- Преподавателю
- Математика
- Исследование квадратного трехчлена с параметром
Исследование квадратного трехчлена с параметром
Раздел | Математика |
Класс | 11 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Попова Т.С. |
Дата | 10.09.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Исследование квадратного трехчлена с параметром в задачах ЕГЭ
Составитель Попова Т.С.
Компьютерная верстка
Тираж 50 экз.
Отпечатано на мини-типографии Майинской гимназии
678070, с. Майя, ул. Архитектора Ларионова, 10
МО «Мегино-Кангаласский улус (район)»
МУ Мегино-Кангаласское управление образования
МОУ- Майинская гимназия
Исследование квадратного трехчлена
с параметром в задачах ЕГЭ
Майя
2010
Оглавление
Предисловие ……………………………………………………………………………………3
Глава I Основные теоремы алгебры и их следствия о квадратном трехчлене …………….4
Глава II Система задач с квадратным трехчленом с параметрами…………………………..7
§1. Уравнения с параметрами …………………………..…………………………..…………8
§2 Неравенства с параметрами …………………………..…………………………..………12
§3 Нестандартные приемы решения некоторых задач …………………………..………….16
Использованная литература……………………………………………………………………19
Предисловие
Практика показывает, что задачи с параметрами представляют для выпускников наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена.
На экзаменах часто встречаются задачи, отличающиеся большим разнообразием идей и необходимостью применения очень разные методы решений. Первое решение задачи редко бывает лучшим, и естественно нужно стремиться к тому, чтобы найти более простое и красивое решение. Умение выбрать подходящий метод вырабатывается в процессе решения одной и той же задачи различными методами. Получив несколько решений данной задачи, нетрудно выделить лучшее и оценить методы решения.
Научиться подбирать необходимые приемы решения примеров с параметрами позволит данная работа, ее теоретическая часть в совокупности с разобранными примерами. Также приведены наиболее рациональные и красивые способы решения некоторых задач части С, предлагаемых на ЕГЭ.
Предложенный материал поможет усвоить приемы решения задач с параметрами, правильно организовать подготовку к экзаменам, закрепить математические знания, которые пригодятся и при продолжении образования.
ГлаваI
Основные теоремы алгебры и их следствия о квадратном трехчлене
Для правильного подбора необходимого приема решения уравнений и неравенств с параметром требуется знать следующие факты квадратного трехчлена.
-
Теорема Виета: Между корнями и квадратного трехчлена и коэффициентами существуют соотношения:
-
В зависимости от величины дискриминанта D=b²-4ac существуют различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс 0х:
•При D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью 0х(два различных действительных корня трехчлена).
Рис.1
• При D=0 эти точки совпадают.
• При D<0 точек пересечения с осью 0х нет (действительных корней нет).
• В последнем случае, если a>0, график параболы целиков лежит выше оси 0х(рис.а), и если a<0,- - целиком ниже оси 0х(рис.b).
Теорема 1. для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:
При этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие:
и оба корня будут отрицательны, если
.
Теорема 2. для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительных и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений:
Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис.2).
Рис.2
Теорема 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число х0, а другой больше числа х0, (т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:
Рис.3
a>0 a<0
Теорема 5. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число х0), необходимо и достаточно условий (рис.4):
Рис.4
-
Глава II
Системы задач с квадратным трехчленом с параметрами
В задачах рассматривается квадратный трехчлен ax²-4x+3a+1.
§1. Уравнения с параметром.
Задача №1. При каких значениях , уравнение ax²-4x+3a+1=0 имеет единственное решение?
Решение:
D=b²-4c= -12²-4+16=0, находим корни:
Ответ: при =0, =1, =.
Задача №2. При каких значениях уравнение ax²-4x+3a+1=0 имеет два решения?
Решение:
D>0, D=b²-4c=-12²-4+16>0, отсюда a:
+
Ответ: при (;1).
Задача №3. При каких значениях , уравнение x²-4x+3+1=0 не имеет решений?
Решение: уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда квадратичная функция не пересекает абсциссу. Т.е. дискриминант должен быть отрицателен.
D<0 D=b²-4ac= -12a²-4a+16<0, аналогично находим корни:
+
Ответ: a(-∞;) ∞.
Задача №4. При каких значениях, оба корня уравнения x²-4x+3+1=0 положительные?
Решение: Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:
Ответ:
Задача №5. При каких значениях оба корня уравнения x²-4x+3+1=0 отрицательны?
Решение: Для этого нам необходимо выполнить следующие соотношения:
.
Ответ: При .
Задача №6. При каких значениях оба корня уравнения x²-4x+3+1=0 имеют различные знаки?
Решение: для этого необходимо и достаточно выполнение соотношений:
Ответ: При
Задача №7. При каких значениях оба корня квадратного трехчлена x²-4x+3+1=0 меньше 2?
Решение: Корни должны лежать на координатной прямой левее, чем точка =2. Для этого необходимо и достаточно выполнение условий:
Первый случай:
.
Второй случай:
- это система не имеет решений.
Ответ: При .
Задача №8. При каком значении корни квадратного трехчлена x²-4x+3+1=0 больше, чем 0, но меньше, чем число 1?
Решение: Оба корня должны лежать в интервале между 0 и 1, необходимо и достаточно:
Первый случай:
.
