Добавить в избранное

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Задания школьной олимпиады по математике для 10 класса

  1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) равна целому числу.

  2. Решить уравнение Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) .

  3. Известно, что в ABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

  4. Решить систему неравенств: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

  5. Делится ли Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) на 61?

  6. При каких значениях а разность корней уравнения Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) равна 3?

  7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) . Найти прогрессию, если она является возрастающей.


Задания школьной олимпиады по математике для 11 класса

  1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение - трапеция.

  2. Найдите все решения уравнения: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) .

  3. Вычислить без таблиц: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

  4. Определить числа а и b так, чтобы многочлен Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) делился без остатка на многочлен Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) .

  5. В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ∠ACB.

  6. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

  7. Найти значение выражения: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) при Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) .




















Решения 10 класс

  1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) равна целому числу.

Решение. Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) - целое число, если Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)- целое, т.е. Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс).

При Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), значит Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) не выполняется.

При Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), значит Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) не выполняется.

При Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), значит Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) не выполняется.

При Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), значит Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) выполняется.

При Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), значит Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) не выполняется.

И т.д.

При Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), значит Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) выполняется.

Ответ. 4 и 21.

  1. Решить уравнение Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) .

Решение. I способ. Обозначив Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), где Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), получим Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), откуда Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), (Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) - не подходит). Далее, решая Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), получим уравнения Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) и Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) (не имеет действительных корней), находим из первого уравнения Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс).

Ответ. Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс).

  1. Известно, что в ABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

2

3

А

С

В

D

1

Решение. Проведем биссектрису AD. Тогда ∠1 = ∠2 = ∠3. В ADC AD = DC. Пусть АВ = х, AD = DC = y, тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 - y. Заметим, что ABD ~ ABC по двум углам (∠В - общий, ∠1 = ∠3).

Из подобия имеем: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс),

или Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс).

Для нахождения х и у получим систему уравнений:

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Вычитая из первого уравнения второе, получим Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) откуда Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), тогда Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) значит АВ = 4см, ВС = 6см.

II способ. Указание: применить теорему синусов.

Ответ. AB = 4см, ВС = 6см.

  1. Решить систему неравенств: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Решение.

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Ответ: 0 < x < 1.

  1. Делится ли Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) на 61?

Решение. Разложить заданное число на множители. Тогда, получим Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) - делится на 61.

  1. При каких значениях а разность корней уравнения Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) равна 3?

Решение. I способ:

Пусть Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) откуда Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) тогда согласно т. Виета имеем: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс).

Составим систему уравнений Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)откуда получим Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс).

II способ:

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)где Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), тогда

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

решая последнее, получим Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс).

Ответ: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс).

  1. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) . Найти прогрессию, если она является возрастающей.

Решение. Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) откуда Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), получили систему:

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Т.к. прогрессия возрастает, то Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) следовательно, Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) - формула n-ого члена а.п.

Ответ: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс).


Решения 11 класс

  1. Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD. Доказать, что построенное сечение - трапеция.

Решение. По условию задачи точка N - середина DC. Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Известно, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Значит, плоскость сечения пересечет основания А1В1C1D1 и ABCD по параллельным отрезкам. Проведем BD, BD  B1D1.

Из точки N проводим MN ∥BD, значит MN ∥B1D1. Соединим точки B1 и М, D1 и N, тогда B1D1NM - искомое сечение. Таким образом, в четырехугольнике B1D1NM имеем B1D1 ∥NM, значит B1D1NM - трапеция (по определению).

  1. Найдите все решения уравнения: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) .

Решение. Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Ответ: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

  1. Вычислить без таблиц: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Решение. Поскольку Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) то

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)имеем:

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Ответ: 1,5.

  1. Определить числа а и b так, чтобы многочлен Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) делился без остатка на многочлен Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) .

Решение.

Ответ: 1) а = -7, b = -1; 2) a = -12, b = -2.

  1. В квадрате KCNM на серединах сторон КМ и MN отмечены точки А и В, которые соединены с вершиной С. Найти ∠ACB.

C

N

K

M

A

A

Решение. Пусть сторона квадрата - Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) тогда Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс). В равнобедренном треугольнике по теореме косинусов найдем косинус угла ACB. Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс).

Следовательно, Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Ответ: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)


  1. Можно ли разрезать арбуз на 4 части так, чтобы после того, как его съели, осталось 5 корок?

Решение. Вырежем из арбуза длинный тонкий цилиндр, протыкающий арбуз насквозь. Это одна из частей, от которой останется две корки. Остальную часть арбуза произвольным образом разрежем на три части, каждая из которых дает по одной корке.

  1. Найти значение выражения: Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) при Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс) .

Решение.

Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс)

Если Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс), то Условия задач и их решения для школьной олимпиады (10-11 класс).

Ответ: -2014.



загрузить
Пользовательское соглашениеО проектеОбратная связьАрхивные статьи
© 2010-2022