Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №3

имени Героя РФ А.Н. Епанешникова»

Елабужского муниципального района Республики Татарстан

Программа элективного курса по математике

«Вокруг Теоремы Виета»

для 8-9 классов в рамках предпрофильной подготовки.

Работу выполнила

учитель математики

Карпова Е.М.

Елабуга 2012 г.

Программа элективного курса по математике

«Вокруг Теоремы Виета»

для 8-9 классов в рамках предпрофильной подготовки.

Пояснительная записка

Курс рассчитан на 15 часов

Элективный курс по предпрофильное подготовке учащихся девятых классов посвящен одной из важных тем: «Квадратные уравнения. Теорема Виета» при решении многих задач в старших классах, например, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств, приходится обращаться к нахождению корней квадратного трехчлена, области значений квадратичной функции, разложению трехчлена на множители, определению знаков корней квадратного трехчлена. Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно не проработанные в общем курсе школьной математики вопросы. Задачи на применение Теоремы Виета включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, ЕГЭ, в конкурсные экзамены при поступлении в Вузы, знание теоремы и умение ее применять дает возможность без больших усилий небольших затрат времени выполнить задание. Предлагаемый курс нацелен на то, чтобы учащиеся восполнили свои пробелы в знаниях и умениях, формировать устойчивый интерес к содержанию деятельности дать ученику возможность проявить себя и добиться успеха. В процессе работы с теоремой Виета у учащихся должны появиться навыки работы с данной теоремой и её следствиями, появилось представление о целесообразности изучения данного вопроса, для успешного обучения в дальнейшем и успешной сдачи экзаменов, а также ориентировать ученика на профессию, связанную с математикой.

Цели курса:

-повышение математической культуры учащихся, выходящей за рамки школьной программы, способствующей мотивации дальнейшего математического образования;

-восполнить пробелы слабых учеников по решению квадратных уравнений, дать ученику возможность проявить себя и добиться успеха;

- показать широкие возможности использования теоремы Виета при решения некоторых задач;

- сформировать понимание необходимости знаний теоремы Виета, для решения большого круга задач, показать широту применения при решении разнообразных задач;

- способствовать интеллектуальному развитию учащихся формирование качеств мышления.

Задачи курса:

-научить учащихся решать квадратные уравнения с параметрами, определять знаки корней квадратного уравнения;

- сформировать умения проводить вычисления в практической жизни;

-привить экономическую грамотность учащихся в процессе быстрого устного счета;

-помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. Выделены несколько групп задач, которые составляют основу изучаемого материала. Каждой группе задач предшествует историческая справка. На первом этапе занятий идет повторение, систематизация и устранение пробелов в знаниях, далее включаются задачи более сложного уровня которые решаются с учителем, а также рассчитаны для самостоятельного решения, для более подготовленных учащихся. Программа включает в себя материал, который не рассматривается в курсе программы общеобразовательной школы, задания составлены от более легких к более сложным, многие занятия сопровождаются опорными конспектами необходимыми для учащихся для решения задач. Предлагаемые задачи встречаются на вступительных экзаменах, на олимпиадах. Основные формы организации: рассказ, беседа, применение опорных конспектов, игры. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать задания для разного уровня подготовки учащихся.

Программа может быть использована в 8- 9 классах с любой степенью подготовки учащихся, так как предполагает переход от элементарных представлений и понятий темы к их углублению и расширению. На первых занятиях предлагается входной тест, выполнив который учащиеся могут проанализировать свой уровень базовых знаний и какого опыта им не хватает. На последнем этапе предлагается итоговый тест, выполнив который каждый так же может проанализировать результаты своей деятельности за все время обучения

В результате изучения курса учащиеся должны:

Знать:

Определение всех видов квадратных уравнений, формулы корней квадратного уравнения,

Теорему Виета, следствия из теоремы Виета, зависимость между знаками корней квадратного уравнения,

Широкий спектр, применения теоремы.

Уметь:

Решать квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, задачи на составление уравнений, определять знаки корней уравнения решать квадратные уравнения с параметрами, определять знаки коэффициентов по графику и по корням квадратного уравнения.

Учебно тематический план

№

Наименование темы занятия

Количество часов

Технология реализации

Тема 1

1

Постановка задач курса. Квадратные уравнения. Общие сведения.

1

Лекция. Практическая работа. Тест.

2,3, 4,

Решение квадратных уравнений с помощью формул.

3

Практическая работа. Самостоятельная работа 15 мин. Тест на закрепление математических понятий, 8 мин.

5

Решение задач при помощи квадратных уравнений.

1

Семинар. Практическая работа. Тест.

Тема 2

1

Франсуа Виет. Теорема Виета. Общие сведения.

1

Лекция. Практическая работа

2,3

Теорема обратная теореме Виета.

2

Опрос. Сам работа 15 мин. Практическая работа.

4

Следствия из теоремы Виета.

1

Исследовательская работа

5

Теорема Виета при определении знаков корней квадратного уравнения.

1

Исследовательская работа. Практическая работа.

6-8

Решение разнообразных задач по всему курсу

3

Практическая работа.

Итого- вые занятия

1

2

- тестирование по всему курсу - игра «Турнир смекалистых».

2

Тест на 45 мин.

Содержание программы.

Тема I. Квадратные уравнения.

Занятие 1. Постановка задач курса. Квадратные уравнения: общие сведения.

Сообщается цель и значение элективного курса. Учащиеся знакомятся с историей возникновения квадратных уравнений, с именами ученых математиков, занимавшихся квадратными уравнениями, повторяют и уточняют знания полученные ранее, убеждаются в необходимости изучения данного курса.

Занятие 2. Решение квадратных уравнений с помощью формул.

Решение уравнений с помощью формул корней квадратного уравнения, вывод формулы для вычисления дискриминанта

при четном втором коэффициенте: D = () ² - ac, x ₁,₂ = ; или

D = (k) ² - ac, х₁,₂ = , связь между коэффициентами квадратного уравнения: А) a + b+ c =0, то x ₁=1, х₂ = ; б) a - b+ c =0, то x ₁= -1, х₂ = - .

На уроке проводится тест на закрепление математических понятий.

Занятие3. Решение рациональных уравнений приводимых к квадратным, уравнений содержащих параметры, нахождение значения параметра, , определяется условие, при которых уравнения с параметром имеет корни, не имеет корни, имеет корни на указанном промежутке.

Занятие 4. Решение задач при помощи квадратных уравнений.

Решение старинных и современных задач при помощи квадратных уравнений. Семинар (1ч) задачи Древней Индии в стихах, которые носят имена, древнегреческого математика Диофанта, индийского математика Бхаскары и задачи решаемые современными математиками, решение таких задач способствует развитию любви к истории, приобщает к исследовательской деятельности,

Занятие 5. Практическая работа по решению уравнений и задач, на уроке проводится тестирование на выработку внимания и умения выделять существенное.

Методы обучения: Лекция, объяснение, решение тренировочных упражнений работа с исторической литературой.

Форма контроля: Входной тест, проверка самостоятельно решенных задач, тест на закрепление математических понятий, тест на закрепление изученного

Тема II. Теорема Виета.

Занятие 1. Франсуа Виет. Теорема Виета. Общие сведения.

Учащиеся знакомятся с биографией ученого, изучают историю возникновения Теоремы Виета, на занятии повторяется определение приведенного квадратного уравнения, вводится формулировка теоремы Виета.

Занятие 2. Теорема обратная теореме Виета.

Вводится формулировка теоремы обратной теореме Виета, учащиеся узнают, что теорему Виета можно применить для любых квадратных уравнений.

Занятие 3. Практическая работа по нахождению корней квадратного уравнения, в конце урока проводится самостоятельная работа с последующей проверкой.

Занятие 4. Следствия из теоремы Виета.

Вывод следствий из теоремы Виета. 1) x₁²+ x₂²=( x₁ + x₂₎² - 2 x₁x₂ = ( -р) ² - 2q = р ² -2q

2) x₁³ + x₂³=( x₁ + x₂₎ ( x₁²+ x₂² - x₁x₂₎₌ -р(р ² -3р) - q(-р) = - р ³ +3рq., работа по применению полученных формул,

Занятие 5. Теорема Виета при определении знаков корней квадратного уравнения.

Вывод зависимости между знаками корней квадратных уравнений, определение знаков коэффициентов по графику и по корням квадратного уравнения.

Занятия 6.7.8 Решение разнообразных задач по всему курсу

На занятиях решаются задачи, включенные в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, ЕГЭ, в конкурсные экзамены при поступлении в Вузы Умение использовать в своей работе теорему Виета позволяет учащимся экономить время, развивает навыки устного счета, развивает сообразительность и смекалку..

Тема 3 . Итоговые занятие (2 часа)

Итоговая контрольная работа поводится в виде тестирования, последнее занятие проводится в нетрадиционной форме, оно нацелено на повышение учебной мотивации.

Методы занятий: лекции, беседы, творческие задания, практическая работа.

Форма контроля: самостоятельные работы по карточкам, кроссворд, итоговый тест.

Методические рекомендации.

Данный элективный курс дает примерный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть школьники. В этот объём входят знания умения, навыки, которые предусмотрены требованиями программы общеобразовательной школы, также предполагается более высокое качество их сформированности. Учащиеся должны научиться решать задачи более высокого уровня по сравнению с обязательным уровнем, сложности.

В каждой теме курса имеются задания для актуализации знаний, и систематизации знаний, это должно способствовать эффективному усвоению предлагаемого курса, можно выполнять упражнения с комментариями учащихся, эта форма исключает возможные ошибки. Сильному ученику комментирование не мешает, среднему дает уверенность, а слабому - помогает. Домашние задания являются обязательными для всех, предлагаются также задания творческого характера.

Проверочные работы рассчитаны на часть урока, одна работа рассчитана на целое занятие, проводятся всевозможные варианты организации деятельности учащихся. Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты или пропускать решение некоторых задач, главное чтобы они были посильны ученикам.

