Использование исследовательских методов решения задач на уроках математики в 5 классе

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ МЕТОДОВ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5 КЛАССЕ

1. АННОТАЦИЯ

Данная методическая разработка посвящается роли исследовательской деятельности учащихся 5 класса на уроках математики и во внеурочное время. Методическая разработка раскрывает вопросы мотивации обучения у учащихся. Представленные материалы могут быть полезны преподавателям математики при конструировании уроков.

2. ВВЕДЕНИЕ

Думаю, каждый учитель не раз задавал себе вопрос: почему снижается учебная мотивация учеников по мере их пребывания в учебном заведении? Все дети, когда идут в школу, хотят учиться, почему для ребёнка, генетически предрасположенного к учению, процесс обучения превращается в трудную, малопривлекательную работу?
Проанализировав ситуацию в классах, где веду математику, пришла к выводу: чтобы у учащегося развивалось творческое мышление, необходимо, чтобы он почувствовал удивление и любопытство, повторил путь человечества в познании. Только через преодоление трудностей, решение проблем, ребенок может войти в мир творчества.
Познание через практический опыт и исследование. Изучение материала, по возможности, начинать не с изучения теории, правил и формул, а с эксперимента или решения практических задач.

3. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Для чего нужна исследовательская деятельность на уроках математики?
• Научить учащихся самостоятельному, критическому мышлению.
• Размышлять, опираясь на знание фактов, закономерностей науки, делать обоснованные выводы.
• Принимать самостоятельные аргументированные решения.
• Научить работать в команде, выполняя разные социальные роли.
Если ученик сумеет справиться с поставленной задачей на уроке, можно надеяться, что в настоящей взрослой жизни он окажется более приспособленным: сумеет планировать собственную деятельность, ориентироваться в разнообразных ситуациях, совместно работать с различными людьми, т.е. адаптироваться к меняющимся условиям.
Из исследований известно, что учащиеся удерживают в памяти:
- 10% от того, что они читают;
- 26% от того, что они слышат;
- 30% от того, что они видят;
- 50% от того, что они видят и слышат;
- 70% от того, что они обсуждают с другими;
- 80% от того, что основано на личном опыте;
- 90 % от того, что они говорят (проговаривают) в то время, как делают;
- 95% от того, чему они обучаются сами. ([2])

Роль учителя создать атмосферу открытости, доброжелательности, сотворчества в общении. Работая вместе, учитель равен ученику в поиске знания, он не должен торопится отвечать на вопросы, необходимую информацию надо подавать малыми дозами, после возникновения потребности в ней у учащихся. При исследовательской работе лучше исключить официальное оценивание работы ученика (учитель не хвалит, не ругает, не выставляет отметок в журнал), но через социализацию, афиширование работ, появляется возможность самооценки, её изменения и коррекции. Чередование индивидуальной и коллективной работы создаёт атмосферу сотрудничества, взаимопонимания и повышения уровня коммуникативной культуры, даёт реальное понятие о способе восхождения к истине через диалог. Важен не только и не столько результат, сколько сам процесс, в котором реализуются законы проблемного обучения.

Примеры применения данного подхода к обучению из собственного опыта работы.

Фрагмент №1. Урок по теме «Плоскость. Прямая. Луч»

Поставьте в тетради точку В. Проведите через эту точку прямую. Ещё прямую можно провести через эту точку? Проведите. Ещё можно провести? Сколько прямых вы можете провести через эту точку? Сделайте вывод, сколько прямых можно провести через одну точку на плоскости.

Поставьте в тетради точки А и В. Проведите через эти две точки прямую. Можно ли провести через эти две точки ещё одну прямую? Сделайте вывод.

Подумайте, как могут располагаться на плоскости несколько прямых. Приведите все возможные варианты расположения на плоскости: а)двух прямых; б) трёх прямых; в) четырёх прямых.

Дополнительное задание «на дом»: приведите все возможные варианты расположения в пространстве: а)двух прямых; б) трёх прямых; в) четырёх прямых. (Возможно изготовление макета из трубочек для коктейля и т.п.)

Фрагмент №2. Урок по теме «Обыкновенные дроби»

В начале урока каждому учащемуся предлагается разрезать (разорвать) лист бумаги пополам. Какие части получили? Каждую половинку разрезать ещё раз пополам. Какие части теперь получили? Можно ли из них составить прежние части? Сколько новых частей составляют одну прежнюю часть? Сделаем вывод, из каких частей состоит целый лист? Как ещё можно разрезать лист? На сколько частей можно разрезать лист? Должны ли быть части равными? Предложить учащимся самим задавать вопросы и отвечать на них.

