ГУ «Рудненский городской отдел образования»

ГУ «Средняя школа № 13 города Рудного»

Костанайской области

ПРОГРАММА

ПРИКЛАДНОЙ КУРС ПО МАТЕМАТИКЕ

«Решение нестандартных задач по математике»

10 -11классы

Профильное обучение

Направление - ЕМН

г. Рудный 2015

Рецензенты: Юдина Н.И. - заместитель начальника

ГУ «Рудненский городской отдел образования»,

учитель математики, высшая категория

Божко Л.Л. - проректор по учебной и научной работе РИИ,

доктор экономических наук, и.о. доцента,

член-корр. МАИН

Автор: Штоль Нина Александровна, учитель математики высшей

категории, ГУ «Средняя школа №13 города Рудного» Костанайской области

Программа прикладного курса. Математика. 10-11 классы.

Профильное обучение, 2-е издание, переработанное / автор Н.А.Штоль,

город Рудный, 2013год.

Программа к прикладному курсу по математике ориентирована на обучение учащихся 10-11 классов профильного естественно-математического направления. Кроме того, программа может быть использована при организации внеклассной и внешкольной работы по математике, при подготовке к ЕНТ (решение заданий уровня «С»), для подготовки учащихся к олимпиадам..

Пояснительная записка

Содержание прикладных курсов позволяет удовлетворять интересы обучающихся в соответствии с личностными наклонностями по выбору учащихся, которые реализуются за счет ученического компонента учебного плана.

На современном этапе жизни общества важным является формирование творческой личности, владеющей математическим стилем мышления, умеющей обобщать, конкретизировать, анализировать, исследовать и др. Кроме того, в связи с итоговой аттестацией выпускников и вступительных экзаменов в форме тестирования, выбор пал на творческую, исследовательскую деятельность учащихся по решению нестандартных задач.

При решении нестандартных задач развивается творческое, научно-исследовательское и логическое мышление, формируются способности нестандартно мыслить, проявляется самостоятельность, творчество, умение применять способы решения задач в практической деятельности и использовать полученные знания и умения при решении прикладных, практических и экономических задач.

Цели курса:

Образовательная цель:

Систематизировать и углубить материал по математике по отдельным темам. Научить самостоятельному решению нестандартных задач и задач с экономическим содержанием.

Развивающая цель:

Развивать математическое, научно-исследовательское, логическое, экономическое мышление учащихся.

Воспитательная цель:

Формировать интеллектуально-личностные качества одаренных детей, создавая творческий потенциал, способный к конкуренции. Ориентировать учащихся на правильный выбор профессии.

Задачи курса:

• Реализовать профориентационную деятельность, учитывая направленность школы - ЕМЦ.

• Поднять авторитет математических знаний.

• Внедрить личностно-ориентированную, профильную методику обучения.

• Подготовить учащихся к поступлению в ВУЗы, к участию в олимпиадах.

Основной идеей при определении содержания курса учащихся 10-11классов стала возможность продолжения математического образования на базе факультативных знаний 5-9 классов. Опираясь на теоретические и практические знания и умения учащихся, данная программа развивает креативные, научно-исследовательские возможности личности в условиях личностно-ориентированного подхода.

Содержание программы прикладного курса «Решение нестандартных задач по математике», выстроено на основе Программы «Решение нестандартных задач по математике с экономическим содержанием», прошедшей областную экспертизу в 2006 году. Переработанная программа расширена и дополнена задачами из интеллектуальных конкурсов «Акбота», «Кенгуру - математик», дистанционных олимпиад различного уровня и логическими задачами. Еще одной особенностью программы является включение в каждый раздел задач с экономическим содержанием, направленных на развитие у учащихся экономической грамотности.

Приложением к программе являются сборники экономических и логических задач.

Данная программа рассчитана на 68 часов в 10^х - 11^х классах естественно- математического направления (1 часа в неделю).

В основе программы лежат следующие дидактические и психологические принципы:

• Материал излагать в доступной теоретической и практической форме:

• От простого к сложному

• От теории к практике

• Наглядность (опорные задачи)

• Самостоятельность

• Креативность.

• Создание ситуации психологического успеха для каждого, учитывая личностно- ориентированную направленность и психологические способности одаренных детей

• Развитие научно-исследовательского потенциала.

Формы организации и методы обучения учащихся

Для эффективного развития творческого потенциала у учащихся, индивидуализации личности основной методикой является личностно-ориентированное обучение.

Старшая школа в большей степени ориентирована на поступление в ВУЗ, в связи с этим, преобладающими формами занятий являются:

• Лекционно-семинарская система занятий

• Проектная, научно-исследовательская деятельность

• Дидактические игры и дискуссии

• Зачетная система

• Математические декады

Смена форм учебной деятельности является одним из факторов развития компетентностей учащихся.

На школьной лекции предусматривается крупноблочное, обобщенное изложение теории.

Семинар является особой формой организации учебной деятельности, предполагающий творческое изучение программного материала. На этих занятиях отрабатывается теоретический материал, его применение к решению нестандартных и экономических задач. Подготовка к семинару предусматривает организацию индивидуальной и групповой работы учащихся, творческий, исследовательский поиск информации из дополнительной литературы, Интернета, развитие умений самостоятельно добывать, анализировать, обобщать, закреплять знания и делать выводы.

Проектная, научно-исследовательская деятельность позволяет проявить интеллектуальные способности учащихся, продемонстрировать уровень владения знаниями и умениями, способность к самообразованию и самоорганизации.

Дидактические игры и дискуссии дают возможность развивать ораторское мастерство, умение владеть аудиторий, творческое мышление. Главная функция учебной дискуссии - стимулирование познавательного интереса.

Способы оценивания результатов достижений учащихся

Репродуктивный уровень достижения знаний оценивается по точности воспроизведения основного теоретического материала курса: формулировки и доказательства теорем, знание формул.

Конструктивный уровень достижения знаний оценивается по умениям применять теорию к решению математических и экономических задач, осуществлять анализ, синтез, сравнение и обобщения получаемой информации, по способности к творческой исследовательской деятельности.