Возможные критерии оценок.

Критерии выставления оценок могут быть следующие: Оценка «отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса; при выполнении домашних работ показал умение работать самостоятельно. Владеет теорией, владеет методикой, сообразительностью, и развивает математическую культуру.

Оценка «хорошо»- учащийся освоил идеи и методы данного курса и справляется самостоятельно со стандартными заданиями, прилежно выполняет домашние задания, имеет положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка «удовлетворительно»- учащийся освоил простые методы и идеи курса, научился самостоятельно выполнять простые задания.

Оценка «неудовлетворительно»- не справляется с решением простых задач, и не проявил интереса к усвоению курса.

Литература.

1. Азевич А.И. «Готовимся к ЕГЭ по математике. Варианты задач и решения. - М.: Школьная Пресса, 2004. -48с.- Библиотека журнала «Математика в школе». Вып. 31).

2. Алтынов П.И., Звавич Л.И. и др. Математика: 2600 тестов и проверочных заданий, для школьников и поступающих в вузы- М.: Дрофа, 1999. 304с.

3. Арсланов Ф.Х. «Сборник задач с методическими рекомендациями». - Казань: КГЭУ, 2001.

4. Альхова З.М, Макеева А.В. «Внеклассная работа по математике. - Саратов: «Лицей», 2001. - 288с.

5. Виленкин Н.Я., Виленкин А. Н., Сурвилло Г.С. и др., Алгебра: для 8 кл.: Учебное пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изучением математики - М.: Просвещение, 1997.- 256с.

6. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Планирование учебного материала для 8 класса с углубленным изучением математики: методическое пособие. - М., 2010. -78с.

7. Гусев В.А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: книга для учителя. -М.: Просвещение, 1984.

8. Глейзер Г. И. История математики в школе. - М.: - Просвещение, 1982.

9. Деревянкин А.В. Числа и многочлены: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ. - М.: 2007. - 72с.

10. Иванова Г.Г. «Нестандартные уроки по алгебре. 7-9 классы». - Волгоград: ООО «Экстремум», 2006. -172с.

11. Качагина М.Н. Математика: Сборник заданий: 9 класс. - М.: Эксмо, 2008-240с. (Государственная итоговая аттестация (по новой форме) : 9 класс)

12. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. - алгебра. 8 класс: учебник для школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: Мнемозина, 2010. -438с.

13. Попырин А.В. «Многочлены». - Елабуга: ЕГПИ, 2003.

14. Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра: дидактические материалы для 8 кл. - М.: Просвещение, 2007-111с.

15. Студенецкая В.Н., Сагателова Л.С. Математика. 8-9 классы: Сборник элективных курсов.- Волгоград: Учитель, 2007. - 205с.

16. Савин А.П., и др. Я познаю мир: Дет. Энциклопедия: Математика - м.: ООО «Издательство АСТ», 2002. - 475 с.

17. Туманов С.И. «Элементарная алгебра», пособие для самообразованияю-М.: Просвещение, 1962.

18. Текстовые задачи для поступающих в ВУЗы (КГТУ, КамПИ, КФЭИ).

Приложение.

ТЕМА 1 . Квадратные уравнения

ЗАНЯТИЕ 1

Квадратные уравнения: Общие сведения.

ЦЕЛИ: изучить историю возникновения квадратных уравнений, повторить и уточнить знания учащихся, закрепить изученный материал. Развитие логического мышления, способности самостоятельно, решать задачи и работать самостоятельно с дополнительной литературой. Привить интерес к предмету, формировать коммуникативные и волевые качества личности.

ХОД УРОКА.

I. Организационный момент.

Довести до учащихся цели и задачи курса.

II. ЛЕКЦИЯ ( читает ученик, задание дано заранее)

Записывать и решать уравнения начали арабы в первом тысячелетии нашей эры. До тех пор решение задач было исключительно арифметическим - из многих действий. В тот момент когда появилась идея находить неизвестное, записав соотношения, которыми оно связано с известными величинами, и затем выразив это неизвестное из этих соотношений, родилась алгебра

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. С чего же все началось? Давайте обратимся к истории.

Впервые квадратные уравнения смогли решить математики Древнего Египта. Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне(около 2 тыс. лет до н.э.) об этом свидетельствует найденные клинописные тексты задач с решениями ( в виде рецептов). Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики. Приёмы решения уравнений без обращения к геометрии даёт Диофант Александрийский (3век). В дошедших до нас шести из 13 книг «Арифметика» содержится задачи с решениями, в которых Диофант объясняет, кА к надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ах=в или ах²=в. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах²+вх=с, где а больше 0, дал индийский ученый Брахмагупта (7 век). В трактате «Китап аль-джебр валь мукабала» хорезмский математик аль-Хорезми разъясняет приемы решения уравнений вида ах²=вх, ах²=с, ах=с, ах²+ с = вх, ах²+вх=с, с+вх= ах² ( буквами а, в и с обозначены лишь положительные числа) и отыскивает только положительные корни. Общее правило решения квадратных уравнений к виду х²+вх=с, было сформулировано немецким математиком М. Штифелем (1487 -1567). Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако свое утверждение он высказывал лишь для положительных корней ( отрицательные числа он не признавал). После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595-1632), а также Декарта и Нъютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

III. Обобщение ранее изученного

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+вх+с=0, где х - переменная, а, в и с - некоторые числа, причем а не равно 0

Числа а, в и с называют коэффициентами квадратного уравнения. Число а - первый коэффициент, число в - второй коэффициент, число с - свободный член.

Рассмотрим случаи, когда а, в или с в квадратном уравнении равны 0

(возможные случаи рассмотреть по таблице).

b=0, c=0

c=0

b=0

ax²=0 -один корень

ax²+bx=0

ax²+c=0

x=0

x (ax+b)=0-два корня

ax²=-c

x₁=0 или ax+b=0

x²=-c/a - два корня, корней может не быть.

x₂=-b/a

Такие квадратные уравнения называются неполными квадратными уравнениями.

IV. Практическая работа.

№1)(устно) Какие из уравнений являются квадратными?

а) х²+2х-3=2х+6,

б) ах³+6х=12,

в) 2х²-11=0,

г) 4,9х²=0,

д) (х-3) (х+12) = х²

№2. Решите уравнения: а) -2 х² +12 = 0, б) 5х²+ 3х = 0

Решение.

а) Это уравнение относится неполным квадратным уравнениям, где b=0 вычисляем ответ по формуле получаем: x²=6, отсюда х= и х=-. Ответ: х₁= и х₂=-. б) Уравнение относится к неполным квадратным уравнениям, где с=0, вычисляем ответ получаем х(5х+3)=0, уравнение имеет два корня х=0, х= - 0,6. Ответ: х₁=0 и х₂= - 0,6.

IV. Входной тест

Укажите правильный ответ, не решая уравнения:

I вариант:

1) x²-1=0

а) 1; б) -1; в) -1;1; г) Нет корней

2) (х-1)²=0

а) -1;1; б) Нет корней; в) -1; г) 1

3) (х-2)²+4=0

а) -4; б) 2; в) Нет корней; г) 4

4) х+2=0

а) 2; б) -2; в) -2;2; г) Нет корней

5) х²+5=0

а) -5; б) -5;5; в) 5; г) Нет корней

6) /-2х/+0,6=0

а) 0,3; б) -0,3; в) Нет корней; г) ± 0,3

II вариант:

1) х²+3=0

а)-3; б)-3 и 3; в) Нет корней г)3

2) (х-2)²+9=0

а) 2; б) -9; в) 5; г) Нет корней

3) х+4=0

а) Нет корней; б) 4 и -4; в) -4; г) 4

4) х² -2=0

а) 2; б) - и ; в) ; г) нет корней

5) (х-7)²=0

а) 7 и -7; б) -7; в) Нет корней; г)7

6) /-3x/+9=0

а) 0,3; б) -0,3; в) Нет корней; г) -0,3 и 3

Правильные ответы:

1 2 3 4 5 6

в) г) в) б) г) в)

"5" - все решено верно

"4" - одна ошибка

"3" - две ошибки

"2" - более двух ошибок

VI. Итоги урока.

Сформулируйте определение квадратного уравнения.

Что значит решить уравнение?

Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

Сформулируйте определение квадратного уравнения.

При каких значениях коэффициента получаем неполное квадратное уравнение? Как решаются неполные квадратные уравнения?

VII. Домашнее задание. №3, 6 на стр. 175 (учебник алгебры 8 класс, автор Н.Я. Виленкин)

ЗАНЯТИЕ 2

Решение квадратных уравнений с помощью формул.

ЦЕЛИ:
вывод и обоснование формулы корней квадратного уравнения и отработка умений применения формулы при решении простейших квадратных уравнений, вывести формулу для случая когда второй коэффициент четное число, развивать навыки работы со второй формулой,
воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения.
развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала.

Ход урока

I. Актуализация знаний

По вариантам класс выполняет задания (уравнения на карточке). Найдите корни уравнения, если они имеются.

Вариант 1

1. (х-3) (х+8) = 0

2. х(х+0,2) = 0

3. х² - 5х = 0

4. 4х² - 1х = 0

5. 3,4 х² =0

6. (4х - 9)² = 0

Вариант 2

1. (х-2)(х+7) = 0

2. (х - 2,3)х = 0

3. 9х² - 4х = 0

4. 0,06 х² = 0

5. х² - 7х = 0

6. (25х + 2)² = 0

Карта взаимопроверки

1

2

3

4

5

6

1 вариант

3 и 8

0 и -0,2

0 и -5

0 и 0,25

0

2,25 и 2,25

2 вариант

2 и 7

0 и 2,3

0 и 4/9

0

0 и 7

-2/25 и -2/25

II. Постановка вопроса и решение проблемы.

1. Решая уравнение 9х² + 513х - 172 = 0, нашли, что оно имеет корни

Выясните, правильно ли решено уравнение.

