Проектная работа «Топологические фокусы и объекты»

МКОУ «Ильичевская средняя общеобразовательная школа»

Николаевский район Волгоградская область

На районный конкурс

проектных работ

Информационный проект

номинация "Любители точных наук"

«Топологические фокусы и объекты»

Работу выполнил

ученик 6 класса

Валиев Ринат

руководитель: учитель математики

1кв.категории

Батычёк Т.Н.

2013-2014 уч.год

Содержание.

1.Введение.................................................................................................3

2.Глава1.Топология...................................................................................4

1.1 .Что изучает топология………………………………………..4

1.2. История возникновения раздела математики - топология ...4-5

3.Глава2.Лист Мёбиуса.............................................................................6

2.1.Как получить ленту Мёбиуса…………………………………6

2.2.Свойства ленты Мёбиуса……………………………………...6

2.3.Применение ленты Мёбиуса………………………………….6-7

4.Глава3.Топологические фокусы...........................................................8

3.1. Фокусы с лентой Мёбиуса.......................................................8

3.2. Фокус с верёвкой ……….........................................................9

3.3.Фокус с галстуком…………………………………………….9

5.Заключение..............................................................................................10

7.Литература...............................................................................................11

8. Приложения

Приложение№1. Что изучает топология.

Приложения№2. Лист Мёбиуса.

Приложение№3. Фокусы с лентой Мёбиуса.

Приложение№4. Фокус с верёвкой.

Приложение №5. Фокус с галстуком.

Введение.

Тема моей проектной работы выбрана не случайно. На одном из внеклассных мероприятий по математике учитель демонстрировала опыты с бумажной лентой, склеивая её и разрезая определённым образом. Бумажное кольцо превращалось то в два отдельных, то в два сцепленных кольца, в одно большое. Я заинтересовался и решил побольше узнать о фокусах такого рода. Математические фокусы не пользуется особым вниманием ни у математиков, ни у фокусников. Математики рассматривают их как забаву, фокусники считают, что это слишком скучно. В самом деле, математические фокусы очень просты в исполнении, не требуют реквизита, длительной тренировки и особого места для их демонстрации, они не могут держать в напряжении зрителей , так как не слишком эффектны. И всё-таки математические фокусы имеют свою привлекательность.

Математические фокусы - это, скорее всего, научно обоснованный эксперимент. И понять его суть- значит понять некоторую математическую закономерность.

Фокусы, заинтересовавшие меня, носят топологический характер. Топология является одним из самых молодых разделов математики. Появилась она лишь в конце XIX века. Термин «топология» происходит от греческих слов «топос»(расположение) «логос»(учение, наука).

Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать - делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Здесь не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. На этих удивительных свойствах и построены некоторые топологические фокусы.

Гипотеза: сведения о листе Мёбиуса, фокусы, связанные с ним, будут интересны не только моим одноклассникам, но и другим школьникам.

Исходя из этого, цель моей работы заключается в следующем :

познакомиться с наукой топологией, сделать подборку фокусов с листом Мёбиуса.

Задачи:

• изучить литературу по истории возникновения топологии

• проанализировать литературу, затрагивающую тему листа Мёбиуса и фокусов с ним

• провести опыты с листом Мёбиуса

• систематизировать полученный материал

Предмет исследования: топология и её объекты

Глава1. Топология.

1.1.Что изучает топология.

Топология-раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур, которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация - это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний. Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры. Раньше топология носила названия «анализ ситус» (анализ положения). В научно-популярной литературе топологию часто называют «геометрией на резиновом листе», поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию.
Например, с точки зрения топологии, круг, эллипс, квадрат и треугольник обладают одинаковыми свойствами и являются одной и той же фигурой, так как можно трансформировать одну в другую. Сфера (1) может быть преобразована в яйцо (2), ненакачанный мяч (3), куб (4) или деформированный куб (5)(см. приложение№1).

С точки зрения тополога, все фигуры, изображенные на рисунках 1, 2, 3, 4, 5, 6 (см.приложение№1) эквивалентны друг другу и исходной сфере (т.е. считаются равными). Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел к другому. А вот баранка и шар - разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину. Баранка и гайка эквивалентны, т.к. любую из этих фигур можно деформировать и получить другую. А вот кружка и бублик неотличимы.

1.2. История возникновения раздела математики - топология.

