Работа на тему Большой додекаэдр

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Новоуральская СОШ»

Муниципальная научно-практическая конференция школьников и учащейся молодежи Таврического муниципального района

НОУ «Поиск»

«Большой додекаэдр»

Секция: математика

Выполнила: ученица 11 класса Каримжанова Гульнара Каирбаевна

Руководитель: Головенская Наталья Анатольевна, учитель математики высшей категории

п. Новоуральский,2012г.

Содержание:

1. Введение…………………………………………………….3

2. Основная часть…………………………………………..5-7

   1. Правильные многогранники…………………………5

   2. Звездчатые формы додекаэдра……………………6-7

3. Наши исследования…………………………………….8-10

Задача………………………………………………………8

4. Заключение………………………………..........................10

5. Информационные ресурсы……………………………….11

I. Введение.

МАТЕМАТИКА ВЛАДЕЕТ НЕ ТОЛЬКО ИСТИНОЙ,
НО И ВЫСШЕЙ КРАСОТОЙ - КРАСОТОЙ ОТТОЧЕННОЙ
И СТРОГОЙ, ВОЗВЫШЕННО ЧИСТОЙ
И СТРЕМЯЩЕЙСЯ К ПОДЛИННОМУ СОВЕРШЕНСТВУ,
КОТОРОЕ СВОЙСТВЕННО ЛИШЬ ВЕЛИЧАЙШИМ
ОБРАЗЦАМ ИСКУССТВА.

Бертран Рассел

Актуальность темы

«Возможно, при виде многогранников кто-нибудь спросит: «Какая от них польза?» На это позволительно ответить так: «А разве всё красивое полезно?» Впрочем, нетрудно усмотреть известную пользу, которую приносят многогранники в качестве декоративных украшений. Ими хорошо украсить комнату или праздничный стол. А как красивы блестящие звёзды на ёлке! [2]

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности - от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика, наслаждающегося чтением книги Бранко Грюнбаума «Выпуклые многогранники». Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов (которые можно рассмотреть с помощью электронного микроскопа). Пчёлы строили шестиугольные соты задолго до появления человека, а в истории цивилизации создание многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Пять правильных тел изучали Теэтет, Платон, Евклид, Гипсикл и Папп.»[1],[6]

Цель исследования

Вычислить, какой величины должны быть ребра у правильных треугольных пирамид, чтобы при удалении их из граней икосаэдра с ребром а получился большой додекаэдр.

Задачи исследования

1. Продолжить грани малого звездчатого додекаэдра.

2. Рассмотреть два способа получения большого додекаэдра.

3. Решить задачу о большом додекаэдре.

Методы, используемые в работе:

1. Анализ литературы.

2. Метод моделирования.

3. Метод вычисления.

4. Методы анализа, сравнения и обобщения документации.

Гипотеза: получить фигуру большого додекаэдра можно только если продолжить грани малого звездчатого додекаэдра.

Объект исследования: многогранники

Предмет исследования: большой додекаэдр

Обзор литературы:

Материал для изучения звездчатых многогранников я взяла в книге Винниджер М. «Модели многогранников» М.: Педагогика, 1975. на сайте wenninger.narod.ru. В 2010г. ученик нашей школы Баранцев Тарас продолжил грани додекаэдра и получил фигуру малый звездчатый додекаэдр, которой он посвятил свою научную работу. Я решила продолжить грани малого звездчатого додекаэдра и получить большой додекаэдр. Но, сделав это, поняла, что большой додекаэдр также можно получить, если из граней икосаэдра удалить правильные треугольные пирамиды. Была поставлена задача: какой величины должны быть боковые ребра у этих правильных треугольных пирамид, если ребро икосаэдра а. Мои вычисления я изложила в части III данной работы.

II. Основная часть.

2.1 Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. [3]

Правильные многогранники [4]

Моя работа связана с фигурой додекаэдр.

Додекаэдр

«В известном смысле додекаэдр представляет наибольшую привлекательность среди платоновых тел, соперничая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит). Пожалуй, пальму первенства додекаэдр получает за свои три звёздчатые формы, описываемые ниже». [1]

2.2 Звездчатые формы додекаэдра

Если же обратиться к додекаэдру, продолжив его грани, можно обнаружить, что это приведет к образованию трех различных типов отсеков. Вблизи самого додекаэдра имеется 12 пятиугольных пирамид. Эти пирамиды превращают додекаэдр в малый звёздчатый додекаэдр.

Эту фигуру исследовал в своей научной работе Баранцев Тарас в 2010 году. Я решила продолжить грани этой фигуры. Чтобы наглядно увидеть фигуру, которая получится, я использовала заготовленное на зиму сено, с помощью которого продляла грани малого звездчатого додекаэдра.

При продолжении граней 30 клинообразных отсеков превращают малый звёздчатый додекаэдр в большой додекаэдр. А между отсеками образуются пустоты.

Сделав фигуру, я увидела, что эти пустоты являются правильными треугольными пирамидами.

Стало очевидным, что большой додекаэдр также можно получить из икосаэдра, вырезанием из его граней правильных треугольных пирамид.

Так возник основной вопрос моей работы : какой величины должны быть ребра у правильных треугольных пирамид, чтобы при удалении их из граней икосаэдра с ребром a получился большой додекаэдр.

III. Исследования.

Задача. Какой величины должны быть ребра у правильных треугольных пирамид, чтобы при удалении их из граней икосаэдра с ребром a получился большой додекаэдр.

Возьмем один такой отсек. Он представляет собой правильную треугольную пирамиду в основании которой все ребра равны а .

Найти длину бокового ребра АО.

В правильном пятиугольнике РМОНR величина угла МОН равна

(5-2)·180°:5 = 108° . А значит и вертикальный ему угол АОВ равен 108°. Медиана ОL в равнобедренном ∆АОВ является биссектрисой и высотой. Значит АL = а/2, / ОLA = 90°, / АОL = 54°, а следует / ОАL = 36°.

В сделанной мною работе в 2010-2011г. «Вычисление значений некоторых тригонометрических функций без таблиц и калькулятора» я нашла,

что cos 36° =

О

А а/2 L

В прямоугольном ΔAOL : cos 36°= a/2 : AO = AO = a/2 : cos36° =

= a/2 : = = = =

= = = =

_{ВЫВОД :}

_{Большой додекаэдр можно получить, если из граней икосаэдра с ребром а удалить правильные треугольные пирамиды с ребром}

IV. Заключение

В ходе выполнения нашей работы мы поняли, что фигуру большой додекаэдр можно получить двумя способами :

1способ. Продолжить грани малого звездчатого додекаэдра.

2 способ. Из граней икосаэдра с ребром а удалить правильные треугольные пирамиды с ребром

Вот так с помощью сена мы продолжали грани додекаэдра.

Работа имеет продолжение. Так как если продолжить грани большого додекаэдра, то получим большой звездчатый додекаэдр. Но это уже следующая научная работа.

V. Информационные ресурсы.

1. Винниджер М. «Модели многогранников» М.: Педагогика, 1975.

2. Смирнова И.М. «В мире многогранников» М.: Педагогика, 1990.

3. Энциклопедический словарь юного математика. − М.: Педагогика, 1989.

4. Александров А. Д. «Выпуклые многогранники»- Л., 1950;

5. Литвинова С. А. «За страницами учебника математики», ГЛОБУС,2007г.

6. wenninger.narod.ru