2. Какие из этих уравнений вы смогли бы решить и как?

Квадратное уравнение ах² + вх + с = 0, а =/0

Полное в0, с0

Неполное в=0 или с=0

х² - 2х + 3 = 0

х² - 2х +2 = 0

х² + 4х + 1 = 0

7х² - 5х + 6 =0

2х² + х - 3 = 0

9х² - 12х + 4 = 0

- 3х² - 2х + 5 = 0

х² - 25 = 0

3х² - х = 0

5х² = 0

А какой способ для решения остальных уравнений?

1. И так на сегодняшнем занятии расширим наши умения решать квадратные уравнения по формуле.

ах² + вх + с = 0.

b² - 4ac = D

Вопросы классу:

Когда можно решить данное уравнение?

Выясняем, что если:

D = 0, то один корень х =

D<0 нет корней

D>0 два корня, находим их.

Х ₁,₂ =( 1)

Алгоритм решения оформим в виде таблицы:

ax² +bx + c = 0

1. a = .., b = …, c = …

2. D = b² - 4ac

3. x ₁,₂ =

или

2. Из основной формулы корней квадратного уравнения можно получить дополнительную формулу, по которой проще вычислить корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом т.е. в=2к, тогда уравнение ах² + вх + с = 0, равносильно ах² + kх + с = 0, где к = b/2 , D/4 =( b/2 ) ² - ac

D = () ² - ac, тогда корни проще вычислять, по формуле: x ₁,₂ =

D = (k) ² - ac, тогда корни проще вычислять, по формуле: x ₁,₂ = ( 2 )

Попробуем воспользоваться формулой при решении уравнений.

6) 9х² - 12х + 4 = 0

D =k ² - ac=36-36=0, один корень

Х=6/9 = 2/3.

Ответ: 2/3.

3. При решении квадратного уравнения существует особая связь между коэффициентами a , b, c квадратного уравнения.

А) a + b+ c =0, то . x ₁=1, х₂ =

Пример: -х² - 2х + 3 = 0. Найдем корни уравнения по общей формуле:

D=(-2)² - 4 (-1) 3 =16 >0,

x ₁=(2-4)/-2 = 1, х₂ =(2+4)/-2 = -3.

Из утверждения А следует, что если a + b+ c =0, то x ₁=1, х₂ = = 3/-1 = -3.

Ответ: x ₁=1, х₂= -3

Б) a - b+ c =0, то x ₁= -1, х₂ = -

Пример: 7х² + 12х + 5 = 0.

D=(12)² - 4 (7) 5 = 144-140 =4 >0,

x ₁=(-12-2)/14 = -1, х₂ =(-12+2)/7 =-10/14 = -

Из утверждения Б следует, что если a - b+ c =0, то x ₁= -1, х₂ = - = - .

Ответ: x ₁= -1, х₂ = -

III. Закрепление

Из таблицы решить уравнения, по одной из формул, желательно, если в - четное, то воспользоваться второй формулой.

4) 7х² - 5х + 6 = 0

1. а = 7, в = -5, с=6

2. D=(-5)² - 4·7·6 = 25 -168<0

Ответ : корней нет.

5) 2х² + х - 3 = 0.

1) а=2, в = 1 , с=-3

D = (1)² - 4*2*(-3) = 1+24 = 25 >0

X1 = -1 - 25 2*2 = -1-5 4 = -6 4= -3 2 = -1,5.

X2 = -1+5 4 = 1.

2) a + b+ c =0, значит: x ₁= 1, х₂ = - 1,5

Ответ: -1,5; 1.

7) - 3х² - 2х + 5 = 0

1) D =k ² - ac= 1+15=16, два корня

Ответ: Х= -5/3, и х = -1.

2) a - b+ c =0, значит: x ₁= -1, х₂ = - 5/3.

Ответ: -5/3; 1.

5. х² + 4х + 1 = 0

D =k ² - ac= 4-4=0, один корень

Х=-2/1=-2

Ответ: -2

8) 3х² - 16х + 5 = 0

D =k ² - ac= 64 - 15 = 49, два корня

x ₁=5, х ₂ = 1/3.

Ответ: x ₁=5, х ₂ = 1/3.

VI. Итоги занятия.

1. Вывод по решению уравнений из таблицы

1. Там где неполное квадратное уравнение, то решать по изученным формулам ранее проще.
2. Где можно использовать формулу квадрату двучлена, лучше ею воспользоваться.
3. Применить формулу (1) или (2).

2. Тест на закрепление математических понятий:

1. Различитель количества корней квадратных уравнений. (Дискриминант).

2. Значение переменной, которое обращает квадратный трехчлен в нуль. (Корень)

3. Квадратное уравнение, в котором старший член равен 1. (Приведенное)

4. Квадратное уравнение, в котором свободный член равен 0. (Неполное)

5. Число, которое стоит впереди переменной. (Коэффициент)

3. Вычеркнуть из таблицы разными цветами буквы каждого слова.

Карточки с буквами у ребят на партах, вопросы диктую всему классу.

Это задание позволяет каждому ученику понять смысл данного понятия, проговаривается при зачеркивании букв каждое слово и запоминается его произношение, концентрируется внимание на смысле данного понятия.

V. Домашнее задание. №1018, 1025 решить по формуле (2). Алгебра Макарычев Ю.Н.

ЗАНЯТИЕ 3

Решение квадратных уравнений с помощью формул.

ЦЕЛИ: отработка навыков умений решать неполные квадратные уравнения и полные квадратные уравнения по формулам,
Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения.
Развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала.

ХОД УРОКА.

I. Организационный момент.

1. Сформулируйте определение квадратного уравнения.

2. Что значит решить уравнение?

3. При каком условии корни квадратного уравнения равны x ₁= 1, х₂ =

4. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

5. При каком условии корни квадратного уравнения равны x ₁= -1, х₂ = -

II. Самостоятельная работа.

На доске записаны уравнения:

1. 3х²-8х+5=0
2. 36х²-12х+1=0
3. 3х²-3х+4=0
4. Х²+6х+9=0

Задание: Найдите дискриминант и заполните таблицу

1

2

3

4

Д=0

c

+

c

+

Д>0

+

C

c

c

Д<0

C

+

c

2 корня

+

1 корень

+

+

Нет корней

+

Полный квадрат

+

+

в-четное

+

+

+

а+в+с=0

+

x ₁

1

1/6

-

-3

х ₂

5/3

1/6

-

-3

III. Решение уравнений.

№1. Решите уравнение.

1. 5х²=6х-1,75;

2.

3.

№2. Уравнения с буквенными коэффициентами называются уравнениями с параметрами

Пример 1. Выясните, при каких значениях параметра а уравнение ах²-5х-7=0 имеет корни.?

Обратим внимание на то, что степень не уточнена.

При а = 0 уравнение будет линейным;

При а ≠0 уравнение будет квадратным, поэтому разберем два случая.

Решение.

Случай 1. Если а = 0, то уравнение примет вид -5х + 7 = 0, х = 7/5.

Случай 2. При а ≠0, то находим D = 25 - 28а, квадратное уравнение имеет корни, если D≥0,

25 - 28а ≥0, а≤ .

Ответ: при ауравнение имеет корни.

Ответ:

при а = 0, и а = уравнение имеет по одному корню,

при а , кроме а = 0 уравнение имеет два корня,

при а> уравнение не имеет корней.

Пример 2. Выясните, при каких значениях параметра к уравнение 5х²-7х+8к=0 имеет корни?

Коэффициент а = 5, в данном примере степень уравнения не зависит от параметра к.

Квадратное уравнение имеет корни, если дискриминант D≥0.

Решение. D = 49 -160к, 49 -160к ≥ 0. к≤

Ответ.

При к = , уравнение имеет один корень,

при к, уравнение имеет два корня,

при к, уравнение не имеет корней.

IV. Закрепление.

1. Выясните, при каких значениях параметра а уравнение имеет два корня.

а) ах²-6х+9=0.

Ответ. а ≠0, при а

б) ах²+2х-11=0

Ответ. а ≠0, при а

в) (а-7)х²-4х+5=0

Ответ. а ≠ 7, а

2. При каких значениях параметра к уравнение имеет один корень.

а) кх²-3х+6=0.

Ответ. к = 0, к = 3/8

б) кх²+12х-1=0

Ответ. к = 0, к = -36

в) (к-5)х²-7х-10=0

Ответ. к=5, к = 29/40

V. Итоги урока.

Какую связь между коэффициентами квадратного уравнения вы знаете? Применяли ли вы их сегодня?

Какие новые уравнения мы сегодня решали?

6. Домашнее задание. Решить № 13, 14 стр.178. (учебник алгебры 8 класс, автор Н.Я. Виленкин)

ЗАНЯТИЕ 4.

ЦЕЛИ: закрепить знания учащихся, полученные при изучении темы, уметь применять формулы для нахождения дискриминанта и корней квадратного уравнения, обработка способов решения квадратного уравнения, выработка умения выбрать нужный рациональный способ решения развитие логического мышления, памяти, внимания, обще-учебных умений, умений сравнивать и обобщать.

Ход урока

I Проверка домашнего задания.

II. Практическая работа.

1. При каком значении т уравнение, обращается в неполное квадратное уравнение? Напишите это уравнение.

а) 3 х² +( т -1)х+ т -4 = 0,

Ответ: т = 1, т = 4,

Уравнение примет вид: 1)3 х² - 3 = 0, 2) 3 х² +3х = 0,

б) 2 х² +( т -9)х+ (т -9) = 0

Ответ: т = 9.

Уравнение примет вид: 1) 2 х² = 0

в) (т -1) х² +( т ²-1)х+7 = 0

Решение. т ≠ 1

Ответ: т = -1.

Уравнение примет вид: 1) -2 х² +7 = 0

г) (т +) х² -5х+ т ²-3 = 0.

