Ханты - Мансийский район МКОУ ХМР

« СОШ им.героя Советского Союза П.А.Бабичева п.Выкатной»

Сборник задач

«Геометрия в жизни человека»

Для учащихся с 7-11класс.

п.Выкатной

2015г

Верстка и дизайн:

Лачимова Г.А., учитель математики

МКОУ ХМР « СОШ им.героя Советского Союза П.А.Бабичева п.Выкатной»

Ильиных А., ученица 7 МКОУ ХМР « СОШ им.героя Советского Союза П.А.Бабичева п.Выкатной»

Отпечатано в студии дизайна

МКОУ ХМР « СОШ им.героя Советского Союза П.А.Бабичева п.Выкатной»

86schhmr-wikatnoy.edusite.ru/

Адрес: 628513, п. Выкатной, ул. Школьная, 1

Телефон: 8 (3467) 376-1-94,

Факс: 8 (3467) 376-2-00.

3. Заключение

Сколько самых разнообразных геометрических линий и поверхностей использует человек в своей деятельности - при строительстве различных зданий, мостов, машин, в транспорте. Пользуются им не из простой любви к интересным геометрическим фигурам, а потому, что свойства этих геометрических линий и поверхностей позволяют с наибольшей простотой решать разнообразные технические задачи.

Из всего сказанного делаю вывод, что геометрия в нашей жизни на каждом шагу и играет очень большую роль. Она нужна не только для того, чтобы называть части строений или формы окружающего нас мира. С помощью геометрии мы можем решить многие задачи, ответить на многие вопросы.

Литература.

1. Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф. и др. Геометрия 7-9: учебник. - М.: Просвещение, 2008 г.

2.Р.И.Егорова «Учись шить» М, Просвещение, 1989г.

3.woman.ru›Мода›Тренды›Геометрия

4.dressort.com›modno/7-geometria-v-odezhde

5.Ильин И.С,Ильин С.Д «Издательство Мир книги»,2010 «Оригами».

6.Энциклопедический словарь юного математика. М: Педагогика, 1989.

7.Сборники заданий к ГИА и ЕГЭ 2015г.

29

Содержание

1. Предисловие___________________________ 3

2. Теоретические сведения_______________________

3.Заповеди для решения геометрических задач ______4

4.Рекомендации по решению нестандартных задач. ___9

4.1. Задачи в повседневной жизни :

а) профессиях; ------------------------------------------------- 10

б) моделировании; -----------------------------------------------16

в) применение модульного оригами для решения некоторых задач по геометрии. ---------------------------------- --------- 19

4. 2. Задачи в ГИА и ЕГЭ _______________________ 27

5.Заключение _______________________________29

6.Список литературы .

2

1. Предисловие

Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные структуры, отношения и их обобщения. Она возникла давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (от греч. ge - земля и metrein - измерять)- наука о пространстве, точнее - наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Важную роль играли и эстетические потребности людей: желание построить украсить свои жилища и одежду, рисовать картины окружающей жизни.

2. Теоретические сведения

Великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Всё вокруг геометрия!». Сегодня уже мы можем повторить это восклицание с ещё большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг - всюду геометрия! Современные здания и космические станции, подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника - всё имеет геометрическую форму. Геометрические знания являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей: для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и учённых. И уже этого достаточно, чтобы ответить на вопрос: «Нужно ли нам Геометрия?»

Ребёнок, ещё не научившийся говорить, познаёт геометрические свойства окружающего мира. Во-вторых, геометрия является одной из составляющей общечеловеческой культуры. Человек не может по-настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию; геометрия возникла не только из практических, но и из духовных потребностей человека

Японская мудрость издревле гласит:
«Великий квадрат не имеет пределов».
Попробуй простую фигурку сложить,
И вмиг увлечет интересное дело.
А. Е. Гайдаенк

3

2.. В магазине были предложены такие покрытия как профнастил по 169р за 1м2, бикрост по 960 р за рулон(10м), металлочерепица по 205 р за 1м2, шифер по 189р за лист. Выполнив соответствующие расчеты, самым дешевым оказался бикрост, но срок его годности очень маленький, поэтому самым выгодным материалом оказался - профнастил.

