Тренеровочные задания к олимпиадам

Тренировочные задания к олимпиадам по математике.

1. Запишите подряд 22 пятерки: 5555…5. Поставьте между некоторыми между некоторыми цифрами знаки арифметических действий так, чтобы в результате получилось число 2004.

2. Разрежьте квадрат размером 4х4(см. рис.18) на 4 равные фигуры. Разрезать можно только по сторонам клеточек. Найдите как можно больше способов.

3. В пакете 9 кг крупы. Как при помощи чашечных весов и одной 200 - громовой гири отвесить 2 кг крупы, если разрешения сделать только три взвешивания.

4. В древней рукописи приведено описание города, расположенного не 8 островах. Острова соединены между собой и с материком мостами. На материк выходят 5 мостов; на 4 островах берут начало по 4 оста, на 3 островах берут начало по 3 поста и на один остров можно пройти только по одному мосту. Может ли быть такое расположение мостов?

5. Вычислите:

5 класс

1. Расшифруйте пример, если одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам - разные: А + ВВ + А = ССС

2. Митя, Толя, Сеня, Юра и Костя пришли в музей и встали в очередь. Если бы Митя встал посередине очереди, то он оказался бы между Сеней и Костей, а если бы Митя встал в конце очереди, то рядом с ним мог быть Юра, но Митя встал впереди всех своих товарищей. Кто за кем стоит?

3. На школьной олимпиаде по математике участникам было предложено решить 6 задач. За каждую решенную задачу засчитывалось по 7 очков, а за каждую нерешенную списывалось 3 очка. Сколько задач решил участник, если он набрал 12 очков? 2 очка? 32 очка?

4. Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, в записи которых цифра 5 использована хотя бы 1 раз?

5. Четыре брата Юра, Петя, Коля, Вова учатся в 1, 2, 3, 4 классах. Петя - отличник, младшие братья стараются брать с него пример. Вова учится в 4 классе. Юра помогает решать задачи брату. Кто из них в каком классе учится?

6. Винни-Пуху подарили на день рождения бочонок с медом массой 7 кг. Когда Винни-Пух съел половину меда, то бочонок с оставшимся медом стал иметь массу 4 кг. Сколько килограммов меда было первоначально в бочонке?

6 класс

1. Докажите, что число АБАБАБ делится на 7. (А, Б - цифры)

2. Средний возраст одиннадцати футболистов 22 года. Во время игры один из футболистов получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся игроков стал 21 год.

Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?

3. Картофель подешевел на 20%. На сколько процентов больше можно купить картофеля на ту же сумму?

4. В шестилитровом ведре содержится 4 л. кваса, а в семилитровом - 6 л. Как разделить весь квас пополам, используя эти ведра и пустую трехлитровую банку?

5. Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу. Каждый раз одна из них играет, другие три поют. Оказалось, что Анна спела больше всех песен - восемь, а Дороти спела меньше всех - пять.

Сколько всего песен спели девочки?

6. Какое число нужно прибавить к числителю и знаменателю дроби 13/21, чтобы она после сокращения стала равна 3/4?

7. Произведение двух двузначных чисел изображено числом записанным одними семерками. Найти сомножители.

8. На сколько процентов увеличится полная поверхность куба, если каждое ребро увеличить на 20%?

9. Найти четыре последовательных четных числа, если известно, что сумма наименьшего и наибольшего из них равна 1202.

10. На одном заводе работают три друга: слесарь, токарь, сварщик. Их фамилии: Борисов, Иванов, Семенов.

У слесаря нет ни братьев, ни сестер, он самый младший из друзей. Семенов старше токаря и женат на сестре Борисова. Назовите фамилии слесаря, токаря, сварщика.

11. Два брата решили измерить расстояние от дома до школы шагами. Шаг старшего брата был равен 56 см, а шаг младшего 42 см.

Каково это расстояние, если они вышли одновременно из своего дома и последние их шаги совпали у школы, а всего шаги совпали 75 раз?

7 класс

1. В связи с кризисом зарплата сотрудников фирмы понизилась на 1/5. На сколько процентов ее следует повысить, чтобы она достигла прежнего значения?

2. Может ли сумма шести различных положительных чисел равняться их произведению?

3. На прямой отмечены точки A, B, C, D. Известно, что AC=a, BD=b. Чему может равняться расстояние между серединами отрезков AB и CD? Укажите все возможности.

4. Найдите три последние цифры числа 62519 + 37699.

5. За круглым столом сидят граждане пяти разных стран (от одной страны может быть несколько представителей). Известно, что для любых двух стран (из данных пяти) найдутся граждане этих стран, сидящие рядом. Какое наименьшее число людей может сидеть за столом?

6. Всякий ли прямоугольник можно разрезать на 1999 частей, из которых можно сложить квадрат?

7. Красная Шапочка несла бабушке 14 пирожков: с мясом, с грибами и капустой. Пирожков с капустой было наибольшее количество. Причем их вдвое больше, чем пирожков с мясом. А пирожков с мясом меньше, чем пирожков с грибами. Сколько пирожков с грибами?

8. Учительница принесла в класс 111 тетрадей и раздала их поровну детям. Детей в классе больше 20, но меньше 40. Сколько детей в классе?

9. Из книги выпало несколько листов. Первая страница выпавших листов имеет номер 213, а номер их последней страницы изображается теми же цифрами, но в ином порядке. Сколько листов выпало из книги?

10. На какое однозначное число, не равное 0, надо умножить 142857, чтобы получилось число, записанное одинаковыми цифрами?

11. Число яблок в корзине - двузначное. Яблоки можно разделить поровну между 2, 3 или 5 детьми, но нельзя разделить поровну между 4 детьми. Сколько яблок в корзине?

12. Квадрат разрезали на 4 равные части и составили из них 2 квадрата. Как это сделали?

13. Какое число надо подставить вместо х в уравнение 12 : х = 7 - х, чтобы получилось верное равенство? Найдите все эти числа.

14. Нарисуй прямоугольник, площадь которого 12 см, а сумма длин сторон 26 см.

15. Стоят 6 стаканов, первые три из них с водой. Как сделать, чтобы пустой стакан и стакан с водой чередовались? Разрешается брать только один стакан.

16. Двое имели 100 рублей. Первый израсходовал 1/2 часть своих денег, второй - 1/3 часть своих денег. После этого у них осталось 60 рублей. Сколько денег было у каждого?

17. Найти целое число, которое в 7 раз больше цифры его единиц.

18. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если периметр его увеличится на 20%?

19. Первую половину пути мотоциклист проехал со скоростью 30 км/ч, а вторую со скоростью 60 км/ч. Какова его средняя скорость?

20. Имеются 12 ящиков. В некоторых из них лежат по 12 ящиков меньшего размера. В некоторых из меньших еще по 12 ящиков совсем маленького размера. Всего заполненных 39 ящиков. Найти общее число ящиков.

21. На ремонте дороги работало 15 человек, и они должны были закончить работу за 12 дней. На пятый день, утром, подошли еще несколько человек, и оставшаяся работа была выполнена за 6 дней. Сколько рабочих пришло дополнительно?