Урок математики в 6 классе

Длина окружности. Площадь круга.

(6 класс)

Учитель МАОУ «Гимназии № 80»

Уютнова Ирина Александровна

Цель урока: вывести в ходе практической работы формулы для вычисления

длины окружности и площади круга; показать учащимся

применение этих формул при решении задач; продолжить

формирование навыков практического конструирования у

учащихся и формирование умения видеть один и тот же факт в

различных ситуациях.

Оборудование :интерактивная доска и презентация, модели цилиндров, нить, палетки, модели кругов, циркули.

Основные методы обучения: частично-поисковый, репродуктивный, метод

моделирования.

Одним из эффективных средств развития мышления учащихся может выступать опытное обоснование геометрических формул, изучаемых в школе. Обращение на уроке к эксперименту способствует формированию у учащихся конструктивных умений, составляющих ту практическую сметку, которая нужна и в строительстве, и в технике, и в быту.

Однако в на стоящее время при обучении геометрии основное внимание обращают на воспитание у учащихся логической культуры, не видя возможности и необходимости специально заниматься формированием навыков практического конструирования. Приоритет логического аспекта в изложении материала ведет к тому, что многие научные факты учащиеся усваивают формально, без интереса. Не вникая глубоко в существо дела. Чрезмерное увлечение формально - логическими методами выглядит особенно навязчивым, когда изучаются формулы для вычисления площадей и объемов геометрических фигур. Это материал дает возможность эффективно применить методику «открытия» с помощью опыта некоторых геометрических фактов. Реализация этой методики проходит следующие этапы:

• Учащимся предлагается прикладная задача, для решения которой известных им теоретических сведений не хватает. Учащимся необходимо самим установить, какие данные следует найти.

• Учащиеся проводят практическую работу, в ходе которой устанавливают необходимые данные, выявляют закономерности и выражают их с помощью формул.

• Полученная формула снова проверяется опытом, и, если он не подсказывает явных опровержений. Начинается поиск способов логического обоснования полученной формулы.

• Общий вывод, подтвержденный логически, применяется к решению исходной прикладной задачи.

Ход урока.

1. Устно.

1. S_кв = 25 см² , a - ? ; S_кв = 81дм² , a - ?

2. Длина прямоугольника равна 8см. Найдите сторону квадрата, если она

составляет:

1. ¼ длины прямоугольника; 3/16 длины прямоугольника;

2. 40% длины прямоугольника; 60%, 110%.

3. Придумать задачу по формуле: S = ab.

4. а = 3, P - ?

P = 17, a - ?

5. Решить кроссворд (ранее к данному уроку проведен конкурс кроссвордов

по теме «Окружность и круг»)

По горизонтали:

1 - точка, от которой удалены все точки окружности;

2 - отрезок, соединяющий две точки окружности;

3 - хорда, проходящая через центр окружности;

4 - инструмент для построения окружности.

По вертикали:

5 - множество точек плоскости, равноудаленных т данной точки;

6 - инструмент, с помощью которого измеряют радиус окружности;

7 - ½ диаметра;

8 - какую часть окружности пройдет стрелка часов, если она покажет 4 часа.

Ответы: 1 - центр; 2 - хорда; 3 - диаметр; 4 - циркуль; 5 - окружность;

6 - линейка; 7 - радиус; 8 - третью.

2. Объяснение нового.

- Вы уже знаете, как измерять длину отрезка, находить периметры многоугольников, площади квадратов и прямоугольников, объемы и площади поверхности прямоугольных параллелепипедов и кубов, измерять величины углов.

- Вы познакомились с простейшей кривой линией - окружностью и кругом как частью плоскости, ограниченной окружностью. А как измерить длину окружности, если окружность - кривая линия, а единица измерения длины - отрезок? Как вычислить площадь круга, если эта фигура, ограничена кривой линией, а единица измерения площади является квадрат, ограниченный отрезками?

- Запишем тему урока: «Длина окружности и площадь круга».

