Исследование квадратного трехчлена с параметром

Раздел Математика
Класс 11 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:











Исследование квадратного трехчлена с параметром в задачах ЕГЭ

Составитель Попова Т.С.

Компьютерная верстка

Тираж 50 экз.

Отпечатано на мини-типографии Майинской гимназии

678070, с. Майя, ул. Архитектора Ларионова, 10


МО «Мегино-Кангаласский улус (район)»

МУ Мегино-Кангаласское управление образования

МОУ- Майинская гимназия



Исследование квадратного трехчлена с параметром





Исследование квадратного трехчлена

с параметром в задачах ЕГЭ
























Майя

2010


Оглавление

Предисловие ……………………………………………………………………………………3

Глава I Основные теоремы алгебры и их следствия о квадратном трехчлене …………….4

Глава II Система задач с квадратным трехчленом с параметрами…………………………..7

§1. Уравнения с параметрами …………………………..…………………………..…………8

§2 Неравенства с параметрами …………………………..…………………………..………12

§3 Нестандартные приемы решения некоторых задач …………………………..………….16

Использованная литература……………………………………………………………………19











Предисловие

Практика показывает, что задачи с параметрами представляют для выпускников наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена.

На экзаменах часто встречаются задачи, отличающиеся большим разнообразием идей и необходимостью применения очень разные методы решений. Первое решение задачи редко бывает лучшим, и естественно нужно стремиться к тому, чтобы найти более простое и красивое решение. Умение выбрать подходящий метод вырабатывается в процессе решения одной и той же задачи различными методами. Получив несколько решений данной задачи, нетрудно выделить лучшее и оценить методы решения.

Научиться подбирать необходимые приемы решения примеров с параметрами позволит данная работа, ее теоретическая часть в совокупности с разобранными примерами. Также приведены наиболее рациональные и красивые способы решения некоторых задач части С, предлагаемых на ЕГЭ.

Предложенный материал поможет усвоить приемы решения задач с параметрами, правильно организовать подготовку к экзаменам, закрепить математические знания, которые пригодятся и при продолжении образования.










ГлаваI


Основные теоремы алгебры и их следствия о квадратном трехчлене


Для правильного подбора необходимого приема решения уравнений и неравенств с параметром требуется знать следующие факты квадратного трехчлена.

  1. Теорема Виета: Между корнями Исследование квадратного трехчлена с параметром и Исследование квадратного трехчлена с параметром квадратного трехчлена Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром и коэффициентами существуют соотношения:

Исследование квадратного трехчлена с параметром

  1. В зависимости от величины дискриминанта D=b²-4ac существуют различные случаи расположения параболы по отношению к оси абсцисс 0х:

•При D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью 0х(два различных действительных корня трехчлена).

Рис.1


Исследование квадратного трехчлена с параметром

• При D=0 эти точки совпадают.

• При D<0 точек пересечения с осью 0х нет (действительных корней нет).

• В последнем случае, если a>0, график параболы целиков лежит выше оси 0х(рис.а), и если a<0,- - целиком ниже оси 0х(рис.b).



    Теорема 1. для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

    Исследование квадратного трехчлена с параметром



    При этом оба корня будут положительными, если дополнительно наложить условие:

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    и оба корня будут отрицательны, если

    Исследование квадратного трехчлена с параметром.

    Теорема 2. для того чтобы корни квадратного трехчлена были действительных и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений:

    Исследование квадратного трехчлена с параметром


    Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис.2).

    Рис.2


    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром


    Теорема 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число х0, а другой больше числа х0, (т.е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий:

    Рис.3

    Исследование квадратного трехчлена с параметромa>0 a<0

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром



    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Теорема 5. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число х0 (т.е. лежали на координатной прямой правее, чем число х0), необходимо и достаточно условий (рис.4):

    Рис.4

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    -Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром



    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром





    Глава II


    Системы задач с квадратным трехчленом с параметрами


    В задачах рассматривается квадратный трехчлен ax²-4x+3a+1.

