Департамент образования Вологодской области

бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Вологодской области

«Сокольский лесопромышленный политехнический техникум»

УТВЕРЖДАЮ

Директор БОУ СПО ВО

«Сокольский ЛПТ»

____________ Э.М. Салтан

«_____» _____________ 2013г.

Комплект

контрольно - оценочных средств

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

^{ЕН.01. Элементы высшей математики}

^{для специальности}

^{230115 «Программирование в компьютерных системах»}

^{(базовой подготовки)}

Техник - программист

квалификация выпускника

Сокол

2013

Комплект контрольно-оценочных средств разработан на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальности 230 115 Программирование в компьютерных системах, программы учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики.

Разработчик:

Ветрова Евгения анатольевна

преподаватель математики БОУ СПО ВО «Сокольский ЛПТ»

Рассмотрено

на заседании комиссии «Физики, математики и информатики»

« 30 » августа 2013г., протокол № 1

председатель комиссии

______________________Киренцова Н.М.

^{(подпись)}

СОГЛАСОВАНО:

Внешние эксперты:

_________________________________________________

СОДЕРЖАНИЕ

1. Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств……………………4

2. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке…...4

3. Оценка освоения учебной дисциплины

3.1. Формы и методы оценивания………………………………………..6

3.2. Задания для оценки освоения учебной дисциплины………………11

4. Контрольно-оценочные материалы для промежуточной аттестации по учебной дисциплине………………………………………………………76

5. Лист согласования………………………………………………………….89

1. Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств

Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений студентов, освоивших программу учебной дисциплины Элементы высшей математики.

КОС включают контрольные материалы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации в форме устного экзамена.

КОС разработаны на основании следующих положений:

• ФГОС СПО по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах (базовой подготовки)

• основной профессиональной образовательной программы по специальности СПО 230115 Программирование в компьютерных системах (базовой подготовки).

• программы учебной дисциплины ЕН.01. Элементы высшей математики.

2. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке

В результате аттестации по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка следующих умений и знаний, а также динамика формирования общих компетенций.

В результате освоения учебной дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики студент должен обладать предусмотренными ФГОС по специальности СПО 230115 Программирование в компьютерных системах (базовой подготовки), следующими умениями, знаниями, которые формируют профессиональные компетенции, и общими компетенциями:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Умения:

У1. Выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений.

У2. Решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости.

У 3. Применять методы дифференциального и интегрального исчисления.

У 4. Решать дифференциальные уравнения.

решать дифференциальные уравнения.

У 5. Пользоваться понятиями теории комплексных чисел.

Знания:

З 1. Основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии

З 2. Основы дифференциального исчисления и интегрального исчисления.

З 3. Основы теории комплексных чисел

Содержание дисциплины ориентировано на подготовку студентов к овладению профессиональными компетенциями (ПК):

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

ПК 1.2. Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

ПК 2.4. Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

ПК 3.4. Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.

Формой промежуточной аттестации по учебной дисциплине является устный экзамен.

3. Оценка освоения учебной дисциплины

3.1. Формы и методы контроля

Контроль и оценка освоения учебной дисциплины по темам (разделам)

Элемент учебной дисциплины

Формы и методы контроля

Текущий контроль

Промежуточная аттестация

Форма контроля

Самостоятельная работа

Проверяемые

ОК, У, З

Форма контроля

Проверяемые ОК, У, З

Раздел 1.

Элементы линейной алгебры

Тема 1.1

Матрицы и определители

Устный опрос

Практическая работа №1.«Линейные операции над матрицами»,

Практическая работа №2 «Вычисление определителей».

Практическая работа №3

«Вычисление обратной матрицы»

Вычисление ранга матрицы.

Простейшие матричные уравнения.

Сфера применения матриц.

У1

З1

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У1

З1

ОК2 ОК3 ОК4

Тема 1.2.

Системы линейных уравнений

Устный опрос

Практическая работа №4 «Решение систем линейных уравнений»,

Контрольная работа

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

У1

З1

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У1

З1

ОК2 ОК3 ОК4

Раздел 2.

Элементы аналитической геометрии

Тема 2.1

Векторы. Операции над векторами

Устный опрос

Самостоятельная работа

Практическая работа №5.«Действия над векторами в координатной форме»,

Деление отрезка в данном отношении

У2

З1

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У2

З1

ОК2 ОК3 ОК4

Тема 2.2.

Прямая на плоскости

Устный опрос

Практическая работа №6 «Составление уравнений прямых и их построение»,

Параметрические уравнения прямой

У2

З1

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У2

З1

ОК2 ОК3 ОК4

Тема 2.3.

Кривые второго порядка

Устный опрос

Практическая работа №7 «Кривые второго порядка»,

Оптические свойства кривых второго порядка

У2

З1

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У2

З1

ОК2 ОК3 ОК4

Раздел 3

Основы математического анализа

Тема 3.1.

Теория пределов. Непрерывность

Устный опрос

Практическая работа №8 «Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

Практическая работа №9 «Исследование функций на непрерывность, точки разрыва»

Числовые последовательности. Предел последовательности, свойства предела

У3

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У3

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Тема 3.2.

Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

Устный опрос

Практическая работа №10.«Техника дифференцирования. Производная сложной функции»

Практическая работа 11 «Построение графиков функций».

Производные высших порядков.

Правило Лопиталя

Практическое применение производной

У3

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У3

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Тема 3.3.

Интегральное исчисление функции одной действительной переменной

Устный опрос

Практическая работа №12.«Техника интегрирования»

Самостоятельная работа

Практическая работа №13 «Применение определенного интеграла в геометрии».

Интегрирование некоторых иррациональных функций. Универсальная подстановка.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Понятие несобственных интегралов от неограниченных функций

У3

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У3

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Тема 3.4.

Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных

Устный опрос

Практическая работа №14.«Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных»,

Практическая работа №15 «Исследование на экстремум функции двух переменных».

Производные и дифференциалы высших порядков

У3

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У3

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Тема 3.5.

Интегральное исчисление функции нескольких переменных

Устный опрос

Применение двойных интегралов

У3

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Тема 3.6.

Теория рядов

Устный опрос

Практическая работа №16.«Исследование сходимости рядов»,

Практическая работа №17 «Разложение элементарных функций в ряд Тейлора».

Радиус и интервал сходимости.

Понятие о рядах Фурье.

У3

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У3

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Тема 3.7.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Устный опрос

Тест

Практическая работа №18.«Решение дифференциальных уравнений первого порядка»,

Практическая работа №19 «Решение дифференциальных уравнений второго порядка»

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Сфера применения дифференциальных уравнений.

У4

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У4

З2

ОК2 ОК3 ОК4

Раздел 4

Основы теории комплексных чисел

Тема 4.1.

Алгебраическая форма комплексного числа

Устный опрос

Самостоятельная работа по теме

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

У5

З3 ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У5

З3 ОК2 ОК3 ОК4

Тема 4.2.

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

Устный опрос

Практическая работа №20 «Действия над комплексными числами».

Сфера применения комплексных чисел.

У5

З3

ОК2 ОК3 ОК4

Экзамен

У5

З3

ОК2 ОК3 ОК43.2. Задания для оценки освоения учебной дисциплины.

Критерий оценки знаний и умений учащихся по математике

Преподаватель оценивает знания и умения студентов с учетом их индивидуальных особенностей.

1. Содержание и объем материала, подлежащего проверке, оп­ределяется программой. При проверке усвоения материала нужно выявлять полноту, прочность усвоения учащимися теории и умения применять ее на практике в знакомых и незнакомых ситуациях.

2. Основными формами проверки знаний и умений учащихся по математике являются письменная работа и устный опрос.

При оценке письменных и устных ответов преподаватель в первую очередь учитывает показанные студентами знания и умения. Оценка зависит также от наличия и характера погрешностей, допущенных учащимися.

3. Среди погрешностей выделяются ошибки и недочеты. Погрешность считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что студент не овладел основными знаниями, умениями, ука­занными в программе.

К недочетам относятся погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном или недостаточно прочном усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний, не считающихся в про­грамме основными. Недочетами также считаются: погрешности, ко­торые не привели к искажению смысла полученного студентом зада­ния или способа его выполнения; неаккуратная запись; небрежное выполнение чертежа.

Граница между ошибками и недочетами является в некоторой степени условной. При одних обстоятельствах допущенная учащи­мися погрешность может рассматриваться преподавателем как ошибка, в другое время и при других обстоятельствах - как недочет.

4. Задания для устного и письменного опроса учащихся со­стоят из теоретических вопросов и задач.

Ответ на теоретический вопрос считается безупречным, если по своему содержанию полностью соответствует вопросу, содержит все необходимые теоретические факты и обоснованные выводы, а его изложение и письменная запись математически грамотны и от­личаются последовательностью и аккуратностью.

Решение задачи считается безупречным, если правильно выбран способ решения, само решение сопровождается необходимыми объяснениями, верно выполнены нужные вычисления и преобразования, получен верный ответ, последовательно и аккуратно за­писано решение.

5. Оценка ответа учащегося при устном и письменном опросе проводится по следующей системе, т. е. за ответ выставляется одна из отметок: 2 (неудовлетворительно), 3 (удов­летворительно), 4 (хорошо), 5 (отлично).

6. Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельству­ют о высоком математическом развитии учащегося; за решение бо­лее сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предло­женные студенту дополнительно после выполнения им заданий.

Критерии ошибок:

К г р у б ы м ошибкам относятся ошибки, которые обнаруживают незнание учащимися формул, правил, основных свойств, теорем и неумение их применять; незнание приемов решения задач, рассматриваемых в учебниках, а также вычислительные ошибки, если они не являются опиской;

К н е г р у б ы м ошибкам относятся: потеря корня или сохранение в ответе постороннего корня; отбрасывание без объяснений одного из них и равнозначные им;

К н е д о ч е т а м относятся: нерациональное решение, описки, недостаточность или отсутствие пояснений, обоснований в решениях

Критерий оценки устного опроса по математике

Оценка «отлично» ставится, если ученик:

- полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотрен­ном программой,

- изложил материал грамотным языком в определенной логиче­ской последовательности, точно используя математическую термино­логию и символику;

- правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

- показал умение иллюстрировать теоретические положения конк­ретными примерами, применять их в новой ситуации при выполне­нии практического задания;

- продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при от­работке умений и навыков;

- отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя. Возможны одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по за­мечанию учителя.

