Комбинации многогранников и круглых тел

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Тема: Комбинации многогранников и круглых тел.

Цели:

  • ознакомить учащихся с тремя способами решения задач на комбинацию многогранников и сферы;

  • развивать умение работать с чертежом, обобщать, сравнивать, переносить знания в новую ситуацию, активизировать мыслительную деятельность учащихся;

  • воспитывать творческий подход к решению задач, эстетическое восприятие чертежа.

Ход урока


  1. Рассмотрение задачи С4; демонстрационного варианта 2008 года предложенным способом.

  2. Рассмотрение решения данной задачи еще двумя способами - координатным и векторным. Выбор рационального способа решения для данной задачи.

  3. Рефлексия. Решение задачи 1 (из вариантов КИМ ЕГЭ) с помощью учителя тремя способами. Выбор рационального способа решения для задачи 1.

  4. Предложение задачи 2 для самостоятельного решения по группам 3 способами.

  5. Подведение итогов урока

Ход урока.

I. В вариантах единого государственного экзамена часто встречаются задачи на комбинации многогранников и круглых тел. В частности, в демонстрационном варианте данного года предложена задача на комбинацию многогранника и сферы(С4).

Решим эту задачу тремя способами.

Задача. Отрезок PN - диаметр сферы. Точки M, L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите синус угла между прямой NT и плоскостью PMN, если T - середина ребра ML.

1 способ.

Решение

1Комбинации многогранников и круглых тел) Пусть О - центр сферы, а R - ее радиус. Тогда Комбинации многогранников и круглых тел как диаметр сферы. Поскольку точки M и

L лежат на сфере, то OP = OL = ON = OM = R. Сечения сферы плоскостями PLN и PMN - окружности радиуса R, описанные вокруг треугольников PLN и PMN, причем PMN =PLN = 900 как вписанные углы, опирающиеся на диаметр PN.

2) Пусть H - высота пирамиды PNML, опущенная из вершины M, и h - высота треугольника PLN, проведенная к стороне PN. Поскольку точка M лежит на сфере, а плоскость PLN содержит центр сферы, то Комбинации многогранников и круглых тел, причем Комбинации многогранников и круглых тел, если Комбинации многогранников и круглых тел. Аналогично, поскольку точка L лежит на сфере, то Комбинации многогранников и круглых тел, причем Комбинации многогранников и круглых тел, если Комбинации многогранников и круглых тел. Отсюда для объема пирамиды PNML имеем Комбинации многогранников и круглых тел. При этом Комбинации многогранников и круглых тел, только если Комбинации многогранников и круглых тел. Таким образом, пирамида PNML имеет наибольший объем, если треугольники PLN и PMN - прямоугольные и равнобедренные, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.

3) Поскольку Комбинации многогранников и круглых тел, то Комбинации многогранников и круглых тел. Но Комбинации многогранников и круглых тел и поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости Комбинации многогранников и круглых тел. Пусть K - середина МО. Проведем KТ - среднюю линию треугольника OLM. Тогда Комбинации многогранников и круглых тел. Значит, Комбинации многогранников и круглых тел и поэтому KN - проекция NT на плоскость PMN и TNK - угол между прямой NT и плоскостью PMN. Пусть TNK = .

4) По свойству средней линии Комбинации многогранников и круглых тел. Так как треугольники LON, LOM, NOM равны по двум катетам, то треугольник MNL - правильный со стороной Комбинации многогранников и круглых тел. NT - высота треугольника MNL, значит, Комбинации многогранников и круглых тел. Отсюда Комбинации многогранников и круглых тел.

Ответ: Комбинации многогранников и круглых тел.

II. 2 способ(векторный).

→ → →

Пусть ОМ, ОN, OL - взаимно перпендикулярные

Комбинации многогранников и круглых тел

координатные вектора. Разложим вектор NТ по координатным векторам:

→ → → → → →
NТ = NO + OM + MT = -ON + OM + ½

→ → →

(MO + OL) = -ON +

→ → → → → → + OM + ½ MO + ½ OL = - ON + OM - ½ OM

→ → → →

+ ½ OL = -ON + ½ OM + ½ OL

OL - вектор, перпендикулярный к плоскости PMN. Найдем скалярное

→ →

произведение векторов OL и NТ:

→ → → → → → → → → → → →

OL • NT = OL (- ON + ½ OM + ½ OL) = -OL • ON + ½ OL• OM + ½ OL • OL = ‌½

|OL|І = ½ R²

По определению скалярного произведения.

