Исследовательский проект Функции в нашей жизни

БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ОРЛОВСКОЙ ОБЛАСТИ

БУГА ВЛАДИСЛАВ ГЕННАДЬЕВИЧ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЛОВСКИЙ РЕСТАВРАЦИОННО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ»

Специальность «Мастер по ремонту и обслуживанию автомобильного транспорта»

Руководитель Конарева Татьяа Леонидовна

Преподаватель математики

Проект ориентирован на систематизацию и обобщение, уже имеющихся теоретических знаний, расширение и углубление их за счет самостоятельного поиска дополнительного исторического материала, отбора и решения задач прикладного характера, умений находить, отбирать и использовать информацию, формулировать проблему и решать ее, умения преодолевать трудности, навыки публичного выступления.

• выявлять главное, доказывать, обосновывать, оформлять результаты работы, делать презентации;

• генерировать новые идеи, применять их и обмениваться идеями с другими;

• находить, анализировать, обрабатывать, интегрировать, оценивать и создавать информацию в разных формах и на различных типах медиаоборудования;

• совершать выбор; понимать взаимосвязи в сложных системах;

• работать в команде; выполнять разные роли и обязанности; продуктивно взаимодействовать с другими;

• формулировать, анализировать и решать проблемы;

• самостоятельно приобретать новые знания по математике и применять их в практической деятельности.

Какое влияние оказывают математические функции на жизнь человека и окружающий мир?

''Проблемные вопросы''

1. Каковы области применения математических функций?

2. Какое влияние оказывают математические функции на жизнь человека и окружающий мир?

3. Какие нетипичные (нестандартные) задачи можно решать с помощью функциональных зависимостей?

Этапы проведения проекта.

1.Подготовительный этап:

- выбор темы проекта;

- постановка задач;

- обсуждение основополагающих и вопросов с учащимися;

- обсуждение плана работы

- создание критериев оценивания;

2.Основной этап:

- самостоятельная работа;

- подбор обучающимися материалов для создания презентации и публикации, просмотр и обсуждение этих материалов с преподавателем;

- подготовка презентации, публикации и размещение их в сети.

3. Заключительный этап:

- защита проекта на -конференции;

- оценка качества проекта;

- возможная корректировка и применение данного материала в дальнейшей работе;

- рефлексия.

ОДА ФУНКЦИ

На первый взгляд, понятие не ново,
И не всегда подумаешь о том,
Как важно будет в жизни это слово
И сколько смысла будет в слове том!

Его по-разному с годами толковали.
Сам Лобачевский руку приложил,
Чтоб слово «функция» и в средней школе знали,
Чтоб каждый ученик им дорожил!

Без функции не сдашь простой экзамен,
Без функции ты не войдешь в предмет!
Без функции не разгорится пламя!
Без функций никакой науки нет!

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Само слово «функция» происходит от латинского functio - исполнение, осуществление. В математике оно впервые употреблено лишь в XVII в. Г. В. Лейбницем, т. е. сравнительно недавно, но сами функции и способы их задания фактически изучались людьми очень давно - можно сказать, почти так же давно, как числа и уравнения.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт. Они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. В 1671 году Ньютон под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется стечением времени В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями. В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли, который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных».
Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер, Лагранж, Фурье и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался выше указанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.
В 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых». «Это наименование, - продолжает далее Эйлер - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других».
В 1834 году в работе «Об исчезании тригонометрических строк» Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 году, писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной. Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе».
Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества.

Другими синонимами термина «функция» в различных отделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др.
Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С.Л. Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести ученики и последователи Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов и другие
Все течет, все изменяется в окружающем нас мире, как заметили еще древние. Вращается вокруг своей оси земной шар, и день сменяет ночь, Земля вершит свой вечный бег вокруг Солнца. Солнце вместе со всеми своими планетами вечно летит в космические дали. Кажется, причем здесь математика, а тем более функции и графики. Но, как образно заметил великий Г.Галилей (1564-1642гг), книга природы написана на математическом языке и ее буквы - математические знаки и геометрические фигуры, без них невозможно понять ее слова, без них тщетно блуждание в бесконечном лабиринте. А именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.

. Функция - это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами. Величина у зависит от величины по определенному закону, или правилу, обозначаемому . Это означает, что мы берем величину , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) - и получаем величину .