Тогда выполним полный расчет именно для этого покрытия.

1) т.к. длина стропил - 4м =› длина профнастила должна быть минимум на 10 см больше, т.е. 4,1м.

Стандартная ширина листа профнастила 1м 19 см , поэтому надо оставить запас для перекрытия листов - 9 см.

Следовательно на одну сторону крыши потребуется 6 листов, вся длина составляет 6,6 м =› всего 12 листов. т.е. 1,19 * 4,1 * 12 = 58,548 м². Цена 1 м² - 165 р. =› 58,548 *165 = 9660,42р.

Площадь покрытия крыши составит: 6,6 *4,1 *2 =54,12 м². Итого: 9660,42 +10140 =19800,42 р. потребуется на приобретение профнастила и для покрытия крыши дачного домика. Ответ: 19800,42 р

3.От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Вычислите длину провода. Ответ: 10

4. От столба к дому натянут провод длиной 10 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Вычислите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 8 м. Ответ: 9

5.Сколько досок длиной 3,5 м, шириной 20 см и толщиной 20 мм выйдет из четырехугольной балки длиной 105 дм, имеющей в сечении прямоугольник размером 30 см 40 см?

Ответ: 90 28

3. 2. Задачи в ГИА и ЕГЭ

В связи с изменением содержания ОГЭ по математике в сторону практического применения математических знаний на практике необходимо решать задачи из повседневной жизни.

1..Расчет расхода обоев на внутреннею отделку стен дачного домика.

Размер двери: 2м *1м =2 м² - площадь одной двери;

Размер окна: 1,5 * 1,5 =2,25 м² - площадь 1 окна.

Итого: 2 *2 + 2,25 *2 = 4 + 4,5 = 8,5 м² - Общая площадь 2 дверей и 2 окон.

1 комната:а = 6м, b = 2м, с = 2,5 м

2 комната:а=6м, b=4м, с=2,5м

S 1 стены : а*с = 6 * 2,5 = 15 м² ,S 2 стены : b*с = 4 * 2,5 = 10 м², S 3 стены : b*с=2*2,5=5м2

S полной поверхности 15 *2 + 5 *2 + 15 * 2+ 10 * 2 = 30 + 10 + 30 +20 = 90 м²

S покрытия обоями с учетом дверей и окон 90 - 8,5 = 81,5м²

Размеры обоев 10м * 0,5м =5м²

Количество рулонов 81,5 м² : 5м² = 16,3 ≈ 17 рулонов.

Цена одного рулона 150 р., т.е. 17 * 150 = 2550р.Общая затрата для дачного домика составляет 19800,42 + 2550 = 22350,42 р Ответ: 22350,42 р

27

3.Заповеди для решения геометрических задач

1. Сразу же начинай чертить по заданным условиям - размышлять будешь потом!

2. Хороший чертеж - хороший помощник, с ним идея решения «придет сама». Плохой же чертеж не только затруднит решение, но еще и заведет тебя в тупик при попытке «доказать» то, чего нет в действительности. Делай четкий чертеж в середине листа - линейка, треугольник, циркуль, транспортир помогут тебе и в «задачах на построение». Если условия позволяют - черти (хотя бы примерно) в масштабе!

3. Избегай чертить частные случаи (прямоугольный, равнобедренный, равносторонние треугольники, равные окружности и т.п.), если они не предусмотрены условием задачи - глядя на такой чертеж, ты скоро «поверишь», что так будет всегда, и твоя мысль будет направлена на ложный след!

4. В стереометрии делай большой чертеж на всю страницу с пунктирными невидимыми линиями! Так ты не погрязнешь в наслоениях линий и обозначений, и будет где «раскинуть мозгами» - формулы и очевидные зависимости ты сможешь писать на самом чертеже (рядом с отрезками) без лишних буквенных обозначений!

5. Наноси на чертеж все данные! Что-то забудешь - решить задачу не сможешь!

6. «Задано» - рисуй синим! «Найти» - красным! Этим ты обеспечишь концентрацию мысли на главном!

7. Обозначай отрезки и углы малыми латинскими и греческими буквами! Большие - только для согласования с условием! Не будет рябить в глазах, не запутаешься, да и писанины будет меньше!

8. В условии задачи введи упрощения - в разумных, конечно, пределах.