Фрагмент №3. Урок по теме «Обыкновенные дроби»

Предлагается нарисовать прямоугольник размером 3х4 клетки и закрасить

¼ его часть различными способами. Например:

Запишите с помощью дробей, какая часть фигуры заштрихована.

Придумайте и нарисуйте свои варианты подобных заданий.

Фрагмент №4. Урок по теме «Длина окружности »

В начале урока учащимся предлагается измерить сантиметровой лентой длины различных окружностей (круглых тел: кружка, тарелка, банка, рулон скотча, циферблат часов и т.п.) и их диаметр. Затем посчитать отношение длины окружности к длине диаметра этой окружности. Что наблюдаем?

Во всех случаях это отношение равно приблизительно трём. Если измерений сделать много и точно, то получим отношение более точное - число π.

Из скольких цифр состоит число π?

1000 знаков числа "пи":

"пи" = 3,

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Как запомнить число π?

Чтобы нам не ошибаться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Ну и дальше надо знать,

Если мы вас спросим -

Это будет пять, три, пять,

Восемь, девять, восемь.

Гордый Рим трубил победу

Над твердыней Сиракуз;

Но трудами Архимеда

Много больше я горжусь.

Надо нынче нам заняться,

Оказать старинке честь,

Чтобы нам не ошибаться,

Чтоб окружность верно счесть,

Надо только постараться

И запомнить все как есть

Три - четырнадцать - пятнадцать - девяносто два и шесть!

• Что я знаю о кругах (соответственно 3.1416).

• Вот и знаю я число, именуемое Пи (соответственно 3.141592).

• Это я знаю и помню прекрасно.

"Пи" многие знаки мне лишни, напрасны (соответственно 3.14159265358).

Придумайте сами удобный способ для запоминания числа π. ([1])

Фрагмент № 5. Урок по теме « Окружность и круг»

Изобразите круг, радиус которого равен 3 см. Отметьте точку А внутри круга и точку В вне круга. Измерьте расстояние от центра круга О до точки А и до точки В. Сравните расстояния ОА и ОВ с радиусом круга. Соедините точки А и В отрезком. Пересекается ли он с окружностью? Какой вывод можно сделать, если расстояние от центра окружности до точки больше радиуса? Меньше радиуса? Как расположен отрезок АВ по отношению к окружности О, если расстояние от центра окружности до точек А и В меньше радиуса? Больше радиуса? Равно радиусу? Нарисуйте примеры расположения окружности и отрезка АВ.

Фрагмент № 6. Урок по теме «Объёмные фигуры »

Учащимся предлагается нарисовать кубик на плоском листе бумаги. Что увидим, если будем смотреть на кубик со стороны грани? (Квадрат.)

Что увидим, если будем смотреть со стороны ребра? (Прямоугольник.)

Что увидим, если будем смотреть со стороны вершины? (Шестиугольник.)

Вывод: для изображения объёмной фигуры на плоскости очень важно выбрать нужный ракурс. Грамотно построенный чертёж при решении задач стереометрии значительно облегчает само решение задачи.

Учащимся предлагается сложить из трёх палочек одинаковой длины (это могут быть карандаши, деревянные палочки для шашлыка и тому подобное) равносторонний треугольник, затем из пяти - два треугольника, из семи - три треугольника, а теперь из шести равных палочек сложить четыре равносторонних треугольника. Если долго не получается подсказать, что можно «оторваться» от плоскости стола, приподнять концы трёх палочек вверх. Получили треугольную пирамиду - тетраэдр.

Фрагмент № 7. Урок по теме «Натуральные числа»

Я задумала трёхзначное число. Оно состоит из разных цифр, записанных в порядке возрастания. Все слова в его названии начинаются с одной буквы. Какое число я задумала? (147.) Продолжите ряд, записав трёхзначные числа с использованием тех же цифр. (147, 174, 714, 741, 417, 471.) Вычислите сумму наибольшего и наименьшего из чисел. (147 + 741 = 888)

Какие числа при чтении не изменяются от их переворачивания? (Которые состоят из одинаковых цифр: 111, 22222, 33; и числа, в которых цифры расположены симметрично от цифры стоящей в середине числа: 121, 34543, 6479119746.)

Фрагмент № 8. Урок по теме «Свойства площади»

В начале урока каждый учащийся накладывает фигуры (квадраты, прямоугольники, треугольники) одинаковой формы и размеров друг на друга. Что наблюдаем? (Полное совпадение.) Как можно назвать такие фигуры? (Равные.) Что можно сказать про их площадь? (Площади этих фигур равны.)