Для оценки результатов достижений учащихся используется зачетная система. Зачет выставляется по каждому разделу курса на основании личного участия школьника в семинарских занятиях, дискуссиях, проектной, исследовательской деятельности. Для оценивания результатов введена зачетная книжка учащегося, в которой предусмотрено название раздела, количество прослушанных часов, возможность самооценки и оценки учителем по следующим критериям:

Критерии оценивания.

I уровень

II уровень

III уровень

А+ отлично с «+»

А отлично

А- отлично с « -»

В+ хорошо с «+»

В хорошо

В- хорошо с «-»

С+ удовл. с «+»

С удовл

С- удовл. с «-»

По окончании изучения всего курса выставляется общий зачет на основе зачетов по разделам.

Содержание курса

10 класс (51 час)

Раздел I. Тождества (12 часов)

Теоремы о делимости многочленов, практика их применения. Тождественные преобразования выражений, теория доказательства тождеств. Условные тождества, опорные модели решения. Последовательности, прогрессии, возвратная, периодическая бесконечная последовательность, ее период. Теория нахождения сумм методом математической индукции и новым методом конечных разностей. Свойства последовательности Фибоначчи. Характеристические свойства прогрессии. Решение совместных задач на арифметическую и геометрическую прогрессии. Решение экономических задач: «Элементы финансовой математики». Решение задач по теме: « Тождества» (доказательство тождеств, упрощение выражений)

Раздел II. Уравнения и системы уравнений (15 часов)

Понятие алгебраического уравнения, способы их решения: группировка и вынесение общего множителя; замена переменной; нетрадиционные способы решения. Определение возвратного уравнения и способы их решения. Уравнения с параметрами и способы их решения.

Системы алгебраических уравнений, содержащих более 2^х переменных и способы их решения.

Дробно-рациональные уравнения, способы и особенности их решения. Метод неопределенных коэффициентов.

Системы рациональных уравнений. Метод исключения неизвестных.

Иррациональные уравнения. Особенности их решения. Область допустимых значений.

Векторное неравенство Коши-Буняковского.

Решение экономических задач, составлением уравнения или системы уравнений.

Функциональные уравнения. Решение функциональных уравнений методом переменной (метод подстановки). Решение экономических задач. Решение задач по теме: «Уравнения» (решение уравнений и их систем).

Раздел III. Неравенства (12 часов).

Свойства чисел, сравнение чисел. Доказательство неравенств. Опорные неравенства. Метод вставки (усиления неравенства). Неравенство Бернулли. Неравенство Коши. Метод математической индукции. Доказательство неравенств с помощью производной.

Решение экономических задач: «Функции в экономике».

Решение задач по теме: «Неравенства» (решение неравенств и их систем)

Раздел IV. Задачи по тригонометрии (12 часов).

Формулы по тригонометрии (1-27). Тригонометрические тождества, способы их доказательства. Вычисление числовых значений тригонометрических выражений без калькулятора и таблиц. Тождества с обратными тригонометрическими функциями. Условные тригонометрические тождества.

Задачи, связанные со свойствами углов треугольника.

Тригонометрические уравнения и способы их решения: разложение на множители, метод подстановки, метод неравенств.

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями.

Решение систем тригонометрических уравнений.

Доказательство тригонометрических неравенств и систем неравенств.

Решение экономических задач: «элементы финансовой математики»

Решение тригонометрических уравнений, неравенств и их систем.

11 класс (51 часов)

Раздел I. Матрицы и определители (12 часов).

Виды матриц: обратная, единичная, квадратная матрицы. Действия с матрицами. Ранг матрицы.

Решение систем уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера.

Решение экономических задач: модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Раздел II. Тождества (11 часов).

Задачи на многочлены. Условные тождества. Последовательности, вычисление сумм n первых членов последовательности.

Решение экономических задач: Элементы финансовой математики (формула сложных процентов)

Решение логических задач.

Раздел III. Уравнения и система уравнений (14 часов).

Иррациональные уравнения. Система уравнений, содержащих иррациональные уравнения.

Тригонометрические уравнения и неравенства. Доказательство тригонометрических тождеств.

Решение экономических задач: Элементы финансовой математики (финансовая рента)

Решение логических задач.

Раздел IV. Применение производной (14 часов).

Экономический смысл производной. Вторая производная. Исследование функций и построение ее графика. Точки перегиба. Наибольшие и наименьшие значения функций.

Решение функциональных уравнений.

Решение экономических задач: Исследование экономических процессов с помощью графиков.

Решение задач с применением производной (тематические тестирования)

Итоговое тестирование

Требования к уровню подготовки учащихся

В результате изучения курса учащиеся должны

Знать:

• Теоретические основы тождества

• Теоремы о делимости многочленов

• Способы доказательства тождеств

• Формулу сложного квадратного радикала (a>0, b>0, a²-b>0)

• Опорные условные тождества

• Определение возвратной и периодической бесконечной последовательности

• Принцип математической индукции

• Теорию арифметической и геометрической прогрессии, их характеристические свойства

• Теорию и способы решения алгебраических уравнений

• Определение симметрического многочлена и симметрической системы

• Определение возвратных уравнений

• Определение и основные понятия, теоремы систем уравнений, содержащих более 2^х уравнений и более 2^х неизвестных

• Определение дробно-рационального уравнения

• Особенности решения иррациональных уравнений

• Векторное неравенство Коши-Буняковского

• Теорию сравнения чисел

• 8 свойств числовых неравенств

• Опорные неравенства

• Неравенство Бернулли

• Теорию доказательства неравенств с помощью производной

• Формулы тригонометрии (1-27)

• Определение и свойства обратных тригонометрических функций

• Опорные тригонометрические неравенства ;

• Определение функционального уравнения

• Определение целой и дробной части числа

• Матрицы, определители, виды матриц, обратная матрица, действия с матрицами

• Метод Крамера и метод Гаусса

• Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

• Элементы финансовой математики

Уметь:

