Сборник заданий для подготовки учащихся 6 классов к олимпиадам

Сборник заданий

для подготовки учащихся 6 классов к олимпиадам

Вариант 1

1. Расшифруйте запись примера на сложение, где одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры:

2. У бабушки спросили: «Бабушка, сколько лет твоему внуку?» - «Моему внуку столько месяцев, сколько мне лет, а вместе нам 65 лет». Сколько лет внуку?

3. Число а увеличили на четверть, а затем получившееся число уменьшили на . Сравните последнее получившееся число с первоначальным.

4. Сёстры Таня и Оля решили убрать квартиру. Таня могла бы это сделать за 2 часа, а Оля - за 3 часа. За сколько времени сёстры могли бы вместе убрать квартиру?

5. Сторона квадрата увеличилась на 20 %. На сколько процентов увеличился периметр квадрата и на сколько процентов увеличилась площадь квадрата?

6. 15 плотников построили дом за 28 дней. За сколько дней 35 плотников построят 8 таких домов, если будут работать с такой же производительностью?

Вариант 2

1. Поставьте знаки действий и скобки так, чтобы в результате получилось 1:

а) 1 2 3;

б) 1 2 3 4;

в) 1 2 3 4 5;

г) 1 2 3 4 5 6;

д) 1 2 3 4 5 6 7;

е) 1 2 3 4 5 6 7 8;

ж) 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

2. В одном из городов часть жителей умеет говорить только по-грузински, а часть только по-русски. По-грузински говорят 85 % всех жителей, а по-русски - 75 %. Сколько процентов всех жителей говорят на обоих языках?

3. Отец подарил пяти своим сыновьям участок земли квадратной формы, на котором посажены 10 фруктовых деревьев и разбиты аллеи (см. рис.). При этом он велел так поделить участок, чтобы старшему досталась четверть всего участка, а остальным - равные части остатка. Когда сыновья разделили участок, то оказалось, что на каждом участке растёт по 2 дерева. Покажите, как они разделили участок, если делить его можно только по аллеям.

4. Покупатель купил у торговки яйцами половину всех яиц и ещё половину яйца, второй покупатель купил половину остатка и ещё половину яйца. Тогда у торговки осталось 10 яиц. Сколько яиц было у торговки сначала?

5. Расставьте цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в вершины куба так, чтобы суммы цифр, стоящих в каждой грани, были равны.

6. Автомобиль проехал расстояние между двумя городами со скоростью 60 км/ч, а возвратился со скоростью 80 км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля.

Вариант 3

1. Назовите числа, равные сумме своих делителей, кроме самого себя. Как называют такие числа?

2. Свежие грибы содержат 90 %, а сухие 12 % влаги. Сколько свежих грибов нужно собрать, чтобы получить 1 кг сушеных?

3. Необходимо разрезать фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки (см. рис.). Сколько трехклеточных уголков могло бы получиться при разрезании?

4. В шестилитровом ведре содержится 4 литра кваса, а в семилитровом - 6 литров. Разделите квас пополам, пользуясь этими вёдрами и пустой трёхлитровой банкой.

5. Гребец, плывя по реке, потерял под мостом шляпу. Через 15 минут он заметил пропажу, вернулся и поймал шляпу в 1 км от моста. Какова скорость течения?

6. Алёша и Боря весят вместе 82 кг, Алёша и Вова весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг. Сколько весят вместе Алёша, Боря и Вова?

Вариант 4

1. Сколькими различными способами можно прочитать слово «точка» на этой схеме (начинать с «т» и спускаться вниз до «а»)?

Т

О О

Ч Ч Ч

К К К К

А А А А А

2. Поезд проходит мимо светофора за 5 секунд, а мимо платформы длиной 200 м за 15 секунд. Найдите длину поезда и его скорость.