→ → → → →

OL • NT = │OL│• │NT│cosα = R •│NT│• cosα, где α - угол между векторами

→ →

OL и NT. → →

Тогда R•│NT│cosα = ½ R², 2│NT│cosα = R,

Комбинации многогранников и круглых тел

Найдем NT.

OL = ON = R, NL = RКомбинации многогранников и круглых тел, Комбинации многогранников и круглых тел

∆TNL - прямоугольный, тогда NT = Комбинации многогранников и круглых тел , NT = Комбинации многогранников и круглых телR.

Значит, Комбинации многогранников и круглых тел,

cos α = Комбинации многогранников и круглых тел. │cosα│= sinφ =Комбинации многогранников и круглых тел, где φ - угол между прямой NT и плоскость PMN.

Ответ: Комбинации многогранников и круглых тел.

3 способ(координатный).

→ → →

Комбинации многогранников и круглых телПусть ОМ, ОN, OL - взаимно

перпендикулярные координатные вектора.

→ →

Найдем координаты векторов NT и OL.

O(0,0,0), L(R,0,0), M(0,0,R), N(0,R,0), T(Комбинации многогранников и круглых тел; 0; Комбинации многогранников и круглых тел )Комбинации многогранников и круглых тел

тогда OL (R; 0; 0), NT (Комбинации многогранников и круглых тел; - R; Комбинации многогранников и круглых тел)

Комбинации многогранников и круглых тел=Комбинации многогранников и круглых тел, где α - угол между векторами

→ →

NT и OL. Но cosα = sinφ, где φ - угол между прямой NT и плоскостью PMN. Значит, sinφ =Комбинации многогранников и круглых тел. Ответ: Комбинации многогранников и круглых тел.

III. Мы рассмотрели три способа решения одной задачи. Предлагаю решить задачу 1 тремя рассмотренными способами и выбрать рациональный способ решения для данной задачи.

Задача 1.

Дана сфера радиуса 5. Сечением этой сферы плоскостью является окружность с центром О1. Плоскость сечения удалена от центра сферы на расстояние 3. Точка Т выбрана на сфере, а точки K, L, M, N - последовательно на окружности сечения так, что объем TKLMN пирамиды наибольший. Точка А - середина ребра TL. Найдите косинус угла между прямыми О1A и LM.

РКомбинации многогранников и круглых телешение.

1 способ.

1)Объем пирамиды TKLMN - наибольший, когда KLMN - квадрат, а высота пирамиды равна TO1, где Оє TO1. В этом случае площадь основания пирамиды наибольшая и высота пирамиды наибольшая. Чтобы найти косинус угла между прямыми O1A и LM, проведем O1D ‌‌║LM. При этом O1D = ½ LM как средняя линия ∆KLM. Опустим перпендикуляр AS на DO1, т.е. AS DO1 тогда

Комбинации многогранников и круглых тел,

где α - угол между прямыми O1A и DO1., УГОЛAO1S = α.

2)Рассмотрим прямоугольный ∆OO1N. OO1 =3 по условию, ON = R = 5. Тогда O1N =

= 4. LN = 2 O1N = 8; LM = Комбинации многогранников и круглых тел ; DO1 = Комбинации многогранников и круглых тел.

3) ∆ KTO1 - прямоугольный, O1T = 8, KO1 = 4. Тогда TK = Комбинации многогранников и круглых тел. AD = ½ TK как средняя линия ∆TLK, AD = Комбинации многогранников и круглых тел

4)∆ ADO1 - равнобедренный, AD = AO1 = Комбинации многогранников и круглых тел,т.к. AO1. - медиана прямоугольного ∆TDO1 , опущенная из вершины прямого угла. В равнобедренном ∆ ADO1 AS - высота и медиана, поэтому DS = SO1 = ½ DO1 = Комбинации многогранников и круглых тел

5) Значит, cosα = Комбинации многогранников и круглых тел, cosα = Комбинации многогранников и круглых тел .Ответ: Комбинации многогранников и круглых тел .Комбинации многогранников и круглых тел

2 способ(векторный).

