Примеры действий с комплексными числами, решение уравнений

Решение уравнений с комплексными числами

Примеры.

Задача 1. Решите уравнение (2 − i) x + (5 + 6i) у = 1 − 3i

относительно действительных переменных х и у.

Решение. Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду a + bi получаем уравнение, равносильное данному:

(2х + 5у ) + (− х + 6у ) i = 1 − 3i .

Так как два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

Решая эту систему, получаем : х = ; у = .

Ответ: х = ; у = ; .

Задача 2. При каких действительных значениях х и у

комплексные числа z1 = x2 + yi − 5 − и z2 = -у - х2 i - 4i будут сопряженными?

Решение. Комплексные числа z1 = (х2 - 5) + (у + 7i) и z2 = (-у) - (х + 4)i будут комплексно сопряженными, если выполняются условия :

Решая полученную систему, находим: х1 = 2 , у1 = 1 ; х2 = −2 , у2 = 1 .

Ответ: (2;1) ; (−2;1) .

Задача 3. При каких действительных значениях х и у комплексные числа:

z1 = 2x2 - yi −1− и z2 = у -3 + х2i - 2i будут равными?

Решение. Комплексные числа z1= (2х2 -1)+ (3 - y)i, z2 = (у-3) + (х2-2)i будут равными, если выполняются условия:

Решая систему, находим: х1 = −1 , у1 = 4 ; х2 = 1 , у2 = 4 .

Ответ : (-1 ; 4) ; (1 ; 4) .