• Доказывать теоремы из теории тождеств

• Находить корни многочленов

• Вычислять числовые суммы, используя формулу факториалов, метод математической индукции, метод конечных разностей

• Решать совместные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

• Решать алгебраические, возвратные уравнения

• Решать квадратные уравнения с параметрами

• Решать системы алгебраических уравнений

• Решать иррациональные уравнения, используя метод неравенств

• Решать системы уравнений, используя векторное неравенство Коши-Буняковского

• Решать задачи на процентное содержание, смеси и сплавы

• Доказывать неравенства

• Доказывать неравенства, используя производную

• Доказывать тригонометрические тождества

• Решать тригонометрические уравнения и неравенства

• Решать функциональные уравнения

• Решать уравнения, содержащие целую и дробную части числа

• Вычислять определители и матрицы

• Решать системы уравнений методом Крамера и Гаусса

• Решать экономические и логические задачи

• Решать задачи олимпиадного уровня

Учебно-тематическое планирование 10 класс.

10 класс - 51 час

№ урока

Тема и содержание уроков

Кол-во часов

Методы

теория

практ.

Раздел I. Тождества 12 часов

1

§1 Делимость многочлена

1

2-3

§2 Тождественные преобразования выражений

1

1

Презентация

4

§3 Условные тождества

1

Лекция

5-6

§4 Последовательность и прогрессии

1

1

7

§5Решение экономических задач: «Элементы финансовой математики»

1

Выступление

8

Зачет №1

1

Зачет №1

9-12

Решение задач

1

3

Тест

Раздел II. Уравнения и системы уравнений 15 часов

13-14

§1 Алгебраические уравнения и системы алгебраических уравнений

2

15-17

§2 Дробно-рациональные уравнения. Системы рациональных уравнений

1

2

Презентация

18-20

§3 Иррациональные уравнения. Системы уравнений, содержащих иррациональные уравнения

1

2

Лекция

21-22

§4 Решение задач на составление уравнений или системы уравнений с экономическим содержанием

1

1

Презентация

23

Зачет №2

1

Зачет №2

24-27

Решение задач

1

3

Тест

Раздел III. Неравенства 12 часов

28

§1 Сравнение чисел. Свойства числовых неравенств

1

Повторение

29-30

§2 Доказательство неравенств с помощью теоретических неравенств

1

1

Лекция

31

§3 Неравенство Бернулли

1

Лекция

32

§4 Векторное неравенство Коши-Буняковского

1

Лекция

33

§5 Доказательство неравенств с помощью производной

1

Презентация

34

§6Решение экономических задач: «Функции в экономике»

1

Проект

35

Зачет №3

1

Зачет №3

36-39

Решение задач

1

3

Тест

Раздел IV. Задачи по тригонометрии 12 часов

40-41

§1 Тригонометрические условные тождества

1

1

Н.и

42-43

§2 Тригонометрические уравнения

2

44

§3 Доказательства тригонометрических неравенств

1

45

§4 Решение экономических задач: «Элементы финансовой математики (сложные задачи)»

1

46

Зачет №4

1

Зачет №4

47-51

Решение задач

1

4

Тест

Учебно-тематическое планирование 11 класс

11 класс - 51 час

№ урока

Тема и содержание уроков

Кол-во часов

Методы

Теория

Практ.

Раздел I. Матрицы и определители 12 часов

1-3

§1 Определение матрицы и определителя. Виды матриц. Ранг матрицы

2

1

Лекция

4-7

§2 Действия с матрицами. Матрицы в экономике

2

2

Презентация

8-10

§3 Решение линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера

1

2

Н.и

11

§4 Решение экономических задач: «Линейная модель многоотраслевого хозяйства»

1

Лабораторная

12

Зачет №1

1

Зачет №1

Раздел II. Тождества 11 часов

13-14

§1 Задачи на многочлен

1

1

Лекция

15-16

§2 Вычислите n-первых сумм последовательности

1

1

Дискуссия

17-18

§3 Решение экономических задач: «Элементы финансовой математики (формула сложных процентов)»

1

1

Лекция

19-23

Решение логических задач

1

4

Тест

Раздел III. Уравнения и системы уравнений 14 часов

24-26

§1 Тригонометрические уравнения и системы уравнений

1

2

Проект

27-29

§2 Показательные уравнения и системы уравнений

1

2

Семинар

30-31

§3 Решение экономических задач: «Элементы финансовой математики (финансовая рента)»

1

1

Доклад

32

Зачет №2 (по II и III главам)

1

Зачет №2 (по II и III главам)

33-37

Решение логических задач

5

Тест

Раздел IV. Применение производной 14 часов

38-39

§1 Экономический смысл производной

2

40-43

§2 Исследование функции с помощью второй производной. Точки перегиба. Наибольшее и наименьшее значение функции

1

3

Презентация

44-45

§3 Решение экономических задач: «Исследование экономических процессов, с помощью графиков»

2

46

Зачет №3

1

Зачет №3

47-49

Решение задач

3

50-51

Итоговое тестирование

2

Тест

Методическое обеспечение программы

1. Васильев Н.Б., Егоров А.А. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. М.: Наука, 1998;

2. Винокуры Е. и Н. «Экономика в задачах». Приложение к газете «Первое сентября», 1998 год;

3. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике: Пособие для учащихся 7-11 классов. Челябинск, 2004;

4. Гальперин Г.А., Толпыго А.К. Московские математические олимпиады: Книга для учащихся. / Под ред. А.Н.Колмогорова. М.: Просвещение, 1986;

5. Дорофеев Г.В. Применение производной при решении задач школьной математики // Математика в школе. 1989. №5-6. №5. С. 12-15, 16; №6. С. 24-30;

6. Интернет-ресурсы: coinint.net; testent.ru; ymnik.kz;

7. Лоповок Л.М. 1000 проблемных задач по математике: Книга для учащихся. М.: Просвещение, 1995;

8. Математика в школе №2, 2009г. Вступительные экзамены в вуз. С 58-78;

9. Математика в школе №3, 2009г. С. 68, №4, 7-18 задачи;

10. Математика в школе №5, 2009г. С. 66 «Задачи для самостоятельного решения»;

11. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1982;

12. Сканави М.И. «Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы». Книга для ученика и учителя. 6-е изд. М.: Высшая школа, 1993;

13. Фарсов А.В. Математические олимпиады в школе 5-11 классы. М.: Айрис-пресс, 2005, 2009;

14. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 11 класса средней школы. М.: Просвещение, 1991;

15. Яковлев Г.Н., Купцов, С.В.Резниченко, П.Б.Гусятников. Всероссийские математические олимпиады школьников: Книга для учащихся. М.: Просвещение, 1992.