Решение. т ≠

Ответ: т =

Уравнение примет вид: 1) 2 х² -5х = 0

III. Выработка внимания и умения выделять существенное.

Предлагается следующий тест на понятие квадратного уравнения и его решения.

Тест №1

I вариант:

1. Уравнение вида ах²+bх+с=0 называется квадратным, если …

2. Сколько корней имеет уравнение х²=а, где а>0?

3. Уравнение рх²+кх+l=0 не является квадратным, если …

4. Выражение в²-4аc называется …

5. Корни квадратного уравнения вычисляют по формуле

6. Если в =2 к, то корни квадратного уравнения ах²+bх+с=0 вычисляют по формуле …

7. Сколько корней имеет уравнение х² = х?

8. При каких значениях m уравнение х² +(m-4)х - 9=0 является неполным квадратным уравнением?

9. Если в квадратном уравнении a - b+ c =0, то x ₁= …., х₂ = ….

10. При к = 0, уравнение кх² + 12х-1=0 имеет ………корня

Ответ.

II вариант:

1. Если а0, то уравнение вида ах²+вх+с=0 называется …

2. Сколько корней имеет уравнение х²=а, где а<0?

3 Уравнение мх²+рх+к=0 не является квадратным, если …

4. Дискриминантом Д называется выражение вида …

5. Корни квадратного уравнения вычисляют по формуле

х1=

х2=

6. Если в=2к, то дискриминант квадратного уравнения ах²+bх+с=0 вычисляют по формуле …

7. Сколько корней имеет уравнение 3х²+8=0?

8. При каких значениях m уравнение (m-3)х²+7х-5=0 не является квадратным уравнением?

9. Если в квадратном уравнении a + b+ c =0, то x ₁=…, х₂ = ….

10. При к = -1 уравнение 2х²+ х - к -1= 0 имеет ……корня.

V. Подведение итогов урока.

VI. Постановка домашнего задания.

Учебник Алгебра 8. автор Виленкин Н. Я. № 22, 17 стр. 179

ЗАНЯТИЕ 5

Решение задач при помощи квадратных уравнений.

ЦЕЛИ: развитие навыков решения задач с помощью уравнений, закрепить знания учащихся, полученные при изучении темы, уметь применять формулы для нахождения дискриминанта и корней квадратного уравнения,

воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры, любви к истории математики и к истории вообще.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Практическая работа.

Из истории возникновения формулы корней квадратного уравнения

Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 г. в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

Задача 1.

"Обезьянок резвых стая
Вcласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

Уже в то время он знал о двузначности корней квадратных уравнений

()² + 12 = x

х²-64х+768=0

D = b² - 4ac, D=4096-3072=1024,

x = , х1= 16, х2=48.

Ответ: 16 или 48 обезьянок.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в "Книге абака", написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. И лишь в XVII веке, благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид, о котором мы с вами говорим сегодня на уроке.

Задача 2. (задача Диофанта, III в) найдем два числа зная, что их сумма равна 20, а произведение 96. Решение. Пусть х - первое неизвестное число, тогда второе число 20 - х. Составим уравнение: х(20-х)=96, которое можно переписать в виде квадратного уравнения х²-20х+96=0. Это уравнение имеет корни 12 и 8.

Сам Диофант избегал решения полного квадратного уравнения. Обозначив искомые числа через 10+х и 10-х, он сводил решение задачи к уравнению (10+х) (10-х)=96, которое можно переписать в виде неполного квадратного уравнения х²=4, имеющего корни 2 и -2. при любом способе решения корни будут 12 и 8.

Ответ 12 и 8.

Задача 3. (задача Диофанта) Пчелы в числе, равном квадратному корню из половины всего их роя, сели на куст жасмина, оставив позади себя восемь девятых роя. И только одна пчела из того же роя кружится возле лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно попавшей западню сладко пахнувшего цветка. Сколько всего пчел было в рое?

Ответ: 72 пчелы.

Задача 4. (Задача индийского математика XII века Бхаскары)

Цветок лотоса возвышался над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определи глубину озера?

Задача 5 (задача нашего времени).

Моторная лодка прошла 42 км. По течению реки и 20 км против течения реки за 5 часов. Найдем скорость лодки в стоячей воде, если известно, чть скорость течения реки на всем участке пути равна 2 км/ч.

Решение: Пусть х км/ч - скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению реки равна (х+2) км/ч, а против течения она равна (х-2) км/ч. Составляем уравнение.

+=5

Перенесем 5 в левую часть, приведем дроби к общему знаменателю, получим квадратное уравнение равносильное данному 5х²-62х+24=0. Корнями этого уравнения являются числа 12 и , но только 12 удовлетворяет условию, следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

Задача 6. Снаряд выпущен вертикально вверх с начальной скоростью v₀=392 м/с. Через какой промежуток времени он окажется на высоте h=5880 м?

Решение. Для решения этой задачи применим формулу для определения высоты тела брошенного вверх за определенный момент времени, изученную ранее на уроках физики. h= h₀+ v₀ t-4,9t² . Пусть h =5880, v₀ =392, h₀ =0.

Получаем 5880= 392 t-4,9t^2.

Делим обе части уравнения на 4,9 и задача сводится к решению квадратного уравнения. Оно имеет те же корни, что и уравнение t²-80 t+1200=0, чтобы решить это уравнение, выделим в левой части полный квадрат и разложим получившееся выражение на множители и получаем (t- 2 0) (t-60)=0 , решая это уравнение, находим два корня t₁=20, t₂=60. Это значит, что снаряд побывает на высоте 5880 м. дважды: через 20с. После выстрела и через 60с, первый раз поднимаясь вверх, а второй раз - падая вниз.

III. Итоги урока.

В каком веке уже решались задачи с помощью квадратных уравнений?

Имена каких ученых вы запомнили?

IV. Постановка домашнего задания. Подобрать исторические задачи, которые решаются при помощи квадратных уравнений и решить их.

ТЕМА 2. Теорема Виета

ЗАНЯТИЕ 1

Теорема Виета. Общие сведения.

ЦЕЛИ: раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами (теорема Виета). Формирование способа конструирования квадратных уравнений по заданным корням;

способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты; развивать исследовательские навыки и самостоятельность путем составления ими уравнений;

научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле; формировать навыки сотрудничества.

Ход занятия

I. Лекция: «Франсуа Виет»(библиографическая справка) читает ученик. Знаменитый математик Франсуа Виет родился в 1540 году (1540-1603) в небольшом городе Фантанеле-Конт на юге Франции. Юрист по образованию, Виет служил при дворе Генриха 9.математикой занимался в часы отдыха. Ознакомившись с учением Коперника, Виет занимался астрономией и решил написать обширный астрономический трактат, но для этого надо было глубоко знать математику. Занявшись изучением математики, он выполнил ряд алгебраических исследований, разработал символику в алгебре, которая известна под названием теорема Виета, он доказал в 1591 году. Люди пользуются этой теоремой уже пятое столетие. Франсуа Виет обладал огромной трудоспособностью, он мог работать по трое суток без отдыха, многие его результаты и открытия достойны восхищения.

Во время войны Франции с Испанией Виет оказал большую услугу своей родине - он расшифровал весьма важное письмо испанского двора. Правители Испании, письмо которых было перехвачено, не допускали мысли, что такой сложный шифр может быть раскрыт. Впоследствии они приписали раскрытие их шифра волшебству чародея. Как аль-Хорезми и математики древней Греции, Виет признавал только положительные числа. Чисел отрицательных, иррациональных (аль-Хорезми признавал иррациональные числа) и мнимых Виет не признавал, что было одним из самых больших недостатков его алгебры. Чтобы избежать отрицательных решений, он изменял условие задачи или применял какой- нибудь искусственный прием решения, отнимавший много сил и времени, часто запутывающий решение. Условные обозначения, которые использовал Виет, позволяли ему много записывать сокращенно, в виде формул. Эти формулы были не совсем удобны, но значительно облегчали действия, придавая им наглядность.

Слово учителя. Притча.

Эта история произошла давным-давно. В древнем городе жил один мудрец, слава о котором прошла по всему городу. Но в этом же городе жил злой человек, который завидовал его славе. И решил он придумать такой вопрос, чтобы мудрец не смог на него ответить. Пошел он на луг, поймал бабочку, сжал ее между сомкнутых ладоней и подумал: «Спрошу-ка я: о, мудрейший, какая у меня бабочка - живая или мертвая? Если он скажет, что мертвая, я раскрою ладони - бабочка улетит, а если скажет - живая, я сомкну ладони, и бабочка умрет. Тогда станет ясно, кто из нас мудрее». Так завистник и сделал: поймал бабочку, посадил ее между ладоней, отправился к мудрецу и спросил его: «Какая у меня бабочка - живая или мертвая?» Но мудрец ответил: « Все в твоих руках…»

Бывают моменты в жизни, когда руки опускаются и кажется, что ничего не получится. Тогда вспомните слова мудреца «Все в твоих руках…»

II. Новый материал.

1591-ый год. Франция. На французском троне король Генрих IV. Идет война с Испанией. Мы в доме французского математика, адвоката по профессии Франсуа Виета (1540 - 1603). Чем же занят хозяин? Он что-то пишет. «Приведенные квадратные уравнения».

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называется приведенным квадратным уравнением x² + px + q = 0

Примеры приведенных квадратных уравнений.

x² - 15x + 14 = 0

x² + 8x + 7 = 0

x² = - 9x - 20

Для решение таких уравнений Франсуа Виета открыл теорему, звучит она так.

ТЕОРЕМА. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней квадратного уравнения равна свободному члену.

x₁ + x₂ = - p,

x₁ ∙ x₂ = q.

И так попробуем научиться пользоваться теоремой при решении уравнений, решим данные уравнения:

1) x² - 15x + 14 = 0

x₁ + x₂ = 15,

x₁ ∙ x₂ = 14.

Ответ: x_1=1, x₂ = 14.