4

9. Вспомни и выпиши рядом с рисунком все геометрические определения, аксиомы, теоремы, свойства и следствия по данному вопросу - это тоже необходимая информация для твоих мозговых ячеек к моменту, когда они начнут логическое конструирование решения задачи!

10. Подготовка закончена - переключи свою «ЭВМ» на полную мощность!

11. Потрать 2-3 минуты на тщательный общий анализ особенностей условия задачи - это окупится сторицей! Если за эти минуты ты используешь всю силу своего геометрического воображения, то даже и при сложном условии задачи сможешь обнаружить рациональное (краткое и изящное) решение. Приняв сразу бездумное шаблонное решение, ты увеличишь объем вычислительной работы и шансы появления ошибок.

12. Если задача сложная - найди «логику» решения задачи, напиши план решения задачи. В запутанной и особо «неподдающейся» задаче план решения обязателен.

13. Не волнуйся!

14. Дай полную волю своей интуиции! - кто-то сказал, что интуиция - это разрыв в логике, но разрыв плодотворный; что это возможность к неожиданному шагу в непредсказуемом направлении; что это мерило таланта! Зачем же его подавлять? Интуиция поможет тебе наметить кратчайший путь к решению задачи.

15. Мысль способна незаметно «уйти в сторону» - следи за ней ( а, точнее, за собой) !

16. Удачное вспомогательное построение подчас сразу же раскрывает «секреты « условия задачи. Если проведенная вспомогательная линия все же окажется ненужной, то сразу же сотри ее - все лишнее мешает мыслительному процессу.

17. Если не сможешь найти геометрическое выражение длины «искомого» отрезка, то попытайся сделать это для его отдельных частей и просуммируй их!

18. Подобные треугольники можно построить переносом параллельных линий с помощью линейки и треугольника.

5

3. Согнем по ней и по намеченной линии разогнем. Сторону АВ совместим с отрезком АК, то есть угол А разделится на три равные части: угол ВАМ = угол NАК = угол КАD = 30°.

4. Сравним КD и АК, для этого совместим сторону DK с АК в результате чего точка D совместится с точкой М.

М

K

ВB

С

D

М(D)

K

ВB

С

5. Согнем по линии РМ, точка К совместимо с точкой А

АМР = МРК (совпадают при наложении). Значит АМ=МК и

М

N

ВB

СB

М

K

P

А

ВB

Теорема доказана.

26

А(В)

1=2

О

Рис.23

Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, 1=2 (два угла называются равными, если они при наложении совпадают). Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны. Теорема доказана (Рис.23).

Доказать, что в прямоугольном треугольнике против угла 30 лежит катет, равный половине гипотенузы.

Доказательсвто.

1. Наметим середину стороны ВС квадрата АВСD.

С

А

D

2. Согнем по линии так, чтобы точка D легла на линию сгиба.

А

C

D

А

C

D

N

K

N

25

19. Искаженное в объемном рисунке сечение построй рядом в натуральном виде - прямой угол станет действительно прямым, подобие треугольников станет явным и т.п.

20. Элементы разных плоскостей и сечений выделяй цветными карандашами.

21. В стереометрии хорошо помогает модель, даже наспех сложенная из бумаги.

22. Геометрическая задача решается, как правило, несколькими способами. Если окажется, что ты выбрал очень громоздкий путь, - вернись к рисунку и попробуй поискать другой, во времени ты только выиграешь!

23. Ты не любишь «задачи на доказательство», когда требуется, к примеру, доказать, что а = с? Так ты просто ищи выражение длины отрезка а через длину «заданного» отрезка с

24. Если твой рисунок «безмолвствует», то поверни его и посмотри снова - при новом ракурсе могут появиться новые мысли, а затем и правильное решение!

25. В некоторых планиметрических задачах решение достигается «выходом в пространство».

26. Ничего не получается? Не унывай! Проведи заново общий анализ сложившейся на рисунке геометрической ситуации - даже Суворов признавал необходимость вовремя отступить! И математические выкладки начни снова, на чистом листе бумаги - психологически очень трудно заметить неточность в старой записи!