10 класс - 51 час

№ урока

Тема и содержание уроков

Кол-во часов

Сроки

Литература

теория

практ.

Раздел I. Тождества 12 часов

1

§1 Делимость многочлена

1

13, 3, 7, 12

2-3

§2 Тождественные преобразования выражений

1

1

4

§3 Условные тождества

1

5-6

§4 Последовательность и прогрессии

1

1

7

§5Решение экономических задач: «Элементы финансовой математики»

1

8

Зачет №1

1

9-12

Решение задач

1

3

Тест

Раздел II. Уравнения и системы уравнений 15 часов

13-14

§1 Алгебраические уравнения и системы алгебраических уравнений

2

3, 5, 8, 9

15-17

§2 Дробно-рациональные уравнения. Системы рациональных уравнений

1

2

18-20

§3 Иррациональные уравнения. Системы уравнений, содержащих иррациональные уравнения

1

2

21-22

§4 Решение задач на составление уравнений или системы уравнений с экономическим содержанием

1

1

23

Зачет №2

1

24-27

Решение задач

1

3

Тест

Раздел III. Неравенства 12 часов

28

§1 Сравнение чисел. Свойства числовых неравенств

1

3, 10, 11

29-30

§2 Доказательство неравенств с помощью теоретических неравенств

1

1

31

§3 Неравенство Бернулли

1

32

§4 Векторное неравенство Коши-Буняковского

1

33

§5 Доказательство неравенств с помощью производной

1

34

§6Решение экономических задач: «Функции в экономике»

1

35

Зачет №3

1

36-39

Решение задач

1

3

Тест

Раздел IV. Задачи по тригонометрии 12 часов

40-41

§1 Тригонометрические условные тождества

1

1

1, 3, 4, 10

42-43

§2 Тригонометрические уравнения

2

44

§3 Доказательства тригонометрических неравенств

1

45

§4 Решение экономических задач: «Элементы финансовой математики (сложные задачи)»

1

46

Зачет №4

1

47-51

Решение задач

1

4

Тест

Учебно-тематическое планирование 11 класс

11 класс - 51 час

№ урока

Тема и содержание уроков

Кол-во часов

Сроки

Литература

теория

Практ.

Раздел I. Матрицы и определители 12 часов

1-3

§1 Определение матрицы и определителя. Виды матриц. Ранг матрицы

2

1

2, 3, 10, 14, 15

4-7

§2 Действия с матрицами. Матрицы в экономике

2

2

8-10

§3 Решение линейных уравнений. Метод Гаусса. Метод Крамера

1

2

11

§4 Решение экономических задач: «Линейная модель многоотраслевого хозяйства»

1

12

Зачет №1

1

Раздел II. Тождества 11 часов

13-14

§1 Задачи на многочлен

2

3, 9

15-16

§2 Вычислите n-первых сумм последовательности

2

17-18

§3 Решение экономических задач: «Элементы финансовой математики (формула сложных процентов)»

2

19-23

Решение логических задач

1

4

тест

Раздел III. Уравнения и системы уравнений 14 часов

24-26

§1 Тригонометрические уравнения и системы уравнений

3

3, 4, 8, 9, 14, 15

27-29

§2 Показательные уравнения и системы уравнений

3

30-31

§3 Решение экономических задач: «Элементы финансовой математики (финансовая рента)»

2

32

Зачет №2 (по II и III главам)

1

33-37

Решение логических задач

5

тест

Раздел IV. Применение производной 14 часов

38-39

§1 Экономический смысл производной

2

2, 3, 5, 10

40-43

§2 Исследование функции с помощью второй производной. Точки перегиба. Наибольшее и наименьшее значение функции

1

3

44-45

§3 Решение экономических задач: «Исследование экономических процессов, с помощью графиков»

2

46

Зачет №3

1

47-49

Решение задач

3

50-51

Итоговое тестирование

2

ГУ «Рудненский городской отдел образования»

ГУ «Средняя школа № 13 города Рудного»

Костанайской области

Сборник

логических задач

по математике

10-11 классы

Профильное обучение

Направление - ЕМН

г. Рудный 2013 год

Рецензенты: Юдина Н.И. - заместитель начальника

ГУ «Рудненский городской отдел образования»,

учитель математики, высшая категория

Божко Л.Л. - проректор по учебной и научной работе РИИ,

доктор экономических наук, и.о. доцента,

член-корр. МАИН

Составитель: Штоль Нина Александровна, учитель математики высшей

категории, ГУ «Средняя школа №13 города Рудного» Костанайской области

Сборник содержит логические задачи по математике. Имеются образцы решения задач с теоретическими и методическими обоснованиями или ответы к решению задач. При подготовке к ЕНТ данный сборник поможет выпускникам успешно сдать экзамен. Сборник логических задач является приложением к программе «Решение нестандартных задач по математике»(10 - 11 классы)

ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ИЗ ЕНТ И «КЕНГУРУ»

1. Выберите число, которое при вычеркивании первой цифры уменьшается в 57 раз.

А) 5139

В) 4243

*С) 7125

D) 6325

E) 4325

Нужно зачеркнуть в числе 5139 цифру 5 и получится 139. То есть должно выйти 139*57=5139. В общем, потратить придется немного времени, чтобы все вопросы так попробовать и наиболее подходящий (верный) ответ найти.