Ответ оценивается оценкой «хорошо», если он удовлетворяет в основ­ном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недо­статков:

- в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие ма­тематическое содержание ответа;

- допущены один - два недочета при освещении основного содержа­ния ответа, исправленные по замечанию учителя;

- допущены ошибка или более двух недочетов при освещении вто­ростепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.

Оценка «удовлетворительно» ставится в следующих случаях:

- неполно или непоследовательно раскрыто содержание материа­ла, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного ма­териала

- имелись затруднения или допущены ошибки в определении поня­тий, использовании математической терминологии, чертежах, вы­кладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

- при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Оценка «неудовлетворительно» ставится в следующих случаях:

- не раскрыто основное содержание учебного материала;

- обнаружено незнание или непонимание студентом большей или наиболее важной части учебного материала;

- допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Критерий оценки письменных и практических работ

по математике

Оценка «отлично» ставится, если:

- работа выполнена полностью;

- в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробе­лов и ошибок;

- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточ­ность, описка, не являющаяся следствием незнания или непо­нимания учебного материала).

Оценка «хорошо» ставится, если:

- работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

- допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, ри­сунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Оценка «удовлетворительно» ставится, если:

допущены более одной ошибки или более двух-трех недоче­тов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, если:

допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет

обязательными умениями по данной теме в полной мере

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Тема 1.1. Матрицы и определители

Устный опрос

Задание к выполнению

1.Изучить пройденный материал по данной теме

2.Уметь ответить на теоретические вопросы

1. Что называется матрицей?

2. Что называется матрицей-строкой? матрицей-столбцом?

3. Какие матрицы называются прямоугольными? квадратными?

4. Какие матрицы называются равными?

5. Что называется главной диагональю матрицы?

6. Какие матрицы называются диагональной?

7. Какие матрицы называются единичной?

8. Какие матрицы называются треугольной?

9. Что значит транспонировать матрицу?

10. Что называется суммой матриц?

11. Что называется произведением матрицы на число?

12. Как найти произведение двух матриц?

13. В чем состоит обязательное условие существования произведения матриц?

14. Какими свойствами обладает произведение матриц?

15. Что называется определителем матрицы?

16. Как вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников?

17. Что называется мироном?

18. Что называется алгебраическим дополнением элемента определения?

19. Как разложить определитель по элементам столбца или строки?

20. Какие способы вычисления определителя Вам известны?

21. Перечислите свойства определителей?

22. Какая матрица называется невырожденной?

23. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

Практическая работа №1

Линейные операции над матрицами

Цель: овладение языком науки, приобретение навыков оперирования понятиями, умений выполнять различные линейные операции над матрицами

Задание к выполнению практической работы №1

1. Изучить материал по данной теме

2. На основе полученных знаний выполните указанные действия

N - индивидуальный вариант (порядковый номер по списку)

Даны матрицы A = ; B = ; C = ; D =

Найдите значения следующих выражений: ; ;

3. Даны матрицы А и В. Найти А·В, В·А, 3А-В.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Практическая работа №2

Вычисление определителей

Цель: углубление теоритической и практической подготовки; приобретение умений находить определители второго, третьего и четвертого порядков, используя их свойства и различные способы вычислений определителей.

Задание к выполнению практической работы №2

1.Изучить материал по данной теме

2.На основе полученных знаний выполнить любые 10 заданий на выбор

1. Вычислить определитель

2. При каких значениях x определитель равен удвоенному определителю

3. При каких значениях х обращается в нуль определитель

4. Вычислить определитель

5. Вычислить определитель

6. При каком значении а уравнение =0 имеет корень равный -5/2

7. Вычислить определитель

8. При каких значениях x определитель равен 5

9. Вычислить определитель

10. Вычислить определитель

11. Вычислить определитель

12. При каком значении x дробь D₁ /D₂ равна если D₁ = D₂ = ²

13. Вычислить определитель

14. Вычислить определитель с помощью разложения его по элементам первой строки

15. При каких значениях a обращается в нуль определитель

16. Вычислить определитель

17. С помощью разложения по элементам первого столбца вычислить определитель четвертого порядка

18. Решить уравнение

19. Вычислить определитель четвертого порядка с помощью разложения его по элементам первой строки

20. Вычислить определитель

21. Вычислить определитель

22. При каких значениях а обращается в нуль определитель

23. При каких значениях х определитель равен определителю

24. Вычислить определитель

Практическая работа №3

Вычисление обратной матрицы

Цель: развитие творческого профессионального мышления; познавательная мотивация; овладение умениями и навыками постановки и решения задачи.

Задание для выполнения практической работы №3

Найти матрицу, обратную данной

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20. 21.

22. 23. 24.

25.

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Устный опрос

1. Общий вид системы m линейных уравнений с n неизвестными.

2. Что называется решением системы?

3. Какая система называется совместной?

4. Какая система называется несовместной?

5. Какая система называется определенной? неопределенной?

6. Какие системы называются эквивалентными?

7. Какая система называется однородной? неоднородной?

8. Сформулируйте теорему Крамера

9. Запишите формулы Крамера

10.В каком случае система имеет множество решений? не имеет решения?

11.Расширенная матрица системы уравнений.

12. Опишите метод Гаусса

13.Перечислите элементарные преобразования расширенной матрицы при прямом ходе метода Гаусса

Практическая работа №4

Решение систем линейных уравнений

Цель: развитие инициативы и самостоятельности студентов; приобретение умений применять различные методы при решении систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Задание для выполнения практической работы №4

Решить системы уравнений двумя способами:

1. Пользуясь формулами Крамера

2. Методом исключения неизвестных

Контрольная работа по разделу 1. «Элементы линейной алгебры»

Цель: определение уровня остаточных знаний студентов по данному разделу. Закрепление знаний и умений по теме.

Задание к выполнению контрольной работы

1. Уметь ответить на теоретические вопросы.

2. Выполнить теоретические упражнения.

3. В примере 1 найти указанные миноры M_IJ, алгебраические дополнения А_IJи вычислить определители.

4. В примере 2 решить уравнение и проверить подстановкой корней в определитель (или решить указанное неравенство).

5. В примере 3 найти произведение матриц А * В (если нет других указаний по выполнению этого примера).

6. В примере 4 доказать. Что матрица А имеет обратную и найти ее.

7. В примере 5 найти ранг матрицы.

8. В примере решить систему линейных уравнений : а) по формулам Крамера б) методом Гаусса.

Теоретические вопросы.

1. Что называется определителем 2-го и 3-го порядков?

2. Как вычислить определитель 2-го порядка?

3. Что называется минором M_IJ?

4. Что называется алгебраическим дополнением А_IJ?

5. Перечислить свойства определителя.

6. Как вычислить определитель 3-го порядка методом разложения по строке или столбцу?

7. Что называется матрицей?

8. Что называется операцией транспонирования матрицы?

9. Что называется суммой и произведением матриц?

10. Что называется произведением матрицы А на число k?

11. Какая матрица называется единичной матрицей?

12. Какая матрица называется матрицей - строкой, матрицей -столбцом?

13. Какая матрица называется вырожденной, невырожденной?

14. Какая матрица матрица называется обратной?

15. Что называется элементарным преобразованием матрицы?

16. Какая матрица называется расширенной?

17. Что называется рангом матрицы?

18. Сформулируйте теорему о ранге матрицы?

19. Сформулируйте теорему Кронкера - Капелли?

20. Какие матрицы называют эквивалентными?

21. Что называется совместной системой уравнений?

22. Сформулируйте правило Крамера.

Теоретические упражнения.

1. Дан определитель, у которого все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю. Чему равен определитель?

2. Можно ли сложить две матрицы с размерами 2х3 и 3х1?

3. Можно ли умножить матрицу с размерами 2х3 на матрицу с такими же размерами?

4. Найдите все матрицы 2-го порядка, квадраты которых равны нулевой матрице

5. Как измениться произведение А*В матриц А и В если:

а) переставить 1-ю и 3-ю строки матрицы А;

б) 1-й и 3-й столбцы матрицы В.

6. Как связаны между собой элементы матрицы А и ?

7. Как изменится ранг матрицы, если к ней добавить один столбец?

Примерный типовой вариант №0

0.1

0.2

0.3 а)

б)

0.4 ,

0.5

0.6

Решение примеров типового варианта №0

Пример 0.1 найти и вычислить определители

Решение:

а) Выполним задание для определителя |A|;

- =

-

- Для вычисления определителя |A| целесообразно разложить его по элементам второй строки:

Полученные определители третьего порядка сведем к определителям второго порядка, еще раз разложив из них по первой строке.

Пример 0.2. Решить уравнение и проверить подстановкой корней в определитель

Решение:

Разложим данный определитель по первой строке и получим уравнение первого порядка относительно х, решая которое можно найти неизвестное х.

Отсюда, приводя подобные члены, будем иметь 24-12х=12 => x=1.

Проверка: Подставим в исходный определитель х=1 и раскроем его по элементам первой строки:

Пример 0.3. Найти произведение матриц АВ:

а)

б)

Решение:

a)

Решение: Вычисляем б)

определитель матрицы:

матрица имеет обратную ей матрицу. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

Таким образом

Пример 0.5.

Найти ранг матрицы:

Решение:

1. отбросим последний столбец с нулевыми элементами,

2. все элементы третьей строки разделим на 2,

3. из элементов третьей строки вычтем элементы первой,

4. отбросим последнюю строку с нулевыми элементами.

Так как для последней матрицы существует минор второго порядка, отличный от нуля, например то r(A)=2.

Пример 0.6. Решить систему линейных уравнений

а) по формулам Крамера

б) методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу и выполним на ней элементарные преобразования, указанные в методе Гаусса.

Здесь выполнены следующие преобразования:

- вторая строка умножена на 2;

- из второй и третьей строк вычтем первую

Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

равносильный исходной. Из этой системы последовательно находим:

б) Пример 0.4. Доказательство того, что матрица имеет обратную и найти ее:

Решение: Вычисляем определитель матрицы:

матрица имеет обратную ей матрицу. Находим алгебраические дополнения элементов этого определителя:

Таким образом

Пример 0.5.

Найти ранг матрицы:

Решение:

1. отбросим последний столбец с нулевыми элементами,

2. все элементы третьей строки разделим на 2,

3. из элементов третьей строки вычтем элементы первой,

4. отбросим последнюю строку с нулевыми элементами.