→ → →

Пусть O1L, O1M, O1T - взаимно перпендикулярные координатные вектора, а α -

Комбинации многогранников и круглых тел

→ →

угол между векторами ML и O1A . Найдем cosα. Найдем скалярное

→ →

произведение векторов ML и O1A по определению скалярного произведения и разложив эти векторы

→ → →

по координатным векторам O1L, O1M, O1T.

→ → → → → →

ML • O1A = │ML│•│O1A│•cosα, │ML│= Комбинации многогранников и круглых тел, │O1A│= Комбинации многогранников и круглых тел

→ →

ML • O1A = Комбинации многогранников и круглых телcosα.

→ → →

С другой стороны O1A =1/2 (О1L + O1T),

→ → → → → → → → → → →

ML = MO1+O1L = -O1M + O1L, тогда O1A • ML = (-O1M+O1L)( ½ O1L+ ½ O1T)=

→ → → → → → → → →

- ½O1M • O1L - ½ O1T • O1M + ½ O1L • O1L+½ O1T • O1L = ½│O1L│² = 8,

т.к. │O1L│=4. Значит, Комбинации многогранников и круглых телcosα = 8, cosα = Комбинации многогранников и круглых тел.

│cosα│= sinφ, sinφ = Комбинации многогранников и круглых тел. Ответ: Комбинации многогранников и круглых тел.

3 способ(координатный)

Поместим пирамиду TLMNK в систему координат так, что О1 - начало

→ → →

координат, а оси координат направлены по векторам 01L, O1M, O1F. Найдем

Комбинации многогранников и круглых тел

координаты векторов LM и O1A. KO1=O1N=O1M=O1N=4 тогда L(4;0;0),

M(0;4;0) LM (-4;4;0). O1(0;0;0).

Спроектируем точку А на плоскость квадрата и найдем ее координаты. ∆ALO1 - равнобедренный, AO1=AL, поэтому AS - медиана ∆ALO1 , т.е. O1S = 2.

→ → →

AS = ½ TO1, как средняя линия ∆TLO1, AS=4. A(2;0;4), O1A(2;0;4), α = O1A^LM.

cosα = Комбинации многогранников и круглых тел; cosα = Комбинации многогранников и круглых тел. Ответ: Комбинации многогранников и круглых тел.

IV. Предложение задачи 2 для самостоятельного решения.

Задача2.

Дана сфера радиуса 8, с центром в точке О. В этой сфере проведено сечение, плоскость которого удалена от центра сферы на расстояние 4. Точка выбрана F на сфере, а точки A,B, C,D - последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды FABCD наибольший. Найдите синус угла между прямой и плоскостью AFB.

Решение.

1Комбинации многогранников и круглых тел способ.

1) Объем пирамиды FABCD наибольший, когда наибольшими будут площадь основания и высота пирамиды. Площадь основания наибольшая, когда ABCD - квадрат. Высота пирамиды наибольшая, когда h=FO1, Oє FO1.

2)Прямая OA - наклонная по отношению к плоскости ABF. Опустим из точки О перпендикуляр на плоскость ABF: OK ABF, KєFT т.к. ∆ABF - равнобедренный, FT AB.

Тогда уголOAK - угол между прямой AO и плоскостью ABF, sin углаOAK = Комбинации многогранников и круглых тел

3) В прямоугольном ∆O1DO OD = R=8, OO1 = 4, тогда DO1 = Комбинации многогранников и круглых тел.

AB = Комбинации многогранников и круглых тел, AT = ½ AB, AT = Комбинации многогранников и круглых тел.

4) В прямоугольном ∆O1TF O1F = 12, O1T = Комбинации многогранников и круглых тел, тогда FT = Комбинации многогранников и круглых тел.

5) Рассмотрим прямоугольные треугольники FO1T и FOK. Они имеют общую вершину F, тогда ∆ O1FT∞ ∆OFK . Имеем: Комбинации многогранников и круглых тел , ОК = Комбинации многогранников и круглых тел . Значит,

sin угла OAK = Комбинации многогранников и круглых тел sin угла OAK = Комбинации многогранников и круглых тел . Ответ: Комбинации многогранников и круглых тел .

