Производная функции, её механический смысл.

Правила дифференцирования и таблица производных.

Рассмотрим функцию , дадим аргументу приращение получим новое значение функции В результате функция получит приращение функции: (х).

Определение. Производной функции в произвольной точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Производная функции в точке обозначается Итак, по определению:

или (x)=

Механический смысл производной.

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S=S(t):

Тогда DS = S(t+Dt) - S(t) - расстояние, пройденное за время Dt. Тогда средняя скорость движения: Vcр = .

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел Vcр при Dt 0: V(t) = .

Значит, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t: .

Тогда означает мгновенную скорость точки в любой момент времени - в этом состоит механический смысл производной.

Правила дифференцирования:

Если функции U=U(x) и V=V(x) дифференцируемы (имеют производную) в точке x, то выполняется:

1. (U  V)' = U '  V ',

2. (U  V)' = U ' V + U  V '.

3. (C×U)' = C×U' , где С=const (число)

4.

Таблица производных основных элементарных функций:

1. (c)' =0, с=const (число)

2. (x)' = 1

3. (x²)' = 2x

4. (xⁿ)' = nx^n-1

5. (sinx)' =cosx

6. (cosx)' = - sinx

7. (tgx)' =

8. (ctgx)' = -

9. (arcsinx)' =

10. (arccosx)' = -

11. (arctgx)' =

12. (arcctgx)' = -

13. '=

14. ()'== -

_{Примеры и решения:}

1. y=x⁴+3x²+sinx

y'=(x⁴+3x²+sinx)'=(x⁴ )'+(3x² )'+(sinx)'=4x³+6x+cosx

2. (3+ -=0 --5

3. (=(

4. (sinх (x⁵+1))'= (sinх) ' (x⁵+1)+ sinх (x⁵+1)'=cos x (x⁵+1)+ sinх 5x⁴

5. () ' ==

Производная сложной функции.

Если функция f(g) дифференцируема в точке g, а функция g(x) дифференцируема в точке x, причем g = g(x), тогда сложная функция f(g(x)) дифференцируема в точке x и ее производная вычисляется по формуле:

(f (g(x)))' = f '(g) ×g ' (x).

Примеры: Найдите производные функции:

1. y=5sin5x 2. y=-cos10x _3.;

Решение: Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формула дифференцирования, имеем:

1. y' =(5sin5x) '=5 cos5x×5=25 cos5x

2. y' = ( -cos10x) '= -10(-sin10x)=10sin10x

_3. 3cos 3х

Примеры для тренировки:

1. y= 3x^-2+x-12; 2. y= tg2x ×ctg4x; 3. y=

4. y=; 5. 6.