Так как для последней матрицы существует минор второго порядка, отличный от нуля, например то r(A)=2.

Пример 0.6. Решить систему линейных уравнений

а) по формулам Крамера

б) методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу и выполним на ней элементарные преобразования, указанные в методе Гаусса.

Здесь выполнены следующие преобразования:

- вторая строка умножена на 2;

- из второй и третьей строк вычтем первую

Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

равносильный исходной. Из этой системы последовательно находим:

Варианты заданий для выполнения практической работы

1 ВАРИАНТ

1.1.

1.2.

1.3.

а) б)

1.4. 1.5.

1.6.

2ВАРИАНТ

2.1.

2.2.

2.3.

а) б)

2.4.

2.5.

2.6.

3 ВАРИАНТ

3.1.

3.2.

3.3.

а) б)

3.4.

3.5.

3.6.

4 ВАРИАНТ

4.1.

4.2.

4.3.

а) б)

4.4.

4.5.

4.6.

5 ВАРИАНТ

5.1.

5.2.

5.3.

а) б)

5.4.

5.5.

5.6.

6 ВАРИАНТ

6.1.

6.2.

6.3.

а) б)

6.4.

6.5.

6.6.

7 ВАРИАНТ

7.1.

7.2.

7.3.

а) б)

7.4.

7.5.

7.6.

8 ВАРИАНТ

8.1.

8.2.

8.3.

а) б)

8.4.

8.5.

8.6.

9 ВАРИАНТ

9.1.

9.2.

9.3.

а) б)

9.4.

9.5.

9.6.

10 ВАРИАНТ

10.1.

10.2.

10.3.

а) б)

10.4.

10.5.

10.6.

11 ВАРИАНТ

11.1.

11.2.

11.3.

а) б)

11.4.

11.5.

11.6.

12 ВАРИАНТ

12.1.

12.2.

12.3.

а) б)

12.4.

12.5.

12.6.

13 ВАРИАНТ

13.1.

13.2.

13.3.

а) б)

13.4.

13.5.

13.6.

14 ВАРИАНТ

14.1.

14.2.

14.3.

а) б)

14.4.

14.5.

14.6.

15 ВАРИАНТ

15.1.

15.2.

15.3.

а) б)

15.4.

15.5.

15.6.

Раздел 2.

Элементы аналитической геометрии

Тема 2.1. Векторы. Действия над векторами

Устный опрос

1. Что называется вектором?

2. Что называется длиной вектора?

3. Какие векторы называются равными?

4. Как сложить два вектора?

5. Как найти разность двух векторов?

6. Как умножить вектор на число?

7. Какие векторы называются коллинеарными?

8. Как разложить вектор в декартовой системе координат?

9. Что называется базисом?

10. Что называется координатами вектора?

11. Что можно сказать о базисе ?

12. Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?

13. Как найти длину вектора, заданного двумя точками?

14. Как вычисляется длина вектора, заданного своими координатами?

15. Как выполняются сложение и вычитание векторов, заданных своими координатами?

16. Как умножить вектор, заданный своими координатами, на число?

17. Каким свойством обладают координаты коллинеарных векторов?

18. Даны векторы . Какие из них коллинеарны?

19. Запишите формулы деления отрезка в заданном отношении.

20. Запишите формулы деления отрезка на две равные части.

21. Что называется скалярным произведением?

22. Как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?

23. Какими свойствами обладает скалярное произведение векторов?

24. Чему равно скалярное произведение двух чисел перпендикулярных векторов?

25. Чему равно скалярное произведение двух чисел коллинеарных векторов?

Самостоятельная работа по теме

Вариант 1

1. Вычислить скалярное произведение векторов и , если

2. Определить, при каких значениях m длины векторов будут равны, если

3. Даны точки A(-3;5) и В(2;-4). Выразить вектор

4. Найти угол между векторами

Вариант 2

1. Вычислить скалярное произведение векторов если даны координаты точек: А(1;3), В(2;0), С(3;-4).

2. Найти длину вектора , если даны векторы

3. Вектор коллинеарен вектору Найти абсциссу вектора , если его ордината y=15.

4. Даны векторы Найти вектор

Вариант 3

1. Определить, при каких значениях m векторы и ,будут взаимно перпендикулярны.

2. На векторах построен параллелограмм. Определить длины его диагоналей.

3. На плоскости даны точки А(3;2) и В(5;0). Построить вектор и выразить его через орты

4. Определить угол между векторами .

Вариант 4

1. Вычислить работу на участке , которую производит сила

2. Вектор коллинеарен вектору Вычислить ординату вектора , если его абсцисса равна -18.

3. Определить значение m, при котором векторы будут взаимно перпендикулярны, если дано:

4. В Треугольнике АВС вершины имеют координаты А(1;1), В(2;3), С(3;2). Определить острый угол между медианой [BD] и стороной [BC].

Вариант 5

1. Вычислить скалярное произведение векторов , если

2. Дан вершины параллелограмма ABCD: А(0;0), В(2;3), С(-3;4). Определить координаты вершины D.

3. Определить угол между векторами

4. Даны три вектора : Определить координаты вектора

Вариант 6

1. Вычислить скалярное произведение векторов , если известно расположение векторов .

2. Проверить, являются ли точки А(-4;-4), В(-3;4), С(4;5), D(10;-2) вершинами трапеции.

3. Вершинами треугольника АВС являются точки А(1;1), В(0;3),С(-1;-1). Определить координаты векторов .

4. Определить угол между векторами

Вариант 7

1. Даны точки: А(1;4), В(5;5), С(6;2), D(2;1). Доказать, что четырехугольник ABCD - параллелограмм. Вычислить длины векторов

2. Определить угол А треугольника АВС, если известны координаты вершин: А(1;3), В(4;6), С(3;1).

3. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника АВС равна с.

Вычислить сумму

4. Даны векторы , угол между векторами равен 90. Вычислить длину вектора

Вариант 8

1. Векторы образуют с осью абсциссой соответственно углы 30 и 60. Определить проекцию на ось абсцисс вектора

2. ABCDEF - правильный шестиугольник с центром в точке О и длиной стороны a. Вычислить скалярное произведение: а)

3. Какой угол образует вектор с осью абсцисс?

4. В квадрате ABCD найти сумму векторов

Ответы:

Вариант 1: 1. -8. 2. Ø. 3. . 4. π/4.

Вариант 2: 1.23. 2. . 3. -5. 4. (18; -16).

Вариант 3: 1. 3. 2. ;. 3. . 4. π/4.

Вариант 4: 1. . 2. -12. 3. 8. 4. π/4.

Вариант 5: 1. -18. 2. (-5;1). 3. π/4. 4. (3;-3).

Вариант 6: 1. 9. 2. да. 3. = ( -1; 2),= ( -1; -4),= (2;2) 4. π/4.

Вариант 7: 1. 5; . 2. π/2. 3. 4. 13.

Вариант 8: 1. + 1,5. 2. а); б); в) . 3. 5π/4. 4. 0.

Практическая работа №5.

Действия над векторами в координатной форме

Цель: овладение умениями и навыками постановки и решения задач

Задания для выполнения практической работы №5

1. Найти длину вектора , если =(0; 1; 2); =(2; 4; 6).

2. Найти координаты векторного произведения , если , .

3. В параллелограмме OACB , . Вычислить длины его диагоналей.

4. Имеет ли треугольник с вершинами А(0;5;0), В(4;3;-8), С(-1;-3;-6) тупой угол?

5. Найти длину вектора если , .

6. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

7. Найти скалярное произведение , если , .

8. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

9. Доказать, что ΔАВС равнобедренный, если А(4;20), В(10;-2;3), С(-2;0;6).

10. Найти скалярное произведение , если , .

11. Найти площадь треугольника, если А(1;1;1), В(2;3;4), С(4;3;2).

12. Найти длину вектора , если , .

13. При каком значении n векторы и коллинеарны?

14. Даны векторы и . Найти длину вектора 0,5.

15. Известно, что векторы и коллинеарны и , . Найти известные координаты вектора .

16. Найти сумму 2 векторов и .

17. Дан вектор . Найти координаты вектора 3.

18. Найти длину вектора , если А(1;2;-3), В(3;-2;1).

19. Найти проекцию вектора на .

20. Даны векторы и . Найти координату z, если известно, что .

21. Доказать, что треугольник с вершинами А(2;1;5), В(-1;0;3), С(5;-1;4) равнобедренный.

22. Найти координаты точки М, лежащей на оси Оу, если эта точка равноудалена от точек А(1;-1;2) и В(4;0;3).

23. Найти угол между векторами и .

24. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

25. Найти длину вектора , если А(1;-2;3), В(3;2;0).

Тема 2.2.Прямая на плоскости

Устный опрос

Задание к выполнению

1.Изучить пройденный материал по данной теме

2.Уметь ответить на теоретические вопросы:

1. Что называет уравнением линии?

2. Лежат ли точки A(-3;9), B(2;1), C(7;2) на линии, заданной уравнением x²-y=?

3. Каким уравнением описывается прямая на плоскости?

4. Запишите уравнения осей координат.

5. Запишите уравнения прямых, параллельных осям координат.

6. Какой координатной оси параллельна прямая, заданная уравнением x+5=0? Начертите эту прямую.

7. Какой координатной оси параллельна прямая, заданная уравнением 2y-8=0? Начертите эту прямую.

8. Сформулируйте условие параллельности прямых.

9. Сформулируйте условие перпендикулярных прямых.

10. Как найти угол между прямыми?

Практическая работа №6

Уравнение линии на плоскости

Цель: приобретение умений решать задачи на применение различных уравнений прямой линии на плоскости

Задание для выполнения практической работы №6

1. Изучить теоритические вопросы

2. Выполнить указанное задание по индивидуальному варианту:

Даны вершины A(X₁;Y₁), B(X₂;Y₂), C(X₃;Y₃) треугольника ABC. Требуется найти:
а) уравнение стороны AC
б) уравнение высоты, проведенной из вершины B
в) длину высоты, проведенной из вершины A
г) величина (в радианах) угла B
д) уравнение биссектрисы угла B

1. A(5;3), B(-11;-9), C(-4;15).
2. A(-7;2), B(5;-3), C(8;1).
3. A(1;-15), B(6;-3), C(2;0).
4. A(-8;3), B(4;-2), C(7;2).
5. A(6;3), B(-10;-9), C(-3;15).
6. A(-9;6), B(3;1), C(6;5).
7. A(20;5), B(-4;12), C(-8;9).
8. A(-3;-7), B(2;5), C(-2;8).
9. A(10;1), B(-6;13), C(1;6).
10. A(0;-9), B(5;3), C(1;-11

Тема 2.3. Кривые второго порядка

Устный опрос

1. Каким уравнением описывается кривая на плоскости?

