Конспект по математике «Использование Информационных Коммуникационных Технологий на уроках математики при изучении определённого интеграла»

Использование Информационных Коммуникационных Технологий на уроках математики при изучении определённого интеграла

Ульянов Савелий,

студент ОГБОУ СПО «Тулунский аграрный техникум»

Руководитель: Гузняков А.В.,

преподаватель математики и физики.

Наша жизнь проходит в электронной среде, где широко используются телекоммуникационные и информационные технологии. Компьютер становится таким же инструментом преподавателя и студента, каким являются ручка и тетрадь.

Особенностью преподавания становится необходимость демонстрации различных форм наглядности на всех этапах урока: при опросе, при объяснении нового материала и в процессе закрепления и систематизации новых знаний и самостоятельной работы студентов.

Возможности среды MS PowerPoint - графический пакет подготовки презентаций и слайд фильмов, позволяет представить учебный материал более ярко, внести новизну, создают экономию времени, освобождая его для индивидуальной работы, для индивидуального общения и для решения большего числа задач. [4;128] Минимальным элементом презентации, в пределах которой осуществляется информационное наполнение, является слайд. Информация, представленная на слайде в виде чертежа, иллюстрации, бесспорно более информативна за счёт цветового выделения и анимации. А значит, труд, затраченный на создание презентации, обеспечивает более полное усвоение информации.

Как заметил педагог, Василий Александрович Сухомлинский: «Учитель готовится к хорошему уроку всю жизнь… Такова духовная и философская основа профессии и технологии труда: чтобы открыть перед учениками искорку знаний, учителю надо впитать море света, ни на минуту не уходя от лучей вечно сияющего солнца знаний, человеческой мудрости».

Изучая на уроках математики интеграл Римана - определённый интеграл, Информационные Коммуникационные Технологии позволяет проследить историю развития интегрального исчисления. [2;101]

Демокрит 5 в. до н.э. Демокрит был философом-материалистом. Создал начало интеграционных приёмов. Рассматривал тела как состоящие из огромного числа мельчайших частей.

Гиппократ Хиосский середина 5 в. до н.э. Нашёл первую точную квадратуру нескольких криволинейных фигур. Предпринял попытку построить квадрат, равновеликий кругу.

Евдокс Книдский 4 в. до н.э. Создал метод определения площадей объёмов и площадей, который в 17 в. был назван методом исчерпывания. В основе теории лежала созданная Евдоксом общая теория отношения величин.

Архимед 3в. до н.э. Лучшие достижения древности в вычислении новых площадей, объёмов, центров тяжести. Впервые применил составление настоящих интегральных «верхней» и «нижней» сумм.

И. Кеплер 17 век. Доказал теорему Архимеда о том, что площадь круга равновелика площади треугольника с основанием, равным длине окружности, и высотой, равной радиусу. Нашёл около сотни новых объёмов тел вращения, главным образом конических сечений.

Б. Кавальери 17 век. Понятию интеграла соответствует «совокупность всех неделимых» фигуры. В случае «криволинейных трапеций» его приём сводится к сравнению сумм вида Y1+Y2+…+ Yn и , y1+y2+…+yn, где все координаты двух кривых Y=F(x) и y=f(x) берутся в точках с одними и теми же равноотстоящими абсциссами и где n - сколько угодно большое натуральное число.

Э. Торричелли, Дж. Валлис и Б. Паскаль занимались упрощением метода неделимых с помощью арифметизации.

П. Ферма. Рассматривая площади, не применял неделимых, но делил площадь на узкие полоски с помощью равноотстоящих ординат. Свой приём П. Ферма назвал логарифмическим, тем самым указав на его связь со свойствами логарифмов.

И. Ньютон и Г. Лейбниц. Создали независимо друг от друга алгоритмы дифференциального исчисления, интегрального исчисления и их основные понятия.