Затем каждый учащийся разрезает одну фигуру (лучше, если на одной парте у двоих учащихся будут разные фигуры) на части по указанным линиям, затем из полученных частей собирает другую. Фигуры состоят из одних и тех же частей. Как можно назвать такие фигуры? (Равносоставленные.) Можно ли назвать эти фигуры равными? (Нет). Почему? (Фигуры не похожи друг на друга. Фигуры не совпадут при наложении друг на друга.) Что у этих фигур равно? (Количество частей. Место, занимаемое этими частями, т.е. площадь.) Убеждаемся, что у соседа фигура была другой формы, но из её частей тоже можно составить новую фигуру. Какой вывод можно сделать? 1) Если фигуру А разрезали на несколько частей А1, А2,….Аn, то площадь а равна сумме площадей А1, А2,….Аn, то есть S(A)=S(A1)+ S(A2)+…+S(An) - свойство аддитивности площади.

А теперь парадокс. ([3]) Переставим части квадрата и … получим дырку величиной с целую клетку!

Переставим части треугольника

и получим две дырки величиной

в целых две клетки!

При перестановке частей фигуры даже может получиться фигура большей или меньшей площади! Поменяем положение частей А и С, как показано на рисунке, и … фигура площади 30 превращается в фигуру площади 32.

Из квадрата с площадью64 можно получить прямоугольник с площадью 65.

Предлагается провести исследовательскую работу по этому материалу в рамках проекта «Загадки и свойства площади».

Фрагмент № 9. Урок по теме «Десятичная запись дробных чисел»

На доске написаны дроби:

Прочитайте дроби. На какие две группы их можно разделить? (Правильные и неправильные.) Что интересного заметили? (У всех дробей в знаменателе единица и нули.) Придумайте название таким дробям. (Десятичные.)

Фрагмент № 10. Урок по теме «Сравнение десятичных дробей»

Запись на доске:

0,5 0,71 0,2 0,25

Прочитайте числа в каждой группе. По какому признаку они сгруппированы? Найдите дробь в первой группе, которая обозначает половину целого. Придумайте свои примеры. Есть ли во второй группе такая дробь? Какая дробь из первой группы обозначает число, которое больше половины целого? Придумайте свои примеры. Есть ли такая дробь во второй группе? Какая дробь второй группы обозначает одну четверть? Расположите числа каждой группы в порядке убывания.

0,71 0,5 0,25 0,2

Посмотрим на числа второй группы. Что заметили? Какой вывод можем сделать? Сформулируем правило сравнения десятичных дробей.

Фрагмент №11. Урок по теме «Решение задач»

Предлагается эффективный приём работы: записать условия трёх задач. Сравнить и сделать вывод о том, что все три задачи имеют одинаковый математический смысл.

Задача № 1. Велосипедист за час проезжает 15 км, а мотоциклист - в 3 раза больше. На сколько километров больше проедет мотоциклист, чем велосипедист, за 8 часов?

Задача № 2. на обычном станке рабочий делает 15 деталей в час, а на станке с ЧПУ (числовым программным управлением) - в 3 раза больше. На сколько больше деталей он сделает на станке с ЧПУ, чем на обычном станке, за 8 часов работы?

Задача № 3. масса алюминиевой детали 15 г, а стальной - в 3 раза больше. На сколько масса 8 стальных деталей больше массы 8 алюминиевых?

Краткое условие задач записать в идее таблиц.

v

t

s

15 км/ч

8 ч

? в 3 раза

8 ч

На ? больше

Норма

t

Всего

15 дет

8 ч

? в 3 раза

8 ч

На ? больше

Масса 1 детали

Количество

Общая масса

15 г

8 дет

? в 3 раза

8 ч

На ? больше

Сравните условия задач. Что заметили?

Скорость - сколько пройдено за единицу времени.

Норма - сколько изготовлено за единицу времени.

Масса - какую массу имеет одна деталь.

Расстояние - сколько пройдено за 8 часов.

Всего - сколько изготовлено за 8 часов.

Общая масса - какую массу имеют 8 деталей. Каким действием находится каждая из трёх величин? Что можно сказать про эти задачи?

На примере первой задачи рассмотреть три способа решения:

1 способ

Что нужно знать, чтобы сравнить два расстояния?

Что нужно знать, чтобы найти расстояние?

Можем ли мы найти первое расстояние, второе?

Что нужно знать для того, чтобы найти второе расстояние?

Как найти скорость мотоциклиста?