    §1. Уравнения с параметром.

    Задача №1. При каких значениях Исследование квадратного трехчлена с параметром, уравнение ax²-4x+3a+1=0 имеет единственное решение?

    Решение:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромD=b²-4Исследование квадратного трехчлена с параметромc= -12Исследование квадратного трехчлена с параметром²-4Исследование квадратного трехчлена с параметром+16=0, находим корниИсследование квадратного трехчлена с параметром: Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Ответ: при Исследование квадратного трехчлена с параметром=0, Исследование квадратного трехчлена с параметром=1, Исследование квадратного трехчлена с параметром=Исследование квадратного трехчлена с параметром.

    Задача №2. При каких значениях Исследование квадратного трехчлена с параметром уравнение ax²-4x+3a+1=0 имеет два решения?

    Решение:

    D>0, Исследование квадратного трехчлена с параметром D=b²-4Исследование квадратного трехчлена с параметромc=-12Исследование квадратного трехчлена с параметром²-4Исследование квадратного трехчлена с параметром+16>0, отсюда a:Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром + Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Ответ: при Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром(Исследование квадратного трехчлена с параметром;1).

    Задача №3. При каких значениях Исследование квадратного трехчлена с параметром, уравнение Исследование квадратного трехчлена с параметромx²-4x+3Исследование квадратного трехчлена с параметром+1=0 не имеет решений?

    Решение: уравнение не имеет решений тогда и только тогда, когда квадратичная функция не пересекает абсциссу. Т.е. дискриминант должен быть отрицателен.

    D<0 Исследование квадратного трехчлена с параметромD=b²-4ac= -12a²-4a+16<0, аналогично находим корниИсследование квадратного трехчлена с параметром:Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром Исследование квадратного трехчлена с параметром + Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Ответ: Исследование квадратного трехчлена с параметромaИсследование квадратного трехчлена с параметром(-∞;Исследование квадратного трехчлена с параметром) ∞Исследование квадратного трехчлена с параметром.



    Задача №4. При каких значенияхИсследование квадратного трехчлена с параметром, оба корня уравнения Исследование квадратного трехчлена с параметромx²-4x+3Исследование квадратного трехчлена с параметром+1=0 положительные?

    Решение: Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Ответ:Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Задача №5. При каких значениях Исследование квадратного трехчлена с параметром оба корня уравнения Исследование квадратного трехчлена с параметромx²-4x+3Исследование квадратного трехчлена с параметром+1=0 отрицательны?

    Решение: Для этого нам необходимо выполнить следующие соотношения:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром.

    Ответ: При Исследование квадратного трехчлена с параметром.





    Задача №6. При каких значениях Исследование квадратного трехчлена с параметром оба корня уравнения Исследование квадратного трехчлена с параметромx²-4x+3Исследование квадратного трехчлена с параметром+1=0 имеют различные знаки?

    Решение: для этого необходимо и достаточно выполнение соотношений:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Ответ: При Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Задача №7. При каких значениях Исследование квадратного трехчлена с параметром оба корня квадратного трехчлена Исследование квадратного трехчлена с параметромx²-4x+3Исследование квадратного трехчлена с параметром+1=0 меньше 2?

    Решение: Корни должны лежать на координатной прямой левее, чем точка Исследование квадратного трехчлена с параметром=2. Для этого необходимо и достаточно выполнение условий:

    Первый случай:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром.

    Второй случай:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром - это система не имеет решений.

    Ответ: При Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром.

    Задача №8. При каком значении Исследование квадратного трехчлена с параметром корни квадратного трехчлена Исследование квадратного трехчлена с параметромx²-4x+3Исследование квадратного трехчлена с параметром+1=0 больше, чем 0, но меньше, чем число 1?

    Решение: Оба корня должны лежать в интервале между 0 и 1, необходимо и достаточно:

    Первый случай:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром.


    Второй случай:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Ответ: Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром.











    §2. Неравенства с параметром.