Швейцарский математик Л. Эйлер (1707-1783) внёс большой вклад в развитие топологии .В частности, он предложил решение знаменитой задачи о кенигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кенигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава - Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты - линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки - его вершинами, а линии - ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кенигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута. Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах положило формальное начало топологии как разделу математики.

Большой вклад в развитие топологии внесли К.Гаусс (1777-1855) ,И.Листинг (1808-1882), П. Тэйт (1831-1901) и Дж. Александер. В 1840 А. Мебиус (1790-1868) сформулировал так называемую проблему четырех красок, которую впоследствии исследовали О. де Морган (1806-1871) и А. Кэли (1821-1895). Проблема заключается в следующем: можно ли любую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были раскрашены в различные цвета? Проблема четырех красок топологическая, так как ни форма стран, ни конфигурация границ не имеют значения.

Гипотеза о том, что четырех красок достаточно для соответствующей раскраски любой карты, была впервые высказана в 1852. Опыт показал, что четырех красок действительно достаточно, но строгого математического доказательства не удавалось получить на протяжении более ста лет. И только в 1976 К.Аппель и В.Хакен из Иллинойского университета, затратив более 1000 часов компьютерного времени, добились успеха .

Первым же систематическим трудом по топологии были Предварительные исследования по топологии Листинга (1874). Основателями современной топологии являются Г. Кантор (1845-1918), А. Пуанкаре (1854-1912) и Л. Брауэр(1881-1966).

Глава 2. Лист Мёбиуса.

2.1. Как получить ленту Мёбиуса.

Лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году (см.приложение№2). Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. Существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые (топологически они, однако, неразличимы).

2.2.Свойства Ленты Мёбиуса.

Поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это означает, что если взять карандаш и начать вести линию посередине ленты, то эта линия на своем пути пройдет по обеим сторонам листа и вернется в точку начала. Иными словами, если представить себе муравья, миром обитания которого является свернутая кольцом лента Мебиуса, то в сравнении с другим муравьем, живущим, скажем, на сфере, для него нет никакой разницы между внешней и внутренней поверхностью. Так как здесь они гладко переходят одна в другую, так что исчезает само различие между понятиями «внутри» и «снаружи» кольца. Из этого ее свойства следуют удивительные превращения, если ее разрезать вдоль:

• Если разреза́ть ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую называют «Афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты, намотанные друг на друга.

• Если разреза́ть ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более короткая лента Мёбиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами (афганская лента).

• Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.

2.3 Применение ленты Мёбиуса.

Свойства ленты Мёбиуса породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов. Лист Мёбиуса был эмблемой известной серии научно-популярных книг «Библиотечка "Квант"». Он также постоянно встречается в научной фантастике.

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса ( см.приложение№2 рис.2).

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Целую серию скульптур в виде листа Мебиуса создал скульптор Макс Билл (см.приложение№2 рис.3). Довольно много разнообразных рисунков оставил Мауриц Эшер (см.приложение№2 рис.4). Особенно интересна гравюра с изображением муравья, ползающего по Ленте Мебиуса. Мотив Ленты Мебиуса встречается в названиях художественных произведений, общественных заведений, логотипах.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Ленту Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности (∞), т.к. находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

Физики-теоретики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятно, замкнута в ленту Мебиуса.

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка - своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса (см.приложение№2 рис.5). Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Глава3. Топологические фокусы.

3.1 Фокусы с лентой Мёбиуса.

Фокус №1. Сделаем лист Мёбиуса и разрежем его вдоль ленты посередине, пока не вернёмся в исходную точку (см.приложение№3п.1) . Получим одно кольцо, которое вдвое длиннее исходного(см.приложение№3п.1).

Фокус№2. Теперь разрежем ленту Мёбиуса на расстоянии в одну треть ширины от края. Получим два кольца: одно большое и сцепленное с ним маленькое (см. приложение №3п.2).

Фокус №3. Перед склейкой закрутим бумажную ленту на два полуоборота, то есть на 360⁰ . Разрезав её, получим два сцепленных друг с другом кольца(см.приложение№3п.3).

Фокус №4. Трижды перекрутим лист перед склейкой и разрежем его посередине. Получим лист, закрученный узлом(см.приложение№3п.4). Этот же фокус можно повторить следующим образом: трижды перекрученную ленту продеть сквозь перстень, склеить концы, а затем разрезать вдоль посередине. Получится одно большое кольцо с узлом, завязанным вокруг перстня (см.приложение№3п.4).