27. Не забывай, что тригонометрия служит для облегчения решения геометрических задач. Однако не увлекайся и не переходи границы ее разумного сочетания с планиметрией. В 11 классе ты уже подзабыл планиметрию, но подменять ее тригонометрией не всегда разумно - это может привести к очень громоздким решениям. При косоугольных треугольниках большую помощь тебе окажет теорема косинусов.

28. В «текстовых» алгебраических задачах составь рисунок-график и проведи анализ ситуации.

29. Рациональный выбор неизвестного при решении задач - дело тонкое и деликатное! Мобилизуй весь свой опыт и интуицию !6

30. При составлении системы уравнений необходимо, чтобы были использованы все соотношения, вытекающие из условия геометрической задачи.

31. Не бойся применять в геометрии системы уравнений с тремя и более неизвестными - алгебра хорошо поможет! Напиши уравнение с «синим» параметром и через 5-6 строчек уравнение с «красным» параметром (см.п.6) , а промежуток постарайся заполнить цепочкой дополнительных уравнений, не боясь вводить новые и новые «неизвестные» отрезки - при решении системы они будут исключены.

32. Разобщенные «красные» и «синие» отрезки можно иногда «сблизить» и чисто геометрическим преобразованием.

33. Иногда: составь «табун» уравнений и подсчитай их число и число неизвестных отрезков и углов, но … опасайся тождественных уравнений! Недостающие уравнения даст тебе тригонометрия.

34. Решение большой группы геометрических задач облегчается введением дополнительных элементов (длина, площадь, объем, угол ) , непосредственно не заданных в условии задачи.

35. Если в условии говорится о нескольких ответах, то сперва пиши формулы в общем виде (в буквенных обозначениях) и исследуй их! Это предпочтительно, впрочем, в любом случае ибо о нескольких ответах условие задачи может тебя и не предупредить, а ты все равно обязан найти их все.

36. Из-за возможных упрощений не торопись заменять буквенные обозначения числами из условия, однако эти числа так «подобраны», что именно они определяют кратчайший путь к решению, а некоторые подобные задачи в общем виде вообще не имеют однозначного решения.

37. Во многих ВУЗах главный критерий - инициативность, гибкость мысли! И вот на приемных экзаменах ставят психологические «ловушки» - правильное решение оказывается вовсе не там, где это кажется с первого взгляда, а в недрах почти незаметных нюансов условия задачи! Проявляй «гибкость ума» и анализируй «необычные» варианты!

7

Практическая часть. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых и секущей, равны.

Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ (Рис.21). Сравним накрест - лежащие углы - углы 1 и 2.

А

1

2

В Рис.21

Согнем лист по секущей АВ (По аксиоме 1: существует единственный сгиб, проходящий через две данные точки).Совместим вершины накрест лежащих углов - точки А и В(По аксиоме 2: существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки)(Рис.22).

А

1

О

2

В

Рис.22

24

С помощью оригами можно изготовить из квадрата правильные многоугольники. Рассмотрим способ изготовления из квадрата правильного треугольника. (Рис 18)

• Занятие оригами позволяет познакомиться с платоновыми телами и другими многогранниками, так как из бумаги такие фигурки складываются легко и быстро. Я в 6 классе ,не изучая ещё предмет геометрия ,во время декады предметов естественно- математических дисциплин приняла участие в конкурсе геометрических фигур из равносторонних треугольников составила тетраэдр(четыре треугольника).

Доказать теорему используя модульное оригами.: Сумма углов треугольника равна 180°

Доказательство.

Возьмем лист бумаги, имеющей форму произвольного треугольника.

Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярную противоположной стороне - высоту треугольника . (Применяем аксиому 4: существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой). Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника (по аксиоме 2: существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки). Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом (а величина развернутого угла равна 180°). Следовательно, 1+2+3=180° Теорема доказана.

23

38. Максимум внимательности! Не делай «в уме» одновременно несколько сложных алгебраических преобразований - сделай их последовательно в «лишней строчке»! Ход твоего великолепного решения может быть «сведен на нет» из-за одного только забытого знака минус …

39. Если надо найти ошибку, то не ищи ее в старой записи сложных алгебраических выкладок - лучше сделай все заново и сравни результаты!