В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается - а на выходе получается .

Итак, функция - это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.

Дадим еще одно определение функции - то, что чаще всего встречается в учебниках.

Функция - это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Обратимся к «Энциклопедии домашнего хозяйства». Откроем таблицу, где указаны максимальные, длительно допустимые токи для проводов в зависимости от их сечения.

Сечение жилы,

0,75

1

1,5

2,5

Максимально допустимый ток. Ампер

13

15

20

27

Из этой таблицы каждый домашний мастер получит готовые рекомендации на все случаи житейской практики.

Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции , причем график бывает единственно доступным для этого способом. Вернемся к нашему примеру. По имеющейся в таблице значениям построим график. . Он покажет нам характерные особенности и поведение функции. Проводя непрерывную линию над всеми без исключения точками некоторого промежутка оси абсцисс, мы заявляем тем самым, что сечение провода может равняться любой величине из этого промежутка.

Если надо смонтировать проводку в своей квартире, нам будет достаточно таблицы или графика. Ведь все провода , поступающие в продажу , согласно ГОСТу имеют определенные стандартные сечения. Но если нас заинтересуют причины тех ограничений для тока , которые обусловлены сечением применяемых проводов , то мы захотим понять : каковы физические законы, которые определяют функциональную зависимость , выраженную таблицей и отраженную графиком.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим. В нашем примере формула выглядит так : I=k √.s

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами. В журнале «Наук и жизнь» публикуются кроссворды с фрагментами, где приводится список: «Юпитер-Зевс, Венера- Афродита, Марс-…». Прочитав этот список надо догадаться, что в парах слов богам Римской империи ставятся в соответствие их коллеги из греческого пантеона. И еще пример:.

Так писалась буква И в разные века. Первое написание применялось ,когда кириллица была только создана. Это продолжалось до XII века. Второе написание встречается в памятниках XIII века, третье -в XIV веке и последнее принадлежит XVI веку. За этот период перекладина повернулась на половину прямого угла Уловив соответствие между углом ее наклона и эпохой можно датировать памятники письменности.

Те значения , которые принимает независимая переменная х (аргумент), образуют область определения функции. Соответствующие им значения функции -область значений. Область определения можно задать произвольно .

На рисунке изображен график , характеризующий свойство фотопленки. Пока фотограф работает в диапазоне выдержек между пунктирными линиями , он получает контрастные снимки- почернение пленки нарастает равномерно с освещенностью объекта , и фотография правильно передает светотеневые соотношения. Условившись работать в том промежутке, где график идет по прямой, мы задали область определения функции - интервал количеств света, падающих на пленку. Аргумент может принимать любое значение из указанного промежутка. Аргумент непрерывен- говорят в подобных случаях.

Вернемся к промеру с кроссвордами. Здесь аргумент принимает несколько конкретных значений -столько , сколько богов насчитывалось в римском пантеоне. В этом случае область определения дискретна. И в первом и во втором примере аргумент может принимать любые значения из области определения, и поэтому его называют независимой переменной.

Так заполняются любые бланки : удостоверений, аттестатов, дипломов и т.д. В пустые строчки вписываются данные конкретного лица. Понятие функции помогает сформулировать какое- либо утверждение сразу для всех объектов некоторой совокупности.

Знание функциональных зависимостей позволяет давать ответы на разнообразные вопросы -от датировки древних документов до управления сложнейшими производственными процессами. Люди издавна замечали соответствия между отдельными предметами и явлениями окружающего мира: красный закат к ветру, снежная зима к урожаю. Систематизируя и осмысливая взаимозависимости, человек научился рассматривать их как частные случаи сравнительно немногих общих соотношений. Он назвал их законами природы. Знание этих законов дало возможность объяснять и предсказывать ее разнообразнейшие явления, математическими портретами которых. служат функции.

Давай те совершим экскурсию в галерею этих портретов.

Линейная функция - функция вида y = kx + b(для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности. График линейной функции является прямая линия, с чем и связано ее название. Во многих сферах деятельности человека встречаются процессы, которые можно описать с помощью линейной функции.

. (Физика).

Велосипедист движется со скоростью 10км/ч. Записать формулу его пути S за время движения t. Построить график движения на первых тридцати километрах пути.

(Метеорология).