2. Запишите каноническое уравнение эллипса.

3. Что называется эксцентриситетом эллипса? Какова его величина?

4. Уравнение эллипса со смещенным центром.

5. Чему равен эксцентриситет окружности?

6. Уравнение окружности со смещенным центром.

7. Запишите каноническое уравнение гиперболы

8. Какая гипербола называется равносторонней?

9. Запишите уравнение равносторонней гиперболы.

10. Чему равен эксцентриситет равносторонней гиперболы?

Практическая работа №7

Кривые второго порядка

Цель: приобретение умений определять тип кривой по ее каноническому уравнению

Задание для выполнения практической работы №2

1. Изучить теоритический материал по теме

2. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой.

Варианты заданий:

1. x²- 2x - 4y + y² + 1 = 0

2. 25x² + 16y² - 50x + 64y - 311 = 0

3. 9y² - 4x² + 16x + 18y +29 = 0

4. x² + 4x - 6y + y² + 12 = 0

5. 4x² + 9y² + 16x - 18y - 11 = 0

6. 2x² - 3y² - 8x + 6y - 7 = 0

7. x² + 2x + y² - 4y + 1 = 0

8. 2x² + 5y² - 10y - 8x + 3 = 0

9. x² - y² - 4y = 0

10. x² + y² - 6x + 10y - 2 = 0

11. x² + 6x + 2y² + 12y + 23 = 0

12. 3x² - 6x - 5y² +20y - 32 = 0

13. x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0

14. 7x²+3y² - 14x + 6y - 11 = 0

15. 3y² - 6y - 6x² + 24x - 3 = 0

16. x² + y² + 12y - 13 = 0

17. x² + 4y² - 2x + 56y + 181 = 0

18. x² - 2x - y² - 3 = 0

19. x² + y² + 4x - 2y - 4 = 0

20. x² + 2y² + 8x - 4 = 0

Раздел 3.

Основы математического анализа.

Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность.

Устный опрос

1. Дайте определение предела переменной величины.

2. Перечислите свойства пределов.

3. Как прочитать запись ? Дайте определение предела функции в точке.

4. Что называется приращением независимой переменной и приращением функции?

5. Дайте определение непрерывной функции в точке, на отрезке

6. Непрерывность основных элементарных функций

7. Основные теоремы о непрерывных функциях

8. Классификация точек разрыва

9. Дайте определение предела функции на бесконечности. Объясните основной метод раскрытия неопределенности на примере вычисления предела.

10. Правило раскрытия неопределенности 0/0

11. Замечательные пределы.

Практическая работа №8

Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.

Цель: овладение умениями и навыками постановки и решения задачи

Задание для выполнения практической работы №8

№1. Найти пределы:

1. a) ; b) ;

c) ; d) ;

2. a) ; b) ;

c) ; d) ;

3. a) ; b) ;

c) ; d) ;

4. a) ; b) ;

c) ; d) ;

5. a) ; b) ;

c) ; d) ;

16. a) ; b) ;

c) ; d) ;

17. a) ; b) ;

c) ; d) ;

18. a) ; b) ;

c) ; d) ;

19. a) ; b) ;

c) ; d) ;

20. a) ; b) ;

c) ; d) ;

Практическая работа №9

Исследование функций на непрерывность

Цель: формирование умений и навыков исследования функций на непрерывность

Задание для выполнения практической работы №9

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной

Устный опрос

1. Как найти мгновенную скорость прямолинейного неравномерного движения?

2. Как вычислить угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке?

3. Что характеризует скорость изменения функции относительно изменения аргумента? дайте определение производной.

4. Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке? Сформулируйте зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

5. Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной функции? Как вычислить частное значение производной?

6. Выпишите в таблицу основные правила и формулы дифференцирования функций.

7. Повторите определение сложной функции. Как найти ее производную?

8. Каков геометрический смысл производной? Как геометрически определить значение производной в точке?

9. В чем заключается механический смысл производной?

10. Что называется производной второго порядка и каков ее механический смысл?

11. Что называется дифференциалом функции, чему он равен, как обозначается и каков его геометрический смысл?

12. Повторите определение возрастающей и убывающей функций. Каковы знаки производной функции в интервалах ее возрастания и убывания?

13. В чем заключается необходимый и достаточный признаки существования экстремума функции с помощью первой производной?

14. Как отыскивают экстремумы функций с помощью второй производной? Почему в точке максимума вторая производная отрицательна, а в точке минимума - положительна?

15. В чем разница между нахождением максимума и минимума функции и нахождении ее наибольшего и наименьшего значения?

16. Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данной отрезке? Найдите эти значения для функции y=x³-3x²+1 на отрезке [-1;4].

17. Как определяются геометрически и по знаку второй производной выпуклость и вогнутость кривой?

18. Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.

19. Асимптоты графика функции.

20. Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции?

Практическая работа №10.

Техника дифференцирования сложной функции

Цель: углубление теоритической и практической подготовки; овладение техникой дифференцирования сложной функции

Задание для выполнения практической работы №10

Найти значение производной при данном значении аргумента

1. ;

2.

3.

4.

5.

6. ;

7.;

8.;

9.;

10. ;

11. . Найти у(0).

12. . Найти у (-1).

13. . Найти у ().

14. . Найти у (.).

15. .

16. .

17. . Найти у (2).

18. .

19. . Найти у ( ).

20. . Найти у (4).

21. . Найти у (2).

22. .

23. .

24. .

25. . Найти у ().

26. . Найти у ().

27. .

28. .

29. . Найти у (0).

30. 

Практическая работа №11

Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение графиков

Цель: формирование умений и навыков построения графиков функций.

Задание для выполнения практической работы

Вариант 1.

а)

б) y=x³+3x²-5x-6

Вариант 2.

а) у=6х²-2х³

б)

Вариант 3.

а) у=х³+3х²-9х+1

б)

Вариант 4.

а)

б)

Вариант 5.

а)

б)

Вариант 6.

а)

б)

Вариант 7.

а)

б)

Вариант 8.

а)

б)

Вариант 9.

а)

б)

Вариант 10.

а)

б)

Вариант 11.

а)

б)

Вариант 12.

а)

б)

Вариант 13.

а)

б)

Вариант 14.

а)

б)

Вариант 15.

а)

б)

Вариант 16.

а)

б)

Вариант 17.

а)

б)

Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной

Устный опрос

1. Что является основной задачей интегрального исчисления?

2. Какая функция называется первообразной для заданной функции?

3. Если F(x) - первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?

4. Какая из двух функций 5x⁴ или x⁵+4 является первообразной для другой?

5. Первообразная определяется неоднозначно. Как это нужно понимать?

6. Почему при интегрировании функции появляется произвольная постоянная?

7. Почему одна функция имеет целую совокупность первообразных?

8. Как записать всю совокупность первообразных функций?

9. Что называется неопределенным интегралом?

10. Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции?

11. Почему интеграл называется неопределенным?

12. Как называются все элементы равенства?

13. Чем отличаются друг от друга подынтегральная функция и подынтегральное выражение?

14. Что означает постоянная C в определении неопределенного интеграла?

15. Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла?

16. В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель?

17. В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функции?

18. Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции?

19. Напишите основные формулы интегрирования?

20. Как доказать справедливость каждой формулы интегрирования?

21. Почему для интеграла ? В какой формуле рассматривается этот случай?

22. Как проверить результат интегрирования?

23. Какие из следующих равенств записаны верно, а какие нет: а) б) в) ?

24. В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?

25. Что такое интегральные кривые? Как они расположены друг относительно друга? Могут ли они пересекаться?

26. Как расположены касательные к интегральным кривым в точках, имеющих одну и ту же абсциссу?

27. Как из семейства интегральных кривых выделить одну из них?

28. Как определить постоянную интегрирования по начальным данным?

29. Скорость прямолинейно движущейся точки меняется по закону . Найдите закон движения.

30. Укажите целесообразные подстановки для нахождения следующих интегралов: а) ; б) ; в) .

31. Укажите, какие из следующих интегралов целесообразно интегрировать по частям:
    а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

32. Что такое определенный интеграл?

33. Что в записи означают: а) a и b; б) x; в) f(x); г) f(x)dx? Может ли быть a=b; a>b?

34. Зависит ли приращение F(b)-F(a) от выбора первообразной?

35. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

36. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

37. Может ли площадь криволинейной трапеции быть равна отрицательной величине, нулю и почему?

38. Приведите примеры физических и технических задач, которые можно решить с помощью определенного интеграла.

Практическая работа №12

Техника интегрирования

Цель: формирование умений и навыков нахождения неопределенных интегралов, используя различные методы интегрирования

Задания для выполнения практической работы

1. Найти интегралы , используя метод непосредственного интегрирования и метод подстановки.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15

16.

17.

18.) dx

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

2. Найти интегралы методом интегрирования по частям:

Самостоятельная работа

Вычислить определенные интегралы помощью формулы Ньютона - Лейбница и построить фигуры, площади которых им соответствуют

1. а) ; б) ;

2. а) ; б) ;

3. а) ; б) ;

4. а) ; б) ;

5. а) ; б) ;

6. а) ; б) ;

7. а) ; б) ;

8. а) ; б) ;

9. а) ; б) ;

10. а) ; б)

Ответы

1. a) 40; б) 4

2. а) 72; б) 12

3. а) 54; б) 7

4. а) 104; б) 10

5. а) 56; б) 5π

6. а) 96; б) 8

7. а) 64; б) 3π

8. а) 78; б) 5

9. а) 78; б) 12

10. а) 102; б) 4

Практическая работа №13

Применение определенного интеграла в геометрии

Цель: приобретение умений применять определенный интеграл при решении геометрических задач

Задание для выполнения практической работы №13

Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

1. y=8x-x²-7 и осью Ох.

2. у=х³-1, у=0, х=0.

3. у=х²-3х-4 и осью Ох.

4. у²=4х и х²=4у.

5. у=5х-х²+6 и осью Ох.