3. Дюймовочка проехала верхом на гусенице некоторое расстояние за 28 минут. За сколько минут пробежит расстояние, в 4 раза большее, Белый Кролик, если его скорость в 7 раз больше?

4. Прямоугольник составлен из 7 квадратов (см. рис.). Сторона чёрного квадрата равна 1, а сторона серого квадрата равна 3. Чему равна площадь квадрата А?

5. После того как на борт были подняты 30 потерпевших кораблекрушение, оказалось, что запасов питьевой воды, имеющейся на корабле, хватит только на 50 дней, а не на 60, как планировалось. Сколько людей было на корабле первоначально?

6. Расположите 10 точек на пяти отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки. Возможны различные варианты.

Вариант 5

1. Ваня съел всех яблок и ещё 2 яблока. Дима съёл всех яблок и ещё 1 яблоко, а Коля - половину тех яблок, которые остались после Вани и Димы. После этого осталось часть первоначального числа яблок. Сколько яблок было вначале?

2. Коза и корова съедают воз сена за 45 дней, корова и овца - за 60 дней, овца и коза - за 90 дней. За сколько дней съедят воз сена корова, овца и коза вместе?

3. Из восьмилитрового ведра, наполненного молоком, надо отлить 4 литра с помощью пустых 3-литрового и 5-литрового бидонов. Как это сделать?

4. Над имеющимся числом разрешается производить два действия: умножать его на 2 или прибавлять к нему 2. За какое минимальное число действий вы сможете получить из числа 1 число 100?

5. Расставьте числа ; ; и в порядке убывания.

6. Штрих-код образован 17 чёрными и белыми полосами (крайние полоски - чёрные). Чёрные полоски бывают двух типов: узкие и широкие (см. рис.). Число белых полосок на 3 больше, чем число широких чёрных. Чему равно число узких чёрных полосок?

Вариант 6

1. Если от задуманного числа отнять 11, результат разделить на 11, то останется 4. Если отнять 8 и разделить, то останется 4. Если отнять 7 и разделить на 7, то останется 4. Найдите задуманное число.

2. В клетках таблицы, содержащей 4 строки и 7 столбцов, расставьте натуральные числа так, чтобы их сумма в каждой строке была равна 28, а в каждом столбце 15. Можно ли осуществить требуемое? Если «да», то покажите как; если «нет», то объясните почему.

3. Имеются двое песочных часов - на 7 минут и 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

4. Пароход проходит против течения реки путь от Астрахани до Казани за 6 суток, а от Казани до Астрахани, по течению, за 4 суток. За сколько суток пройдёт то же расстояние плот?

5. На поляну прилетело 35 ворон. Неожиданно вороны взлетели и разлетелись на две стаи: одна стая уселась на ветви старой берёзы, а другая - на ольху. Через некоторое время с берёзы на ольху перелетело 5 ворон, столько же ворон совсем улетело с берёзы, после чего на берёзе осталось вдвое больше ворон, чем на ольхе. Сколько ворон осталось сидеть на берёзе?

6. Товар сначала подорожал на 10 %, а затем подешевел на 10 %. Когда товар стоил дороже - до подорожания или после удешевления?

Вариант 7

1. В зоомагазине продают больших и маленьких птиц. Большая птица стоит в два раза дороже маленькой. Одна дама купила 5 больших птиц и 3 маленьких, а другая - 5 маленьких и 3 больших. При этом первая дама заплатила на 20 рублей больше. Сколько стоит каждая птица?

2. Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на одинаковом расстоянии друг от друга. Спортсмен стартует у первого флажка и бежит с постоянной скоростью. Уже через 12 секунд спортсмен был у 4-го флажка. За какое время он пробежит всю дорожку?

3. Три одинакового веса поросёнка и 2 одинакового веса ягнёнка весят 22 кг, а 2 поросёнка и 3 ягнёнка весят 23 кг. Найдите вес одного поросёнка и одного ягнёнка.