Фокус №5. Если сделать гармошку, состоящую из одного перегиба, и перед склейкой повернуть конец бумажной ленты на 360⁰, а затем разрезать полученное кольцо посередине, то мы увидим три сцепленных между собой кольца (см. приложение№3п.5).

Фокус №6. В другом варианте фокуса кольцо разрезается на два отдельных кольца, одно из которых при разрезании посередине превращается тоже в два отдельных кольца, а другое- в одно большое. Как приготовить ленту для такого фокуса показано в приложении (см. приложение№3 п.6).

Фокус №7.Если изготовить кольцо так, как показано на рисунке приложения №3п.7, то после первого разрезания получится большое кольцо, размер которого вдвое больше первоначального, а второе разрезание даст два сцепленных между собой кольца.

Фокус №8. Склеим лист Мебиуса, проведём вдоль него посередине линию. Теперь склеим обыкновенное кольцо, на одной из его сторон посередине также проведём линию. Далее склеим лист Мебиуса и кольцо так, чтобы в месте склейки получился крест. Разрезаем кольцо и лист Мебиуса по проведенным линиям. Получилась квадратная рамка(см.приложение№3п.8)

3.2. Фокус с веревкой.

В фокусе с веревкой мы будем завязывать узлы на веревке, но в итоге, потянув за её концы, узел развяжется.

Для данного фокуса нам понадобятся:
1. Веревка (шнур, бечёвка) длиной 30-40 см.;
2. Инструкция, соблюдение которой приведет Вас к верному результату.

Инструкция:
1. Возьмите веревку и завяжите «слабый» узел так, чтобы получилось кольцо (см.рис.1 приложения №4)). Концы веревки вы держите в руках;
2. Завяжите второй «слабый» узел как на рис. 2;
3. Конец веревки, который находится в правой руке необходимо продеть в нижнее кольцо (см.рис.3);
4. Этот же конец веревки проденьте в верхнее кольцо (см.рис. 4).

5. Потяните за концы веревки.

Если вы проделали все в точности как в инструкции, то узел развяжется (см.рис.5 приложения№4).

3.3 Фокус с галстуком.

Занимательный фокус можно продемонстрировать с помощью шнура, шарфа или галстука. Надо уложить галстук на столе так, как это показано на рис.1 приложения №5. Затем взять конец В правой рукой, пропустить левую руку под конец В ладонью вниз (рис.2 приложения №5) , а далее вывернуть её назад и подобрать конец А, как это показано на рис.3приложения№5. После того, как вы разведёте руки, на галстуке получится узел.

Заключение.

Работая над проектом, я узнал, что существует такой раздел математики, как топология. Изучив литературу по этому вопросу, выяснил, что изучает топология, познакомился с лентой Мёбиуса.

Сделал подборку фокусов с листом Мёбиуса, верёвочкой и галстуком (шарфом). Этими фокусами можно увлечь не только любителей математики, но и далёких от неё людей.

Выступив перед своими одноклассниками, я убедился в том, что фокусы на разрезание и рассказ о ленте Мёбиуса вызывает у слушателей живой интерес, то есть моя гипотеза нашла своё подтверждение. В дальнейшем, планирую показать фокусы и рассказать о топологии учащимся 4-5 классов.

Литература.

1. М.Гарднер «Математические чудеса и тайны» , Москва "Наука" 1978 г

2. Энциклопедия для детей «Математика». «Аванта+»2001г.

3. Журнал. Математика в школе № 3 / 2007 г. Лист Мёбиуса. С.31. Н.Никифорова, А.Устинов.

Интернет-ресурсы:

sitekid.ru/matematika/lenta_mebiusa.html

lgroutes.com/femous/Scientific/Mobius.htm

im-possible.info/russian/articles/mobius-strip/mobius-strip.html

Приложения.

Приложение№1.Что изучает топология.

Приложение №2. Лист Мёбиуса.

рис.1 Лист Мёбиуса

рис.2 Международный символ переработки. рис.3 Узел без конца

рис.4 рис.5

Приложение №3. Фокусы с лентой Мёбиуса.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Способ склейки.

7.

Способ склейки.

8.

Приложение№4. Фокус с верёвкой.

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Рис.4

Рис.5

Приложение№5. Фокус с галстуком.

рис.1 рис.2

рис.3

22