- Есть несколько способов непосредственного измерения длины окружности.

- У вас на столах есть все необходимое, подумайте, как можно измерить длину окружности.

(учащиеся предлагают способы)

На доске запись:

• Найти способ измерения окружности.

• Измерить длину окружности.

• Измерить диаметр окружности.

• Найти отношение длины окружности к диаметру.

1 способ (предлагают ученики).

На листе бумаги начертить прямую линию. Отметить на прямой точку касания цилиндра и окружности - точку А (отметить эту точку и на цилиндре). Затем плавно катить цилиндр по прямой (отметить точку В). Отрезок АВ = С. Измерив его с помощью избранной единицы измерения длины, мы тем самым измерим и длину окружности.

2 способ (предлагают ученики).

Обернуть край цилиндра веревкой (ниткой) по окружности так, чтобы конец нитки совпал с началом в одной и той же точке окружности. Затем растянуть эту нитку и измерить ее длину. Длина веревки (нитки) будет равна С.

- Однако эти способы непосредственного измерения С мало удобные и дают грубые приближенные результаты измерения. Поэтому уже с древних времен начали искать более совершенные пути (способы) измерения С.

Далее учитель спрашивает у учащихся и записывает результаты

С/d.

- Многие математики пытались доказать, что это отношение есть число постоянное, не зависящее от длины окружности, и найти более точное значение этого отношения. Впервые это удалось сделать древнегреческому математику Архимеду. Архимед установил, что отношение С/d - величина постоянная и нашел довольно точное значение этого отношения. Это отношение стали обозначать греческой буквой π - первой буквой греческого слова «периферия» - круг или «perimetron» - окружность.

- Таким образом, для вычисления длины окружности была установлена известная формула

С

− = π ; С = π d ; d = 2 r ,то С = 2 πr.

d

Историческая справка об Архимеде. История развития числа π (рассказ ученика).

- Придумайте задачи на использования формул

1) С, если d = 7; 12 r = 8; 9; ½.

2) r (d ), если С = 32π; 48π.

С ≈ 7·3,14 = 21, 98 С ≈ 2· 8· 3,14 = 50, 24

- Задача (написана на доске).

Сколько метров ткани шириной 1,5 м потребуется, чтобы изготовить покрытие для арены цирка, если радиус арены равен 5м? При правильном раскрое площадь ткани составляет 120% покрываемой площади. (π ≈ 3)

S _кр - ? S_тк = 1,2 S_кр

Ход решения обсуждается совместно с учащимися.

- Итак, необходимо знать формулу для вычисления S круга.

- Площадь можно найти непосредственным измерением несколькими способами.

1 способ (учащиеся работают с моделями круга, используя палетки ).

Подсчитайте сколько квадратиков лежит целиком внутри круга. Затем - сколько неполных квадратиков (эти квадратики лишь частично покрывают круг, то их число надо разделить на 2 и полученное частное прибавить к первому числу). Получим приближенное значение площади круга.

S = 74 + 30 : 2 = 89

Позже S ≈ 5,3² · 3,14 = 28,09 · 3,14 = 88,2026.

2 способ (работа с моделями кругов, разделенных цветом на две равные части).

Разрежьте круг (каждую половину на 8 частей) по радиусам не до конца. Получите две зубчатые фигуры, расправьте их и вложите одну зубчатую «пилу» в другую, а оставшийся последний зубец разрежьте по радиусу пополам и приложите одну часть слева, а другую - справа.

- Какую фигуру получили? Какую известную фигуру она напоминает?

(прямоугольник)

- Как найти его площадь?

(S = ab )

- Чему равны длина и ширина этого прямоугольника?

a = πr , b = r

- Найдите площадь фигуры

S = π · r · r = π r² ( читается «пи эр квадрат»)

- Значит, площадь круга находится по формуле

S = π r²

- Проверим по этой формуле вычисления площади круга, которое произвели

по 1 способу.

- Получили достаточно близкие результаты.

- Решим задачу про арену цирка.