4. Разделите участок земли, имеющий форму квадрата, на 4 части одинаковой формы и размера так, чтобы в каждую часть попало ровно по одному из 4 растущих на участке деревьев.

5. Делится ли число на 3? на 9?

6. Трое учеников получили оценки за контрольную работу: 3; 4; 5. Из трёх утверждений: «Иванов получил 3», «Петров не получал 3», «Сидоров не получал 5» только одно верное. Получил ли Сидоров 3?

Вариант 8

1. Вес скворца относится к весу жаворонка как 5,5 : 2, а вес ласточки составляет 75 % веса жаворонка и на 7 г легче его. Определите вес указанных птиц.

2. На улице, встав в кружок, беседуют 4 девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зелёном платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какого цвета были платья на девочках?

3. Вычислите наиболее удобным способом:

4. Отец с сыном вышли на прогулку. У отца длина шага на 30 % больше, чем у сына, но зато сын за одно и то же время с отцом успевает сделать на 30 % больше шагов. Кто быстрее сможет пройти 5 км: отец или сын?

5. Собрался Иван-царевич на бой со Змеем Горынычем трёхголовым и трёххвостым. «Вот тебе меч-кладенец, - говорит ему Баба Яга. - Одним ударом ты сможешь срубить либо одну, либо две головы, либо один, либо два хвоста. Запомни: срубишь голову - новая вырастет, срубишь хвост - два новых вырастут, срубишь два хвоста - голова вырастет, срубишь две головы - ничего не вырастет».

За сколько ударов Иван-царевич может срубить Змею все головы и хвосты?

6. Четырьмя двойками выразить число 111.

Вариант 9

1. Произведение цифр трёхзначного числа равно 25. Найдите такие числа.

2. В школьных соревнованиях по бегу от 6 «а» выступал Иванов, от 6 «б» - Петров, от 6 «в» - Нечаев, от 6 «г» - Краснов. После соревнований у каждого мальчика спросили, какое место он занял. Они ответили так:

Иванов. Я не был ни первым, ни последним.

Нечаев. Я не был первым.

Краснов. Я был последним.

Петров. Я был первым.

Три из этих ответов - правда, один - ложь. Кто был первым в соревнованиях?

3. Известно, что = 5. Найдите значение выражения .

4. Бегая за Буратино, Карабас-Барабас прилип бородой к дереву. Дуремар отрезал длины бороды и освободил Карабаса-Барабаса. Доктор Айболит дал Карабасу волшебное лекарство, после чего его борода увеличилась на 20 % и стала равна 77 см. Какой длины была борода Карабаса-Барабаса первоначально?

5. Используя признаки делимости, определите, какую цифру надо подставить вместо *, чтобы число 12340678*5 делилось на 15 без остатка.

6. Прямоугольник ABCD состоит из 4 прямоугольников (см. рис.); площади трёх из них 2 см²; 4 см²; 6 см². Найдите площадь всего прямоугольника ABCD.

Вариант 10

1. Львёнок решил покататься на большой черепахе, но сначала её нужно догнать. Сколько придётся бежать львёнку, прежде чем он сможет покататься, если скорость его в 10 раз больше скорости черепахи, а черепаха находится в 180 метрах от львёнка? (львёнок и черепаха двигались по одной прямой.)

2. Не производя указанных действий, установите, правильной или неправильной дробью является число

.

3. Найдите закономерность и вставьте недостающее число:

а) 7; 10; 9; 12; 11; …

б)

4. В очереди за билетами в кино стоят Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Известно, что

а) Юра купит билет раньше, чем Миша, но позже Олега;

б) Володя и Олег не стоят рядом;

в) Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей.

Кто за кем стоит?

5. Сколько существует правильных несократимых дробей со знаменателем 129?

6. Из мешка вначале взяли всего количества муки, затем 60 % остатка и ещё 35 % последнего остатка, после чего в мешке осталось 1,95 кг муки. Сколько килограммов муки взяли из мешка в последний раз?