Составьте план решения. Решите задачу.

15 х 3 = 45 (км/ч) - скорость мотоциклиста.

45 х 8 = 360 (км) - расстояние, пройденное мотоциклистом.

15 х 8 = 120 (км) - расстояние, пройденное велосипедистом.

360 - 120 = 240 (км) - разность. Ответ: на 240 км больше.

2 способ

Подумайте, можно ли решить задачу, не находя расстояний, пройденных велосипедистом и мотоциклистом.

Можем ли узнать, на сколько больше скорость одного, чем скорость другого?

Каждый час мотоциклист будет проезжать на х км больше, на сколько больше он проедет за 8 часов?

15 х 3 = 45 (км/ч) - скорость мотоциклиста.

45 - 15 = 30 (км/ч) - больше скорость мотоциклиста.

30 х 8 = 240 (км) - на столько больше расстояние, пройденное мотоциклистом.

3 способ

Известно ли нам, во сколько раз больше скорость мотоциклиста?

Раз в час мотоциклист проходит в 3 раза больше, значит, за 8 часов он пройдёт в три раза больше.

15 х 8 = 120 (км) - расстояние, пройденное велосипедистом.

120 х 3 = 360 (км) - расстояние, пройденное мотоциклистом.

360 - 120 = 240 (км) - на столько больше расстояние, пройденное мотоциклистом.

Какой способ вам понравился больше?

Решить задачи № 2 и № 3 по вариантам тремя способами.

Предложить учащимся придумать похожие задачи, но с другим содержанием и решить понравившимся способом.

Фрагмент №12. Урок по теме «Деление с остатком»

На доске: 100:8 79:8 144:8 115:8 213:8

Сравните выражения. Что заметили?

(Во всех выражениях делитель равен 8.) Выполните деление.

100 : 8 = 12 (ост. 4) 115: 8 = 14 (ост. 3)

79 : 8 = 9 (ост. 7) 213 : 8 = 26 (ост. 5)

144 : 8 = 18

Прочитайте, какие остатки получились при делении на 8. Какие остатки могут быть ещё при делении на 8? Сделайте вывод. Как сделать проверку? Объясните. Какие остатки могут быть при делении на другие числа? Объясните. Приведите примеры. Может ли остаток быть больше делителя? Может ли остаток быть равен делителю? Сформулируйте правило о величине остатка при делении. Подумайте, можно ли найти делимое по неполному частному, делителю и остатку? Приведите пример. Сформулируйте правило.

Фрагмент №13. Урок по теме «Деление»

На доске: 448 : 32 = 14 448 : 8 = 56

448 : 16 = 28 448 : 4 = 112

Прочитайте выражения разными способами. (Если 448 разделить на 32, получится 14; частное от деления 448 на 32 равно 14; при делении 448 на 32 получается 14; делимое равно 448, делитель - 32, а частное - 14.) Что заметили? (Во всех выражениях делимое равно 448, а делитель кратен четырём.) Можно ли найти значение каждого выражения, пользуясь значением первого выражения? Объясните, как вы это сделали. (Делим на число в два раза меньшее, следовательно, частное получаем в два раза большее. Делим на число в четыре раза меньшее, получаем частное в четыре раза большее, и т. д.) Придумайте похожие выражения.

Фрагмент №14. Урок по теме «Уравнение»

На доске:

а + 34 52 + х х - 13 = 48 с - 57 у + 41

Рассмотрите записи. Выберите лишнее. (х - 13 = 48) Почему вы так решили?

(Это равенство.) Объясните. Кто помнит, как называется такое равенство?

(Уравнение.) Любое ли равенство можно назвать уравнением? Попробуйте дать определение? (Равенство, содержащее неизвестное число, называется уравнением.) Придумайте свои уравнения, в которых неизвестно слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое, делитель. Как найти неизвестное слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множитель, делимое, делитель? Сформулируйте правило, что значит решить уравнение.

Фрагмент №14. Урок по теме «Буквенная запись свойств сложения и вычитания»

На доске:

5 + 7 = 7 + 5 9 - 9 = 0 7 + 0 = 7 8 - 0 = 8

Что вы можете сказать про эти равенства?

(Они выражают свойства сложения и вычитания.)

Какие буквы используются в математике? Попробуйте записать эти свойства при помощи букв самостоятельно. Обсуждаются варианты, предложенные учащимися. Смотрим, что предлагает нам учебник (стр.54). Какие ещё свойства можно записать с помощью букв? Почему свойство вычитания числа из суммы предполагает условие? Объясните.