При начале нагревания вода в кипятильнике имела температуру 6⁰C. При нагревании температура воды повышалась каждую минуту на 2⁰ C. Найдите формулу, выражающую изменение температуры T воды в зависимости от времени t её нагревания. Будет ли функция T(t) линейной?

. (Геометрия)

Одна сторона прямоугольной детской площадки равна X, другая - на 3 м больше. Выразите через X периметр P и площадь S этого прямоугольника. Найдите значение каждой функции P(X) и S(X) при X=6. При каком значении X периметр будет равен 46 м.

(Экономика)

На складе было 300 т угля. Ежедневно на склад привозили ещё по 40 т. Выразить формулой зависимость количества угля p (в тоннах), находящегося на складе, от времени (в днях).Итак, мы приходим к выводу: во многих сферах деятельности человека встречаются процессы, которые можно описать с помощью линейной функции.

Переходим к следующей экспозиции.

Представление степенной функции.

Мы уже знакомились с функциями y = x, y = x², y = х³, у = 1/х и т.д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, то есть функции y = x^p , где p - заданное действительное число. Свойства и график степенной функции существенно зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x^p.

Рассмотрим, какие виды графиков может иметь степенная функция:

я

Посредством степенной функции f(x) = Ax описывается зависимость интенсивности основного обмена от веса животного. Здесь х - вес животного; f(x) - количество кислорода, поглощаемого животным в единицу времени; А и - параметры, постоянные для данного класса живых существ. Для млекопитающих и птиц, например, = 0,74, А = 70, для рыб = 0,8, А = 0,3.

Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике. Известно также, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости. Например, скорость воды в реке на разных глубинах разная: у дна и у поверхности наименьшая, где-то внутри потока она наибольшая. По данным некоторых исследователей можно считать, что если от оси OY отложить горизонтальные отрезки, равные по длине скорости воды на соответствующей глубине, то получится парабола с горизонтальной осью, вершина которой находится на 1/3 глубины потока.

Представим себе, что очень узкая зеркальная полоска изогнута в форме дуги параболы. (Если мы параллельно оси параболы направим пучок лучей, то они, отразившись от зеркала, соберутся в некоторой точке F, расположенной на оси и называемой фокусом параболы (фокус переводе на русский язык означает очаг). И обратно, если мы поместим источник света (лампочку, вольтову дугу и т.п.) в фокусе параболы, то всякий его луч, отраженный от зеркала, направится параллельно оси параболы.
Вращая параболу вокруг её оси, мы получим поверхность, называемую параболоидом вращения. Параболические зеркала и другие аналогичные им приспособления, использующие описанное свойство параболы, изготовляются в форме параболоида.

Вот несколько примеров:

а) отражательный телескоп - рефлектор;
б) прожектор или фара автомобиля;
в) рефлектор солнечной электростанции;
г) медицинский рефлектор;
д) увеличительное туалетное (или медицинское) зеркало.

Если требуется для решения той или иной практической задачи направить параллельный пучок радиоволн или принять их, то употребляют металлические антенны, основанные на том же принципе, что и параболические зеркала. Это сходство неслучайно, ибо свет и радиоволны имеют одинаковую физическую природу. Подобные антенны находят широкое применение в таких областях науки и техники, как радиолокация и радиоастрономия. Радиолокация позволяет определить местонахождение самолета или корабля на значительном расстоянии (что особенно важно в военном деле), обнаруживать в море при любой видимости опасные для плавания айсберги и т.п. Радиоастрономия является молодой наукой, которая изучает далекие миры, подвергая анализу радиоволны, идущие из глубин мирового пространства.

Если цилиндрический сосуд, наполненный жидкостью, привести во вращательное движение вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью w, то вогнутая поверхность вращающейся жидкости примет форму параболоида.
Положение вершины параболы (имеется в виде осевое сечение) при данных размерах сосуда зависит только от его угловой скорости. Этим обстоятельством воспользовался Браун, сконструировав оригинальный прибор, позволяющий измерять скорость вращения вала.

Следующая функция показательная

На рисунке представлены графики этой функции . Мы знаете, еще 40 веков назад в египетском папирусе записан ряд. Про семь домов, где кошек 49, и каждая из них по 7 мышей съедает и тем всем столько зерен сохраняет, что мер 17000 составляет.

