Школьная научная конференция молодых исследователей

«Шаг в будущее»

Направление: МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ.

Фигурные числа

Автор: Новиков Павел

МОУ СОШ №44 6 д класс

Научный руководитель:

Пономарева Надежда Викторовна

учитель математики МОУ СОШ №44

ХМАО - Югра

Сургут 2014

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 4

1.1. Из истории фигурных чисел. 4

1.2. Определение и виды фигурных чисел. 4

1.3. Применение фигурных чисел в жизни человека. 7

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 9

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 10

ПРИЛОЖЕНИЕ 11

ВВЕДЕНИЕ

В своей исследовательской работе я рассмотрел использование фигурных чисел не только в математике, но и в окружающей жизни.

Во время изучения обыкновенных дробей обратил внимание на то, что в учебнике математики (автор - Виленкин Н.Я.) есть небольшая историческая сводка о фигурных числах. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что фигурные числа встречаются в окружающей жизни, просто люди об этом не задумываются.

Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники.

Мне стало интересно, а знают ли другие школьники о фигурных числах. Поэтому я провёл анкету, на вопросы которой ответили 86 учеников 6-10 классов.

Всего 34,4% учащихся знают какие числа называются фигурными. 19,8% считают, что фигурные числа - это плоские фигуры, 32,5 % - объёмные фигуры, 47,7 % думают, что они могут изображаться и плоскими и объёмными фигурами. 46,5 % предполагают, что эти числа изобрёл Пифагор. Половина опрошенных считает, что мы ежедневно встречаемся с фигурными числами в повседневной действительности.

Цель работы: более глубоко изучить и исследовать одно из понятий математики - фигурное число и выявить его роль в нашей жизни.

Задачи:

1. Собрать по различным научным и учебным источникам материал по данной проблеме и проанализировать его.

2. Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел, их применение в жизни человека.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.1. Из истории фигурных чисел.

«Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счётной доске - абаке. По этой причине грек не знали нуля, так как его невозможно было «увидеть». Но и единица ещё не была равноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома» роднило её с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Итак, пифагорейские числа в современной терминологии - это натуральные числа». [2, с.117]

Давным - давно, помогая себе при счёте камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получаются числа, делящиеся на три и т.д.

Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это развитие счёта на камушках. Множество закономерностей, возникших при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учёными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. В 5-4 веках до нашей эры учёные, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.

Увлеклись, причём независимо друг от друга, нахождением таких чисел Блез Паскаль и Пьер Ферма.

1.2. Определение и виды фигурных чисел.

Числа- камушки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

Линейные числа (простые) - числа, которые делятся на единицу и на самих себя, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию.

Плоские числа - числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2∙3).

Телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (телесное число 8=2∙2∙2).

Треугольные числа (3, 6, 10).

Квадратные числа (4,9,16).

Пятиугольные числа (5, 12, 22)

Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Например, чтобы получить общее выражение для n-го треугольного числа, которое есть не что иное, как сумма n натуральных чисел 1+2+3+…+ n, достаточно дополнить это число до прямоугольного числа n(n+1) и увидеть (именно увидеть глазами!) равенство 1+2+3+…+ n = n(n+1).

Написав последовательность квадратных чисел, опять легко увидеть глазами выражение для суммы n нечётных чисел 1+3+5+…+(2 n-1) = n² .

Разбивая n-е пятиугольное число на три (n-1) треугольных, (после чего остаётся ещё n камешков»), легко найти его общее выражение 1+4+7+…+3 n-2= n+3=.

Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для n- го k-угольного числа: =n+(k-2).

Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.:

1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, ...

Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5х5х5=125... и так далее.
Теперь понятно, почему про такие числа говорят: «два в кубе», «три в кубе», «девять в кубе»?

1.3. Применение фигурных чисел в жизни человека.

Мы не задумываемся о том, что ежедневно встречаемся с фигурными числами. А ведь это так просто и интересно.

• При изучении формулы площади прямоугольника используется понятие плоского числа, которое представляется виде произведения двух сомножителей - длины и ширины.

• При вычислении объёма прямоугольного параллелепипеда применяется понятие телесного числа, выражаемого произведением трёх сомножителей - длины, ширины и высоты.

• Упаковка конфет в форме линейного числа

• На параде солдаты стоят правильными рядами, образуя квадраты или прямоугольники (плоские числа). (Приложение 1)

• Во время различных праздников мы видим показательные выступления лётчиков. Самолёты в воздухе образуют треугольные или другие фигурные числа. (Приложение 2)

• Треугольные числа можно встретить в самых обычных местах (Приложение 3)

Фигурные числа встречаются при упаковке различных товаров в коробки и другие ёмкости.

• Телесные числа используются при упаковке конфет, консервных банок, блокнотов, тетрадей, ручек и др. в различные ёмкости. (Приложение 4)

• Плоские числа тоже часто используются при упаковке конфет, растительного масла, лимонадных бутылок … (Приложение 5)

• К фигурным числам можно отнести пирамидальные числа, которые получаются, если шарики складывать пирамидкой. Как раньше складывались ядра у около пушки. (Приложение 6)

• Используя различные фигурные числа как телесные, так и пирамидальные , укладывают товар на прилавке, конфеты в различные упаковки, украшают праздничный стол и т.д. (Приложение 7)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе работы по данной проблеме я добился цели, поставленной в начале исследования: изучил и исследовал фигурные числа - одно из понятий математики.

Подводя итог работы, пришёл к выводу об актуальности данной темы. Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них, они нам нужны, как солнце, воздух и вода.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
   - М.: Мнемозина, 2008.

2. Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты.
   - М.: Просвещение, 1993.

3. Энциклопедический словарь юного математика/ Составитель А.П.Савин.
   - М.: Педагогика, 1985

ПРИЛОЖЕНИЕ

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Приложение 7