МОДЕЛЬ УРОКА ПО ТЕМЕ

«ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Тема: Показательные уравнения

Дидактическая цель: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации, применения их в знакомой и новой учебной ситуациях, проверки уровня усвоения системы знаний и умений средствами технологии модульного обучения.

Тип урока: комбинированный

Цели по содержанию:

Образовательные:

• создать условия для выработки умения решать простейшие показательные уравнения; решать показательные уравнения по заданному алгоритму; решать показательные уравнения, самостоятельно выбирая метод решения и применяя знания в нестандартной ситуации;

• Способствовать понимаю взаимосвязи между различными типами показательных уравнений

Развивающие:

• способствовать формированию умения устанавливать причинно-следственные связи в процессе самостоятельной работы с текстом путеводителя;

• способствовать развитию логического мышления, умений самостоятельно работать, навыков самоконтроля;

• способствовать развитию умения анализировать и оценивать свое владение системой знаний по теме

Воспитательные:

• способствовать формированию у обучающихся понятий о научной организации труда;

• способствовать воспитанию трудолюбия, аккуратности; развитию математически правильной устной и письменной речи

Уровневые цели для обучающихся

I уровень - решать простейшие показательные уравнения и уравнения вида а^f(х) = а^g(х), решать показательные уравнения методом разложения на множители

II уровень - решать уравнения методом сведения к квадратному и однородные уравнения второй степени

III уровень - решать показательные уравнения , самостоятельно выбирая метод решения (применяя знания в нестандартной ситуации)

Методы: репродуктивный, частично-поисковый

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная

Технология: модульного обучения

Средства обучения: путеводитель для обучающихся; учебник А.Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.»; Б.М. Ивлев и др. «Дидактические материалы по алгебре и началам анализа», М., Просвещение, 2000г.

Ход урока

Этапы

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

1. Оргмомент

Приветствует обучающихся, проверяет готовность к уроку, наличие на столах оценочных листов и путеводителей.

Приветствуют учителя, сообщают о наличии оценочных листов и путеводителей.

2. Целеполагание и мотивация

Объявляет тему. Предлагает сформулировать цели урока, прочитав цели учебных блоков. Записывает на доске цели по уровням.

Работают с путеводителями, формулируют цели, определяют для себя объем работы на уроке и записывают цели в тетрадь.

3. Актуализация

Задает обучающимся вопросы учебного блока №1.

Обобщает ответы обучающихся

Работают устно с учителем, отвечают на вопросы путеводителя (учебного блока №1).

4. Первичное усвоение, осознание и осмысление учебного материала, систематизация и применение знаний и умений, проверка уровня усвоения (см.путеводитель)

1. Напоминает суть работы с путеводителем. Объясняет, что оценка за урок (т.е. за весь модуль) зависит от суммы n набранных баллов по всем учебным блокам.

Если n≥20, то ученик получает «5»

При 13≤n≤19 - оценка «4»

При 7≤n≤12 - оценка «3» и

при n<7 - оценка «2»

2. Консультирует обучающихся, координирует их деятельность, по завершении самостоятельных работ демонстрирует ученику эталон ответа.

Слушают

Работают с путеводителем, заполняют оценочные листы

5. Рефлексия

Предлагает оценить свою деятельность на уроке, оценку поставить в оценочный лист. Предлагает дополнить предложения блока №7.

Работа с текстом путеводителя (блок №)

6. Домашнее задание

Предлагает записать домашнее задание в зависимости от достигнутых результатов на уроке

Обучающиеся записывают уровневое домашнее задание

Приложение №1

Оценочный лист

Фамилия

Имя

Учебный блоки

Кол-во баллов за основные задания

Кол-во баллов за корректирующие задания

Общее кол-во баллов за этап

№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7

Итоговое количество баллов

Оценка

Приложение №2

Оформление доски

На обратной стороне:

Если n≥20, то ученик получает «5»

При 13≤n≤19 - оценка «4»

При 7≤n≤12 - оценка «3» и

при n<7 - оценка «2»

Показательные уравнения

Цели:

1 уровень…

2 уровень…

3 уровень…

а) y=2^х

б) y=2^х

в) y=(2)^х

г) y=(х-2)³

д) y=π^х

е) y=,3^х

П У Т Е В О Д И Т Е Л Ь

Учебный блок № 1

Цель: Повторить свойства показательной функции

Указания учителя:

Поработай устно с учителем. За каждый верно данный ответ поставь в оценочный лист 1 балл.