О том еще известна нам легенда, что как-то у арабского царя
Изобретатель шахматной доски, наверно потребовал за доску ту зерна. Причем за клетку первую - зерно, а за вторую - два просил изобретатель, за третью - снова больше раза в два, немало времени царь на подсчет потратил. Когда же подсчитали - прослезились: число двадцатизначно получилось! Хватило б зернами засеять нам всю сушу и миллионы лет пришлось зерно бы кушать.

Все знают, что такое ростовщик. Тот человек проценты брать привык.
Они встречались в Вавилоне древнем, где пятую часть "лихвы" взимали в среднем!
Пятнадцатый век - рожденье банков, дающих деньги людям под процент, тогда и встал вопрос о дробном показателе. Его развили математик Штифель, Оресм, Шюке. Показательная функция, подобно линейной и квадратичной, очень часто реализуется в физических, биологических и иных законах. И это, конечно, не является случайностью. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой-либо величины пропорциональна самой величине (размножение бактерий, ход химической реакции и т.д.). В этом случае рассматриваемая величина будет изменяться по закону, имеющему вид: y = y₀a^x.

1. По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т. е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому - распространение Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число "потомков" одного растения равнялось бы 243 • 10¹⁵ или приблизительно 2000 растений на 1 м² суши.

3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8 • 10¹⁴. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние, большее, чем расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое равновесие в природе.

В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад вещества - процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови, донора или раненого, потерявшего много крови, рост дрожжей, ферментов, микроорганизмов. Закон органического роста выражается формулой: N = N₀e^kt. По этому же закону изменяется количество древесины в дереве, что имеет большое значение для рационального ведения лесного хозяйства.

5. Так же природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются законам выравнивания, описываемым показательной функцией. Например, температура чайника изменяется со временем (согласно формуле Т = Т₀ + (100 - Т₀)е^-kt. Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении электрического тока в цепи при падении тел в воздухе с парашютом. В биологии процесс выравнивания встречается при разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по их способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.

6. Радий распадается в зависимости от времени по закону М = М₀ e^-kt , где: М₀ - начальное количество радия, k - некоторый коэффициент. Пользуясь этой формулой, ученые смогли подсчитать возраст Земли, то есть время, в течение которого радий смог распадаться нормально.

7. Вы все слышали о цепных реакциях, теорию которых в 20-х годах описал молодой химик Н.Н. Семенов, а потом развили ученые-атомщики. Как управлять этим процессов в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи знаний о показательной функции. .

8 Давление атмосферы, выраженное в миллиметрах ртутного столба, меняется по закону: , где h - высота точки над уровнем моря (в м). Эту формулу используют геодезисты для барометрического нивелирования, то есть для определения разности высот над уровнем моря двух точек на земной поверхности.

9. При прохождении света через мутную среду каждый слой этой среды поглощает строго определенную часть падающего на него света. Сила света определяется по формуле: I = I₀e^-ks, где: s - толщина слоя, k - некоторый коэффициент, характеризующий мутную среду.

Подобный же закон будет характеризовать процесс поглощения газа соответствующей средой, изменение скорости ветра и т.п.

10. Закон охлаждения. Пусть Т₁ - температура тела, Т₀ - температура окружающей среды, где Т₁>Т₀ , Тогда температура тела Т будет меняться по закону: Т = Т₀ + (Т₁ - Т₀)е^-kt, где k - некоторый коэффициент, зависящий от природы охлаждающего тела.

Пример, на рис изображен график, показывающий процесс остывания расплавленного парафина. Если коэффициент будет не известен, то необходимо опытным путем узнать температуру Т₂ в какой-нибудь момент времени t₂. Тогда:

Т₂ = Т₀ + (Т₁ - Т₀)е^-kt, Откуда найдем: Следовательно:

Многообразные применения показательной (или её ещё называют, экспоненциальной) функции вдохновили английского поэта Элмера Брила на написание "Оды экспоненте", отрывок из которой гласит:
"…Ею порождено многое из того, что "достойно упоминания",
Как говорили наши англосаксонские предки. Могущество её порождений
Заранее обусловлено её собственной красотой и силой, Ибо они суть физическое воплощение .абстрактной идеи. Английские моряки любят и знают её под именем "Гунтер". Две шкалы Гунтера - вот чудо изобретательности.
Экспонентой порождена логарифмическая линейка: Даже изящные искусства питаются ею. Разве музыкальная гамма не есть набор логарифмов? И таким образом нечто абстрактно красивое стало предком одного из величайших человеческих достижений"

И дальше:

Логарифмическая функция.