6. у=х³, у=х², х= -1, х=0.

7. у=х²-6х+8 и осью Ох.

8. у=х² и у=х+2.

9. у=х²-4х-5 и осью Ох.

10. у=6х-3х² и осью Ох.

11. у=х²+2 и у=2х+2.

12. y=6x-x² и осью Ox.

13. xy=6 и прямой y=7-x.

14. y²=4x, y=x.

15. у=1/3х³, у=0, х= -1, х=2.

16. у=х² и у =2х+8.

17. у=sin x, y=0, x= -П/2, х=П.

18. у²=16х, х²=2у.

19. у= -х²+х, у=0.

Тема 3.4. Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных

Устный опрос

1. Что называется функцией двух переменных х и у?

2. Область определения и множество значений функции двух переменных

3. Линия уровня функции двух переменных

4. Поверхность уровня функции трех переменных

5. Частное и полное приращения функции двух переменных

6. Что называется частной производной функции z=f(x; y)?

7. Определение частных производных второго порядка

8. Определение экстремума функции двух переменных в точке

9. В чем заключается необходимое условие экстремума?

10.В чем заключается достаточное условие экстремума?

Практическая работа №14

Вычисление частных производных

Цель: приобретение умений техники дифференцирования функций нескольких действительных переменных

Задание для выполнения практической работы

Найти частные производные функции двух переменных.

1. z = x²y+ 3xy+xy³+2x-3y

2. z = 2xy-y²+x²+x²y²

3. z = x ln y +

4. z = x^y

5. z = x³y+(2x+y) sin y

6. z = arctg (3x+2y)

7. z = x³y²-2xy³

8. z = ln (x²+2y³)

9. z = (1+x²)^y

10. z = (x-)e^-xy

11. z = ln

12. z = ln^x y

13. z =

14. z = x³-y³+4xy

15. z =

16. z = x²y+

17. z = arctg

18. z = cos (2x+y)+sin(2y+x)

19. z = x²y-e^xy

20. z = (y-x²)²+(y²+2)²

21. z =

22. z =

23. z = tg³(3x-4y)

24. z =

25. z = y

1. z=x³y+e^x+2y

2. z=x³+y³-9xy

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. Z=xlny²+5xy

23. Z=e^x/y

24. Z=5x⁴-7xy³+15y

1. Z=

2. Z=x ln y-

3. Z=sin

4. Z=arctg(x)

5. Z=3x-5y+2

6. Z=x ln y +3x

7. Z=6

8. Z=

9. Z=y ln y-4x

10. Z=2

11. Z=x-

12. Z=13

13. Z=10

14. Z=x ln x+4

15. Z=x ln x-y sin 2y

16. Z=

17. Z=

18. Z=x ln x-3x

19. Z=12

20. Z=x ln x-

21. Z=x ln x+

22. Z=

23. Z=x ln x+

24. Z=12

25. Z=x lnx-

Практическая работа №15

Исследование на экстремум функции двух действительных переменных

Цель: формирование умений и навыков исследования функций двух действительных переменных

Задания для выполнения практической работы

1. z = x²y+ 3xy+xy³+2x-3y

2. z = 2xy-y²+x²+x²y²

3. z = x³y²-2xy³

4. z = x³-y³+4x

5. z = x³-y³+4xy

6. z = (y-x²)²+(y²+2)²

7. z =x³+y³-9xy

8. Z=5x⁴-7xy³+15y

9. Z=

10. Z=12

11. Z=

12. Z=

13. Z=12

14. Z=

15. Z=10

Тема 3.5. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных

Устный опрос

1. Понятие двойного интеграла

2.Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах

3.Геометрические приложения двойного интеграла

4. Физические приложения двойного интеграла

Тема 3.6. Теория рядов

Устный опрос

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называется общим членом ряда? суммой ряда?

3. Какой ряд называется расходящимся?

4. Какой ряд называется гармоническим?

5. Простейшие свойства рядов

6. Необходимый признак сходимости

7. Необходимые признаки сходимости рядов с положительными членами

8. Какой ряд называется знакочередующимся?

9. Признак Лейбница для знакочередующегося ряда.

10. Какие ряды называются степенными?

11. Разложение данной функции в степенной ряд

12. Ряд Маклорена

13. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряда некоторых функций

Практическая работа №16.

Исследование числовых рядов на сходимость.

Цель: формирование умений нахождения общей формулы членов числового ряда и исследования рядов на сходимость

Задания для выполнения практической работы №16

Вариант 1

1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену

а) ; б) .

2. Найти формулу общего члена ряда:

а) 2+4+7+16+…; б) .

3. Установить расходимость ряда c помощью следствия из необходимого признака.

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

а) ; б) .

Вариант 2

1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

а) ; б) .

2. Найти формулу общего члена ряда:

а) ; б) .

3. Установить расходимость ряда c помощью следствия из необходимого признака.

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

а) ; б) .

Вариант 3

1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

а) ; б) .

2. Найти формулу общего члена ряда:

а) ; б) .

3. Установить расходимость ряда c помощью следствия из необходимого признака.

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

a); б) .

Вариант 4

1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

а) ; б) .

2. Найти формулу общего члена ряда:

а) ; б) .

3. Установить расходимость ряда c помощью следствия из необходимого признака.

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

a) ; б) .

Вариант 5

1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

а) ; б) .

2. Найти формулу общего члена ряда:

а) ; б) .

3. Установить расходимость ряда c помощью следствия из необходимого признака.

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

a) ; б) .

Вариант 6

1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

а) ; б) .

2. Найти формулу общего члена ряда:

а) ; б) .

3. Установить расходимость ряда c помощью следствия из необходимого признака.

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

a) ; б) .

Вариант 7

1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

а) ; б) .

2. Найти формулу общего члена ряда:

а) ; б) .

3. Установить расходимость ряда c помощью следствия из необходимого признака.

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

a) ; б) .

Вариант 8

1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

а) ; б) .

2. Найти формулу общего члена ряда:

а) ; б) .

3. Установить расходимость ряда c помощью следствия из необходимого признака.

4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

a) ; б)

Практическая работа № 17.

Разложение элементарных функций в степенные ряды Маклорена

Цель: овладение умениями и навыками решения задачи разложения элементарных функций в степенные ряды Маклорена

Задание для выполнения практической работы

1. y = cos √x

-x²

2. y = √x e

3. y = x cos(x ²)

4. y = x sin(x²)

5. y = sin (x)

- x²

3

6. y = e

-2x²

7. y = e

8. y = arctg (x²)

9.y = x ln (1+ x)

10. y = ln ( 1 + x³)

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Устный опрос

1. Какое уравнение называется дифференциальным? Приведите примеры.

2. Какие из следующих уравнений являются дифференциальными: а) yy′+2=0;
   б) 2y²+3y=0; в) 3^y+y=3; г) y²+y″=y; д) ; е) y³=2y+y².

3. Какая функция называется решением дифференциального уравнения?

4. Какое решение дифференциального уравнения называется общим и какое - частным?

5. Каков геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения?

6. Может ли дифференциальное уравнение иметь конечное число решений?

7. Что такое порядок дифференциального уравнения и как его определить?

8. Сколько постоянных интегрирования имеет общее решение дифференциального уравнения первого порядка? Третьего порядка?

9. Может ли функция y=C₁x+C₂, где C₁ и C₂ - произвольные постоянные, быть общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

10. Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения или нет?

11. Чем отличается дифференциальное уравнение от алгебраического уравнения?

12. Назовите известные вам типы дифференциальных уравнений.

13. Каков общий вид дифференциальных уравнений первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными?

14. Как решается уравнение с разделенными переменными?

15. Чем отличается уравнение с разделяющимися переменными от уравнения с разделенными переменными? Как разделяют переменные?

16. Можно ли считать, что уравнение с разделенными переменными являются частным случаем уравнения с разделяющимися переменными?

17. В какой последовательности решают дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными?

18. В чем заключается задача Коши? Каков ее геометрический смысл?

19. Найдите уравнение линии, проходящей через точку M(3;4) и такой, что ее угловой коэффициент к касательной равен отношению абсциссе к ординате.

20. Каков общий вид линейных дифференциальных уравнений первого порядка? Как для них формулируется задача Коши?

21. Какими величинами являются и от чего зависят коэффициенты p и q в линейном дифференциальном уравнении первого порядка?

22. С помощью какой подстановки решается линейное дифференциальное уравнение первого порядка и к какому уравнению сводится его решение?

23. Какой вид имеет простейшее дифференциальное уравнение второго порядка? как оно решается?

24. Запишите задачу Коши для уравнения y″=f(x).

25. Как определяется и как записывается в общем виде линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?

26. Что такое характеристическое уравнение?

27. Какой вид имеет общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если корни характеристического уравнения: а) действительные и различные (k₂≠k₁); б) действительные и равные (k₂=k₁=k);
    в) комплексные и сопряженные (k_1,2=α±β)?

28. Каков порядок решения задач на составления дифференциальных уравнений?

Тест по теме «Дифференциальные уравнения»

1 вариант

1) Примеры дифференциальных уравнений:

а) 2у - x = 1
б) y' = 3x
в) 3dy = 2xdx
г) 3y'' = 5x²

2) Вид дифференциального уравнения у' = х + 1:

а) линейное 1-го порядка;
б) однородное;
в) 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
г) с разделяющимися переменными.

3) Решить задачу Коши - это найти

а) общее решение дифференциального уравнения;
б) начальные условия;
в) произвольную постоянную С;
г) частное решение дифференциального уравнения.

4) Решением дифференциального уравнения у'' - 9 у = 0 является функция…

а) y = e^3x
б) y = x⁹
в) y = 9x
г) y = cos x

5) Разделение переменных в дифференциальном уравнении e^xlnydx + xydy = 0 приведет его к виду…

а)
б)
в)
г)

2 вариант

1) Примеры дифференциальных уравнений 2-го порядка:

а) dy = 3dx
б) y' = 4x
в) y² = 2x
г) y'' - 3y = 0

2) Вид дифференциального уравнения y' + 4y - 2 = 0:

а) линейное 1-го порядка;
б) однородное;
в) 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
г) с разделяющимися переменными.