Фрагмент №15. Урок по теме «Числовые и буквенные выражения»

Заполните таблицу:

Значение а

0

1

2

3

4

5

Значение а + 12

12

13

14

15

16

17

Значение 16 - а

16

15

14

13

12

11

Посмотрите, как изменяются значения первого выражения. Почему?

Что происходит со значениями второго выражения? Объясните, почему?

Посмотрите по таблице, при каких значениях а 16 - а < а + 12?

(При а = 3; 4; 5.)

При каких значениях а 16 - а > а + 12? (При а = 0; 1.)

При каких значениях а 16 - а = а + 12? (При а = 2.)

Фрагмент №16. Урок по теме «Отрезок. Длина отрезка»

П

Аокажите стороны большого треугольника. Назовите их.

Назовите стороны большого треугольника.

Какой фигурой является сторона

треугольника?

Д

ЕЗапишите все отрезки, которые видите.

(АД, АС, СЕ, ДЕ, ДК, КВ, ВС, ДС, СК.

К

С

ВВсего 12 отрезков.)

Какой фигурой является вершина? (Точка.)

Запишите, каким отрезкам принадлежит точка Д? (ДК, ДЕ, ДА, ДВ, ДС, АВ.)

Сколько треугольников на чертеже? (7)

Начертите отрезок АВ = 6 см. Поставьте на нём точку М так, чтобы отрезок АМ был длиннее отрезка МВ.

Начертите отрезок ОК = 9 см. Поставьте на нём точку А так, чтобы отрезок ОА был в 2 раза короче отрезка АК. Объясните своё решение.

Начертите два отрезка так, чтобы они имели одну общую точку.

Сколько вариантов у вас получилось? (4.)

М

М

М

А

А

А

(К)

К

(К)

М

В

К

В

В

В

А

Фрагмент №17. Урок по теме «Плоскость. Прямая. Луч.»

А

АВ и СК - лучи. Они пересекаются? Будут ли пересекаться лучи ВА и КС?

СОбъясните.

К

В

2)

3)

1)

Линии на чертеже - лучи. Обозначьте их так, чтобы на чертеже 1) не было точек пересечения. На чертеже 2) была одна точка пересечения, а на чертеже 3) было как можно больше точек пересечения. Поставьте буквы.

Даны две прямые на плоскости. Сколько точек пересечения у них существует? Покажите точки пересечения. Обозначьте точки пересечения буквами.

Как могут располагаться две прямые на плоскости и в пространстве?

Как могут располагаться три прямые на плоскости и в пространстве?

Нарисуйте все варианты.

Фрагмент №18. Урок по теме «Свойства обыкновенной дроби»

Задача: изменять числитель дроби, сохраняя постоянным знаменатель.

Получаем дроби:
(у каждого ученика - свой ряд). Дроби «прорисовываются».

Дети замечают, что значение дроби становится больше с увеличением числителя.

Формулируется свойство: с увеличением числителя значение дроби увеличивается.

В данном случае доказательство не проводится.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Лучше всего запоминаются наши собственные действия. Это доказал психолог П.И.Зинченко. ([4] стр.116.) При использовании исследовательских методов решения задач на уроках математики в 5 классе, изучаемый материал понимается легче, усвоение происходит гораздо быстрее.

В противном случае, когда изучение темы начинается с представления определений, формул, алгоритмов решения, а затем демонстрации их применения на примерах, то изучение всего теоретического материала воспринимается учащимися как бы впрок, как «не нужный материал», и, следовательно, с неохотой. И наоборот, когда перед учащимися ставится проблема, предлагается провести исследование какой-то ситуации или конкретная задача, которую необходимо решить, то возникает необходимость в дополнительных знаниях. Или если в процессе выполнения каких-либо однотипных заданий прослеживаются закономерности, то создаются условия для обобщения, вывода правил и формул. Процесс обучения превращается в увлекательное занятие. Полученные знания становятся результатом самостоятельной работы в поиске истины. Повышается самооценка, воспитывается способность к анализу и обобщению, прививаются навыки исследовательской работы.

5. БИБЛИОГРАФИЯ

1. Занимательная математика free-math.ru/publ/zanimatelnaja_matematika/zanimatelnaja_matematika/chislo_pi/14-1-0-35

2. muglian.narod.ru/obrtex.html - сайт учителя математики Мугалимовой Л.А.

3. Библиотечка «КЕНГУРУ», 2007. Выпуск №17, стр. 7.

4. Учение с увлечением. С.Л.Соловейчик. - Изд. «Детская литература», 1976г.