2) x² + 8x + 7 = 0

x₁ + x₂ = -8,

x₁ ∙ x₂ = 7.

Ответ: x₁=-1, x₂ = -7.

3) x² = - 9x - 20

x₁ + x₂ = -9,

x₁ ∙ x₂ = 20.

Ответ: x₁=-4, x₂ = -5.

Вот видите, ребята, мудрец был прав, действительно оказалось все в ваших руках. Вы сегодня сделали такое же открытие, что и великий французский математик Франсуа Виет 414 лет назад.

III. Закрепление изученной темы

№ 1. Решить уравнения двумя способами у доски ((D>0,D=0,D<0) и Теоремой Виета).

а) х² + 5х - 6 = 0; ( x₁= - 6, x₂ = 1.)

б) y² - 10y + 25 = 0; (x₁= 5, x₂ = 5.)

в) х² + 9х - 22 = 0. (x₁= - 11, x₂ = 2.)

№2. Найдите второй коэффициент и свободный член приведенного квадратного уравнения

y² - кy + т = 0, если его корнями являются числа:

а) 10 и -6; б) -3 и -8, в) ; г) .

Ответы:

а) к = -4, т =-60;

б) к =11, т = 24;

в) к =1/10, т = -1/5;

г) к =-7/24, т = -55/96.

№3. Попробуйте сконструировать квадратное уравнение, зная его корни

а) 2 и -3;

(х² +1х - 6 = 0);

б) 1 и 5;

(х² - 6х +5 = 0);

в) -6 и -4;

(х² +10х +24 = 0);

г) -2 и 3.

( х² - 1х - 6 = 0).

IV. Итоги урока.

1. Дать формулировку Теоремы Виета;

2. Когда можно применять?

3. Для чего нужна Теорема Виета?

V. Домашнее задание. ( Учебник: 8 класс. Макарычев Ю. Н. и др.). п. 48, № 1070; 1065

ЗАНЯТИЕ 2.

Теорема обратная Теореме Виета

ЦЕЛИ: Изучить теорему обратную Теореме Виета, дополнить уже известные сведения о квадратных уравнениях, установив зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения, научиться применять её при решении уравнении.

Ход занятия

I. Фронтальный опрос

1) Как называются квадратные уравнения, если коэффициенты b или с равны нулю? …

2) Как называется квадратное уравнение вида х² + px + q = 0? Почему он так называется?

3) Как находить в несложных случаях корни квадратного уравнения подбором

х² + 5х - 6 = 0? …

4) Что определяет количество корней квадратного уравнения? …

5) Как можно выполнить проверку найденных корней при решении квадратных уравнений?

II. Изучение нового материала с помощью наводящих вопросов

Как составить квадратное уравнение по известным его корням? Используя теорему обратную теореме Виета.

Теорема. Если x₁ + x₂ = - p, x₁ ∙ x₂ = q, то х₁ и х₂ - корни приведенного квадратного уравнения х² + px + qx = 0.

А можно ли применять теорему Виета для любых квадратных уравнений?

Как от общего вида квадратного уравнения перейти к приведенному?

Разделить обе части уравнения на а.

ax² + bx + c = 0

x² + bx/a + c/a = 0

x² + px + q = 0, отсюда:

Если х₁ + х₂ = - p= -b/a,

x₁ ∙ x₂ = q = c/a,

то х₁ и х₂ - корни приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0.

Если кому- то трудно выучить теорему в том виде, в котором мы его вывели, то, может быть, вам помогут следующие стихи:

(ориентируемся на запись на доске x² + b/аx + c/а = 0)

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни и дробь уж готова?

В числителе c, в знаменателе a.

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда

В числителе b в знаменателе a.

С помощью этого утверждения можно проверить правильность найденных корней квадратного уравнения, составлять квадратное уравнение по заданным корням, а также, в некоторых случаях, подбором определить их.

III. Работа по закреплению изученного

№1 Докажите, что ни при каких целых значениях p, число 105 не может быть корнем уравнения

х² + p x - 32108 = 0.

Решение. По теореме Виета произведение корней равно -32108, предположим , что 105 корень уравнения, тогда второй корень равен -32108 /105 = - 305,79 047.

Ответ. Нет такого целого числа, при котором число 105 являлось бы корнем уравнения. №2. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2 + и 2 - . Решение. х² - (2 + )+ (2 - ) x + (2 + ) (2 - ) = 0.

х² - 4x + 1 = 0.

Ответ. х² - 4x + 1 = 0.

№3. На доске записаны четыре квадратных уравнения:

1) х² - 4х + 3 = 0; 2) 4х² + х - 3 = 0;

3) 3х² - 21х + 36 = 0; 4) х² + 7х - 10 = 0;

Предлагается самостоятельно найти корни данных уравнений, и первый, кто

выполнил задание, выписывает рядом с уравнением найденные корни, их сумму и произведение.

- Иллюстрацией того, что теорема справедлива не только для приведенных квадратных уравнений, но и для уравнений общего вида, являются второе и третье уравнение из предложенных.

- Следует обратить внимание учащихся на то, что теорема Виета справедлива и тогда, когда квадратное уравнение имеет один корень, просто в этом случае считают, что уравнение имеет два одинаковых корня, к которым и применяют указанные выше соотношения.

IV.Самостоятельная работа с последующей проверкой.

Самостоятельно подбором найти корни уравнений, которые записаны на карточке.

(Задание выполняется учащимися самостоятельно с последующей проверкой, в тетради достаточно записать номер уравнения и найденные корни.)

V. Подведение итогов

В каком случае при решении задач применяется теорема Виета, а в каком - теорема обратная ей?

А можно ли применять теорему Виета для любых квадратных уравнений?

Как от общего вида квадратного уравнения перейти к приведенному?

VI. Домашнее задание. № 28,29,30 по учебнику Виленкин Н. Я., Алгебра 8.

ЗАНЯТИЕ 3.

Практическая работа по использованию теоремы Виета.

ЦЕЛИ: Обобщить и систематизировать изученный материал, закрепить в ходе выполнения упражнении, проверить степень усвоения материала, устранить пробелы в знаниях;

способствовать выработке у школьников умения обобщать изучаемые факты; развивать исследовательские навыки; научить преодолевать трудности, настраиваться на успех в любом деле;

Ход занятия

I. Устная работа.

Составить квадратное уравнение, если известны его корни:

а) 7 и 2;

б) - 2 и 4;

в) - 2 и - 8;

г) - 8 и 3;

д) 1+ и 1 - ;

е) и

II. Практическая работа.

№ 1. Один из корней уравнения х² + px - 35 = 0 равен 7. Найдите другой корень и коэффициент p.

Решение.

7+ x₂ = -р,

7 ∙ x₂ = -35. x₂ = -5 _, р = -2

Ответ: x₂ = -5 _, р = -2

№2. Один из корней уравнения х² + px +54 = 0 равен 6. Найдите другой корень и коэффициент p.

Решение.

7+ x₂ = -р,

6 ∙ x₂ = 54. x₂ = 9 _, р = -16

Ответ: x₂ = 9 _, р = -16.

№ 3. Один из корней уравнения 9х² + 3x - q = 0 равен . Найдите другой корень и свободный член q.

№ 4. Найдите значение b, при котором один из корней уравнения 2 х² +b x +3= 0 в 6 раз больше другого.

№5. Числа x₁ и x₂ являются корнями уравнения x² - 14x -72 =0. Найдите значение выражения:

а) x₁ + x₂ ; б) x₁ ∙ x₂; б) x₁²+ 3x₂x₁ + x₂²

Решение. по теореме Виета

а) x₁ + x₂ = -72, б) x₁ ∙ x₂ =14

в) x₁²+ 2x₂x₁ +x₂² =(x₁ + x₂₎ ² ₌5184

Ответ: а)-72, б) 14 в) 5184

№6. Числа x₁ и x₂ являются корнями уравнения x² - 14x - 72 =0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2 x_{1 и} 2x₂

Решение.

х₁ + х₂ =14

x₁ ∙ x₂ = -72, x₁₌ -4, x_{2 =} 18, значит 2x₁₌ -8, 2x_{2 =} 36

Ответ: x² - 24x - 288 =0

III. Самостоятельная работа. ( с последующей проверкой)

Вариант1

1. Решите уравнение используя теорему Виета:

а) х² + 5x -6 = 0;

б) х² - 4x +3 = 0;

в) -х² +3x - 6 = 0

2. Числа x₁ и x₂ являются корнями уравнения x² - 4x + 2 =0. Найдите значение выражения:

а) x₁ + x₂ ; б) x₁ ∙ x₂; б) x₁²+ 2x₂x₁ + x₂²

3. Числа x₁ и x₂ являются корнями уравнения x² - 4x + 2 =0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 2 x_{1 и} 2x₂

4. Один из корней уравнения х² + px +48 = 0 равен 6. Найдите другой корень и коэффициент p.

Вариант 2

1. Решите уравнение используя теорему Виета:

а) х² + 3x +2 = 0;

б) х² - 4x +2 = 0;

в) -х² +12x - 36 = 0

2. Числа x₁ и x₂ являются корнями уравнения x² - 5x + 2 =0. Найдите значение выражения:

а) x₁ + x₂ ; б) x₁ ∙ x₂; б) x₁²+ 2x₂x₁ + x₂²

3. Числа x₁ и x₂ являются корнями уравнения x² - 5x + 2 =0. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 3x_{1 и} 3x₂

4.Один из корней уравнения х² + px +66 = 0 равен 6. Найдите другой корень и коэффициент p.

IV. Итоги урока. Самоанализ

Какое из заданий далось легко?

Какое задание вызвало затруднение и почему?

V. Домашняя работа. №32, 31. учебник Виленкина за 8 класс.

ЗАНЯТИЕ 4.

Следствия из Теоремы Виета.

ЦЕЛИ: изучить следствие из Теоремы Виета, развить навыки работы с формулами следствия при решении задач.