3) Дифференциальное уравнение вида решается путем…

а) введения новой переменной y = z ^. x
б) разделения переменных
в) непосредственного интегрирования
г) введения новой переменной y = u ^. v

4) Решением дифференциального уравнения у'' - 8y' + 16у = 0 является функция…

а) y = e^4x + xe^4x
б) y = e^4x + e^{- 4x}
в) y = e^4x(cos4x + sinx)
г) y = 4x

5) Разделение переменных в дифференциальном уравнении приведет его к виду…

а)
б)
в)
г)

Сравните ответы, отметьте знаком + или - ответы. Оцените свою работу:

За 5 правильных ответов - оценка 5;

за 4 правильных ответа - оценка 4;

за 3 правильных ответа - оценка 3;

за 1-2 правильных ответа - оценка 2.

Ответы.

Вариант 1

1. б) в) г)

2. г)

3. г)

4. а)

5. б)

Вариант 2.

1. а) б) г)

2. а)

3. б)

4. а)

5. а) в)

Оценивание:

5(отлично) - правильно выполнены 5 заданий

4(отлично) - правильно выполнены 4 заданий

3(отлично) - правильно выполнены 3 заданий

2(отлично) - правильно выполнены менее 3 заданий

Практическая работа №18. Решение дифференциальных уравнений.

Цель: приобретение умений определения вида дифференциального уравнения первого порядка и нахождения его частное решение, используя начальные условия

Задание для выполнения практической работы № 18.

Решить дифференциальные уравнения и найдите частные решения, удовлетворяющие данным условиям:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

Практическая работа №19.

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Цель: формирование умений и навыков решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Задания для выполнения практической работы №19

Найти общее решение дифференциальных уравнений

1. а). y΄΄+6y΄+9y=0 б). у΄΄-у=0 в). у΄΄-2у΄+10у=0

2. а). у΄΄-4у΄+4у=0 б). у΄΄+у=0 в). у΄΄-8у΄+15у=0

3. а). у΄΄-5у΄+6у=0 б). 9у΄΄-12у΄+4у=0 в). у΄΄+4у=0

4. а). у΄΄-2у΄+у=0 б). 2у΄΄+у΄-у=0 в). у΄΄+2у΄+17у=0

5. а). у΄΄-7у΄+6у=0 б). 4у΄΄-4у΄+у=0 в). у΄΄-4у΄+13у=0

6. а). у΄΄+12у΄-13у=0 б). у΄΄-10у΄+25у=0 в). у΄΄+9у=0

7. а). 4у΄΄-12у΄+9у=0 б). у΄΄-8у΄+7у=0 в). у΄΄+2у΄+26у=0

8. а). у΄΄+у΄+у=0 б). у΄΄-9у΄=0 в). у΄΄+8у΄+16у=0

9. а). у΄΄+3у΄-2у=0 б). у΄΄-8у΄+16у=0 в). у΄΄+25у=0

10.а). у΄΄+2у΄+10у=0 б).у΄΄-у=0 в).4у΄΄+4у΄+у=0

Тема 4.1. Алгебраическая форма комплексного числа

Устный опрос

1. Дайте определение мнимой единице.

2. Как вычисляют степени мнимой единицы?

3. Вычислите i³⁵; i⁴²;i¹⁴⁴.

4. Какое число называется комплексным?

5. Какие комплексные числа называются чисто мнимыми? Приведите примеры комплексных чисел, чисто мнимых чисел.

6. Какие комплексные числа называются равными?

7. Какие комплексные числа называются сопряженными?

8. Как выполняется сложение, вычитание, умножение, комплексных чисел в алгебраической форме?

9. Как выполняется деление комплексных чисел в алгебраической форме

10. Как геометрически изображаются комплексные числа?

11. Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

12. Запишите формулы ля вычисления модуля и аргумента комплексного числа

13. Как решить квадратное уравнение, если дискриминант его отрицателен?

14. Какие корни и сколько корней имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом?

Самостоятельная работа

Задание для выполнения самостоятельной работы

Вариант 1

1. Решить квадратное уравнение x² +2x+5=0

2. Найти действительные числа x и y из условия равенства двух комплексных чисел: 5x-2y+(x+y)i=4+5i

3. Выполнить действия: а) ; б) (1-i)³ ; в) i⁴⁰-i²¹.

Вариант 2

1. Составить квадратное уравнение по его корням:

x₁=1+i; x₂=1-i

2. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: 5xi-2+4y=9i+2x+3yi.

3. Выполнить действия: а) ; б) (1+i)³ ; в) i³-i¹⁰⁰.

Вариант 3.

1. Решить квадратное уравнение x²-6x+18=0

2. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: 9+2x+4yi=10i+5x-6y.

3. Выполнить действия: а) ; б) (1+i)⁴; в) i+i³³

Вариант 4

1. Решить квадратное уравнение x²-4x+5=0

2. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: 2xi+3yi+17=3x+2y+18i.

3. Выполнить действия: а) ; б) (1-i)⁴; в) i¹⁷+i*(1-i)

Вариант 5

1. Составить квадратное уравнение по его корням: x₁=3-i;x₂=3+i

2. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух чисел: 4x+5y-9+7(3x-y)i=10x+14yi

3. Выполнить действия: а) ; б) (; в) i⁸(1-i⁹).

Вариант 6

1. Решить квадратное уравнение x²-10x+41=0

2. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: 3+4ix+5yi=12i+5x-2y.

3. Выполнить действия: а) ; б) (; в) i(1-i23).

Вариант 7

1. Составить квадратное уравнение по его корням: x₁=; x₂=

2. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: (2+i)x-(1-i)y=1+3i.

3. Выполнить действия: а) ; б) (; в) .

Вариант 8

1. Составить квадратное уравнение по его корням x₁=; x₂=

2. Найти действительные числа х и у из условия равенства двух комплексных чисел: (1+i)x+(2+i)y=3i+1.

3. Выполнить действия: а) ; б) )⁶; в) .

Ответы:

Вариант 1: 1. . 2. x = 2; y=3. 3. а) 3+i * 2; б) -2(1+i);

в) 1-i.

Вариант 2: 1. х²-2x+4=0. 2. x=3; y=2. 3. а) 1-i*2; б) 2(i-1); в) -1-i.

Вариант 3: 1. {3+3i; 3-3i}. 2. x=3; y=1. 3. а) ; б) -4; в) 2i.

Вариант 4: 1. {2+i; 2-i}. 2. x=3; y=4. 3. а) ; б) -4; в) 1+i*2.

Вариант 5: 1. x²-6x+10=0. 2. x=y=-9. 3. а) ; б) ; в) 1+i.

Вариант 6: 1. {5+i*4; 5-i*4}. 2. . 3. а) i+1; б) ; в) -1+i.

Вариант 7: 1. 2x²-2x+5=0. 2. . 3. а) ; б)1; в).

Вариант 8: 1. 25x²-20x+13=0. 2. x=5; y=-2. 3. а) ; б)64; в)-1+i.

Тема 4.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Устный опрос

1. Как записывается комплексное число в показательной форме?

2. Как записывается комплексное число в показательной форме?

3. Как умножить комплексные числа, записанные в тригонометрической форме? В показательной форме?

4. Как разделить комплексные числа, записанные в тригонометрической форме? В показательной форме?

5. Как возвести в степень комплексное число, записанное в тригонометрической форме? В показательной форме?

6. Сколько значений имеет корень n-ой степени из комплексного числа?

7. Как найти все значения корня n-ой степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме? В показательной форме?

Практическая работа №20.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Цель: формирование умений выполнять действия над комплексными числами в любой форме

Задания для выполнения практической работы

Вариант 1.

1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

а) б)

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а)² б)

Вариант 2.

1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме

а) б)

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) б)

Вариант 3.

1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме

а) б)

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

a)24(cos75°+I sin 75°): (3(cos30°+I sin 30°));

б)

Вариант 4.

1.Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

а) б)

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а)2 б)

Вариант 5.

1.Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

а) б)

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) б)

Вариант 6.

1.Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

a) б)

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

a)3 б)

Вариант 7

1.Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

а) б)

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

a)

б)

Вариант 8

1.Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

а) б)

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

a) б)

4. Контрольно-оценочные материалы для промежуточной аттестации по учебной дисциплине

Предметом оценки являются умения и знания. Контроль и оценка осуществляются через устный экзамен.

Список теоретических вопросов и практических заданий к экзамену

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Тема 1.1. Матрицы и определители

1. Что называется матрицей?

2. Что называется матрицей-строкой? матрицей-столбцом?

3. Какие матрицы называются прямоугольными? квадратными?

4. Какие матрицы называются равными?

5. Что называется главной диагональю матрицы?

6. Какие матрицы называются диагональной?

7. Какие матрицы называются единичной?

8. Какие матрицы называются треугольной?

9. Что значит транспонировать матрицу?

10. Что называется суммой матриц?

11. Что называется произведением матрицы на число?

12. Как найти произведение двух матриц?

13. В чем состоит обязательное условие существования произведения матриц?

14. Найдите произведение матриц

15. Какими свойствами обладает произведение матриц?

16. Что называется определителем матрицы?

17. Как вычислить определитель третьего порядка по правилу треугольников?

18. Что называется мироном?

19. Что называется алгебраическим дополнением элемента определения?

20. Как разложить определитель по элементам столбца или строки?

21. Какие способы вычисления определителя Вам известны?

22. Перечислите свойства определителей?

23. Какая матрица называется невырожденной?

24. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

25. Каков порядок вычисления обратной матрицы?

26. Вычислите обратную матрицу для матрицы А, если

А= 3 1

7 5

27. Найдите А² + 3А

1 3 4

А= 2 1 6

-1 2 0

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

1. Общий вид системы m линейных уравнений с n неизвестными.

2. Что называется решением системы?

3. Какая система называется совместной?

4. Какая система называется несовместной?

5. Какая система называется определенной? неопределенной?

6. Какие системы называются эквивалентными?

7. Какая система называется однородной? неоднородной?

8. Сформулируйте теорему Крамера

9. Запишите формулы Крамера

10.В каком случае система имеет множество решений? не имеет решения?

11.Решите по формулам Крамера систему уравнений

3x - 2y - 5z=014.

5x - 2y - 3z=0

x + y + z=0

12.Расширенная матрица системы уравнений.

13. Опишите метод Гаусса

14.Перечислите элементарные преобразования расширенной матрицы при прямом ходе метода Гаусса

15.Решите методом Гаусса систему уравнений из задачи 11.

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Тема 2.1. Векторы. Операции над векторами.