. Самая интересная, полезная и лирическая - это функция логарифмическая. Спросите вы: "А чем интересна?". А тем, что она обратная показательной и относительно прямой у = х, как известно, симметричны их графики. .

Проходит график через точку (1,0) и в том еще у графика соль, что в правой полуплоскости он "стелется", а в левую попасть и не надеется.

Функция порою убывает, порою по команде возрастает.
А командиром служит ей значение а, и подчиняется она ему всегда.

Вот вы когда-нибудь слыхали о логарифмической спирали?

Рис. 5

• Закручены по ней рога козлов, ракушки моллюсков и улиток.
  И как сказал поэт Гете: "Вы совершеннее строенья не найдете!"
  И эту спираль мы повсюду встречаем: к примеру, ножи в механизме вращаются по этой спирали.
  В подсолнухе семечки , паутина- это логарифмические спирали.
  Галактики тоже кружат по спирали!
  Музыка и звуки! Это все- логарифмы. Задумывался кто-нибудь над вопросом, сколько звезд на небе? Одним из первых, кто попытался точно ответить на этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны. Гиппарх составил свой звездный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил их по видимому блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппрах назвал звездами первой величины, заметно менее яркие - второй, ещё столь же (величина постоянная) менее яркие - третьей и т.д. до звезд, едва видимых невооруженным глазом, которым была присвоена шестая величина.
  В наше время существуют чувствительные приборы для световых измерении, - это дает возможность точно определить блеск звезд. Покажем на графике.

насколько соответствует данным этих измерение распределение звезд по видимому блеску, произведенному на глаз. От каждой из шести групп, на которые распределял звезды Гиппарх, возьмем по одному типичному представителю. По вертикальной оси будем откладывать блеск звезд в единицах Гиппарха, по горизонтальной - показания приборов. Сразу же бросается в глаза, что объективные (прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска не пропорциональны друг другу. С каждым шагом по шкале звездных величин прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а примерно в 2,5 раза. Итак, зависимость выражается логарифмической функцией.

Психофизическими опытами установлено, что величина ощущений изменяется медленнее, чем сила раздражителя. Интенсивность ощущений Е выражается логарифмической зависимостью (закон Вебера - Фехнера) Е = К• lgJ +С, где J - интенсивность раздражителя; K и С - некоторые константы, определяемые данной сенсорной системой.

Представление тригонометрической функции.

. Еще в четвертом веке у индийцев, в астрономических трудах,
встречалось синуса понятье пока в одной четверти.
Они назвали "дживой" хорду, что означает "тетива", и эту хорду за синус принимали . Потом арабы слово исказили, назвали хорду они словом "джайб",
Затем названье на латинском дали и это был двенадцатый уж век, тогда-то джайб и "синусом" назвали. Символику предложил английский математик в семнадцатом столетье - Норвурд.
Эйлер ввел символику, какая есть сейчас. Французский математик Жиль Пирсон впервые синусоиду построил.
Затем явился сам Декарт, а с ним и "Геометрия" - его известный всем трактат - и взлет тригонометрии!

. График функции - вот такая кривая!

! "Синусоидой" она называется. Значения функции не всякие бывают, И "ограниченным" синус называют. (| sinx | < 1) Есть максимальное значенье - единица. И много раз к ней "синус икс" стремится.

Различные колебания окружают нас на каждом шагу. Механические колебания применяются для скорейшей укладки бетона специальными и виброукладчиками , для просеивания материалов на виброситах и даже для почти безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные - для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. Электромагнитные колебания доносят до нас вести о сложных процессах, происходящих внутри звезд, о взрывах в отдаленных галактиках, о таких диковинных вещах, как пульсары (нейтронные звезды), черные дыры и т. д. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно закрытой облаками Венеры.