Ход занятия

I. Проверка домашнего задания.

II.Постановка проблемы и её решение

1. Дано уравнение х² + px + q. Не вычисляя корней, x₁ и x₂найдите, значение выражения:

а) x₁²+ x₂^2; б) x₁³+ x₂³.

Решение.

а) Первый способ.

x₁²+ x₂² = ( x₁ + x₂) ² - 2 x₁x_2.

по теореме Виета

x₁ + x₂ = - р

x₁x_{2 =} q. Тогда x₁²+ x₂²= ( -р) ² - 2q = р ² -2q.

Второй способ.

Та как корни уравнения, то

x₁² + x₁p + q=0

x₂² + x₂p + q=0, тогда x₁²+ x₂²= -р(x₁ + x₂ ) - 2q или x₁²+ x₂²= р ² -2q.

б) Воспользуемся вторым способом. Умножим члены первого уравнения на x₁, а второго на x₂ ( заметим, что x₁₌₀ , x₂₌₀ ). Имеем

x₁³ + x₁²p + q=0

x₂³ + x₂²p + q=0, тогда x₁³ + x₂³= -р(x₁²+x₂²)-q(x₁ + x_2). Используя данные задачи

а) получим x₁³ + x₂³= -р(р ² -2q) - q(-р) = - р ³ +3рq.

Следствия из Теоремы Виета. Пусть x₁ и x₂ корни квадратного уравнения, тогда справедливо:

1) x₁²+ x₂²=( x₁ + x₂₎² - 2 x₁x₂ = ( -р) ² - 2q = р ² -2q

2) x₁³ + x₂³=( x₁ + x₂₎ ( x₁²+ x₂² - x₁x₂₎₌ -р(р ² -3р) - q(-р) = - р ³ +3рq.

III. Закрепление.

1. Дано уравнение x² - 5x + 2 =0. Найдите значение выражения:

а) x₁²+ 2x₂x₁ + x₂² б) x₁²+ x₂² в) x₁³ + x₂³.

Решение.

а) x₁²+ x₂² = р ² -2q=25-4 =21

б) x₁³ + x₂³= - р ³ +3рq= 125 -30 =95.

1. Корни уравнения х² -3аx + а =0 таковы, что выполняется равенство x₁²+ x₂² =7/4.

Найти число а.

Решение .

x₁²+ x₂² = ( x₁ + x₂) ² - 2 x₁x_2., по теореме Виета

x₁ + x₂=4

x₂x₁=а ²,

значит 7/4 = (3 а) ² -а ² , а ²=1/4, а=-+1/2.

Ответ. а=-+1/2.

2. x₁ и x₂ корни уравнения х² +6x + q=0, удовлетворяют условию x₂ =2x_1.

Найдите x₁ и x₂ , q

Решение

Из теоремы Виета следует, x₁ + x₂₌ 3 x₁=-6, т.е. x₁.=-2 и x₂₌ 2 x₁₌-4. Тогда q= x₁x₂₌8

Ответ. x₁=-2, x₂ ,=-4, q=8.

3. Не вычисляя корней уравнения 3х² +8x -1=0, Найдите:

А) x₁² + x₂²

Б) x₁³ + x₂³

в)

Решение. Представим в виде приведенного уравнения х² +8/3x -1/3=0, найдем значение выражения а)x₁² + x₂^{2 =}р ² -2q= 64/9 + 2/3= 64/9 + 6/9 = 70/9= 6

Ответ. а) 6

б) x₁³ + x₂³ = - р ³ +3рq=21

в) == 21

Ответ. а) 6; б) 21 ; в) 21

4. Найдите значение выражения 2 где x₁ и x₂ - корни уравнения х² + х -4 =0.

Решение. По теореме Виета x₁ + x_{2= - ;} x₁ . x₂ =-4. Подставим в данное выражение значение суммы и произведения корней. 2= 8+1 =9

Ответ: 9

5. Найдите значение выражения где x₁ и x₂ - корни уравнения х² + 2003х +2002 =0.

Решение. По теореме обратной теореме Виета, корни данного уравнения x₁= -2002 и x₂₌ -1 и данное выражение приобретает вид = 1

Ответ: 1.

IV. Подведение итогов.

V. Домашняя работа. Алгебра 8 Виленкин Н.Я. № 43, 37. Решить 3 номера из сборника задач

ЗАНЯТИЕ 5

Теорема Виета при определении знаков корней квадратного уравнения.

ЦЕЛИ: Познакомить учащихся с зависимостью между знаками корней квадратного уравнения, сформировать и развить навыки определения знаков корней квадратного уравнения по данному уравнению, и по графику;

Развитие логического мышления, способности самостоятельно решать учебные задачи.

Ход занятия.

I. Работа с учителем (Открытие новых знаний)

1.Изучить уравнения и ответить на вопросы

а) х² + 9x + 14 = 0;

б) х² + 4x - 12 = 0;

в) х² - 3x - 28 = 0

2.Определить знаки корней предложенных уравнений;

а) x₁ >0 и x₂>0

б) x₁ < 0 и x₂ > 0, при этом | x₁ | > | x₂ |

в) x₁<0 и x₂>0, при этом | x₁ | < | x₂ |

3. Если знаки различные, определить, модуль какого корня больше (положительного или отрицательного);

4. Постараться подобрать корни данных уравнений.

а) x₁ = 7 и x₂=2

б) x₁ = - 6 и x₂ = 2|

в) x₁= 4 и x₂ = -7.

После устного обсуждения записать решение уравнений.

Вывод: Что можно сказать о коэффициентах p и q, если

• произведение корней равно нулю;

• сумма корней равно нулю;

• корни разного знака;

• корни одного знака;

• корни - противоположные числа? II. Закрепление

q

p

x₁ > 0;x₂ > 0

+

-

x₁ < 0;x₂ < 0

+

+

x₁ > 0;x₂ < 0

1) | x₁ | > | x₂ |

2) | x₁ | < | x₂ |

-

-

-

+

х₁ * х₂ = 0

x₁ + x₂ = 0

0

-

0

Для закрепления понимания зависимости между знаками корней квадратного уравнения и знаками соответствующих коэффициентов им предлагается самостоятельно заполнить таблицу (поставить знаки "+", "-" или 0).

Эти свойства корней квадратного трехчлена вытекает из Теоремы Виета.

Теорема. Пусть квадратный трехчлен х² + px + q имеет два корня. Тогда:

1. оба этих корня положительны тогда и только тогда, когда p<0, q>0;

2. оба этих корня отрицательны тогда и только тогда, когда p>0, q>0.

Задача 1. При каких значениях k произведение корней квадратного уравнения х² + 3х + (k² - 7k + 12) = 0 равно нулю?

Решение: Из таблицы следует, что произведение корней квадратного уравнения равно =0, при условии , что q=0, найдем значения k при которых q=0, кроме этого должно выполняться условие, что D квадратного уравнения имеет два корня т.е. D=9-4(k² - 7k +1)=9- 4k² + 28k -48= - 4k² +28k -39>0, 4k² -28k +39<0

k² - 7k +12=0, D=1, k₁= 4, k₂=3.

Выполним проверку значений k, при которых значение дискриминанта должно быть отрицательным,

Выполняем проверку и выясняем, что при обоих значениях k дискриминант принимает отрицательные значения.

Ответ k=4 , k=3.

Задача 2. При каких значениях параметра р уравнение х² - 2(р+1) х +9р-5 =0,

имеет два различных положительных корня?

Решение: Для того, чтобы уравнение имело два различных положительных корня, должно выполняться условие 1) D>0, 2) p<0, 3)q>0; .

(2р+2)² - 36 р +20>0, 4 р² -28р +24 >0 р² -7р +6 >0

-2(р+1) <0, p>-1.

9р-5>0, р>5/9;

Решая эту систему получаем.

Ответ: (5/9; 1) и (6; + .))

Задача 3. Дано изображение графика функции у=ах² +вх +6 =0. Определите знаки коэффициентов а,в, с.

Решение: График функции пересекается с осью х в двух точках, значит D>0, ветви параболы направлены вверх, то а >0, по графику видно, x₁<0;x₂ > 0 и | x₁ | > | x₂ |, по таблице определяем, что с<0, в<0.

Ответ: а >0, с<0, в<0.

Задача 4 . Дано изображение графика функции у=ах² +вх +6 =0. Определите знаки коэффициентов а,в, с.

Ответ: а)

б)

в)

III. Подведение итогов.

Повторить таблицу со знаками, условие при которых:

• произведение корней равно нулю;

• сумма корней равно нулю;

• корни разного знака;

• корни одного знака;

• корни - противоположные числа?

IV. Дом. Задание. № 41, 44, 40 . Учебник Виленкина за 8 класс.

ТЕМА 3. Решение разнообразных задач по курсу

ЗАНЯТИЯ 1.

ЦЕЛИ: закрепить навык решения различных задач с применением утверждений о расположении корней квадратного уравнения;

Ход занятия

I. Проверка домашнего задания.

II. Самостоятельная работа.

1.По данным уравнениям заполните таблицу.

Вариант1

Вариант2

1) х² - 6x + 8 = 0

1) х² + x - 6 = 0

2) х² - x - 42 = 0

2) х² - 10x + 21 = 0

3) х² - 8x - 20 = 0

3) х² - 5 x - 6 = 0

Не решая уравнения, определите знаки корней, если корни разных знаков, определить модуль какого корня больше

1

2

3

Вариант 1

x₁

+

- , | x₁ | < | x₂ |

- , | x₁ | < | x₂ |

x₂

+

+

+

Вариант 2

x₁

- , | x₁ | > | x₂ |

+

- , | x₁ | < | x₂ |

x₂

+

+

+

III. Практическая работа

1. При каких значениях а уравнение х² +2(а-1)x + а+5 =0 имеет хотя бы один положительный корень?

Решение. Если один из корней положителен, то другой может быть отрицательным, равным 0 и положительным ( при этом совпасть, а может не совпасть с первым).

f (0) = а+5 < 0, откуда а <-5.