1. Что называется вектором?

2. Что называется длиной вектора?

3. Какие векторы называются равными?

4. Как сложить два вектора?

5. Как найти разность двух векторов?

6. Как умножить вектор на число?

7. Постройте , взяв в качестве и два любых неколлинеарных вектора.

8. Какие векторы называются коллинеарными?

9. Как разложить вектор в декартовой системе координат?

10. Что называется базисом?

11. Что называется координатами вектора?

12. Что можно сказать о базисе ?

13. Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?

14. Найдите координаты вектора, заданного точками: а) A(5;-3) и B(-2;7) б) O(0;0) и M(7;2).

15. Как найти длину вектора, заданного двумя точками?

16. Найдите длину вектора .

17. Как вычисляется длина вектора, заданного своими координатами?

18. Найдите длину вектора, заданного точками: а) A(3;-1), B(7;0); б) M(0;16), N(6;4);
    в) Q(-1;-2), P(-5;3).

19. Как выполняются сложение и вычитание векторов, заданных своими координатами?

20. Вычислить сумму и разность векторов и , заданных точками A(3;1), B(-2;6), M(0;-3), N(7;-2).

21. Как умножить вектор, заданный своими координатами, на число?

22. Даны векторы и . Найдите .

23. Для векторов, заданных точками A(6;2), B(1;3), C(0;-5), найдите .

24. Каким свойством обладают координаты коллинеарных векторов?

25. Даны векторы . Какие из них коллинеарны?

26. Запишите формулы деления отрезка в заданном отношении.

27. Запишите формулы деления отрезка на две равные части.

28. Найдите координаты середины отрезка AB, где A(5;3), B(-1;6).

29. Найдите координаты точек, которые делят отрезок, заданный точками A(-1;5) и B(6;3), на три равные части.

30. В треугольнике с вершинами A(2;7), B(5;-4), C(-3;2) найдите длины сторон и медианы AD.

31. В треугольнике с вершинами A(2;7), B(5;-4), C(-3;2) найдите точку пересечения медиан.

32. Что называется скалярным произведением?

33. Вычислите скалярное произведение векторов и , а угол между ними равен 60^о.

34. Как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?

35. Вычислите скалярное произведение векторов: а) и б) и .

36. Какими свойствами обладает скалярное произведение векторов?

37. Чему равно скалярное произведение двух чисел перпендикулярных векторов?

38. Чему равно скалярное произведение двух чисел коллинеарных векторов?

Тема 2.2. Прямая на плоскости

1. Что называет уравнением линии?

2. Лежат ли точки A(-3;9), B(2;1), C(7;2) на линии, заданной уравнением x²-y=?

3. Каким уравнением описывается прямая на плоскости?

4. Запишите уравнения осей координат.

5. запишите уравнения прямых, параллельных осям координат.

6. Какой координатной оси параллельна прямая, заданная уравнением x+5=0? Начертите эту прямую.

7. Какой координатной оси параллельна прямая, заданная уравнением 2y-8=0? Начертите эту прямую.

8. Сформулируйте правило составления уравнения прямой на плоскости.

9. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(5;-3) и имеющей направляющий вектор .

10. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку B(-3;7) и имеющий нормальный вектор .

11. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки A(3;-8) и B(-1;2).

12. Составьте уравнение прямой, отсекающей 5 единиц на оси Ox и 3 единицы на оси Oy.

13. Составьте уравнения сторон, высоты AE и медианы BD в треугольнике с вершинами A(3;-7), B(-1;4), C(-6:-5).

14. Сформулируйте условие параллельности прямых.

15. Сформулируйте условие перпендикулярных прямых.

16. Как найти угол между прямыми?

17. Найдите внутренние углы треугольника с вершинами A(3;-7), B(-1;4), C(-6:-5)

Тема 2.3. Кривые второго порядка

1. Каким уравнением описывается кривая на плоскости?

2. Запишите каноническое уравнение эллипса.

3. Найдите координаты фокусов, длины осей, фокусное расстояние и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением .

4. Что называется эксцентриситетом эллипса? Какова его величина?

5. Чему равен эксцентриситет окружности?

6. Запишите каноническое уравнение гиперболы.

7. Найдите координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет гиперболы 144x²-25y²=3600.

8. Запишите уравнение равносторонней гиперболы.

9. Чему равен эксцентриситет равносторонней гиперболы?

10.Запишите каноническое уравнение параболы, директрисы параболы.

11.Составьте уравнение параболы, фокус которой имеет координаты (0;-2).

12.Составьте уравнение параболы, директриса которой задана уравнением 4x+6=0.

Раздел 3. Основы математического анализа

Тема 3.1. Теория пределов. Непрерывность.

1. Дайте определение предела переменной величины.

2. Перечислите свойства пределов.

3. Как прочитать запись ? Дайте определение предела функции в точке.

4. Что называется приращением независимой переменной и приращением функции?

5. Дайте определение непрерывной функции в точке, на отрезке

6. Непрерывность основных элементарных функций

7. Основные теоремы о непрерывных функциях

8. Классификация точек разрыва

9. Определить точки разрыва функции .

10. Дайте определение предела функции на бесконечности. Объясните основной метод раскрытия неопределенности на примере вычисления предела.

11. Решите .

12. Правило раскрытия неопределенности 0/0

13. Замечательные пределы.

Тема 3.2. Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной

1. Как найти мгновенную скорость прямолинейного неравномерного движения?

2. Как вычислить угловой коэффициент касательной к кривой в данной точке?

3. Что характеризует скорость изменения функции относительно изменения аргумента? дайте определение производной.

4. Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке? Сформулируйте зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

5. Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной функции? Как вычислить частное значение производной?

6. Выпишите в таблицу основные правила и формулы дифференцирования функций.

7. Повторите определение сложной функции. Как найти ее производную?

8. Каков геометрический смысл производной? Как геометрически определить значение производной в точке?

9. В чем заключается механический смысл производной?

10. Что называется производной второго порядка и каков ее механический смысл?

11. Что называется дифференциалом функции, чему он равен, как обозначается и каков его геометрический смысл?

12. Повторите определение возрастающей и убывающей функций. Каковы знаки производной функции в интервалах ее возрастания и убывания?

13. В чем заключается необходимый и достаточный признаки существования экстремума функции с помощью первой производной?

14. Как отыскивают экстремумы функций с помощью второй производной? Почему в точке максимума вторая производная отрицательна, а в точке минимума - положительна?

15. В чем разница между нахождением максимума и минимума функции и нахождении ее наибольшего и наименьшего значения?

16. Как ищется наибольшее и наименьшее значения функции на данной отрезке? Найдите эти значения для функции y=x³-3x²+1 на отрезке [-1;4].

17. Как определяются геометрически и по знаку второй производной выпуклость и вогнутость кривой?

18. Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.

19. Асимптоты графика функции.

20. Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции?

Тема 3.3. Интегральное исчисление функции одной действительной переменной

1. Что является основной задачей интегрального исчисления?

2. Какая функция называется первообразной для заданной функции?

3. Если F(x) - первообразная для f(x), то каким равенством связаны они между собой?

4. Запишите первообразные для функции: 3, 4x³. cos x, 2/x.

5. Какая из двух функций 5x⁴ или x⁵+4 является первообразной для другой?

6. Докажите, что функция F(x) есть первообразная для функции f(x) на указанном промежутке, если: а) б) .

7. Первообразная определяется неоднозначно. Как это нужно понимать?

8. Почему при интегрировании функции появляется произвольная постоянная?

9. Почему одна функция имеет целую совокупность первообразных?

10. Как записать всю совокупность первообразных функций?

11. Что называется неопределенным интегралом?

12. Чем отличается неопределенный интеграл от первообразной функции?

13. Почему интеграл называется неопределенным?

14. Как называются все элементы равенства?

15. Чем отличаются друг от друга подынтегральная функция и подынтегральное выражение?

16. Что означает постоянная C в определении неопределенного интеграла?

17. Чему равны производная и дифференциал неопределенного интеграла?

18. В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель?

19. В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функции?

20. Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции?

21. Напишите основные формулы интегрирования?

22. Как доказать справедливость каждой формулы интегрирования?

23. Почему для интеграла ? В какой формуле рассматривается этот случай?

24. Запишите неопределенные интегралы для выражений: а) 3sin x dx; б) x² dx; в) .

25. Как проверить результат интегрирования?

26. какие из следующих равенств записаны верно, а какие нет: а) б) в) ?

27. В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?

28. Что такое интегральные кривые? Как они расположены друг относительно друга? Могут ли они пересекаться?

29. Как расположены касательные к интегральным кривым в точках, имеющих одну и ту же абсциссу?

30. Как из семейства интегральных кривых выделить одну из них?

31. Как определить постоянную интегрирования по начальным данным?

32. В семействе кривых найдите кривую, проходящую через точку (2;3).

33. Для функции . Найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку M(4;5).

34. Скорость прямолинейно движущейся точки меняется по закону . Найдите закон движения.

35. Укажите целесообразные подстановки для нахождения следующих интегралов: а) ; б) ; в) .

36. Укажите, какие из следующих интегралов целесообразно интегрировать по частям:
    а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

37. Что такое определенный интеграл?

38. Что в записи означают: а) a и b; б) x; в) f(x); г) f(x)dx? Может ли быть a=b; a>b?

39. Зависит ли приращение F(b)-F(a) от выбора первообразной?

40. Вычислите: а) ; б) .

41. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.

42. Вычислите интегралы: а) ; б) .

43. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

44. Может ли площадь криволинейной трапеции быть равна отрицательной величине, нулю и почему?

45. Приведите примеры физических и технических задач, которые можно решить с помощью определенного интеграла.

46. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми , x=4 и осью абсцисс.

47. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , x-4=0.

Тема 3.4. Дифференциальное исчисление функции нескольких действительных переменных

1. Что называется функцией двух переменных х и у?

2. Область определения и множество значений функции двух переменных

3. Линия уровня функции двух переменных

4. Поверхность уровня функции трех переменных

5. Частное и полное приращения функции двух переменных

6. Что называется частной производной функции z=f(x; y)?

7. Определение частных производных второго порядка

8. Определение экстремума функции двух переменных в точке

9. В чем заключается необходимое условие экстремума?

10.В чем заключается достаточное условие экстремума?

11. Найти частные производные:

25. z=x³y+e^x+2y

26. z=x³+y³-9xy

27. 