S_кр = 25π =75 (м²)

S_тк = 75·1,2 = 90 (м²)

90 : 1,5 = 60 (м)

Ответ: 60м.

- Устно.

1) S - ? r = 2; 11; 23.

2) r - ? S = 16π; 25π; 49π.

3. Игровой момент.

1. В 3 в. до н.э. один из величайших математиков Древней Греции

Архимед без измерений. Одними лишь рассуждениями и вычислениями

нашел для числа π довольно точное значение. Назовите это архимедово

число (22/7).

2. Диаметр вала колодезного ворота равен 0,24м. Чтобы вытянуть ведро из

колодца, приходится делать 10 оборотов. Какова глубина колодца?

π ≈ 3,14 (0,24 · 3,14 · 10 = 7,536)

3. Не смотря на то, что число π было известно уже в Древней Греции,

обозначать его буквой π было предложено сравнительно недавно. Кем

и когда было предложено обозначать отношение длины окружности к

ее диаметру буквой π. ( Леонард Эйлер, 1736г.)

4. Вообразите, что вы обошли земной шар по экватору. На сколько при

этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик

вашей ноги? ( 2 π (r + s ) - 2πr = 2πs)

5. Какой ответ скрыт в вопросе: «Что я знаю о круге?» (π ≈ 3,1415)

6. Каким словом можно заменить слова: длина окружности? (периметр)

7. Посмотрите внимательно на следующее приближенное равенство. Как

вы думаете, верно ли оно? Это еще не вопрос. Почему?

А теперь вопрос - задание. Переложите одну палочку так, чтобы данное приближенное равенство стало верным.

Итог урока.

- Окружность - удивительно гармоническая фигура, древние греки считали ее самой совершенной. Совершенство окружности - в расположении всех ее точек на одинаковом расстоянии от центра. Окружность обладает еще одним интересным свойством. Возьмем веревочку (нитку) и свяжем ее в кольцо. Положив полученное кольцо на плоскость, сделаем из него разные фигуры: квадрат, треугольник, окружность и т.д. Площадь, ограниченная окружностью ( то есть площадь круга) наибольшая среди полученных таким образом площадей.

Δ □ ○

Путь получения формул:

Измерение → закономерность → формула

На уроке использовались эмпирические способы: измерение, вычисление, наблюдение.

Дома: п.24-25, две задачи из списка.

Задачи.

1. Диаметр телескопа Крымской обсерватории 2,6м, что составляет 13/ 25 диаметра зеркала телескопа в обсерватории на горе Паламар (США) и 13/20 диаметра зеркала обсерватории в Карачаево - Черкесии. Определите длину окружности этих зеркал.

2. Длина окружности экватора Земли 40075696м. Определите радиус экватора Земли.

3. Определите диаметры стволов деревьев - гигантов у их оснований:

а) эвкалипта, длина окружности которого 25м;

б) мамонтова дерева, длина окружности которого 32м;

в) чинара (платана), длина окружности которого 42м.

4. На судне был поставлен гребной винт - великан, но вскоре на другом судне был поставлен еще больший гребной винт. Сумма диаметров винтов составила 19,3м, а их разность - 2,7м. Вычислите диаметр и длину окружности каждого гребного винта.

5. Почему канализационные люки делают круглыми, а не квадратными?

6. На столе один пятак лежит неподвижно, а другой катится вокруг первого, касаясь его. Сколько раз он обернется вокруг своего центра, прежде чем вернется в исходное положение?

7. Диаметр циферблата Кремлевских курантов 6,12м, а длина минутной стрелки 3,27м. Найдите площадь циферблата. Какой путь проходит конец минутной стрелки курантов за час ( ответ округлите до сотых долей метра) ?

8. Останкинская телебашня в Москве опирается на площадку, имеющую

форму кольца. Диаметр наружной окружности 63м, а внутренней

окружности 44м. вычислите площадь фундамента Останкинской

телебашни.

9. У каких полуокружностей сумма длин больше - у верхних или у

нижних?