40. Если у тебя все «застопорилось» , то не надо мурлыкать под нос какой-то свой любимый мотивчик, не надо свистеть тихонько, не надо в задумчивости рисовать на полях - тебе только кажется, что это помогает разрешить затруднения, а время идет. Будь активен и в преодолении трудностей!

41. На соседа не надейся! Самостоятельность - обязательный элемент учебы!

42. Красивое и эффектное геометрическое решение безусловно лучше громоздких алгебраических выкладок , но , чтобы до него додуматься, нужно много времени, и поэтому считай, что самое лучшее - получить правильный ответ … любым способом.

43. Уважай проверяющего твою работу: пиши чисто, аккуратно, все формулы - столбиком, не экономь бумагу! Умей и зачеркнуть аккуратно, тогда не придется тратить много времени на оформление чистовика! В конце после слова ОТВЕТ четко напиши итог решения задачи. Все это - лучшая гарантия того, что проверяющий твою работу разберется в твоих записях и не поставит тебе «3» или даже «2» , «не найдя» решения задачи!

Когда задача решена и еще осталось время, то посмотри все с самого начала - не столько для поиска возможных ошибок, сколько ради поиска более изящного решения! Ведь математика - самый таинственный и романтичный предмет, который ты проходил в школе, и ты получишь истинное наслаждение, когда, найдя новое, более красивое решение, тем самым откроешь для себя какую-то новую загадку этой величайшей науки из всех Наук Человечества …

8

4. Рекомендации по решению нестандартных задач

Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:

1. Сделать к задаче рисунок или чертеж; подумай, может быть, нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи.

2. Ввести вспомогательный элемент (часть).

3. Использовать для решения задачи способ подбора.

4. Переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной и знакомой.

5. Разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям.

6. Начать решение задачи «с конца».

4.1. Задачи в повседневной жизни

а) Геометрия встречается во многих профессиях, без которых человечество не смогло обойтись. Самая "геометрическая профессия" - архитектор. Архитектура - одна из наиболее всеобъемлющих областей человеческой деятельности, занимающаяся организацией пространства, времени и решающая любые пространственные задачи, искусство проектировать, строить здания и сооружения.

1. Необходимо измерить на местности расстояние между двумя объектами, разделенными зданием или другим препятствием, не позволяющим непосредственно проложить прямую между этими объектами. Как, тем не менее можно произвести указанное измерение? Решение: Пусть А и В - данные точки на местности, между которыми определяется расстояние. Выберем точку С, из которой видны обе точки А и В. На продолжении отрезка АС за точку С отметим точку D на расстоянии АС от точки С. Аналогично на продолжении отрезка ВС за точку С отметим точку Е, для которой СЕ=ВС. Тогда отрезки ED и АВ равны, поскольку они симметричны относительно точки С.Если же из-за недостатка места точки Е и D выйдут за пределы досягаемости, то их можно в определенное число раз приблизить к точке С. Тогда отрезок ED будет в то же число раз короче отрезка АВ, так как треугольники ABC и DEC будут подобны.

Деление квадрата на равные части.

Деление листа бумаги на две части не представляет сложности, поскольку реализуется просто складыванием базовой формы книжка.

Перейдем к более сложной задаче деления квадратного листа на три части.

Эта задача уже не столь проста. Для ее решения сложим угол квадрата к середине противоположной стороны. В таком случае точка пересечения другой стороны, противоположной этому углу и стороны, прилегающей к нему, делит сторону в отношении один к двум. Таким образом, с помощью только складок мы нашли треть стороны квадрата (Рис.14).

Для деления квадрата на четыре части достаточно достаточно его поделить пополам, а затем каждую из половинок снова пополам. Именно так происходит, когда мы складываем базовую форму дверь.

Другой группой задач является получение одной фигуры из другой:

• Квадрат из треугольника: раскрыть треугольник и разровнять его до квадрата.

• Треугольник из квадрата: раскрыть квадрат и разровнять его до треугольника.

• Трапеция из квадрата: развести углы в стороны, прижать и разровнять трапецию.

• Прямоугольник из квадрата: раскрыть квадрат и разровнять его до прямоугольника.