1. Какая функция называется показательной? Приведи пример.

2. Какие из перечисленных ниже функций являются показательными?

а) y=2^х г) y=(х-2)³

б) y=х² д) y=π^х

в) y=(2)^х е) y=,3^х

3. Какие из названных вами показательных функций являются возрастающими? Какие убывающими?

4. Изобразите схематически графики показательных функций в зависимости от основания а (1 ученик у доски).

5. Какова область значений показательной функции?

6. Есть ли среди значений показательной функции наибольшее? Наименьшее?

7. Назовите область определения показательной функции.

Учебный блок № 2

Цель: Решать простейшие показательные уравнения и уравнения вида а^f(х) = а^g(х)

Указания учителя:

Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным.

Простейшим примером показательного уравнения служит уравнение а^х=b, где а>0, а≠1.

Если b≤0, то это уравнение не имеет корней, т.к. Е(а^х)=R₊

Если b>0, то уравнение а^х=b имеет единственный корень.

Решение показательного уравнения вида а^f(х) = а^g(х) (где а>0, а≠1) основано на том, что это уравнение равносильно уравнению f(х) = g(х).

Внимательно разберись в данных ниже примерах.

Пример 1.

5^х = -5

Решение: Это уравнение не имеет корней, т.к. -5Е(а^х), т.е. -5(0;+∞).

Ответ: корней нет.

Пример 2.

Решить уравнение 7^х-2=1

Решение: Заметим, что 1=а⁰, где а>0, а≠1. В нашем уравнении а=7. Поэтому данное уравнение можно записать в виде 7^х-2=7⁰

Теперь приравниваем показатели

х-2=0

х=2

Ответ: х=2

Пример 3.

Решить уравнение (3/2)^3х-5 = (2/3)^-х+1

Решение: Заметим, что 2/3=(2/3)^-1

Значит, данное уравнение можно записать в виде (3/2) ^3х-5 = ((2/3)^-1)^-х+1

В правой части - возведение степени в степень, поэтому основание остается 3/2, а показатели нужно перемножить, т.е. -1(-х+1)=х-1

(3/2) ^3х-5 =(3/2)^х-1

3х-5=х-1

3х-х=-1+5

2х=4

х=2

Ответ: х=2

Выполните письменно самостоятельную работу (10 минут)

Задание для самостоятельной работы

1 вариант

2 вариант

а) 2^х-1=0 (1 балл)

а) 4^х-9=-4 (1 балл)

б) 3^х-4=1 (1 балл)

б) 0,8^2х-3=1 (1 балл)

в) 2^7-3х=(1/2)^х-4 (2 балла)

в) (2/9)^2х+3=(9/2)^х-2 (2 балла)

ПОМНИ:

1. Е(а^х)=R₊=(0;+∞)

2. 1=а⁰, где а>0, а≠1

3. а^-1=1/а; (а/b)^-1=b/а

Если вы выполнили работу, то поднимите руку и возьмите правильные ответы у учителя. Исправьте свои ошибки и проставьте число заработанных баллов в оценочный лист в графу «основные задания».

Если вы набрали 4 балла, то переходите к следующему блок.

Если же у вас набрано менее 4 баллов, то прорешайте задание другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка и проставьте набранные баллы в графу «корректирующие задания».

Учебный блок № 3

Цель: Сформировать умение решать показательные уравнения методом разложения на множители.