139*57=5139 (Ложно, так как 57*100 уже больше)

243*57=4243 (Ложно куда более чем первое, даже смотреть не надо)

125*57=7125 (Думаю не сложно догадаться в этом задании, даже не тратя много времени, что ответ этот)

325*57=6325 (Получается, что 57*100 будет 5700, а тут в три раза больше тоже не верно)

325*57=4325 (D, если не подошел, то и E - не подошел, так как число ответа еще ниже)

2. Мальчик и девочка измеряли одно и тоже расстояние в 143 метра шагами при этом двадцать раз их следы совпали. Шаг девочки 55 см. Найдите длину шага мальчика.

Необходимо посмотреть в ответы. Потому что логические вопросы составлены не только из знаний математики, а простого человеческого строения. Ну и среднестатистической разницы между размерами мужской и женской особи. В общем, не знаю, реально ли это посчитать, но если глянуть на ответы

A) 65

В) 37

C) 67

D) 70

E) 75

Возникает сразу сомнение по поводу A и С. Я, попробуем объяснить, почему A правильно, а C нет.

Для этого я смотрю на последнюю цифру 7 в ответе С числа 67 и пробую искать варианты совпадения с увеличением 55 и получается, что либо она сделала 5 шагов, либо 10, либо 15 и тогда будут по идее совпадать следующие вычисление: 67*5=335/55 но тут не совпадает шаг.

В общем, это очень сложные и запутанные задания в скором времени будут решаться проще, потому что будем не новичками.

3. Вместо вопросительного знака нужно поставить нужное число.

Тут можно пробовать по-разному в таких заданиях, но чаще всего закономерности в этих числах, что составляют треугольники. Например, тут закономерность в следующем:

1) 7*6+3=45

2) 4*8+13=45

3) 9*3+7=34

То есть стоит подумать, как схожи между собой первый и второй треугольник, проверить есть ли вероятность какой либо закономерности. Очень часто такие задания будут показываться, как решать, но для того чтобы самостоятельно научиться, важно работать над такими заданиями.

4. Если разрезать лист на 10 частей, затем один из кусков - еще на 10 частей. И с остальными тремя поступить также, сколько кусков будет?

Если взять из 10 кусков листа 4 и помножить в 10 раз. Затем прибавит остаток 10-4=6. Получится 4*10+6=46

Итак, что в этой задаче мы сделали? Просто мы не стали считать, что уже один из кусков был порван, просто знаем, что мы кусок из 10 штук делим на 10 частей. Значит так и нужно делать, а из общего количества целых кусков потом исключить столько кусков ,сколько мы собираемся поделить (3+1=4)

5. В контрольной работе 20 вопросов, где за каждый правильный ответ дают 7 баллов. За каждый неправильный отнимают 2 балла и 0 баллов за каждый пропущенный вопрос. Дана набрала 87 баллов. Сколько вопросов она пропустила?

20*7=140 баллов можно набрать максимум.

Пусть x=20;

Значит что sumx=7*prav-2*neprav-0*neotv (из ЭВМ)

Простое уравнение:

87=7x-2y-0*z

Определим количество верных ответов 87/7=12 с лишним, получается что на y вопросов ответили неправильно и еще сколько то пропустили, а количество верных ответов было больше 12.

Попробуем пусть на 13 вопросов ответили правильно

13*7-2y=87 отсюда y=2, z=20-(13+2)=5

Или другой вариант 14 вопросов - не подходит, потому что период получится 2y а в результате четное число 14*7=98 - 2*n= четное, а нам 87 нужно.

Другой вариант 15 вопросов

15*7-2y=87

y=9

15+9 не может быть столько вопросов.

Да уж задачка с подвохом.

Но она решена и получилось, что не ответили на 5 вопросов

6. Вместо вопросительного знака поставьте нужное число:

Такие задания будут встречаться довольно часто. Обычно пытаемся в первом изображении получить вариантами число 93. Понятно, что 8*6+9*5 даст 93. Затем попробуем это для второго квадрата 6*7+8*3=66. То есть мы в верном направлении и сделаем это для третьего 4*9+8*5=76

7. Четыре девочки - Катя, Лена, Маша и Нина участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую песню исполняли три девочки. Катя спела восемь песен, больше всех, а Лена спела 5 песен, меньше всех. Сколько песен было спето?

Решаем методом вариаций такие задания.

Пусть первые 5 выступлений Катя и Лена спели вместе. В результате 3 остальных выступления она споет с другими девочками.

Получится так, что и Нина споет 5 раз, а значит что утверждение "Лена спела 5 песен, меньше всех" неверное. Поэтому есть еще одна песня, которую Лена спела не с Катей, а с другими девочками.

А если вы подумаете, почему они не спели еще больше песен, вопрос станет раскрыт, когда посмотрим на утверждение "Катя спела восемь песен, больше всех".

8. Лейла моложе в 6 раз своего прадедушки; если же между цифрами его возраста вставить 0, то получится ее возраст.

А) 17

В) 19

C) 20

D) 18

E) 21

Хорошо, что есть варианты ответов, потому что работать в таких заданиях быстрее с вариантами ответов.

107/17 - отпадает больше 6

109/19 - меньше 6

200/20=10 отпадает

108/18 =6

201/21 - отпадает больше шести

9. Расстояние между двумя станциями железной дороги 120 км. Первый поезд проходит это расстояние на 50 минут скорее, чем второй, скорость первого поезда больше скорости второго на 12 км/ч. Определите скорости обоих поездов

Это задача не на логику, а на умение составлять систему уравнений по таким задачам.

Две неизвестные: t - время движения первого поезда. v - скорость первого поезда.

Тогда t*v=120 .

Второй поезд пришел на 50 минут (в часе 60 минут, следовательно, 50/60 часов) позже, t+5/6. Но его скорость была на 12 км/ч меньше и равна v-12

{(t+5/6)(v-12)=120

{t*v=120, решите систему и найдете скорости.

10. Сумма чисел двухзначного числа равна 6. Отношение этого числа к числу, у которого переставлены цифры, равно 4/7. Найдите эти числа.