• Ромб из квадрата: развести углы, наметить поперечную линию сгиба, разровнять ромб

22

На сторонах AB и DC отмечаем точки E и F так, чтобы линия EF была параллельна AD. Обозначаем EF с помощью сгиба. Совмещаем сторону BC с линией EF. Линию, полученную в результате сгиба, обозначаем как GH. Делаем такой сгиб, чтобы точка Е касалась линии ВР и точка В касалась линии GH.

Теперь сгибаем лист по перпендикуляру к линии ЕВ, проходящему через точку G. На стороне АDотмечаем точку J.Отгибаем угол обратно.Доводим линию, исходящую из точки J, до точки В. Сторону ВС совместить с линией ВJ.

Линии ВJ и ВК делят угол РВС на 3 равные части. Задача решена.

21

2. Открытый участок дороги находится на полосе АВ шириной в 50м; неприятельский наблюдательный пункт находится на верху колокольни высотой MN = 22м. Какой высоты следует сделать вертикальную маску КВ на расстоянии 500м от колокольни, чтобы закрыть дорогу от наблюдателя противника?

Решение: АКВ~ АМN (по 2-м углам: А - общий, АВК и ANМ - прямые), а если треугольники подобны, то все его элементы тоже подобны. То есть можно составить пропорцию

МN:KB = AN: AB => KB =( MN × AB) :AN = (22 × 50) :550 =2 метра

Ответ: 2 метра.

3.Сколько досок длиной 3,5 м, шириной 20 см и толщиной 20 мм выйдет из четырехугольной балки длиной 105 дм, имеющей в сечении прямоугольник размером 30 см 40 см?

Ответ: 90

4.Дизайнер Павел получил заказ на декорирование чемодана цветной бумагой. По рисунку определите, сколько бумаги (в см²) необходимо закупить Павлу, чтобы оклеить всю внешнюю поверхность чемодана, если каждую грань он будет обклеивать отдельно (без загибов).

Ответ: 17400

10

5.Дизайнер Алина получила заказ на декорирование чемодана цветной бумагой. По рисунку определите, сколько бумаги (в см²) необходимо закупить Алине, чтобы оклеить всю внешнюю поверхность чемодана, если каждую грань она будет обклеивать отдельно (без загибов).

Ответ: 11200

6.Возникла необходимость проложить тропинку в сторону от дороги длинной 500 м так, чтобы угол между направлениями тропинки и дороги составлял 60^о.

Как поместить на местности направление проектируемой тропинки, если есть возможность воспользоваться для этой цели только недлинным шнуром.

1) Для того, чтобы тропинку расположить под углом 60^о по отношению к дороге необходимо воспользоваться свойством углов равностороннего треугольника, построив вдоль дороги из шнура такой треугольник:

11

Рассмотрим примеры задач, решаемых методами оригами. Как правило, они проще и нагляднее, а относительная простота помогает убедиться в правильности классических утверждений, теорем и побуждает к дальнейшим исследованиям. Сколько любопытных тайн кроется в обычном листочке бумаги, который всегда под рукой! Возможности перегибания листа бумаги велики, что обеспечивает решить большое разнообразие задач.

При решении задач с помощью методов оригамироль прямых играют края листа и линии сгибов, образующиеся при его перегибании, а роль точек - вершины углов листа и точки пересечения линий сгибов друг с другом или с краями листов.

Для примера рассмотрим несколько задач.

Методом оригами разделить один из углов квадрата .Откладывание угла в 30° или 60° не представляет проблем. Достаточно построить на стороне квадрата равносторонний треугольник. Для этого сначала разделим квадрат вертикальной складкой на два равных прямоугольника. Затем проведем складку, которая переносит угол квадрата на отмеченную линию. Угол 15° можно получить, разделив полученные углы в 60° и 30° градусов пополам. (Рис.13)

С помощью оригами можно решить одну из задач древности. Задача о трисекции угла, то есть поделить произвольный угол на три равные части.

Для решения этой задачи берем квадратный лист бумаги и обозначаем его как ABCD. На стороне AD отмечаем произвольную точку P и проводим отрезок BP. Нам надо разделить угол PBС на 3 равных угла.

20

В) Применение оригами для решения некоторых задач по математике.

Сегодня оригами переживает очередную волну интереса. Появились новые направления оригами и области применения.