F (0 )= а+5 < 0

х (0) = 1-а > 0, откуда а=-5.

Д = а ^{2 -}3 а-4 ≥0,

F (0 )= а+5 < 0

х (0) = 1-а > 0, откуда а (-5; -1)

Объединяем все три случая, получаем а на промежутке ( -. -1].

Ответ. ( - . -1].

2. Найдите все такие значения а, при которых уравнение ах² +6х +2а+7 =0, имеет один корень.

Ответ: 1; -4,5; -7/8.

3. Найдите все такие значения а, при которых уравнение ах² +8х +а+15 =0, имеет один корень.

Ответ: -5/18; 1; -16.

4. Найдите все такие значения а, при которых уравнение х² -2ах +а²+2а-3 =0,

а) имеет корни разных знаков;

в) имеет два отрицательных корня.

Ответ: а) (-3;1); в) а<-3

5. Найдите все такие значения а, при которых уравнение х² -2ах +а²+2а-3 =0,

а) не имеет корней;

в) имеет положительные корни.

Ответ: а) а>3/2; в) (1;3/2)

IV. Итоги урока.

Найдите все такие значения а, при которых уравнение х² +ах +6 =0, имеет два корня, которые являются:

а) целыми числами;

б) целыми положительными числами.

V. Домашняя работа. Сборник задач 8-9 класс, автор Галицкий, стр 58, № 5.103, 5. 124

ЗАНЯТИЯ 2.

ЦЕЛИ: закрепить навыки решения квадратных уравнений, навыки применения теоремы Виета при решении задач и систем уравнений.

Ход занятия

I. Проверка домашнего задания.

II. Актуализация знаний.

1. устно. Решите по Теореме Виета

а) х² + 9x + 14 = 0; б) х² + 4x - 12 = 0; в) х² - 3x - 28 = 0

2.Докажите, что квадратные уравнения не имеют действительных корней ни при каких значениях переменных к, а, в:

1. (1+к² ) х ²+к²х+2+к²=0,

2. (1+а² ) х ²+ 2х+1+в²=0.

Ответ: ПРИ ЛЮБЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПЕРЕМЕННЫХ, ЗНАЧЕНИЯ ВЫРАЖЕНИЙ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫ.

III. Практическая работа

1. Найдите корни иррационального уравнения х² -( +)х+ =0.

Ответ: ; .

2. Найдите корни иррационального уравнения х² -( +)х+ =0.

Ответ: ; .

3. Найдите корни иррационального уравнения х² -(3+)х+3 =0.

Ответ: 3; .

4. Задача. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны корням квадратного уравнения х² +9х +14 =0.

Решение: S=; где а и в катеты прямоугольного треугольника они равны корням уравнения, по теореме Виета произведение x₁ . x₂ = 14, значит, площадь треугольника равна половине произведения x₁ . x_2.

Ответ: 7.

5. Решите систему,

а) х+у = 24, б) ху = - 0,5,

ху = 63. х+у = -2,5.

Решение: По теореме обратной теореме Виета решениями системы является корни квадратного уравнения х² -24х +63 =0

Используя теорему находим корни. а) (3; 21), (21, 3)

Ответ. а) (3; 21), (21, 3)

б) (1; -1,5), (-1,5; 1).

6. Найдите длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 16, а площадь равна 15м²

Решение

х+у = 8,

ху = 15.

Используя теорему обратную теореме Виета, составляем квадратное уравнение

х² -8х +15 =0 и подбираем корни.

Ответ. а = 3м., в = 5м.

7. Найдите длину средней линии трапеции, длины оснований которой числено равны корням уравнения k² -14k +5=0. (КГТУ)

Решение. Средняя линия трапеции равна полусумме длин оснований. По теореме Виета

x₁ + x₂ =14/. Тогда длина средней линии равна .

Ответ.

IV. Подведение итогов.

1. Как быстро решить систему уравнений вида

х+у = с,

ху = -в.

V. Домашняя работа. Сборник задач по алгебре 8-9 класс. Автор: М.Л. Галицкий. Стр 58, №5.96, 5.101.

1. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 к 15, а гипотенуза равна 6,8 м. найдите площадь треугольника.

2. Парус имеет форму прямоугольного треугольника. На его изготовление ушло 15 м² ткани, длина его, считая по большому катету, на 3,5 м² больше ширины. Какова длина и ширина паруса?

ЗАНЯТИЯ 3.

ЦЕЛИ: обобщить и закрепить умения и навыки решения задач и уравнений.

Ход занятия

I. Проверка домашнего задания.

II. Практическая работа.

1. Решите уравнения.

А) (х² -3х +4) ² - 5х(х-3)-14=0;

Б) (х² +6х)(х ² + 6х+8)=105;

В) 636х² +635х - 1 = 0;

Решение. а-в+с=0, значит х1 = -1 тогда х2=1/636.

Ответ: -1 и 1/636

Уравнения для самостоятельного решения.

Г) 2002х² -2001х- 1 = 0;

Д) (х² -8х+7)(х ² - 8х+15)= -15;

Е) 116 х² +115х -1 = 0.

Ж) х(х+1)(х+2)(х+3)=24.

2. Решите уравнения с буквенными коэффициентами

А) х²-2ах+а²-в² =0;

Решение. D =k ² - ac = а² -а²+ в² =в², Два корня.

x ₁= а-в, х ₂ = а+в.

Ответ: x ₁= а-в, х ₂ = а+в.

Б) х²-2(а+в)х +4ав =0;

Решение. D =k ² - ac = (а+ в)² -4ав = (а-в)², Два корня

x ₁= а+в+а-в=2а, х ₂ = а+в-а+в=2в.

Ответ: x ₁==2а, х ₂ = =2в.

Решить самостоятельно с последующей проверкой.

В) х²-3ах+2 а²=0;

Решение. D =в ² -4 ac =9а² -8а² = а²,Два корня

x ₁= 3а+а=4а, х ₂ =3 а-а=2а.

Ответ: x ₁= 4а, х ₂ = =2а

Г) х(х+3)+а(а-3) =2(ах-1);

х²+3х +а²-3а-2ах+2 =0;

х²+(3-2а)х +а²-3а+2 =0;

Решение. D =в ² -4 ac =9-12а+4а² -4а² +12а-8 =1, Два корня

x ₁= 2а-4, х ₂ =2а-2.

Ответ: x ₁= 2а-4, х ₂ =2а-2

3.Две швеи, работая вместе, выполнят полученный заказ за 6 дней. За сколько дней, каждая из них, работая отдельно, могла бы выполнить заказ, если одной потребуется для этого на 5 дней больше, чем другой?

Ответ. 10 и 15 дней.

4 . Два слесаря выполнили задание за 12 часов. Если половину задания выполнил первый, а оставшуюся часть второй, то первому бы потребовалось времени на 5 ч больше, чем второму. За сколько часов каждый из них мог бы выполнить задание?

Ответ. 30 и 20 часов.

III. Подведение итогов.

IV. Домашняя работа. Сборник задач по алгебре 8-9 класс. Автор: М.Л. Галицкий. Стр 58, №5.75 - 5.140.

ИТОГОВОЕ ЗАНЯТИЕ.

ТЕСТИРОВАНИЕ ПО ВСЕМУ КУРСУ.

ЦЕЛИ: Проверка знаний учащихся и степени усвоения материала курса.

Ход занятия

I. Организация учащихся на выполнение работы.

II. Выполнение работы

ВАРИАНТ I.

1.Решите уравнение 5х - х² = 0.

а) ; б) 0;; в) 17,5; г) 0; 17,5.

2. Решите уравнение (х-5) ² =5(9-2х).

а) 0 и б) ; в) -; ; г) нет корней.

3. Решите уравнение (4-3х) ² =25.

а) 3; ^-; б) -3; ; в) 3; г) 3; -3.

4. Решите уравнение 3х ² -2х -5 = 0.

а) 1,5; -2,5; б) ; ^- ; в) ; -1; г) -1,5; 2,5.

5. При каких значениях т уравнение 4х ² + 2х - т = 0 имеет единственный корень?

а) 0,5;б)- 0,25; в) 0,25; г) -0,5.

6. При каких значениях к и р корнями уравнения к х ² + рх +3 = 0 являются числа 1 и -3?

а) к =1 и р =2;б) к = -1, р=-2; в) к = -1, р=2; г) к = 1, р=-2.

7. Составьте квадратное уравнение с корнями и -

а) х ² +х - 4 = 0;

б) х ² -х - 4 = 0;

в) х ² - х -16 = 0;

г) составить нельзя.

8. Решите уравнение

а) -1; 1,6;б) 1; -1,6; в) 2; -3,2; г) -2; 3,2.

9. Один из корней уравнения 3х ² + вх +4 = 0 равен 1 , а второй корень совпадает с корнем уравнения 2х-3=т. Найдите т.

а) -; б) ; в) ; г) -.

10. Дано уравнение х ² -ах -х + а = 0 (а ≠ 1). Найдите сумму квадратов корней этого уравнения.

а) 4 а ²+4 ;б) 2; в) 2а ² +2 ; г) 1+ а ².

11. Среди данных выберите график функции у = - х ² +4х - 3.

а) б) в) г)

ВАРИАНТ II.

1.Решите уравнение 3х -0,4 х²= 0.

а) ; 0; б) -7,5; 0; в) 7,5; 0 г) -; 0;

2. Решите уравнение (х+4) ² = 2(4х+11).

а) - и б) ; в) -; ; г) нет корней.

3. Решите уравнение (2-5х) ² =9.

а) -5;1;б) 0,2;-1; в) -0,2; 1; г) 5; -1.

4. Решите уравнение 2х ² -5х -7= 0.

а) -0,5; ; б) 0,5; ^--; в) 1; -3,5; г) -1; 3,5.