    Задача №1. Найдите все значения Исследование квадратного трехчлена с параметром, для каждого из которых неравенство Исследование квадратного трехчлена с параметромвыполняется для всех x.

    Решение: Для выполнения неравенства нам необходимо и достаточно следующих условий:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром аналогично находим корни:Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром.

    Ответ:Исследование квадратного трехчлена с параметром.

    Задача №2. Найдите все значения Исследование квадратного трехчлена с параметром, для каждого из которых неравенство Исследование квадратного трехчлена с параметромвыполняется для всех x>0.

    Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаиИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Для первого случая а необходимо и достаточно, чтобы:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром находим корни: Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Ответ: Исследование квадратного трехчлена с параметром



    Для второго случая б необходимо и достаточно, чтобы:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром аналогично находим корни: Исследование квадратного трехчлена с параметром - система решений не имеет.

    Ответ: Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Задача № 3. Найдите все значения а, для каждого из которых неравенство Исследование квадратного трехчлена с параметром выполняется для всех х<0.

    Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаи:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромДля первого случая необходимо и достаточно, чтобы:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром находим корни: Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Второй случай: необходимо и достаточно, чтобы

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром аналогично находим корни: Исследование квадратного трехчлена с параметром - система решений не имеет.

    Ответ: Исследование квадратного трехчлена с параметром


    Задача № 4. Найдите все значения Исследование квадратного трехчлена с параметром, для каждого из которых неравенство Исследование квадратного трехчлена с параметром выполняется для всех -1<х<0.

    Решение: Для выполнения данного условия возможны следующие случаи:

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Для первого случая необходимо и достаточно, чтобы

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром находим корни: Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Для второго случая необходимо и достаточно, чтобы

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром.

    Ответ: Исследование квадратного трехчлена с параметром.

    Задача № 5. Найдите все значения Исследование квадратного трехчлена с параметром, для каждого из которых неравенство Исследование квадратного трехчлена с параметром выполняется для всех х кроме (-1;0).

    Решение: Для выполнения данного условия необходимо и достаточно следующих условий:

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    0

    -1

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Задача № 6. При каких значениях Исследование квадратного трехчлена с параметромнеравенство Исследование квадратного трехчлена с параметром имеет единственное решение?

    Решение: Для выполнения данного условия необходимо и достаточно чтобы

    Исследование квадратного трехчлена с параметром


    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    0Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Ответ: Исследование квадратного трехчлена с параметром






    §3 Нестандартные приемы решения некоторых задач

    1. Найдите все значения а, для которых при каждом х из промежутка [-3; -1) значение выражения х4-7х2-3 не равно значению выражения ах2.

    Решение:

    Рассмотрим функции у= х4-7х2-3 и у= ах2. Введем замену х2=t. Задача получает следующую формулировку:

    Найдите все значения а, для которых при каждом t из промежутка (1; 9] значение выражения t 2-7 t -3 не равно значению выражения аt.

    ГИсследование квадратного трехчлена с параметромрафик функции f(t)= t 2-7 t -3 представляет собой параболу на интервале (1;9], графиком функции у= аt является прямая, проходящая через начало координат (см. рис1) Значит, нужно найти такие а, что прямая и парабола на интервале (1; 9] не имеют общих точек. Для этого найдем значения функции f(t) на концах интервала: f(1)=-9 и f(9)=15. Так как а есть тангенс угла наклона прямой у= аt, получаем, что аИсследование квадратного трехчлена с параметром и аИсследование квадратного трехчлена с параметром.


    1. Три числа, принадлежащие интервалам (0;2), (2;3), (3;5) являются членами арифметической прогрессии. Какие значения может принимать величина Исследование квадратного трехчлена с параметром, если число а принадлежит промежутку (0;2), d- разность прогрессии?

