Статья на тему Применение формулы полной вероятности в решении задач ЕГЭ по математике

Применение формулы полной вероятности в решении задач ЕГЭ по математике.

Красноперова Ирина Михайловна ([email protected]), учитель математики МБОУ «Гимназия №1» г. Агрыз РТ

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий , которые образуют полную группу попарно несовместных событий, то есть

зависимые события

.

несовместные события

События называют гипотезами, так как неизвестно, какое из этих событий произойдет в конкретном испытании. Тогда вероятность события А находят по формуле полной вероятности:

Примечание. Сумма вероятностей гипотез равна единице:

Пример 1. На сборку телевизоров поступают микросхемы от двух поставщиков, причем 70% микросхем от первого поставщика, 30% - от второго. Брак микросхем первого поставщика составляет 2%, второго - 3%. Какова вероятность, что взятая наудачу микросхема окажется бракованной?

Решение. Обозначим

- взятая наудачу микросхема изготовлена первым поставщиком,

- взятая наудачу микросхема изготовлена вторым поставщиком,

А - взятая наудачу микросхема дефектная.

Тогда .

По условию имеем

Сделаем проверку: (верно).

Из условия задачи следует, что

; .

Тогда по формуле полной вероятности

.

Пример 2. По самолету производится 3 выстрела с вероятностями попадания 0,5; 0,6; 0,8. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий; при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,3; при двух попаданиях - с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.

Решение. Введем событие В - в результате трех выстрелов самолет сбит. Гипотезы:

- в результате трех выстрелов не произошло ни одного попадания;

- в результате трех выстрелов произошло одно попадание;

- в результате трех выстрелов произошло два попадания;

- в результате трех выстрелов произошло три попадания.

Тогда ,

.

Найдем вероятности гипотез:

,

,

,

,

Условные вероятности появления события В:

; ; ; .

В итоге имеем

.

Пример 3. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35% этих стекол, вторая - 65%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая - 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: Введем событие А- купленное в магазине стекло бракованное.

Гипотезы:

- взятое наудачу стекло изготовлено первой фабрикой.

- взятое наудачу стекло изготовлено второй фабрикой.

Тогда .

По условию имеем

Сделаем проверку: (верно).

Из условия задачи следует, что

; .

Тогда по формуле полной вероятности

.

Пример 4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристреленного револьвера. Если Джон стреляет из непристреленного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристреленные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение: Введем событие А-ковбой Джон промахнется.

Гипотезы:

- взятый наудачу револьвер пристреленный.

- взятый наудачу револьвер непристреленный.

Тогда .

По условию задачи имеется 10 револьверов и 2 из них пристреленных. Тогда по классическому определению вероятности:

Аналогично

Сделаем проверку: (верно).

Из условия задачи следует, что

; . (как противоположные события)

Тогда по формуле полной вероятности

.

Пример 5. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории, а из второго хозяйства - 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Решение: Введем событие А- купленное у агрофирмы яйцо высшей категории.

Гипотезы:

- купленное яйцо из первого хозяйства.

- купленное яйцо из второго хозяйства.

Тогда .

Из текста задачи видим, что вероятность того, что купленное яйцо из 1-го или 2-го хозяйства, не дана. Тогда введем неизвестную переменную .

Получаем:

Сделаем проверку:

Из условия задачи следует, что

; .

Тогда по формуле полной вероятности

.