Все что тут хотят получить это пустяк, всего лишь небольшое уравнение. Пусть даны два числа x и y.

x+y=6 {Сумма чисел двухзначного числа}

xy/yx=4/7 {Это выходит если соединить их рядом, приходится воспринимать как двузначное число}

Варианты: какое первое двузначное число меньше второго. Значит x

1+5=6 Слишком большая разница 15/51, около 0,33

2+4=6 (24/42=4*6/7*6)

3+3=6 - исключаем сразу (33, 33)

В итоге не зная ответов можно в закрытом виде получить ответ. X=2, y=4. Числа 24 и 42.

11. У треугольника, длины сторон которого целые числа, длина одной стороны равна 5, а другой - 1. Чему равна длина третьей стороны?

Тут смотрите сами:

Пусть a=5. b=1. с < a + b, a < 5 + 1

a < 6, {потому что сумма любых двух сторон больше всегда третьей}

a > | b - c | {но меньше их разности по модулю}

a > 5 - 1, a > 4

4 < a < 6 => a = 5 {целое число в интервале}

Более сложные задачи!

12. Имеется 2011 монет и обычные рычажные весы. Известно, что одна монета фальшивая. Как за два взвешивания узнать, легче она или тяжелее?

1 взвешивание. 1005 и 1005 монет.

а) случай если весы будут равны, следовательно, одна монета, которую мы не клали на весы фальшивая.

2 взвешивание. Взвесив эту монету с любой другой из 2010 монет, определим легче или тяжелее.

1 взвешивание.

б) случай если перевесит одна из сторон, неважно какая. В данном случае мы возьмем ту часть монет (1005 штук) что оказалась снизу.

Разделим на две части, одну - оставим как и в прошлый раз.

2 взвешивание.

с2) еще может быть если одна сторона перевесит. В данном случае приходится учитывать, что эта часть перевесила прошлый раз, значит монета тяжелее.

2 взвешивание.

с2) а еще, например если они уравнялись, значит фальшивка легче. НО ведь у нас осталась одна монета из 1005 штук. Как же быть?

Получается, что недостаточно 2 - х взвешиваний?

а если так:

взвесили по 1005, они не равны;

выбираем одну из частей, к примеру, ту, что тяжелее, добавим 1006 монету, которая в первом взвешивании не участвовала, она то точно не фальшивая;

делим на 2 части, взвешиваем;

если части не равны, то фальшивка в этой партии была, то есть она тяжелее остальных ;

если равны, значит она в другой куче, в той, что легче.

13. На часах 3 часа 15 минут. Сколько градусов между стрелками?

360/12=30 градусов (1 час или 5 минут).

60/15=4 (15 минут составляет 4 части и следовательно стрелка минутная будет находиться под углом 90 градусов)

Следовательно: 30/4=7.5 градусов. (Тут мы проверяем отклонение часовой стрелки, например если стрелка показывает ровно 3 часа, то минутная стрелка 0 градусов)

14. В группе 40% ребят имеют плохое зрение.70% из них носят очки, остальные 30% носят контактные линзы. Общее число ребят в очках-21.Что верно:

А)30 человек имеет плохое зрение

В) 30 человек имеет хорошее зрение

C) всего в группе 100 человек.

D)10 человек носят линзы

E) ни один ответ не подходит.

70% - 21

100% - X

X=21*100/70=30 человек имеют плохое зрение (9 человек носят линзы). Удивляет одно в этом задании, сколько учеников - посчитайте.

15. У Юры 100 мышей, некоторые из них белые, а некоторые - серые. Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из любых двух мышей хотя бы одна - белая. Сколько серых мышей у Юры?

А) 1

В) 49

С) 50

Д) 99

Е) невозможно определить

У нас есть мышь одна серая. Допустим, мы возьмем любые две другие и получается, что одна будет белой.

А если серых мышей будет больше, то возможно же, что мы возьмем две серые мыши. Тогда выражение "из любых двух мышей хотя бы одна - белая" считаю не будет соблюдаться. Ответ A) 1 мышь.

15. В турнире по ручному мячу участвовали команды А,В,С,Д и Е. Каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу в игре дается 2 очка, за ничью 1,за поражение- 0.При этом команда В, занявшая второе место , набрала больше очков, чем С,Д и Е вместе. Отсюда следует, что:

A) А заняла первое место

В) А выиграла у Б

C) В выиграла у С

D) А и Б сыграла в ничью

E) такой результат невозможен.

Давайте сначала посчитаем сколько игр было сыграно: 4+3+2+1=10 игр (Каждая команда сыграла с каждой ровно один раз, AВCДE и посчитать с кем поиграла команда A (4) + то что сыграла команда В (3) + и.д.).

Следовательно из утверждения о том, что команда В набрала столько баллов, что даже в сумме с остальными игроками ее балл будет выше.

В>С+Д+E, В заняла второе место.

A следовательно заняла первое, так как никто из С, Д, Е не смог бы занять первое место.

A>В >С+Д+E

Ответ: A) А заняла первое место

16. Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько потребуется землекопов, для того чтобы выкопать 100 м канавы за 100 часов?

Один землекоп за 5 часов выкапывает 1 м канавы. ("Плохо капает")

Производительность = результат / время.

Производительность = 1/5

Сколько потребуется землекопов?

Z-землекопы , Z*(1/5)=100/100, Z=5

17. У Саши есть 4 карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4. Он составляет из них трехзначные числа. Сколько различных чисел, делящихся нацело на 6, он может получить?

A) 2

В) 4

C) 6

D) 8

E) 10

Проще всего решается задача, если мы вспомним о том, что четность последнего числа важна, следовательно, у нас всего 12 вариантов, которые могли бы делиться нацело: (132, 142, 312, 412, 134, 124, 314, 214, 234, 324, 432, 342). Тут уже можете посчитать самостоятельно. Но имеется метод, который займет меньше времени.

Известно, что можно найти 6*10 * N, где n-период.

60 => 120 => 180 => 240 => 300 => 360 => 420

теперь весь секрет в том чтобы взять период и пробовать подставлять, зная уже даже не только сотни но и десятки и единицы.