    Решение: по условию задачи Исследование квадратного трехчлена с параметром; Исследование квадратного трехчлена с параметром; Исследование квадратного трехчлена с параметром

    НИсследование квадратного трехчлена с параметрома координатной плоскости с горизонтальной осью d и вертикальной осью а построим прямые а=0; а=2; а+d=2; а+d=3; а+2d=3; а+2d=5. Замкнутая область в виде шестиугольника, ограниченная прямыми, есть множество чисел, удовлетворяющих условию (см. рис2). Исследование квадратного трехчлена с параметром- уравнение окружности с центром в начале координат, радиус которой должен принимать значение из данной области. Наименьшего значения радиус достигает в точке (1;1) и равен Исследование квадратного трехчлена с параметром, наибольшее значение равно 2,5 в точке (2,5;0). Ответ: (Исследование квадратного трехчлена с параметром;2,5).





    1. Найти все значения а, при которых уравнения Исследование квадратного трехчлена с параметром и Исследование квадратного трехчлена с параметром имеют одинаковое число корней.

    Решение:

    1) Построим графики функций Исследование квадратного трехчлена с параметром и у=ах на одной координатной плоскости. Видно, что при а=0 уравнение имеет 2 корня. Рассмотрим производную функции Исследование квадратного трехчлена с параметром при Исследование квадратного трехчлена с параметром: Исследование квадратного трехчлена с параметром. Теперь найдем точку касания х0 и угловой коэффициент касательной: зная, что угловой коэффициент касательной есть производная в точке касания х0 и в то же время тангенс угла наклона касательной выпишем уравнение Исследование квадратного трехчлена с параметром. х0=0. Находим, что а=4. Значит приИсследование квадратного трехчлена с параметромуравнение имеет 3 корня. При Исследование квадратного трехчлена с параметромуравнение имеет 1 корень. Рассматривая функцию Исследование квадратного трехчлена с параметром на промежутках (Исследование квадратного трехчлена с параметром находим, что а=-4. Значит, при Исследование квадратного трехчлена с параметром функция имеет 2 корня, при Исследование квадратного трехчлена с параметром 1 корень.

    2) Рассмотрим Исследование квадратного трехчлена с параметром и у=ах. Рассуждая аналогично, находим, что при Исследование квадратного трехчлена с параметром и при а=-4 прямая у=ах служит касательной к графику функции Исследование квадратного трехчлена с параметром. Делаем вывод, что при а=0 нет решений, при Исследование квадратного трехчлена с параметром и Исследование квадратного трехчлена с параметром имеется 1 корень, при Исследование квадратного трехчлена с параметром и а=-4 2 корня, при Исследование квадратного трехчлена с параметром и Исследование квадратного трехчлена с параметром имеется 3 корня. Теперь сопоставляя эти промежутки, выясняем, что при (-4;0) и (Исследование квадратного трехчлена с параметром;4) уравнения имеют одинаковое количество корней.

    Исследование квадратного трехчлена с параметром


    Исследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметромИсследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром


    Исследование квадратного трехчлена с параметром

    Исследование квадратного трехчлена с параметром





    Использованная литература

    1. Власова А.П., Латанова Н.И.. Задача с параметрами. Логарифмические и показательные уравнения, неравенства, системы уравнений. 10-11 кл.: учебное пособие: Дрофа, 2005. - 93с.

    2. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.. Задачи с параметрами. Изд. 3-е доп. и пер. - М.: Илекса и Гимназия, 1999. - 326с.

    3. Семенова А.Л., Ященко И.В.. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Унив. Материалы для подготовки учащихся / ФИПИ - М.: Интеллект-Центр, 2010. - 96с.

    4. Шабунин М.И.. Пособие по математике для поступающих в вузы. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999. - 640с.: ил.

    5. Касаткин Г.В., Шевченко Л.В.. Готовимся в вуз: задачи и тесты по математике для школьников старших классов и поступающих в вузы: Учеб. пособие - М.: Дрофа, 2004. - 224с.: ил.

    6. Жафяров А.Ж..математика. ЕГЭ. Экспресс-консультация - Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2009-160с.

    Исследование квадратного трехчлена с параметром


    © 2010-2022