Оно получило широкое признание во всем мире. Области применения оригами разнообразны и порой неожиданны: медицина и школьное образование, архитектура и дизайн, авиация и машиностроение. Конструкции, созданные по этому принципу, работают на земле и в космосе. И в последние годы, по мере совершенствования техники оригами, появились весьма сложные и мастерски отточенные работы, выполненные только из одного листа бумаги. Новые приемы этого искусства разрабатывают как профессиональные художники, так и любители.

Оригами - мир геометрических фигур: треугольников, квадратов, многоугольников, призм. В процессе складывания решают сложные математические задачи: находят параллели и диагонали, делят целое на части, получают различные виды треугольников и многогранников, в увлекательной форме усваивают сложнейшие знания, углубляют представление о важнейших геометрических понятиях; закладывается фундамент для изучения материала, далеко выходящего за школьный курс математики.

19

2) Теперь воспользуемся приёмом провешивания прямой. Этот приём заключается в следующем. Сначала отмечаем какие-нибудь точки А и В. Для этой цели используют две вехи - шесты длиной 2 м. Третью веху ставят так, чтобы вехи, стоящие в точках А и В, закрывали её от наблюдателя, находящегося в точке А. Следующую веху ставят так, чтобы её закрывали вехи, стоящие в точках В и С.

Рисунок 2

7.Радиолюбителям, конструкторам, строителям разного рода моделей и вообще любителям мастерить своими руками иной раз приходится задумываться над практическими задачами. Допустим: вырезать из данной пластинки правильный многоугольник с заданным числом сторон. Эта задача сводится к такой:

Разделить окружность на n равных частей, где n - целое число. Подумаем о геометрическом решении при помощи циркуля и линейки. Прежде всего возникает вопрос: на сколько равных частей можно теоретически точно разделить окружность при помощи циркуля и линейки? Это вопрос математически решён полностью: не на любое число частей.

Можно: на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, … 257, … частей.

Нельзя: на 7, 9, 11, 13, 14, … частей.

12

Затруднения ещё в том, что приём деления на 15 частей не такой, как на 12 частей и т.д. Практику нужен геометрический способ - пусть приближённый, но достаточно простой и общий для деления окружности на любое число равных дуг.

Пусть, например, требуется разделить данную окружность на девять равных частей. Построим на каком-либо из диаметров АВ окружности равносторонний треугольник АВС и разделим диаметр АВ точкой D в отношении АD=АВ=2:9 (в общем случае АД : АВ = 2 : n)

Рисунок 3

Соединим точки С и D отрезком и продолжим его до пересечения с окружностью в точке Е. Тогда дуга АЕ будет составлять примерно 1/9 окружности (в общем случае АЕ = 360^о/n) или хорда АЕ будет стороной правильно вписанного девятиугольника. Погрешность при этом 0,8%.

Получается такая таблица для некоторых значений n:

13

Построение основы конструкции юбки

Всё многообразие юбок имеет в своей основе две конструктивные схемы - это юбка прямая и коническая.
Для того, чтобы построить чертеж выкройки - основы юбки необходимы следующие измерения:
Полуобхват талии - ПОТ;
Полуобхват бедер - ПОБ;
Длина изделия - ДИ.Также потребуются припуски на свободное облегание: Припуск по талии - Пт Припуск по бедрам - Пб.

Таблица 1.
Припуски на свободное облегание, см.

Очень плотное

Плотное

Среднее

Свободное

Пт

Пб

Пт

Пб

Пт

Пб

Пт

Пб

0

0-0,5

0,5 - 0,7

0,7 - 1

1

1,5 - 2

Свыше 1

Свыше2

По чертежу основы прямой юбки можно построить выкройки самых разнообразных фасонов, изменяя и разрезая чертеж основы в любом месте при условии сохранения ширины изделия по линии талии и его длины.
Построение выкройки - основы прямой юбки

К коническим относят юбки -солнце, полусонце , колокол и т.п. Они могут быть одношовными и двухшовными. Чертежи выкроек-основ для этих юбок строятся по одному и тому же принципу. Как это делается, Вы можете узнать перейдя по следующим ссылкам: Построение выкройки юбки-солнце
Построение выкройки юбки-полусолнце

18

Мерки для построения чертежей

1. Полуобхват груди (ПОГ) - сантиметровая лента проходит горизонтально по нижним углам лопаток, касаясь задних углов подмышечных впадин по наиболее выступающей части груди.