132-120=12 (Подходит)

142-120=22 (Не подходит)

312-300=12 (Подходит)

420-412=8 (Не подходит)

134-120=14 (Не подходит)

124-120=14 (Не подходит)

314-300=14 (Не подходит)

240-214=26 (Не подходит)

240-234=6 (Подходит)

324-300=24 (Подходит)

432-420=12 (Подходит)

360-342=18 (Подходит)

То есть все, можно посчитать устно. В итоге 6 чисел.

18. На математическом конкурсе Маша тратит на каждую задачу в 3 балла 2 минуты, на задачу в 4 балла - 3 минуты и на задачу в 5 баллов - 5 минут. Какое наибольшее число очков она могла бы набрать за 15 минут?

Задача с подвохом, тут считать нужно, когда Маша тратит меньше всего времени за 1 балл.

(3/2)>(4/3)>5/5

Она может решить 7 заданий в три балла и одна минута у нее останется и это не будет максимумом, можно сделать так , что она решит 6 заданий в 3 балла, и оставшиеся 3 минуты на задание в 4 балла. Следовательно, она может за 15 минут максимум набрать: 6*3+4=22 балла.

19. В нашей компании 5 человек. У нас есть некоторое количество денег, в среднем по 80 тенге на человека. У меня 100 тенге. Сколько в среднем денег у остальных четырех членов компании?

В среднем по 80 * 5=400 тенге всего. 400-100=300 (Осталось у четырех). 300/4=75 тенге в среднем на 4 человек.

20. Кенгуру шьет одеяло из квадратных лоскутков (10 квадратиков в ширину и 15 - в длину). В каждой точке, где сходятся 4 квадратика, кенгуру пришивает пуговицу. Сколько пуговиц понадобится?

Получается, мы считаем (11-2)*(16-2)=126.

11X16=176 - это количество мест, куда можно пришить пуговицу по принципу на край квадрата.

Мы исключаем только краевые точки и следовательно с каждой стороны по 1. Всего 4 стороны ( 2 и 2 )

Удвоенная четверть половины числа 32 равна.

Удвоенную и половину - уберем, так как они друг друга заменяют на - единицу. 32/4 = 8

21. Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или подвале. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если сыр на столе, а кошка - в подвале, то мышка - в комнате. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Тогда обязательно

A) кошка в комнате

В) мышка в норке

C) кошка в подвале, а мышка в комнате

D) кошка в комнате или мышка в норке

E) такая ситуация невозможна.

Когда кошка в комнате, сыр лежит в холодильнике. Если сыр на столе, кошка в подвале. Мышка в комнате.

22. Летом у Васи на даче целые сутки было открыто окно. В первый час влетел 1 комар, во второй - 2, в третий - 3 и т.д. Начиная со второго часа, Вася без сна и отдыха охотился за комарами. За второй час он убил одного комара, за третий - двух и т.д. Сколько живых комаров было в комнате к концу суток?

Довольно просто, если каждый час попробовать то, что он делал. Он одного оставлял в живых каждый час. В итоге 24 осталось.

1 + 2-1 + 3-2 + 4-3 + ... {n=24 часа}

23. В трехзначном числе вычеркивают вторую цифру. В результате получается число, в 9 раз меньшее данного числа. Чему равна сумма цифр исходного числа?

Трехзначное abc ---100a+10b+c

вычеркиваем b, получается ac, т.е. число ---10a+с

100a+10b+c=9(10a+c)

10a+10b+c=9c

10a+10b+10c=18c

a+b+c=9c\5

a,b,c - цифры, значит целые, тогда и сумма целых тоже целое, такое возможно только если -с- кратно 5, но с-цифра, значит c<10 и целое, тогда чтобы -с- было кратно 5, оно должно быть равно 5, т.е. с=5 тогда a+b+c=9

Примерное содержание зачетов в 10-11 классах

Зачетная работа предполагает подробное объяснение теории, методов решения с указанием опорных формул, задач (с доказательством).

Ученик имеет право выбора из предложенных заданий на оценку «зачет» сделать лишь 3 задания. Выполнение 5 заданий предполагает оценку «зачет с отличием».

Зачеты 10 класс

Зачет №1 (Раздел I)

I вариант

1. Верно ли, что ?

2. Найдите такие числа а и b, что, а + b = аb =

3. Найдите четырехзначное простое число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию.

4. Верно ли, что при любом четном числе х, число х⁸+9х⁵+8х² делится на 288?

5. Упростить: ³² + .

II вариант

1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

.

2. Какое из 2-х чисел: 2 или 4, больше?

3. Разложите из множители выражение х⁴ + 4 .

4) Что больше: или 2

5) Могут ли числа 1; ; быть последовательными членами одной арифметической прогрессии? А геометрической?

Зачет №2 (Раздел II)

I вариант

1. Решите уравнение: (х² - х - 1)² - х³ = 5.

2. При каких значениях параметра а, уравнение х⁴ + 2х² + 8 = а не имеет корней?

3. Решите уравнение:

а) х(х + 1)(х + 2)(х + 3) =15

б) (х ²- 4х)² - 2(х - 2)² - 7 = 0

4. Решите уравнение:

х⁴ - 2х³ - х² + 2х +1 = 0

5) Решите уравнение:

х³(3а -1)х² + (2а² - 3а)х + 2а² = 0

II вариант

1. В уравнении (х² +…)(х +1)= (х⁴ +1)(х + 2) одно число стерто и заменено точками. Найти стертое число, если известно, что один из корней этого уравнения равен 1.

2. Найдите все пары целых чисел (х, у), удовлетворяющие уравнению

2ху +3у²=24.

