Построение графиков некоторой функции

Методика построения графиков некоторых функций.

Бирагова Л.Л. МБОУ лицей г.Владикавказ

Материал, связанный с построением графиков элементарных функций, аналитические выражения которых содержат знак абсолютной величины, представляет для использования при изучении различных курсов математики повышенного уровня, а также на факультативах и кружковых занятиях. И поэтому разработка методики его изучения достаточна актуальна. Я хочу рассмотреть одну из возможных последовательностей изучения данных вопросов на факультативных занятиях со школьниками, проявляющими интерес к математике.

Для полноты изложения остановимся и на самых простейших случаях, приведя в каждом из них последовательность действий, которую должны осуществить учащиеся для построения того или иного графика.

1.Построение графика функции .

Прежде всего, вспомним определение модуля:

Чтобы построить график функции надо сначала построить график функции , а затем участки этого графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения, а участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить относительно этой оси.

Пример1.

Построить график функции .

2.Построение графика функции .

Заметим, что так как , то функция чётная и для построения её графика следует удалить точки графика функции находящиеся слева от оси , а все точки, лежащие на оси и справа от неё, отобразить симметрично относительно оси .

Пример 2.

Построить график функции .

3.Построение графика функции .

Последовательность действий учащегося в этом случае представим следующим образом:

1) построить график функции , для ;

2) отобразить построенную часть графика симметрично относительно оси

ординат;

3) участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально

отразить относительно этой оси.

Пример 3.

Построить график функции .

1 -й способ:

Отметим, что данный график и ему подобные графики можно построить и другими способами.

2- й способ.

3-й способ.

Этот способ основан на свойстве чётности функции, что позволяет построить её график при , а затем зеркально отобразить его относительно оси .

Рассмотрим этапы построения графика.

4.Построение графика «функции» , при .

По определению абсолютной величины где . Строго говоря, у нельзя назвать функцией х, так как каждому значению аргумента х будет соответствовать два значения «функции»: и . Поэтому далее в аналогичных случаях будем брать слово «функция» в кавычки.

Рассмотрим последовательность действий учащегося, которому необходимо построить график функции такого типа:

1) установить, для каких х выполнено условие ;

2) на найденных промежутках значений х построить график функции

,

3)осуществить зеркальное отражение графика относительно оси .

Пример 4.

Построить график функции .

5.Построение графиков «функции» .

Очевидно, что . Значит график «функции» будет симметричен относительно оси абсцисс. Соответствующая последовательность действий учащегося:

1) построить график функции ,

2)осуществить его зеркальное отображение относительно оси .

Пример5.

Построить график «функции» .

Пример 6.

Построить график «функции» .

Для лучшего закрепления построения данного типа графиков последнее задание можно усложнить: построить график «функции» . Тогда к тому, что только что было изображено, необходимо добавить зеркальное отображение относительно оси .

6.Построение графиков функций вида:

Этот случай рассмотрим на частных примерах.

Пример 7.

Построить график функции .

Укажем последовательность действий учащегося:

1) Найти абсциссы точек «перелома» графика функции. В данном случае:

, ; , .

2) Рассмотрим далее функцию на каждом из полученных промежутков.

В рассмотренном примере их три: ; ; .

а) . Так как оба слагаемых неотрицательны, то на этом промежутке

графиком функции будет прямая, выражаемая уравнением .

б) . Первое слагаемое на данном промежутке неотрицательно, второе отрицательно и поэтому графиком будет прямая .

в) . Оба слагаемых отрицательны и поэтому графиком будет прямая .

Аналогично можно построить и график функции .

1) Найдём абсциссы точек «перелома» графика функции:

; ; ; ; .

2) Рассмотрим функцию на каждом из полученных промежутков. Их шесть:

; ; ; ; .

Рассуждения те же, что и в примере 7.

7.Построение графиков функции вида .

Пример 8.

Построить график функции .

Построить график этой функции можно аналогично тому, как это было сделано в предыдущем случае, т.е. найти точки «перелома» функции, а затем провести ряд тождественных преобразований на каждом из промежутков, ограниченных точками «перелома». Однако целесообразнее в данном случае использовать способ, связанный с геометрическим преобразованием графиков функции.

Для учащихся, проявляющих повышенный интерес к предмету, для будущих участников математических олимпиад представит интерес следующий тип задач.

8. Построение графиков функций аналитические выражения, которыесодержат знак модуля, выраженных неявно.

Пример 9.

Построить график «функции» .

По определению абсолютной величины . График этой «функции» можно построить различными способами. Воспользуемся одним из них:

а далее придерживаемся последовательности действий, приведенной в пункте 4.

Существует и другой способ построения графика. Воспользуемся тем, что график данной «функции» симметричен как относительно оси , так и относительно оси , построим его лишь для первой координатной четверти, а затем посредством двух зеркальных отражений получим окончательный график.

Пример 10.

Построить график «функции» .

Поступая аналогично предыдущему случаю, получаем:

.

Так как график «функции» симметричен относительно двух осей, построим его сначала для первой координатной четверти, т.е. при , , при этом уравнение « функции» примет вид:

, .

Мы видим, что второму уравнению удовлетворяет лишь одна пара значений , . (сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, если оба они равны нулю).

Остаётся рассмотреть первое уравнение:

а) при и тогда ; . б) при , и тогда ; .

Строим графики полученных прямых в первой четверти.

9. Построение графиков тригонометрических функций,

содержащих знак модуля.

Пример 11.

Построить график функции .

Учитывая, что ; запишем данную функцию так:

.

Раскроем модуль:

а) если и , то функция принимает вид

б) если и, то ; у = 0.

в) если и , то ; у = 0.

г) если и , то ;

В дальнейшей работе отправной точкой послужат графики функций и , построенные в одной прямоугольной системе координат.

Графики этих функций строятся тонкими, чуть заметными линиями, поскольку они играют лишь вспомогательную роль.

а) из рисунка видно, на каких промежутках оси абсцисс функции ,

одновременно принимают неотрицательные значения. Их

графики расположены в верхней полуплоскости. Строим на этих

фиксированных промежутках график функции основной

« жирной» линией;

б) на рисунке легко просматриваются на оси промежутки, где

одновременно и . На этих промежутках графики функций

расположены соответственно в верхней и нижней полуплоскости

системы координат. Исходная функция в этом случае имеет вид у=0. Строим на этих промежутках её график.

В пунктах в) и г) рассуждения аналогичные предыдущим. В результате вырисовывается график данной функции.

Пример 12.

Построить график функции .

Функция чётная, так как , поэтому график можно строить правой (левой) полуплоскости, а затем выполнить симметрию относительно оси .

Пусть , тогда функция принимает вид . В точках , где функция теряет смысл.

Раскроем модуль: а) если , то или ;

б) если , то .

Изобразим на указанном промежутке тонкой линией графики функции и .

Фиксируем на оси абсцисс отрезки, на которых (косинусоида расположена в верхней полуплоскости). На этих фиксируемых промежутках выделяем основной линией «куски» синусоиды.

Выделяем промежутки оси , на которых (косинусоида расположена в нижней полуплоскости). И на этих промежутках изображаем график функции .

При всём этом не забываем о том, что в точках функция теряет смысл. Теперь строим график функции во всей области определения, выполняя симметрию относительно оси .

11