5. При каких значениях с уравнение 3х ² - 4х +с = 0 имеет единственный корень?

а) ; б) - ; в) ; г) -.

6. При каких значениях а и в корнями уравнения ах ² + вх +10 = 0 являются числа -2 и 5?

а) а =1, в =3;б) а = 1, в =-3; в) а = -1, в = -3; г) а = -1, в =3.

7. Составьте квадратное уравнение с корнями и -.

а) х ² +х + 6 = 0;

б) х ² -х - 6 = 0;

в) х ² + х -6 = 0;

г) составить нельзя.

8. Решите уравнение

а) 1; ; б) -1; -; в) 0,5; ; г) -0,5; -.

9. Один из корней уравнения 5х ² + 3х +с = 0 равен -1 , а второй корень совпадает с корнем уравнения 5х + 4 = р. Найдите р.

а) 2;б) 4; в) 6; г) 5.

10. Дано уравнение х ² + т х - х - т = 0 (т ≠ 1). Найдите сумму квадратов корней этого уравнения.

а) 2 т² + 2 ;б) 2; в) т² + 1; г) 1 - т².

11. Из данных графиков выберите график функции у = - х ² - 2х + 2.

а) б) в г)

III. Проверка работы.

Задание

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

I

г

в

а

в

б

б

а

г

а

г

б

II

б

в

в

г

а

г

б

а

в

в

а

IV. Итоги занятия.

Дидактический материал.

№1. Решите уравнение используя теорему Виета.

уравнение

корни

Х²-7Х+12=0

3; 4

Х²-Х-56=0

8; -7

Х²+2Х-15=0

-5; 3

Х²+5Х-24=0

-8; 3

Х²-12Х+20=0

10; 2

Х²-6Х-16=0

8;-2

Х²-Х-12=0

-3;4

Х²-2Х-3=0

3;-1

Х²-Х-2=0

2;-1

Х²+10Х+24=0

-6;-4

Х²+9Х+20=0

-4;-5

Х²+12Х+35=0

-7;-5

Х²+5Х-6=0

-6;1

Х²-5Х+6=0

2;3

Х²-14Х+48=0

6;8

Х²-2Х-8=0

4;-2

№ 2. Разложите квадратные трехчлены на множители, предварительно решив их.

Квадратный трехчлен

множители

Х²-6Х-7

Х²+7Х-44

Х²+25Х+100

4Х²+28Х+49

9Х²-48х -64

Х²-15Х+26

Х²+3Х-108

Х²+5,9Х+8,5

№3.Теорема Виета применяется при разложении квадратного трехчлена на множители

1. Если дискриминант квадратного трехчлена больше 0, то справедливо

аХ²+ вх +с = а(х-х1)(х-х2).

2) Если дискриминант квадратного трехчлена равен 0, то

аХ²+ вх +с = а(х-х1) ².

3) Если дискриминант квадратного трехчлена меньше 0, то квадратный трехчлен не разлагается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Разложите на множители.

Квадратный трехчлен

множители

Х²-6Х-7

Х²+7Х-44

Х²+25Х+100

4Х²+28Х+49

9Х²-48х -64

Х²-15Х+26

Х²+3Х-108

Х²+5,9Х+8,5

№4. Решите уравнения.

2. 25х²+1=10у

3. х²-10х =-8;

4. (х-1) (х-2) - (х-2) (х-3)=2 (х-2) (х-4);

5. 5а (а+1) = (3а-2) ^2;

6.

7. х² + ( - 2) х -2 = 0;

8. х² + (+) х +2= 0;

№5. Решите уравнения с параметрами.

1. При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня

а) 4х² -2x + а = 0;

б) а х² + 8x + 4 = 0;

в) 2х² +(а- 4)x - 2а = 0

2. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственный корень.

а) х² -аx + 36 = 0;

б) ах² - 6x + 4 = 0;

в) ах² +(а- 6)x - 1= 0.

№6. Найдите сумму корней уравнения х+2 = 3. Ответ: 5

№7. Найдите площадь прямоугольного треугольника, длины катетов которого равны корням уравнения х² - 4х + 8 = 0. Ответ. 4.

№8 .Найдите число удвоенный квадрат которого равен этому числу, уменьшенному в 3 раза.

№9. Произведение двух последовательных чисел в два раза больше меньшего из них. Найдите эти числа.

№ 10. Найдите отношение двух чисел, если квадрат суммы этих чисел в 3 раза больше неполного квадрата разности этих чисел.

№11. При каких значениях к произведение корней квадратного уравнения х² +3x + (к² -7к +12) = 0 равно нулю?

12. При каких значениях к сумма корней квадратного уравнения х² + (к² +4к -5)х - к = 0 равна нулю?

13. В уравнении х²-4x + а =0 сумма квадратов корней равна 16. Найдите а

14. В уравнении х²-2x + а =0 квадрат разности корней равен 16. Найдите а

№15. При каких значениях а сумма корней квадратного уравнения х² -2а(х-1) -1 = 0 равна сумме квадратов его корней?

16. При каких значениях параметра р уравнение х² - 4(р+1) х +3р-5 =0,

имеет два различных положительных корня?

17. Не вычисляя корней уравнения 3х²+8x -1 =0, найдите:

а) x₁²+ x₂² б) x₁ x₂³+x₂ x₁³ в)

18. Не вычисляя корней уравнения 2х² -5x -4=0, Найдите:

А) x₁² + x₂² Б) x₁ x₂⁴+ x₂ x₁⁴в)

19. Дано изображение графика функции у=ах² +вх +6 =0. Определите знаки коэффициентов а, в, с.

Тест для самопроверки.

1)Какое из данных уравнений является квадратным?

а- 2х²-3х=(2х-1)(х-8)
к- х²+7х=6-2х-х
м- 5х-3=0

2) Найди коэффициенты уравнения: 6х²-7х+1=0

е- а = 7, в = -7, с = 0
к- а = 6, в = -7, с = 1
о- а = 1, в = - 7, с = 6

3) Дискриминант какого уравнения равен 25?

б- -2х²+7х+3=0
в- х²-5х+1=0
н- 2х²+7х+3=0

4) Какое уравнение не имеет корней?

г- 7х²+3х-8=0
д - 3х²-7х+2=0
т- 2х²+2=0

5) Найти сумму и произведение корней уравнения: х²+7х-1=0.

б- х₁+х₂= 7, х₁х₂ =1
а- х₁+х₂= -7, х₁х₂ = -1
в- х₁+х₂= 1, х₁х₂ =7

6) Уравнения записаны по определенному признаку. Найти среди них лишние.

А) 4х²-х-3=0
б) 2х²-х=0
в) 2х=0
г) х²-16=0

7) Дано уравнение: х²-9х-17=0. Найти 1/ х₁ + 1/ х_2.

А) 9/17
б) - 9
в) -9/17
г) -17/9

1

2

3

4

5

6

7

к

к

н

т

а

в

в

«Турнир Смекалистых».

Цели:

• повторить формулы нахождения корней квадратных уравнений, формулу Виета, сформировать навыки применения теоремы в нестандартных ситуациях,

• Развитие логического мышления,

• Привить интерес к предмету, сформировать волевые и коммуникативные качества личности.

Ход занятия.

I. Подведение итогов курса, анализ тестирования. Постановка целей и задач данного мероприятия.

II. Турнир « Смекалистых».

Девиз мероприятия. «Книга книгой, а мозгами двигай».

В. Маяковский.

1 тур.

Игра «Математические карты».

Каждая команда открывает карты и отвечает на вопрос. За правильный ответ получает фишку.

Какое уравнение называется квадратным?

Как называется уравнение, в котором коэффициент а=0?

Какое уравнение называется приведенным?

Сколько корней может иметь уравнение вида ах²+вх=0? Назови их.

От чего зависит количество действительных корней квадратного уравнения?

Как читается теорема Виета?

Назовите корни уравнения Х²+10Х+24=0

Как называется квадратное уравнение, в котором свободный член равен 0?

Какие корни называются посторонними?

Чему равны корни квадратного уравнения, в котором сумма коэффициентов равна 0

Какой многочлен называется квадратным трехчленом?

Какое уравнение называется биквадратным?

Как называются уравнения, в которых встречаются буквенные коэффициенты?

Как читается теорема о разложении квадратного трехчлена на множители?

Как читается теорема, обратная теореме Виета?

2 тур.

«Расшифровка».

Левый столбец - задания, правый - ответы к заданиям. В течение 30 секунд вы должны ознакомиться с заданиями и при помощи цифр показать номера ответов, им соответствующих.

Кодокарта

Время истекло. Показываем ответы: получаем слово «параметр».

3 тур.

Кроссворд. «Великие математики».

Найди имена ученых математиков спрятанных в кроссворде.

( баллы набирают по количеству правильных ответов)

(Ответы. Виет. Пифагор. Эвклид. Платон. Стивен.)

4 тур.

«Собери формулы из деталей».

1 команда.

=

4

Х₂

а

В²

Х₁

с

Д

−

·

=

с

2 команда.

х

:

Х₂

=

Х₁

2а

=

Д

−

-в

+

√

-в

5 тур.

« Кто быстрее»

Не решая уравнения, определите знаки его корней.

1. Х²-10Х+21 = 0,

2. Х² +9Х+14 = 0,

3. Х² +7Х -18 = 0,

4. Х²-8Х - 20 = 0,

5. 2Х²- 5Х+7 = 0.

6 тур.

Команды выбирают карточки.

Карточка 1

Не решая уравнения Х²- 2Х - 40 = 0, корни которого Х₁ и Х_2,

найдите значения выражения:

А) x₁² + x₂² Б) (x₁ - x₂₎²

Карточка 2

Не решая уравнения 6Х² +Х - 2 = 0, корни которого Х₁ и Х_2,

найдите значения выражения:

А) (x₁² + x₂² ) ² Б)

III. Подводятся итоги игры. Поздравить команду, набравшую наибольшее количество баллов. Отметить самых активных участников