Второй случай:
Ответ: .
§2. Неравенства с параметром.
Задача №1. Найдите все значения , для каждого из которых неравенство выполняется для всех x.
Решение: Для выполнения неравенства нам необходимо и достаточно следующих условий:
аналогично находим корни:
.
Ответ:.
Задача №2. Найдите все значения , для каждого из которых неравенство выполняется для всех x>0.
Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаи
Для первого случая а необходимо и достаточно, чтобы:
находим корни:
Ответ:
Для второго случая б необходимо и достаточно, чтобы:
аналогично находим корни: - система решений не имеет.
Ответ:
Задача № 3. Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство выполняется для всех х<0.
Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаи:
Для первого случая необходимо и достаточно, чтобы:
находим корни:
Второй случай: необходимо и достаточно, чтобы
аналогично находим корни: - система решений не имеет.
Ответ:
Задача № 4. Найдите все значения , для каждого из которых неравенство выполняется для всех -1<х<0.
Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаи:
Для первого случая необходимо и достаточно, чтобы
находим корни:
Для второго случая необходимо и достаточно, чтобы
.
Ответ: .
Задача № 5. Найдите все значения , для каждого из которых неравенство выполняется для всех х кроме (-1;0).
Решение: Для выполнения данного условия необходимо и достаточно следующих условий:
0
-1
Задача № 6. При каких значениях неравенство имеет единственное решение?
Решение: Для выполнения данного условия необходимо и достаточно чтобы
0
Ответ:
§3 Нестандартные приемы решения некоторых задач
1. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка [-3; -1) значение выражения х4-7х2-3 не равно значению выражения ах2.
Решение:
Рассмотрим функции у= х4-7х2-3 и у= ах2. Введем замену х2=t. Задача получает следующую формулировку:
Найдите все значения а, для которых при каждом t из промежутка (1; 9] значение выражения t 2-7 t -3 не равно значению выражения аt.
График функции f(t)= t 2-7 t -3 представляет собой параболу на интервале (1;9], графиком функции у= аt является прямая, проходящая через начало координат (см. рис1) Значит, нужно найти такие а, что прямая и парабола на интервале (1; 9] не имеют общих точек. Для этого найдем значения функции f(t) на концах интервала: f(1)=-9 и f(9)=15. Так как а есть тангенс угла наклона прямой у= аt, получаем, что а и а.
-
Три числа, принадлежащие интервалам (0;2), (2;3), (3;5) являются членами арифметической прогрессии. Какие значения может принимать величина , если число а принадлежит промежутку (0;2), d- разность прогрессии?
Решение: по условию задачи ; ;
На координатной плоскости с горизонтальной осью d и вертикальной осью а построим прямые а=0; а=2; а+d=2; а+d=3; а+2d=3; а+2d=5. Замкнутая область в виде шестиугольника, ограниченная прямыми, есть множество чисел, удовлетворяющих условию (см. рис2). - уравнение окружности с центром в начале координат, радиус которой должен принимать значение из данной области. Наименьшего значения радиус достигает в точке (1;1) и равен , наибольшее значение равно 2,5 в точке (2,5;0). Ответ: (;2,5).
-
Найти все значения а, при которых уравнения и имеют одинаковое число корней.
Решение:
1) Построим графики функций и у=ах на одной координатной плоскости. Видно, что при а=0 уравнение имеет 2 корня. Рассмотрим производную функции при : . Теперь найдем точку касания х0 и угловой коэффициент касательной: зная, что угловой коэффициент касательной есть производная в точке касания х0 и в то же время тангенс угла наклона касательной выпишем уравнение . х0=0. Находим, что а=4. Значит приуравнение имеет 3 корня. При уравнение имеет 1 корень. Рассматривая функцию на промежутках ( находим, что а=-4. Значит, при функция имеет 2 корня, при 1 корень.
2) Рассмотрим и у=ах. Рассуждая аналогично, находим, что при и при а=-4 прямая у=ах служит касательной к графику функции . Делаем вывод, что при а=0 нет решений, при и имеется 1 корень, при и а=-4 2 корня, при и имеется 3 корня. Теперь сопоставляя эти промежутки, выясняем, что при (-4;0) и (;4) уравнения имеют одинаковое количество корней.
Использованная литература
-
Власова А.П., Латанова Н.И.. Задача с параметрами. Логарифмические и показательные уравнения, неравенства, системы уравнений. 10-11 кл.: учебное пособие: Дрофа, 2005. - 93с.
-
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.. Задачи с параметрами. Изд. 3-е доп. и пер. - М.: Илекса и Гимназия, 1999. - 326с.
-
Семенова А.Л., Ященко И.В.. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Унив. Материалы для подготовки учащихся / ФИПИ - М.: Интеллект-Центр, 2010. - 96с.
-
Шабунин М.И.. Пособие по математике для поступающих в вузы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999. - 640с.: ил.
-
Касаткин Г.В., Шевченко Л.В.. Готовимся в вуз: задачи и тесты по математике для школьников старших классов и поступающих в вузы: Учеб. пособие - М.: Дрофа, 2004. - 224с.: ил.
-
Жафяров А.Ж..математика. ЕГЭ. Экспресс-консультация - Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2009-160с.