И. Ньютон. Интеграл выступал как неопределённый, как первообразная. Интеграл - флюента, дифференциал - флюксия. Важнейшую роль в интеграциях играло разложение интегрируемой функции в степенной ряд и затем почленное интегрирование ряда. Проводил вычисления, равносильные вычислению некоторых двойных и тройных интегралов.

Г. Лейбниц. Понятие интеграла выступало в форме определённого интеграла, в виде суммы бесконечного числа бесконечно малых дифференциалов. Впервые опубликовал в 1686 г. знак интеграла, где ∫ есть удлинённое S(первая буква слова Summa). Само понятие «интеграл» ввёл Иоганн Бернулли в 1696г. Под термином «интеграл» (от лат. integer - целый, понимают, то есть целая, вся - площадь). [1;219]

Л. Эйлер. Рассматривал интеграл как первообразную. Интеграл с произвольной постоянной назывался полным, с фиксированной постоянной - частным. Существенно развил теорию определённых интегралов.

Огюстен Луи Коши. Впервые аналитически доказал существование определённого интеграла непрерывной функции. Точно определил простейшие несобственные интегралы для неограниченного промежутка интегрирования и для функций с конечным числом точек разрыва.

Михаил Васильевич Остроградский предложил оригинальный приём интегрирования рациональных дробей. Ему также принадлежат формулы преобразования n-кратных интегралов в (n-1)- кратные.

Большое число определённых интегралов вычислил Н.И. Лобачевский.

В.Я. Буняковский открыл широко применяемое неравенство dx

При выявлении подходов к определению определённого интеграла тремя способами - это:

1. Определение определённого интеграла как предел интегральных сумм. Площадь криволинейной трапеции рассматривается как сумма площадей ступенчатой фигуры. [3;88]

2. Определение интеграла от непрерывной функции как приращение первообразной (формула Ньютона - Лейбница). Определённый интеграл равен разности первообразных на концах отрезка. [3;92]

3.Верхние и нижние суммы Дарбу. Определение определённого интеграла даётся как единственное разделяющее число нижней и верхней сумм Дарбу. [3;96]

Есть возможность продемонстрировать сходства и различия этих подходов, эквивалентность этих определений. Существует ряд задач на вычисление интегралов. Например: Задача: вычислить объём пирамиды с высотой H и площадью основания .

Решение: пользуясь свойством сечений пирамиды параллельных сечений составляем пропорцию: S(x) S откуда объём пирамиды равен: Ответ: V=

Теперь хотим рассказать, как можно вычислить определённый интеграл с помощью программы Maple. С помощью подключения пакета программ with (student) мы можем строить графики функций и вычислять определённый интеграл. Maple - одна из наиболее популярных систем символьных вычислений, обладающая превосходной научной графикой. В данной программе вы можете использовать любой шрифт, установленный в вашей системе, изменять размер и начертание шрифта; рисовать таблицы и вставлять рисунки в документы. Возможность внедрять в документы объекты из других приложений (формулы Microsoft Word, таблицы Excel), калькулятор и таблица символов.

Таким образом, считаем, что использование информационных технологий в организации работы на уроке, будут способствовать увеличению познавательного интереса, умение самостоятельно работать с информацией, находить, осмысливать, преобразовывать и, наконец, синтезировать на базе имеющейся информации новые знания - это наиболее перспективное направление развития учебного процесса, которое позволит студентам в дальнейшем выстроить линию самообразования и саморазвития.

Список литературы

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. [Текст]:/ - М.: Просвещение. 2006-384 с.

2. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф. учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. - 2-е изд., стер. - М.: Издательский центр «Академия», 2007. - 384 с .

3. Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Т.1: Математический анализ: введение в анализ, производная, интеграл. - М.: Едиториал УРСС, 2004. - 360 с.

4. Симонович С.В. Специальная информатика. [Текст]:/ С.В. Симонович Евсеев Г.А. Алексеев А.Г. - М.: Аст - Пресс Книга, 2002. - 480 с.