Колебания сопровождают и биологические процессы, например, слух, зрение, восприятие ультрафиолета, (используемые многими биологическими видами), передачу возбуждения по нервной ткани, работу сердца и мозга. Записывая работу сердца или мозга, врачи получают электрокардиограммы и энцефалограммы. Как говорил создатель учения о биосфере академик Вернадский: "Кругом нас, в нас самих, всюду и везде, без перерыва, вечно сменяясь, совпадая и сталкиваясь, идут излучения разной длины - от волн, длина которых измеряется десятимиллионными долями миллиметра, до длинных, измеряемых километрами".

Но колебания не всегда полезны. Вибрация станка действует на резец и обрабатываемую деталь и может привести к браку; вибрация жидкости в топливных баках ракеты угрожает их целостности, а вибрация самолетных крыльев при неблагоприятных условиях может привести к катастрофе. Даже хорошо затянутая гайка под влиянием вибрации ослабевает и станок разбалтывается. А самое страшное - под действием вибрации меняется внутренняя структура металлов, что приводит к так называемой "усталости" и последующему неожиданному разрушению конструкции. Колебаниями объясняются случай падения моста, по которому шло в ногу воинское подразделение, а также разрушение мостов во время ураганов, катастрофы в кузнечных цехах, где несколько механических молотов начинали работать в такт. Таким образом, отметим, что колебания, контролируемые человеком, весьма полезны. Однако они могут превратиться в опасного врага. Поэтому надо уметь изучать колебания, знать их свойства. А здесь без математических расчетов не обойтись.

Почему летом теплее, чем зимой? Иногда в ответ на этот вопрос слышишь: потому что Земля, двигаясь по своей орбите, зимой находится от Солнца дальше, чем летом. Но это совершенно неверно! Ведь орбита Земли - это почти круг, в центре которого находится Солнце. Расстояние нашей планеты от светила меняется слишком незначительно от месяца к месяцу, чтобы это было причиной смены времен года. Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты.

Взгляните на рисунок: зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего подъема над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара. Поток энергии, идущей от Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной поверхности. Больше всего ее приходится на заданный участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их приходится на тот же участок. Именно эту зависимость применяет (быть может, не думая об этом) курортник, загорающий под солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана.

Определим: какая доля солнечной энергии, приходящейся на некоторый участок плоскости при отвесном падении лучей, приходится на него при наклонном падении лучей под тем или иным углом? Проследив эволюцию жирно очерченного прямоугольного треугольника на приведенных чертежах гипотенуза, на которую падают солнечные лучи,- всюду одна и та же. Катет, через который входят падающие на нее лучи,- меняется по длине, уменьшаясь вместе с углом, который образуют с гипотенузой падающие на нее лучи. Очевидно, интересующая нас доля солнечной энергии равна отношению указанного катета к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике с заданным углом нужно взять отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полученное число и укажет интересующую нас долю солнечной энергии. Число , определенное таким образом и поставленное в соответствие углу, для которого оно определялось, называется синусом этого угла. Это есть синусоида. Если что-то и кажется здесь непривычным, так это неестественно малая протяженность кривой. Обычно ее рисуют безгранично разбегающейся вдоль оси абсцисс, волна за волной.

Имени треугольника - "тригонон" - произошло собирательное название "тригонометрические функции". К ним, кроме синуса, косинуса и тангенса, относятся еще косеканс, секанс и котангенс, соответственно получаемые из перечисленных по правилу обратной пропорциональности.

Из всего выше сказанного можно сделать вывод. Изучение функциональных зависимостей необходимо человеку любой профессии.

Список литературы:

• Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2001. - 384 с.

• Баврин И.И. Высшая математика: Учеб. Для студентов хим.-биол. спец. пед. вузов. - 2-е изд., перераб. - М.: Просвещение, 1993. - 319с.

• Безопасность жизнедеятельности. Производственная безопасность и охрана труда./ П.П. Кукин, В.Л. Лапин, Н.Л.Пономарев и др.; Учеб.пособие для студентов средних спец. учеб. Заведений. - М.: Высш. шк., - 2001. - 431с.

• Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике: Кн. для внеклас. Чтения 9-10 кл. - 2-е изд., испр. - М.: Просвещение, 1985. - 192с.

• Есипенко Г.Е. Математика в жизни. Новосибирское книжное издательство, 1960. С.100

• Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Учись применять математику. Выпуск 1. М.: "Знание", 1977., с.144

• Уалянская Н. О, функция, как ты важна// Математика. - 1999. - № 45. - С.11.