3. Решите уравнение:

а) 9(х+)(х+)(х-)(1-х) = 4х(х+)

б) (х²-3х+1)(х²+3х+2)(х²-9х+20)+30 = 0

4. Решите уравнение:

16х⁴ + 32х³ - 369х² - 96х + 144 = 0

5. Решите уравнение:

х³ - (2а +1)х²+ (а² + а)х + а - а² = 0

Зачет №3 (Раздел III)

I вариант

1. Двое пешеходов одновременно вышли из пункта А в пункт В. Первый пешеход половину пути шел со скоростью 5 км/ч, а вторую половину - со скоростью 4 км/ч. Второй половину времени шел со скоростью 5 км/ч, а вторую половину - со скоростью 4 км/ч. Кто из них раньше пришел в В?

2. Докажите неравенство:

4xy - 3x² - 8y²0

3. Верно ли, что для любых a, b и c выполняется неравенство:

(ab + bc + ca)² 3fbc(a + b + c)?

4. Докажите неравенство:

5. Докажите, что если a - b + c = 6, то

II вариант

6. Два туриста одновременно вышли из пункта А в пункт В. Первый турист половину пути шел со скоростью 5 км/ч, а другую половину - со скоростью 4 км/ч. Второй 4/9 пути шел со скоростью 6 км/ч, а остальную часть - со скоростью 3,5 км/ч. Кто из них раньше пришел в пункт В?

7. Докажите неравенство:

(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)+10

8. Докажите, что если a² + b² +c² 27, то а + b + c 9

9. Докажите неравенство:

10. Докажите, что если а + b + c9, то

Зачет 4 (Раздел IV)

I вариант

1. Вычислите значение выражения cos(2arccos)

2. Вычислите значение суммы

3. Докажите тождество:

4. Решите уравнение

5. Докажите, что уравнение sin x = ax не может иметь 2004 решения

II вариант

1. Вычислите значения выражения

2. Вычислите значение суммы

3. Докажите тождество

4. Решите уравнение

5. Докажите, что sin⁶x+cos⁶x больше или равно 0,25

Зачеты 11 класс

Зачет №1 (Раздел I)

I Вариант

1.Даны матрицы А, В, Е. Найти матрицу С = 2А*В+3Е.

2

-3

1

0

0

А =

2

0

,

В

=

1

-1

0

Е

=

0

1

0

0

1

2

3

1

0

0

1

2.Найти матрицу обратную данной

1

2

5

А

3

4

6

0

2

8

3.Найти ранг матрицы

а)

3

0

2

б)

1

3

5

7

1

-1

3

2

-4

2

0

4

-1

5

3

1

2

1

1

5

0

1

4.Решить систему уравнений: а) по формуле Крамера;

б) методом Гаусса.

х₁-х₂+3х₃=-2;

2х₁+2х2-х₃=0;

2х₁-3х₂+х₃=-5

II Вариант

1.Даны матрицы А, В, Е. Найти матрицу С = 2А*В+3Е.

-7

2

1

0

0

А

А =

1

0

;

В

=

0

3

-1

Е

=

0

1

0

0

3

5

4

2

0

0

1

2.Найти матрицу обратную данной

2

1

0

1

-2

-3

0

0

1

3.Найти ранг матрицы

а)

2

-5

-9

4

б)

1

3

5

-1

1

7

5

2

2

-1

-3

4

1

-1

-3

2

5

1

-1

7

7

7

9

1

4.Решить систему уравнений а) по формуле Крамера;

б) методом Гаусса.

Х₁-3х₂+х₃=0;

2х₁+2х₂-х₃=3;

х₁-4х₂+3х₃=-2.

Зачет №2 (Раздел II, III)

I вариант

1. Двое пешеходов одновременно вышли из пункта A в пункт B. Первый пешеход половину пути шел со скоростью 5 км/ч, а вторую половину - со скоростью 4 км/ч. Второй половину времени шел со скоростью 5 км/ч, а вторую половину - со скоростью 4 км/ч. Кто из них раньше пришел в B?

2. Докажите неравенство 4xy - 3x² - 8y² 0

3. Верно ли, что для любых a, b и с выполняется неравенство

(ab + bc + ca)² 3fbc(a + b + c)?

4. Докажите неравенство

5. Докажите, что если a - b + c = 6, то

II вариант

1. Два туриста одновременно вышли из пункта А в пункт В. Первый турист половину пути шел со скоростью 5 км/ч, а другую половину - со скоростью 4 км/ч. Второй 4/9 пути шел со скоростью 6 км/ч, а остальную часть - со скоростью 3,5 км/ч. Кто из них раньше пришел в В?

2. Докажите неравенство:

(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)+10

3. Докажите, что если a² + b² +c² 27, то а + b + c9

4. Докажите неравенство:

5. Докажите, что если а + b + c 9, то

Зачет 3 (Раздел IV)

I - вариант

1. Найти интервалы возрастания и убывания функции у = х +1 +. Используя первое достаточное условие экстремума, найти экстремумы функции и построить ее график.

2. Исследовать на монотонность, экстремум и построить график функции

у = х⁴ + 4х³

3. Исследовать на монотонность и экстремум и построить график функции

у = х³- 3х - 2

4. Исследовать 1) на монотонность, экстремум; 2) на выпуклость вверх (вниз), вогнутость и точки перегиба; 3) найти точки пересечения с осями координат; 4) построить график функции у=2х³-х⁴.

5. Исследовать 1) на монотонность, экстремум; 2) на выпуклость вверх (вниз), вогнутость и точки перегиба; 3) найти точки пересечения с осями координат; 4) построить график функции у = .

II вариант

1. Используя второе достаточное условие, найти экстремумы функции

у = 2х⁴ - х² - 1

2. Исследовать на монотонность и экстремум и построить график функции

у = х⁴ - 4х³

3. Используя второе достаточное условие, найти экстремумы функции

у = 8х² - х⁴ - 2

4. Исследовать: 1) на монотонность, экстремум; 2) на выпуклость вверх (вниз), вогнутость и точки перегиба; 3) найти точки пересечения с осями координат; 4) построить график функции

у = 2х³ - х⁴

5. Исследовать 1) на монотонность, экстремум; 2) на выпуклость вверх (вниз), вогнутость и точки перегиба; 3) найти точки пересечения с осями координат; 4) построить график функции у = х³+ 3х³