Конспект урока Арифметический квадратный корень

Фешина Юлия Владимировна

АОУ Лицей №19

Учитель математики

Открытый урок по алгебре в 8 классе по теме «Арифметический квадратный корень»

Тип урока: урок получения новых знаний.

Дидактические цели:

1. Ввести понятие арифметического квадратного корня. Тренироваться в извлечении арифметического корня при использовании таблицы квадратов двузначных чисел.

2. Познакомиться с историей возникновения знака радикала.

Задачи урока:

1. Образовательные:

- расширение понятие учащихся об операциях с числами;

- приобретение навыков использования таблицы квадратов двузначных чисел;

- научиться использовать определение арифметического квадратного корня при преобразованиях выражений и решении уравнений.

2. Воспитательные:

- способствовать формированию познавательного интереса у учащихся.

- посредством информации об исторических фактах расширять научный и культурный кругозор учащихся.

3. Развивающие:

- способствовать развитию у учащихся логического мышления;

- развить навыки самостоятельной работы;

- стимулировать развитие монологической речи учащихся.

Примечание: за несколько дней до данного урока учащимся было предложено подготовить презентацию об истории возникновения знака «радикала». Лучшая из презентаций была представлена на уроке (здесь представлен примерный образец такой презентации).

План урока:

1. Задача с практическим содержанием. Создание проблемной ситуации. Исследование числа корней уравнения вида .

2. Ведение понятия квадратного корня из числа. Введение понятия арифметического квадратного корня.

3. Введение обозначения, знак радикала(с использованием презентации учащегося на тему «История возникновения знака радикала»).

4. Первичная отработка полученных навыков: упражнение в извлечении квадратного корня, использование таблицы квадратов двузначных чисел.

5. Домашнее задание с комментарием.

Ход урока:

Орг. момент.

1. Вступительная беседа:

-Сегодня мы познакомимся с новой для нас математической операцией. Но прежде, чем о ней говорить решите задачу:

Площадь квадрата равна 144 . Чему равна сторона квадрата?

Учитель выслушивает мнения учащихся. Подводит итог.

-Решая эту задачу, вы должны были составить математическую модель, а именно уравнение С помощью таблицы квадратов двузначных чисел найдем, что одним из корней этого уравнения является число 12. Понятно, что другим корнем служит противоположное ему , т.е. число -12. Почему ответом в задаче является только положительный корень? Верно, мы имеем дело с практической задачей, а длиной может служить лишь положительная величина.

Итак, выясним, сколько решений может иметь уравнение , а результат нашего исследования занесем в таблицу.

Учитель чертит таблицу на доске, учащиеся в тетради. Учитель под диктовку учеников заполняет таблицу.

Решение уравнения

а

а=0

а

Уравнение не имеет корней

Уравнение имеет один корень: х= 0

Уравнение имеет два корня:

х= ; х= .

2. -Смотрите, в таблице нам не удалось в общем виде записать полученные в третьем случае два корня. Как же это сделать?

Оказывается каждому из корней уравнения дали название квадратный корень из а. То есть квадратный корень из числа а - это число, квадрат которого равен а. Неотрицательный квадратный корень из числа имеет специальное название - арифметический квадратный корень. Запишем определение:

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

2. -Для арифметического квадратного корня из а принято обозначение: . А знак называют знаком арифметического квадратного корня или знаком радикала. Читается такое выражение: «арифметический квадратный корень из а». Тогда, используя знак радикала, как можно закончить нашу таблицу?

Верно, она примет следующий вид:

Решение уравнения

а

а=0

а

Уравнение не имеет корней

Уравнение имеет один корень: х= 0

Уравнение имеет два корня:

х= ; х= .

-Откуда же взялся такой интересный знак? Об этом нам расскажет учащийся нашего класса, презентация которого, по-моему, наиболее полно отразила суть вопроса.

Выступление учащегося:

Текст выступления

Слайды презентации

Знак квадратного корня знаком всем. Его используют школьники и студенты, преподаватели и репетиторы по математике, доктора наук и академики. Однако не все знают, что современная форма и появилась не сразу. Эволюция знака радикала длилась почти пять веков, начиная с в далекого XIII в., когда итальянские и некоторые европейские математики впервые называли квадратный корень латинским словом Radix (корень) или сокращенно R.