28. 

5. .

Тема 3.5. Интегральное исчисление функции нескольких действительных переменных

1. Понятие двойного интеграла

2.Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах

3.Геометрические приложения двойного интеграла

4. Физические приложения двойного интеграла

Тема 3.6. Теория рядов

1. Что называется числовым рядом?

2. Что называется общим членом ряда? суммой ряда?

3. Какой ряд называется расходящимся?

4. Какой ряд называется гармоническим?

5. Простейшие свойства рядов

6. Необходимый признак сходимости

7. Необходимые признаки сходимости рядов с положительными членами

8. Какой ряд называется знакочередующимся?

9. Признак Лейбница для знакочередующегося ряда.

10. Какие ряды называются степенными?

11. Разложение данной функции в степенной ряд

12. Ряд Маклорена

13. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряда некоторых функций

14. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену

а) ; б) .

15. Найти формулу общего члена ряда:

а) 2+4+7+16+…; б) .

16. Установить расходимость ряда c помощью следствия из необходимого признака.

17. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

а) ; б) .

Тема 3.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Какое уравнение называется дифференциальным? Приведите примеры.

2. Какие из следующих уравнений являются дифференциальными: а) yy′+2=0;
   б) 2y²+3y=0; в) 3^y+y=3; г) y²+y″=y; д) ; е) y³=2y+y².

3. Какая функция называется решением дифференциального уравнения?

4. Какое решение дифференциального уравнения называется общим и какое - частным?

5. Каков геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения?

6. Может ли дифференциальное уравнение иметь конечное число решений?

7. Что такое порядок дифференциального уравнения и как его определить?

8. определить порядок следующих дифференциальных уравнений:

а) y″+2y′=0:
б) ; в) y″+y‴=y′; г) xyy′+x²-2y²=0.

9. Сколько постоянных интегрирования имеет общее решение дифференциального уравнения первого порядка? Третьего порядка?

10. Может ли функция y=C₁x+C₂, где C₁ и C₂ - произвольные постоянные, быть общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

11. Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения или нет?

12. Проверьте, является ли решением дифференциального уравнения y′ctgx + y=2 функция y=2cosх+2.

13. Определите, какие из указанных функций являются решениями, общими решениями уравнения y′=y: а) y=e^2x; б) y=e^x; в) y=e^x+C; г) y=Ce^x.

14. Чем отличается дифференциальное уравнение от алгебраического уравнения?

15. Назовите известные вам типы дифференциальных уравнений.

16. Каков общий вид дифференциальных уравнений первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными?

17. Как решается уравнение с разделенными переменными?

18. Чем отличается уравнение с разделяющимися переменными от уравнения с разделенными переменными? Как разделяют переменные?

19. Можно ли считать, что уравнение с разделенными переменными являются частным случаем уравнения с разделяющимися переменными?

20. В какой последовательности решают дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными?

21. Решите уравнения: а) (x+5)dy=ydx; б) ; в) y′tgx-y=a.

22. В чем заключается задача Коши? Каков ее геометрический смысл?

23. Найдите уравнение линии, проходящей через точку M(3;4) и такой, что ее угловой коэффициент к касательной равен отношению абсциссе к ординате.

24. Каков общий вид линейных дифференциальных уравнений первого порядка? Как для них формулируется задача Коши?

25. Какие из следующих уравнений являются линейными: а)yy″=x; б) (t-1)=ss′=0; в) ?

26. Какими величинами являются и от чего зависят коэффициенты p и q в линейном дифференциальном уравнении первого порядка?

27. С помощью какой подстановки решается линейное дифференциальное уравнение первого порядка и к какому уравнению сводится его решение?

28. Решите уравнение: .

29. Какой вид имеет простейшее дифференциальное уравнение второго порядка? как оно решается?

30. Определите, какая из указанных функций является общим решением дифференциального уравнения y″=2x: а) y=2x³+C_1x+C₂; б) y=x³+C₂;
    в) ; г) y=x³+x.

31. Запишите задачу Коши для уравнения y″=f(x).

32. Решите уравнения: а) y″=-2x; б) y″=cos2x; в) y″=e^-x/2.

33. Как определяется и как записывается в общем виде линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?

34. Что такое характеристическое уравнение?

35. Известно, что y₁=e^x и y₂=e^2x - решения уравнения y″-3y′+2y=0. Можно ли утверждать, что y=C₁e^x+2C₂e^x - общее решение этого уравнения?

36. Известно, что y₁=e^x и y₂=e^2x - решение уравнения y″-3y′+2y=0. Можно ли утверждать, что y=C₁e^x+C₂e^2x - общее решение данного уравнения?

37. Какой вид имеет общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если корни характеристического уравнения: а) действительные и различные (k₂≠k₁); б) действительные и равные (k₂=k₁=k);
    в) комплексные и сопряженные (k_1,2=α±β)?

38. Решите уравнения: а) y″+4y′+3y=0; б) y″+8y′+16y=0; в) y″+9y=0.

39. Решите следующие уравнения. Перед решением следует определить, к какому виду оно относится, и перечислить его отличительные признаки: а) (1+x)ydx+(1-y)xdy=0;
    б) (x+y)dx+xdy=0; в) y″-y=0; г) ; д) y″+y=0; е) y″-7y′+12y=0.

40. Каков порядок решения задач на составления дифференциальных уравнений?

41. Тело движется со скоростью . Найдите уравнение движения, если s=0 при t=0.

42. Угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке задан функцией cosx. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку (0;0).

43. Найдите ускорение прямолинейного движения материальной точки, если s=5 м;
    s′=6 м/с при t=2c.

44. Составьте уравнение линии, проходящей через точку A(1;0) и имеющей касательную, угловой коэффициент которой в каждой точке равен 2.

45. Тело, температура которого 25^оC, погружено в термостат, в котором поддерживается температура 0^оС. Зная, что скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурами тела и окружающей среды, определите, за какое время тело охладится до 10^оС. За 20 минут оно охлаждается до 20^оС.

Раздел 4. Основы теории комплексных чисел

Тема 4.1. Алгебраическая форма комплексного числа

10. Дайте определение мнимой единице.

11. Как вычисляют степени мнимой единицы?

12. Вычислите i³⁵; i⁴²;i¹⁴⁴.

13. Какое число называется комплексным?

14. Какие комплексные числа называются чисто мнимыми? Приведите примеры комплексных чисел, чисто мнимых чисел.

15. Какие комплексные числа называются равными?

16. Решите уравнения:

а) 5х+3iу=17-12i;

б) 7х-2i=9+5iу.

17. Какие комплексные числа называются сопряженными?

18. Как выполняется сложение, вычитание, умножение, комплексных чисел в алгебраической форме?

19. Произведите действия:

а) (2+3i)+(2i-7);

б) (6+5i)-(2-3i);

в) (5+2i)(3-5i)

г) (6-2i)(6+2i)

д) (3-7i)2

11. Как выполняется деление комплексных чисел в алгебраической форме?

12. Выполните действия:

а) б) в) г)

13. Как геометрически изображаются комплексные числа?

14. Что называется модулем и аргументом комплексного числа?

15. Запишите формулы ля вычисления модуля и аргумента комплексного числа

Тема 4.2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

8. Как записывается комплексное число в показательной форме?

9. Запишите в тригонометрической форме: а) z=5-5i; б) z=-3-3i; в) z=-1,5+1,5i

10. Как записывается комплексное число в показательной форме?

11. Как умножить комплексные числа, записанные в тригонометрической форме? В показательной форме?

12. Как разделить комплексные числа, записанные в тригонометрической форме? В показательной форме?

13. Как возвести в степень комплексное число, записанное в тригонометрической форме? В показательной форме?

14. Сколько значений имеет корень n-ой степени из комплексного числа?

15. Как найти все значения корня n-ой степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме? В показательной форме?

16. Произведите действия в тригонометрической форме:

а) 6(cos 230⁰+ isin 230⁰)*2(cos 70⁰+ isin 70⁰);

б) 3(cos 310⁰+ isin 310⁰)/2(cos 40⁰+ isin 40⁰);

в) 5(cos(5π/4)+ isin(5π/4))/6(cos(π/2)+ isin (π/2)).

10. Как решить квадратное уравнение, если дискриминант его отрицателен?

11. Какие корни и сколько корней имеет квадратное уравнение с отрицательным

дискриминантом?

12.Решите квадратное уравнение: а) х²-10х+34=0 б) х²+4х+53=0

Билет формируется из трех теоритических вопросов и двух практических заданий. Время на подготовку - 40 минут.

Критерии оценки устного экзамена

Оценка «отлично» выставляется, если студент:

- полностью раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

- изложил материал грамотным языком в определенной логической

последовательности, точно используя математическую и специализированную терминологию и символику;

- правильно выполнил чертежи и графики, сопутствующие ответу;

- показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении

практического задания;

- продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов;

- отвечал самостоятельно без наводящих вопросов преподавателя.

Возможны одна-две неточности при освещении второстепенных вопросов, которые студент легко исправил по замечанию

преподавателя.

Оценка «хорошо» выставляется, если:

- ответ удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

- в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие логического и

информационного содержания ответа;

- допущены один-два недочета при освещении основного содержания ответа,

исправленные по замечанию преподавателя;

- допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию преподавателя.

Оценка «удовлетворительно» выставляется, если:

- неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее

понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения

программного материала, имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании терминологии, чертежах и выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов преподавателя;

- студент не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме,

- при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Оценка «неудовлетворительно» выставляется, если:

- не раскрыто основное содержание учебного материала;

- обнаружено незнание или непонимание студентом большей или наиболее важной части учебного материала,

- допущены ошибки в определении понятий, при использовании терминологии, в чертежах, блок-схем и иных выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов преподавателя.

- студент обнаружил полное незнание и непонимание изучаемого учебного материала или не смог ответить ни на один из поставленных вопросов по изучаемому материалу.

5. Лист согласования

Дополнения и изменения к комплекту КОС на учебный год

Дополнения и изменения к комплекту КОС на __________ учебный год по дисциплине _________________________________________________________________

В комплект КОС внесены следующие изменения:

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Дополнения и изменения в комплекте КОС обсуждены на заседании ПЦК _______________________________________________________

«_____» ____________ 20_____г. (протокол № _______ ).

Председатель ПЦК ________________ /__________________