- Преподавателю
- Математика
- СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ урок по геометрии в 9 классе
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ урок по геометрии в 9 классе
| Раздел | Математика |
| Класс | 9 класс |
| Тип | Конспекты |
| Автор | Немчинова Т.А. |
| Дата | 01.11.2015 |
| Формат | docx |
| Изображения | Есть |
Урок
Скалярное произведение векторов
Цели: познакомить учащихся с понятием угла между векторами; ввести скалярное произведение векторов; рассказать о применении скалярного произведения векторов в физике, механике; развивать логическое мышление учащихся; воспитывать математическую культуру; развивать интерес к математике.
Ход урока
1.Организационный момент. Учащимся сообщается тема и план урока.
2.Актуализация знаний. Цели: повторить действия с векторами, понятие длины вектора
Учащиеся отвечают на вопросы: Повторим действия с векторами: 1.Что мы называем вектором? Какие действия над векторами вы знаете? УСТНО.
Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. В С
какие векторы коллинеарны вектору 
? О
Какие векторы сонаправлены с вектором 
?
Какие векторы равны вектору 
? А Д
-
Изучение нового материала.
Цели: ввести понятия угла между векторами и скалярного произведения векторов, сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов, научить решать задачи. в лекционной форме излагается теоретический материал по теме с помощью опорного конспекта.
Учитель. Сегодня мы познакомимся с еще одним действием над векторами: скалярным произведением векторов. Это понятие тесно связано с таким понятием как угол между векторами, поэтому мы сначала познакомимся с этим понятием.
-
Ввести понятие угла между векторами
и 
Пусть даны два вектора 
и 
. Рассмотрим сначала, случай, когда векторы не являются сонаправленными. От произвольной точки О отложим векторы 
, 
. Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ. Градусную меру этого угла обозначим буквой и будем говорить, что угол между векторами и равен . Угол между векторами и обозначается так( , ).
Угол между векторами
1.Если векторы а и b сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол между векторами равен 0°.
2.Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°
3.Угол между векторами и не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и . 4. Обозначение угла между векторами: 
.
5. Определение углов между векторами на рисунке 301.
Введение еще одного действия над векторами - скалярного умножения векторов. В отличие от суммы и разности векторов скалярное произведение есть число (скаляр) - именно это и обусловило название операции.
9. В тетрадях учащиеся оформляют таблицу:
Определение. Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними
скалярное произведение векторов
Если 
и 
, то
а) (0 ≤ < 90°) <=> (
> 0); б) (90° < ≤ 180°) <=> (< 0);
в) 
<=> ( = 0); г) (= 0°) <=> 
.
10. Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы 
при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы и перемещения 
на косинус угла между ними: 
.
Пример.
. Сos 135° = cos (180° - 45°) = - cos 45° = 
.
Скалярное произведение в координатах
Свойства скалярного произведения векторов:
1) 
≥ 0 ( > 0 при 
0); 2) 
;
3) 
; 4) 
.
III. Закрепление изученного материала.
1. Решить задачи №№ 1039 (а, б, ж, з) и 1040 (а, д, е) по готовым чертежам квадрата и ромба, заранее выполненным на доске.
2. Решить задачу № 1041 (в).
I. Проверочная работа (10 мин).
Вариант I
1. Известно, что 
, где 
и 
- координатные векторы. Выпишите координаты вектора 
.
2. Дан вектор 
(0; 5). Запишите разложение вектора по координатным векторам и .
3. Даны векторы (-1; 2) и (2; 1). Найдите координаты суммы векторов и .
4. Найдите координаты вектора 
, если 
(-3; 0).
5. Даны векторы (5; 6) и 
(-2; 3). Найдите координаты вектора 
.
6. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника.
7. в треугольнике АВС угол А = 45°, АВ = 2, АС = 3. Вычислите 
.
8. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Чему равен угол между векторами и ?
Вариант II
1. Дан вектор 
(3; 0). Запишите разложение вектора по координатным векторам и .
2. Известно, что 
, где и - координатные векторы. Выпишите координаты вектора 
.
3. Найдите координаты вектора -, если (0; -2).
4. Даны векторы (2; -1) и 
(3; -1). Найдите координаты разности векторов и .
5. Даны векторы (-1; 9) и 
(3; -2). Найдите координаты вектора 
.
6. В треугольнике МРQ угол M = 135°; МР = 5, МQ = 2
. Вычислите 
.
7. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.
8. Чему равно скалярное произведение координатных векторов и ?
II. Изучение нового материала.
1. Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.
2. Изучение теоремы о скалярном произведении векторов в координатах и свойств скалярного произведения полезно построить так, чтобы учащиеся сами проводили алгебраические преобразования.
Полученные результаты можно записать в тетради и вынести в настенную таблицу:
Скалярное произведение в координатах
Свойства скалярного произведения векторов:
1) ≥ 0 ( > 0 при 0); 2) ;
3) ; 4) .
III. Закрепление изученного материала.
1. Решить задачу № 1043 (объясняет учитель):
Дано: 
= 8; 
= 15;
АВС = 120°.