В XV в. Н.Шюке писал вместо . Современный знак корня произошел от обозначения, примяемого немецкими математиками XV-XVI вв., называвшие алгебру - наукой «Косс», а математиков -алгебраистов «коссистами». (математики XII-XV вв. писали все свои труды исключительно на латинском языке. Они называли неизвестное - res (вещь). Итальянские математики перевели слово res как cosa. Последний термин заимствовали немцы, от которых и появилось коссисты и косс.)

В XV в. некоторые немецкие коссисты для обозначения квадратного корня пользовались точкой перед выражением или числом. В скорописи эти точки заменялись черточками, а позже они перешли в символ.
Один такой знак означал обычный квадратный корень. Если нужно было обозначить корень четвертой степени, то применялся сдвоенный знак, для обозначения кубического корня использовали утроенный знак

Остается только гадать, как именно обозначался корень восьмой степени. Если брать аналогию с четвертой степенью, то этот знак должен был отождествлять трехкратное извлечение квадратного корня, то есть для этого нужно было поставить три квадратика. Однако, это обозначение занято кубическим корнем. Скорее всего, в последствии от таких обозначений как раз и образовался знак V, близкий по записи к знакомому школьникам современному знаку, но без верхней черты.

Впервые этот знак был замечен в немецкой алгебре «Красивый и быстрый счет при помощи искусных правил алгебры». Автором этого труда был преподаватель математики из Вены, уроженец Чехии Криштоф Рудольф. Книга пользовалась большим успехом и постоянно переиздавалась на протяжении всего XVI в. и после аж до 1615г. Знаком корня, предложенного Криштофом пользовались А.Жирар, С.Стевин (он писал показатель корня справа от знака радикала в кружке:

V (2) или V (3).

В 1626г. нидерландский математик А.Жирар видоизменил знак корня Рудольфа и ввел совсем близкое к современному обозначение. Такая форма записи начала вытеснять прежний знак R. Однако некоторое время знак корня писали разрывая верхнюю черту, а именно так: .

И только в 1637 году Рене Декарт соединил горизонтальную черту с галочкой, применив новое обозначение в своей книге «Геометрия». Но и здесь не было точной копии современной формы. Запись Декарта несколько отличалась от той, к который мы с вами привыкли одной деталью. У него было записано: , где буква С, поставленная сразу после радикала, указывала на запись кубического корня. В современном виде это выражение выглядело бы так: .

Самое близкое к современному написанию радикала применял Ньютон в своей «Универсальной арифметике» (1685г.) Впервые запись корня, полностью совпадающая с сегодняшней, встречается в книге французского математика Ролля «Руководство алгебры», вышедшей в 1690г. Только через некоторое время после ее написания математики планеты приняли, наконец, единую и окончательную форму записи квадратного корня.

-Спасибо, было очень интересно и познавательно! Но давайте все же разберемся, всегда ли имеет смысл выражение ?

Т.к. уравнение имеет неотрицательный корень при а0, то выражение имеет смысл при любом а0. Если а, то выражение не имеет смысла.

Из определения арифметического корня следует, что если выражение имеет смысл, то и =а.

Например: =.

2. Работа с упражнениями по учебнику:

№457 - устно, фронтально (при необходимости помощь класса или учителя).

Имеет ли смысл выражение:

а) ; б); в); г) ; д) , где nN;

е) , где nN.

№451 - письменно с комментарием. Учитель делает упор на правильное чтение выражений, содержащих знак радикала.

Пользуясь таблицей квадратов двузначных чисел, найдите:

а) ;

б) ;

в);

г);

д) ;

е).

№455 - работа у доски учащихся, проявивших наибольшую активность на уроке, оценка по итогам («3» и «2» на этом уроке не ставятся).

Найдите значение выражения:

а);

б) ;

в) ;

г) ;

д);

е).

2. Домашнее задание с комментарием:

- п.21 учебника, прочитать, выучить определение.

- №№447, 449, 456, 458 (задания аналогичные сделанным в классе), №468 (упражнение на повторение).

- Дополнительное задание (для учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике):

Доказать, что число - иррациональное.