2Комбинации многогранников и круглых тел способ(векторный).

Поместим пирамиду FABCD в систему координат так, что О1 - начало

→ → →

координат, O1A, O1B, O1F - координатные вектора. Синус угла (sinφ) между прямой AO и плоскостью AFB равен модулю косинуса угла между направляющим вектором

прямой AO и вектором KO, перпендикулярным к плоскости AFB(cosα).

Чтобы найти косинус угла между прямой AO и плоскостью AFB, рассмотрим скалярное произведение вектора AO и вектора KO , перпендикулярного к плоскости AFB.

→ → → →

KO • AO = │KO│•│AO│cosα.

│KO│= Комбинации многогранников и круглых тел; │AO│= R =8, KO • AO = Комбинации многогранников и круглых тел•cosα.

Из прямоугольного ∆OKF FK = Комбинации многогранников и круглых тел, FT = Комбинации многогранников и круглых тел. Тогда Комбинации многогранников и круглых тел.

→ →

Разложим вектора AO и KO по координатным векторам.

→ → → → →

AO = AO1+OO1=-O1A+1/3O1F.

→ → → → → → → → → → →

KO=KF+FO=4/7 TF-2/3 O1F=4/7 (O1F-O1T)- 2/3 O1F=-2/21O1F- 4/7O1T=-2/21O1F-

→ → → → →

4/7*1/2 (O1A+O1B)= -2/21O1F-2/7O1A-2/7O1B.

→ → → → → → → → →

KO • AO = (-O1A+1/3O1F)( -2/21O1F-2/7O1A-2/7O1B)= 2/7│O1A│²-2/63│O1F│².

Учитывая, что │O1A│= Комбинации многогранников и круглых тел │O1F│=12, имеем: KO • AO = Комбинации многогранников и круглых тел.

Тогда Комбинации многогранников и круглых телcosα = Комбинации многогранников и круглых тел, cosα = Комбинации многогранников и круглых тел. sinφ = │cosα│, sinφ = Комбинации многогранников и круглых тел.Ответ: Комбинации многогранников и круглых тел.

3 способ(координатный).

Поместим пирамиду FABCD в систему координат, так что О1 - начало координат, а оси координат

Комбинации многогранников и круглых тел → → →

направлены по векторам O1M, O1T, O1F , где M и T середины ребер AD и AB соответственно. Найдем координаты векторов

→ →

KO и. AO.

Спроектируем точку К на плоскость квадрата и

найдем ее координаты.

К1 - проекция точки К на плоскость квадрата, K1єO1T, O1K1=KS, где KS ┴ OF.

∆FOK - прямоугольный, KS- высота, опущенная из вершины прямого угла,

Комбинации многогранников и круглых тел. OK = Комбинации многогранников и круглых тел, FK = Комбинации многогранников и круглых тел; KS = Комбинации многогранников и круглых тел= O1K1.

∆OSK - прямоугольный: OS = Комбинации многогранников и круглых тел, OS = Комбинации многогранников и круглых тел.

O1S = Комбинации многогранников и круглых тел, O1S = Комбинации многогранников и круглых тел.

Тогда K(0; Комбинации многогранников и круглых тел; Комбинации многогранников и круглых тел), O(0;0;4)

KO(0; Комбинации многогранников и круглых тел; Комбинации многогранников и круглых тел).

A(Комбинации многогранников и круглых тел;Комбинации многогранников и круглых тел;0), AO(Комбинации многогранников и круглых тел;Комбинации многогранников и круглых тел;4).

Комбинации многогранников и круглых тел

sinφ = cosα = Комбинации многогранников и круглых тел. Ответ: Комбинации многогранников и круглых тел.

V. Подведение итогов урока.

VI.Задание на дом. Решить 3 способами задачу из КИМ ЕГЭ: В основании пирамиды SABC лежит треугольник со сторонами АВ=АС=4, ВС=4√3 . Ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Найдите радиус описанного около пирамиды шара, если радиус вписанного шара равен 2√3

5


© 2010-2022