Найти: 
.
Решение
Пусть 
; 
, тогда по правилу треугольника 
(или по правилу параллелограмма вектор 
есть равнодействующая сила ).
C = 180° - 120° = 60° (сумма односторонних углов равна 180°). По теореме косинусов из треугольника ВСD найдем ВD:
BD2 = BC2 + CD2 - 2BC ∙ CD ∙ cos C =
= 82 + 152 - 2 ∙ 8 ∙ 15 ∙ 
= 64 + 225 - 120 = 169;
= 169; 
= 13.
Ответ: 13.
5. Решить задачу № 1051. Решение
= 1 ∙ 2 cos 60° + 2 ∙ 2 cos 60° = 2 ∙ + 4 ∙ = 1 + 2 = 3.
Ответ: 3.
6. Решить задачу № 1049 на доске и в тетрадях (для угла А объясняет учитель):
Решение
1) cos A = 
cos A = 
; cos A = , то A = 60°.
2) cos B = 
; 
= 1 + 12 = 13; 
BC = 
= 3,5;
cos B = 
≈ 0,9286; B находим по таблицам Брадиса:
B ≈ 21°47′. 3) C = 180° - 60° - 21°47′ ≈ 98°13′.
Ответ: A = 60°; B ≈ 21°47′; C ≈ 98°13′.
7. Решить задачу № 1052. Решение
= 52 - 2 ∙ 5 ∙ 2 cos 90° + 22 - 42 =
= 25 + 4 - 16 = 13; 
= 13.
Ответ: 13.
8. Решить задачу № 1066.Решение По условию 
.
= 9 ∙ 1 - 24 ∙ 1∙ 1 ∙ 0 + 16 ∙ 1 = 25.
= 25, тогда 
= 5.
Ответ: 5.
I. Математический диктант (10 мин).
Вариант I
1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если 
, а угол между ними равен 120°.
2. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно 0. Определите угол между векторами и .
3. Вычислите скалярное произведение векторов и , если (3; -2), (-2; 3).
4. Найдите угол между ненулевыми векторами (х; у) и (-у; х).
5. Вычислите косинус угла между векторами и 
, если (3; -4), (15; 8).
6. Даны векторы (2; -3) и (х; -4). При каком значении х эти векторы перпендикулярны?
Вариант II
1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если 
, а угол между ними равен 135°.
2. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Определите угол между этими векторами.
3. Вычислите скалярное произведение векторов и , если (-4; 5), (-5; 4).
4. Найдите угол между ненулевыми векторами (х; -у) и (у; х).
5. Вычислите косинус угла между векторами и , если (-12; 5), (3; 4).
6. Даны векторы (3; у) и (2; -6). При каком значении у эти векторы перпендикулярны?
II. Решение задач.
1. Решить задачу № 1025 (б, е, з) на доске и в тетрадях, используя микрокалькулятор.
2. Решить задачу № 1056 на доске и в тетрадях.
Решение
Пусть АВСD - данный ромб. Выразим векторы 
и через векторы 
и 
:
используя эти выражения, получаем:
так как АD = АВ. Следовательно, АС 
ВD, то есть доказали, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
3. Решить задачу № 1042 на доске и в тетрадях.
Решение
АВ = ВС = АС = а; ВD АС.
а) 
cos 60° =
= a ∙ a ∙ = a2;
б) 
cos 120° = cos (180° - 60°) = -cos 60° = -.
в) 
∙ cos 90° = 0, так как cos 90° = 0;
г) 
∙ cos 0° = a ∙ a ∙ 1 = a2.
ответ: а) a2; б) -a2; в) 0; г) а2.
4. Решить задачу № 1050.
Решение
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, тогда
.
= 52 - 2 ∙ 5 ∙ 8 ∙ + 82 = 25 - 40 + 64 = 49, 
; значит,
= 7.
Опорный конспект.
Опорный конспект по теме: «Скалярное произведение векторов»
Повторим действия с векторами: 1.Что мы называем вектором? Какие действия над векторами вы знаете? УСТНО.
Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О. В С
какие векторы коллинеарны вектору ? О
Какие векторы сонаправлены с вектором ?
Какие векторы равны вектору ? А Д
Изучение новой темы. Обозначение угла между векторами: .
1. Угол между векторами и не зависит от выбора точки О, от которой откладываются векторы и .
2. Угол между сонаправленными векторами считается равным нулю.
3.Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°
Задание 1.
Скалярное произведение векторов. Определение. Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Если и , то а) (0 ≤ < 90°) <=> ( > 0); б) (90° < ≤ 180°) <=> (< 0);
в) <=> ( = 0); г) (= 0°) <=> .
Пример. Длина вектора а равна 2, а длина вектора в равна 3 и угол между ними 1350. Найдите скалярное произведение векторов.
Скалярное произведение в координатах
Свойства скалярного произведения векторов: 1) ≥ 0 ( > 0 при 0); 2) ;
3) ; 4) .