Указания учителя:

Часто при решении показательных уравнений применяется метод разложения на множители, в частности вынесения общего множителя за скобки. При этом применяется свойство умножения степеней с одинаковым основанием а^х · а^y = а^х+y

Пример.

Решить уравнение 3^х+1-2·3^х-2=75

Решение: Заметим, что 3^х+1=3^х·3¹, а 3^х-2=3^х·3^-2 , а значит данное уравнение можно записать в виде 3^х·3¹-2·3^х·3^-2=75

В левой части есть общий множитель 3^х, вынесем его за скобки, получим:

3^х(3-2·3^-2)=75, т.к. 3^-2=1/3²=1/9, то

3^х(3-2·1/9)=75

3^х(3-2/9)=75

Считаем в скобках, получили 2 7/9

3^х·2 7/9=75 | : 2 7/9

3^х=75/1:2 7/9

3^х=75/1:25/9

75·9

3^х= ----------

1·25

3^х=27, т.к. 27=3³, то 3^х=3³

х=3

Ответ: х=3

Выполните письменно самостоятельную работу

Задания для самостоятельной работы (10 минут)

1 вариант

2 вариант

а) 2^х+2+2^х=5 (1 балл)

а) 3^х+2+3^х=30 (1 балл)

б) 5^х+1-2·5^х-2=123 (2 балла)

б) 5·9^х+9^х-2=406 (2 балла)

Проверьте и оцените свою работу, правильные ответы возьмите у учителя. Исправьте ошибки, если они есть; проставьте количество баллов в оценочные листы.

Если вы набрали 3 балла, то переходите к следующему этапу, если же меньше, то решайте задание другого варианта, аналогично тому, в котором ошиблись.

Учебный блок № 4

Цель: Сформировать умения решать уравнения методом сведения к квадратному.

Указания учителя:

Молодцы! Вы прошли 1 уровень усвоения материала.

Пример 1.

Решить уравнение 4^х+2^х+1-24=0

Решение: Т.к. 4^х=(2²)^х=(2^х)², а 2^х+1=2^х·2¹, то данное уравнение можно записать в виде:

(2^х)²+2^х·2¹-4=0

Пусть 2^х=t, тогда (2^х)²=t²

t²+t·2-24=0

t²+2t-24=0

а=1, b=2, с=-24

Д=b²-ас; Д=2²-4·1·(-24)=4+96=100

-b√Д

t=-----------

2а

-2+10

t₁=----------=4

2

-2-10

t₂=-----------=-6

2

Возвращаемся к подстановке 2^х=t. Если t=4, то

2^х=4

2^х=2²

х=2

Если t=-6, то 2^х=-6, корней нет, т.к. -6(0;+∞)

Ответ: х=2

Пример 2.

Решить уравнение 1/2·2^х-1+2^3-х=3

Решение: Т.к. 2^х-1=2^х·2^-1, а 2^3-х=2³·2^-х

То данное уравнение можно записать в виде:

1/2·2^х·2^-1+2³·2^-х=3

1/2·2^х·1/2+8·2^-х=3

1/4·2^х+8·2^-х=3

Пусть 2^х=t, тогда 2^-х=(2^х)^-1=t^-1=1/t

1/4·t+8·1/t=3

t/4+8/t-3/1=0

t²+32-12t

----------- =0 |·4t, 4t0

4t

t²+32-12t=0 t²-12t+32=0

Д=144-128=16

12+4

t₁=---------=8

2

12-4

t₂=----------=4

2

Возвращаемся к подстановке 2^х=t. Если t=8, то

2^х=8

2^х=2³

х=3

Если t=4, то

2^х=4

2^х=2²

х=2

Ответ: х=3, х=2

Выполните письменно самостоятельную работу

Задание для самостоятельной работы (15 минут)

1 вариант

2 вариант

а) 4^х-3·2^х=40 (2 балла)

а) 9^х-2·3^х=63 (2 балла)

б) 3^1-х-3^х=2 (3 балла)

б) 2^2-х-2^х-1=1 (3 балла)

Проверьте свою работу, взяв правильные ответы у учителя. Проставьте набранные баллы в оценочный лист.

Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему блоку. Если меньше, то прорешайте соответствующее задание другого варианта.

Учебный блок № 5

Цель: Сформировать умение решать однородные уравнения второй степени.

Указания учителя:

Уравнение вида а·р²+b·pq+с·q²=0, где а, b и с - коэффициенты, а р и q -неизвестные, называется однородным уравнением 2 степени. Оно имеет решения p=0, q=0. Если q0, то, разделив левую и правую части однородного уравнения на q², получится квадратное уравнение относительно переменной s=р/q

аs²+bs+с=0 (можно также делить на p², если р 0)

Пример.

Решить уравнение 9^х+12^х-2·16^х=0

Решение: Это уравнение можно записать в виде: (3^х)²+3^х·4^х-2·(4^х)²=0

Значит, это однородное уравнение второй степени. Его можно свести к квадратному, разделив обе части либо на (3^х)², т.е. на 9^х, 9^х0, либо на (4^х)², т.е. на 16^х, 16^х0. Для определенности для себя решили, что будем делить обе части уравнения на степень с меньшим основанием, в нашем случае на 9^х, 9^х0

9^х+12^х-2·16^х=0 |: 9^х, 9^х0

9^х 12^х 2·16

--- +---- - ------ = 0

9^х 9^х 9^х

1+(12/9)^х-2·(16/9)^х=0

Дробь 12/9 сократим на 3, получим 4/3 и заметим, что 16/9=(4/3)², получим 1+(4/3)^х -2·(4/3)^2х=0

Пусть (4/3)^х=t, тогда (4/3)^2х=t²

1+t-2 t² =0

-2 t² + t+1=0 |· (-1)

-2 t² - t-1=0

Д=1+8=9

1+3

t₁=--------=1

4

1-3

t₂=--------=-1/2

4

Возвращаемся к подстановке (4/3)^х=t

Если t=1, то (4/3)^х=1

(4/3)^х=(4/3)⁰

х=0

Если t=-1/2, то (4/3)^х=-1/2

Корней нет, т.к. -1/2(0; +∞)

Ответ: х=0

Выполним письменно самостоятельную работу

Задание для самостоятельной работы (15 минут)

1 вариант

2 вариант

а) 3·25^х-8·15^х+5·9^х=0 (2 балла)

а) 2·9^х-5·6^х+3·4^х=0 (2 балла)

б) 2·25^х-7·10^х=-5·4^х (3 балла)

б) 2·81^х-5·36^х=-3·16^х (3 балла)

Проверьте свою работу, взяв правильные ответы у учителя. Проставьте набранные баллы в оценочный лист.

Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему блоку.

Если меньше, то прорешайте соответствующее задание другого варианта.

Учебный блок № 6

Молодцы! Вы освоили решение заданий 2 уровня сложности. Теперь вам самостоятельно придется выбрать метод решения уравнений.

Задание для самостоятельной работы

а) 3^х-4·3^х/2+3=0 (2 балла)

б) 9^х+1-13·6^х+4^х+1=0 (3 балла)

в) 4^-х+1/2-7·2-х=4 (3 балла)

Указания учителя:

Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов. Проставьте баллы в оценочный лист. Оцените свои работы.

Учебный блок № 7

Цель: Оцените результаты своей деятельности

Указания учителя:

Закончи фразы: (письменно)

• сегодня я узнал (а) …

• сегодня я научился (ась) …

• на уроке я испытал затруднения …

• чтобы повысить результат, мне нужно…

Запишите домашнее задание:

1. Если вы заработали на уроке оценку «5», то выполните дома №165(в) и № 166(а) с.286

2. Если вы получили оценку «4», то сделайте дома № 464 (а,б), № 468 (а, в) с.223

3. Если вы получили оценку «3» или «2», то выполните дома № 460 и № 463 (а, б) с. 222