2. Полуобхват талии (ПОТ) измеряется строго горизонтально по узкой части пояса.
   Для последующего упрощения снятия мерок рекомендуется завязать ленту или веревочку для обозначения талии и не снимать её до конца измерений.

3. Длина переда до талии (ДПТ) - измеряется от самой высокой части плеча до талии через наиболее выступающую часть груди.

4. Длина спины до талии (ДСТ) - измеряется от седьмого шейного позвонка вдоль линии середины спины до талии.

5. Длина груди (ДГ) - один конец сантиметровой ленты проходит горизонтально по нижним углам лопаток, касаясь задних углов подмышечных впадин, спереди лента находится над основанием грудных желез. Другим концом измеряем от высшей точки плеча до сантиметровой ленты, расположенной горизонтально.

6. Высота груди (ВГ) измеряется от самой высокой части плеча до наиболее выступающей части груди.

7. Половина ширины груди (ПШГ) измеряется по грудной клетке над грудными железами от проймы до проймы.

8. Половина ширины спины (ПШС) измеряется горизонтально от проймы до проймы по лопаткам при выпрямленной спине.

9. Длина юбки (ДЮ) или длина брюк (ДБ) измеряется по боку от талии до желаемой длины.

10. Длина изделия (ДИ). Если это юбка, то ДИ=ДЮ. Общая длина (например, если это платье) складывается из величины мерки ДСТ + ДЮ.

11. Полуобхват шеи (ПОШ). Мерку снимают по основанию шеи над 7-м шейным позвонком и яремной впадиной.

12. Длина бедер (ДБ). Прежде, чем сделать измерение, нужно согнуть ногу в бедре и после этого измерить расстояние от линии талии до сгиба.

13. Полуобхват бедер (ПОБ) измеряется строго горизонтально по выступающим частям ягодиц.

14. Длина рукава (ДР) измеряется по внешней стороне руки от плечевого сустава до запястья через локоть при слегка согнутой руке.

15. Высота головки рукава (ВГР)измеряется так: один конец сантиметровой ленты прокладываем горизонтально под подмышечной впадиной, а вторым концом измеряем от плечевого сустава до сантиметровой ленты.
    

Обхват верхней части руки (ОР) - измеряется горизонтально по самой широкой части руки.

17

Указанным способом можно приближённо разделить окружность на 5, 7, 8 или 10 частей с небольшой относительной ошибкой от 0,07 до 1%; такая погрешность вполне допустима в большинстве практических работ.

8. Столяру нужно сделать круглый стол на 6 человек. Каким должен быть диаметр стола (в сантиметрах), чтобы для каждого из сидящих за столом приходилось по 80 см. окружности. (примите п =3)

9. Какое наибольшее число людей можно рассадить за круглым столом радиуса 1 метр так, чтобы на каждого человека приходилось не менее 60 см. длины дуги окружности стола. (примите п =3)

14

15

б) Построение чертежа юбки - полусолнце

Чтобы построить чертеж юбки - полусолнце, на листе бумаги чертим прямой угол с вершиной в точке О. От этой точки откладываем отрезок ОТ.
ОТ = Кпс (ПОТ+Пт), где Кпс - коэффициент, характеризующий кривизну верхнего среза юбки, для юбки - полусолнце он равен 0,64;ПОТ - полуобхват талии
Пт - припуск на свободное облегание . Из точки О радиусом, равным ОТ проводим дугу до пересечения со второй стороной прямого угла в точке Т1. Теперь от точки Т отмеряем отрезок ТН= Ди (длина изделия).И снова от точки О радиусом, равным ОН, проводим дугу Н, Н1- это будет линия низа юбки.
Также как и в юбке-солнце корректируем низ юбки. По линии низа откладываем вверх по направлению к точке О 3,5 см и отмечаем точку Н1*. Получаем новую линию низа Н, Н1*, Н. По линии талии откладываем вверх к точке О 1,7см и отмечаем точку Т1*, новая линия талии - Т, Т1*, Т1.
При раскрое долевая нить будет проходить через точки О, Т, Н.

16